平面向量与圆锥曲线
教学目标:巩固平面向量的基本知识; 掌握运用向量知识解决与圆锥曲线有关的问题; 明确知识之
间的连贯性, 融汇性; 培养学生运用向量工具分析问题和解决问题的能力.
重点难点: 运用向量知识解决与圆锥曲线有关的问题 教具准备:多媒体课件
教学过程: 一. 知识回顾
若a={x 1，y 1}，b={x 2，y 2}则 a ∙b =x 1x 2+y 1y 2 1. 向量的夹角公式为
2. 向量a ∥b 的充要条件为 3. 向量a ⊥b 的充要条件为
二. 课前热身
1. 直线 x ＋2y －2＝0 的一个方向向量是 （ ） A. (1,2) B . (1,-2) C.(2,1) D.(2,-1)
2. 设坐标原点为O, 抛物线y =2x 与过焦点的直线交于A,B 两点, 则OA ∙OB 等于( )
2
33
B. - C.3 D.-3 44
3.(2002年高考题) 已知两点 A (3,1), B (-1,3) ，若 C 点满足OC =αOA +βOB ，其中
A.
α, β∈R 且有α+β=1 ，则点C 的轨迹方程为 ( )
(A )3x +2y -11=0 (B ) (x -1)+(y -2)=5 (C )2x -y =0 (D ) x +2y -5=0
2
2
4. 过点P(2,4)作两条互相垂直的直线分别交x 轴,y 轴于A,B 两点, 则线段AB 中点的轨迹方程为
三. 例题讲解
x 22
-y =1 的两个焦点, 点P 在双曲线右支上，且 PF 1⋅PF 2 =2..例1. 设F 1，F 2是双曲线 4
若∠F 1PF 2=α(1)求角
α 的值. (2)求 F 1PF 2 的面积. (3)求P 点的坐标
.
例2.(2003年高考题) 已知常数 a >0，向量c =(0,a ), i =(1,0). 经过原点O 以c +λi 为方向向
量的直线与经过定点A （0，a ）以 i -2λc 为方向向量的直线相交于点P ，其中λ∈R . 试
问：是否存在两个定点E 、F ，使得|PE|+|PF|为定值. 若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由.
四. 课堂小结:
五. 课后练习
1．已知向量, 的夹角为
π
，||=2, ||=1, 则|+|⋅|-|= 3
（ ）
2．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 =+λ
A ．外心
+
λ∈[0, +∞), 则P 的轨迹一定通过△ABC 的
C ．重心
D ．垂心
B ．内心
x 2
-y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且3．设F 1，F 2是双曲线1⋅PF 2=0，则 4
|PF 1|⋅|PF 2|的值等于
A ．2
B ．22
C ．4
D ．8
（ ）
4. 如图所示，在Rt △ABC 中, ∠CAB=90°, AB=2, AC=
2
, D是线段AB 的垂直平分线上的2
一点, D 到AB 的距离为2, 过点C 的曲线E 上任一点P 满足||+||为常数.
①建立适当的坐标系, 并求出曲线E 的方程.
②过点P 的直线 l 与曲线E 相交于不同的两点M , N , 且M 点在D, N 之间, 若
DM =λDN , 求λ的取值范围.
5. 如图所示，已知圆C :(x +1) 2+y 2=8, 定点A (1, 0), M 为圆上一动点，点P 在AM 上， 点N 在CM 上，且满足AM =2AP , NP ⋅AM =0, 点N 的轨迹为曲线E.
（I ）求曲线E 的方程；
（II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），
且满足=λ，求λ的取值范围.
4．①以AB 、OD 所在直线分别为X 轴、Y 轴建立直角坐标系
|PA |+|PB |=|CA |+|CB |=22(>2), ∴动点的轨迹为以A 、B 为焦点的椭圆
x 2
a =2, c =1, b =1, ∴E :+y 2=1（4分）
2
②l 与y 轴重合，DM=1，DN=3，λ
=
DM 1
（5分） =，3DN
l 不与y 轴重合，D （0，2）令直线MN 的方程为：y =kx +2与曲线C 的方程联立得
(1+2k 2) x 2+8ks +6=0, x 1+x 2=
2
8k 6
, x x =>0（8分） 12
1+2k 21+2k 2
△=64k
3
-24(1+2k 2) >0, ∴k 2>, (9分)
2
1=
λ=
DM x M -x D x 1
==DN x N -x D x 2
（10分）
t =λ+
x 1x 2
λ
1
+
x 2x 1
=
(x 1+x 2) 2
x 1x 2
-2=
20k 2-63(1+2k )
2
∴2
λ
10111
, ∴
5. 解：（1） =2, ⋅=0.
∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.…………………………2分 又 |CN |+|NM |=22, ∴|CN |+|AN |=22>2. ∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆. 且椭圆长轴长为2a =22, 焦距2c=2. ∴a =
2, c =1, b 2=1. ……………5分
x 2
+y 2=1. ………………6分 ∴曲线E 的方程为2
（2）当直线GH 斜率存在时，
x 22
设直线GH 方程为y =kx +2, +y =1,
2
3
由∆>0得k 2>.
2
-4k 3
设G (x 1, y 1), H (x 2, y 2), 则x 1+x 2=……………………8分 , x 1x 2=
11+k 2+k 222
得(+k ) x +4kx +3=0.
2
2
1
2
又 =λ,
∴x 1=λx 2,
∴(x 1, y 1-2) =λ(x 2, y 2-2)
∴(
x 1+x 22x x 2
) =x 2=12， 1+λλ
2
∴x 1+x 2=(1+λ) x 2, x 1x 2=λx 2.
-4k 23) 11+k 2+k 2
∴=, 整理得2
λ(1+λ) (
31616
, ∴4
323+32k 2
1
∴
16(1+λ) 2
……………………10分 =
1λ3(2+1) 2k
∴4
1
k 2>
λ
+2
161
. 解得
又 0
又当直线GH 斜率不存在，方程为x =0, =
11, λ=. 33
11
∴≤λ
例1、
在R t ∆A B C 中, ∠C A B =90A , B =A 2, C =
，D 是线段AB 的垂直平分线上的一点，D 到AB 的距
离为2，过点C 的曲线E 上的任一点P 满足|PA |+|PB |为常数。
①建立适当的坐标系，并求出曲线E 方程；
②过点D 的直线l 与E 相交于不同的点M 、N ，且点M 在D 、N 之间，若DM =λDN ，求λ的
取值范围。 解：①（易判断曲线E 方程为椭圆）如右图所示，以AB 的中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系， 设椭圆方程为
x 2y 2
+=1, (a >b >0) a 2b 2
，
则2a =|PA |+|PB |=CA +CB =a =又 c =1∴b =1，故所求椭圆方程为②设l :y =kx +2，当l 与y 轴重合时，DM
x 22
+y =1 2
=1，DN =3，此时λ=
1
3
；
当l 与y 轴不重合时，设M (x 1, y 1) 、N (x 2, y 2) ，
⎧y =kx +2⎪
方法一、由⎨x 22⇒(1+2k 2) x 2+8kx +6=0
⎪+y =1⎩2
61+2k 2
∆>0∴k >
2
32
，且x 1+x 2=-
8k
, 1+2k 2
x 1⋅x 2=
⎧8k x 2=-⎪ ⎧x =λx 2(1+λ)(1+2k 2) ⎪⎪
DM =λDN , ∴(x 1, y 1) =λ(x 2, y 2-2) ，即⎨1 ∴⎨
-8k ⎪⎩y 1=λ(y 2-2) ⎪y =+222
⎪(1+λ)(1+2k ) ⎩
2
x 25λ2-8λ+3-8k 8k 23(λ+1) 22
+y 2=1 ∴y 2=又 =+2⇒=22224λ4λ-4λ(1+λ)(1+2k ) 1+2k
3
k >
2
2
3(λ+1) 2∴3
4λ
11
综上所述≤λ
评注：此方法注意到了直线与圆锥曲线相交时的充要条件，利用k 2>但运算量较大。
方法二、 M (x 1, y 1) 、N (x 2, y 2) 在椭圆E 上
⎧(λx 2) 2
⎧12+[λ(y 2-2)]2=1⎪⎪+y 1=1⎪2 ⎧⎪x =λx ⎪ ∴⎨22 又 DM =λDN , ∴(x 1, y 1) =λ(x 2, y 2-2) ，即⎨12∴⎨2
2⎪⎩y 1=λ(y 2-2) ⎪2⎪2+2=1+=1y y 22⎪⎪2⎩⎩2
2
1
3
32
来求参数λ的范围，
*
∴y 2
=
5λ2-8λ+34λ2-4λ
又∵y 2=
5λ2-8λ+34λ-4λ
1
≤1，且0
3
综上所述≤λ
评注：在方程组*中，通过消去x 2，得出y 2 与λ的关系，后借助椭圆的几何意义，比较简单的求出参数λ的范围。
⎧y =kx +2⎪
方法三、由⎨x 22⇒(1+2k 2) x 2+8kx +6=0
⎪+y =1⎩2
13
61+2k ∆>0∴k >
2
32
，且x 1+x 2=-
8k
, 1+2k x 1⋅x 2=
DM =λDN
DM x M -x D x 1
= ∴λ= =
x N -x D x 2DN
x 1x 2(x 1+x 2) 20k 2-632
-2= k >) 令μ=λ+=+= (2x 2x 1x 1⋅x 23(1+2k )
1
则2
1
λ
10
3
1
⇒
又 0
32
13
13
来求参数的范围，但构造μ=λ+
1
λ
时，比较困难。也可如右图
DM MP x ==1，下面如方法三。 所示，在∆ABC ，λ=NQ x 2DN
例2、已知中心在原点，顶点A 1、A 2（A 2为右顶点）在x
轴上，离心率为e =点P (6,6) ，动直线l 经过点(0,1)与双曲线C 交于M 、N 两点，Q 为线段MN 的中点，
①求双曲线C 的标准方程；
的双曲线C 经过
②若E 点为(1,0) ，是否存在实数λ，使EQ =λA 2P ，若存在，
求λ的值；若不存在，说明理由。
x 2y 2
解：①设双曲线的方程为2-2=1, (a >0, b >
0)
a b
36c 422
⇒b =a ∵双曲线C 经过点P (6,6) ， 即2e =
，即=
a a 333x 2y 2
∴a =9, b =12，故所求双曲线方程为-=1
912
2
2
-
36=1 b 2
②设M (x 1, y 1) 、N (x 2, y 2) 、Q (x 0, y 0) ，l :y =kx +1
⎧y =kx +1⎪222
⎨x y 2⇒(4-3k ) x -6kx -39=0⎪-=1⎩912
2
⎧⎪4-3k ≠0
∴-
⎪33⎩∆>0
又x 1+x 2=∴EQ =
6k
4-3k 2
⇒x 0=4⎫
⎪ 4-3k 2⎭
x 1+x 22
=
3k 4-3k 2
⇒y 0=
3k 44
, ) ∴Q (22
4-3k 4-3k 24-3k
⎛3k
-1,
⎝4-3k 2
∵A 2P =(3,6)
⎛3k ⎫⎛4⎫
-1⎪-3⨯ 且EQ =λA 2P ，∴6⨯ ⎪=0 2
⎝4-3k ⎭⎝4-3k 2⎭
23
2
∴k +k -2=0 即k =1或k =-2（舍）
∴EQ =(2,4) ∴2=3λ⇒λ=
所以存在λ=，使EQ =λA 2P
23
平面向量与圆锥曲线
教学目标:巩固平面向量的基本知识; 掌握运用向量知识解决与圆锥曲线有关的问题; 明确知识之
间的连贯性, 融汇性; 培养学生运用向量工具分析问题和解决问题的能力.
重点难点: 运用向量知识解决与圆锥曲线有关的问题 教具准备:多媒体课件
教学过程: 一. 知识回顾
若a={x 1，y 1}，b={x 2，y 2}则 a ∙b =x 1x 2+y 1y 2 1. 向量的夹角公式为
2. 向量a ∥b 的充要条件为 3. 向量a ⊥b 的充要条件为
二. 课前热身
1. 直线 x ＋2y －2＝0 的一个方向向量是 （ ） A. (1,2) B . (1,-2) C.(2,1) D.(2,-1)
2. 设坐标原点为O, 抛物线y =2x 与过焦点的直线交于A,B 两点, 则OA ∙OB 等于( )
2
33
B. - C.3 D.-3 44
3.(2002年高考题) 已知两点 A (3,1), B (-1,3) ，若 C 点满足OC =αOA +βOB ，其中
A.
α, β∈R 且有α+β=1 ，则点C 的轨迹方程为 ( )
(A )3x +2y -11=0 (B ) (x -1)+(y -2)=5 (C )2x -y =0 (D ) x +2y -5=0
2
2
4. 过点P(2,4)作两条互相垂直的直线分别交x 轴,y 轴于A,B 两点, 则线段AB 中点的轨迹方程为
三. 例题讲解
x 22
-y =1 的两个焦点, 点P 在双曲线右支上，且 PF 1⋅PF 2 =2..例1. 设F 1，F 2是双曲线 4
若∠F 1PF 2=α(1)求角
α 的值. (2)求 F 1PF 2 的面积. (3)求P 点的坐标
.
例2.(2003年高考题) 已知常数 a >0，向量c =(0,a ), i =(1,0). 经过原点O 以c +λi 为方向向
量的直线与经过定点A （0，a ）以 i -2λc 为方向向量的直线相交于点P ，其中λ∈R . 试
问：是否存在两个定点E 、F ，使得|PE|+|PF|为定值. 若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由.
四. 课堂小结:
五. 课后练习
1．已知向量, 的夹角为
π
，||=2, ||=1, 则|+|⋅|-|= 3
（ ）
2．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 =+λ
A ．外心
+
λ∈[0, +∞), 则P 的轨迹一定通过△ABC 的
C ．重心
D ．垂心
B ．内心
x 2
-y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且3．设F 1，F 2是双曲线1⋅PF 2=0，则 4
|PF 1|⋅|PF 2|的值等于
A ．2
B ．22
C ．4
D ．8
（ ）
4. 如图所示，在Rt △ABC 中, ∠CAB=90°, AB=2, AC=
2
, D是线段AB 的垂直平分线上的2
一点, D 到AB 的距离为2, 过点C 的曲线E 上任一点P 满足||+||为常数.
①建立适当的坐标系, 并求出曲线E 的方程.
②过点P 的直线 l 与曲线E 相交于不同的两点M , N , 且M 点在D, N 之间, 若
DM =λDN , 求λ的取值范围.
5. 如图所示，已知圆C :(x +1) 2+y 2=8, 定点A (1, 0), M 为圆上一动点，点P 在AM 上， 点N 在CM 上，且满足AM =2AP , NP ⋅AM =0, 点N 的轨迹为曲线E.
（I ）求曲线E 的方程；
（II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），
且满足=λ，求λ的取值范围.
4．①以AB 、OD 所在直线分别为X 轴、Y 轴建立直角坐标系
|PA |+|PB |=|CA |+|CB |=22(>2), ∴动点的轨迹为以A 、B 为焦点的椭圆
x 2
a =2, c =1, b =1, ∴E :+y 2=1（4分）
2
②l 与y 轴重合，DM=1，DN=3，λ
=
DM 1
（5分） =，3DN
l 不与y 轴重合，D （0，2）令直线MN 的方程为：y =kx +2与曲线C 的方程联立得
(1+2k 2) x 2+8ks +6=0, x 1+x 2=
2
8k 6
, x x =>0（8分） 12
1+2k 21+2k 2
△=64k
3
-24(1+2k 2) >0, ∴k 2>, (9分)
2
1=
λ=
DM x M -x D x 1
==DN x N -x D x 2
（10分）
t =λ+
x 1x 2
λ
1
+
x 2x 1
=
(x 1+x 2) 2
x 1x 2
-2=
20k 2-63(1+2k )
2
∴2
λ
10111
, ∴
5. 解：（1） =2, ⋅=0.
∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.…………………………2分 又 |CN |+|NM |=22, ∴|CN |+|AN |=22>2. ∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆. 且椭圆长轴长为2a =22, 焦距2c=2. ∴a =
2, c =1, b 2=1. ……………5分
x 2
+y 2=1. ………………6分 ∴曲线E 的方程为2
（2）当直线GH 斜率存在时，
x 22
设直线GH 方程为y =kx +2, +y =1,
2
3
由∆>0得k 2>.
2
-4k 3
设G (x 1, y 1), H (x 2, y 2), 则x 1+x 2=……………………8分 , x 1x 2=
11+k 2+k 222
得(+k ) x +4kx +3=0.
2
2
1
2
又 =λ,
∴x 1=λx 2,
∴(x 1, y 1-2) =λ(x 2, y 2-2)
∴(
x 1+x 22x x 2
) =x 2=12， 1+λλ
2
∴x 1+x 2=(1+λ) x 2, x 1x 2=λx 2.
-4k 23) 11+k 2+k 2
∴=, 整理得2
λ(1+λ) (
31616
, ∴4
323+32k 2
1
∴
16(1+λ) 2
……………………10分 =
1λ3(2+1) 2k
∴4
1
k 2>
λ
+2
161
. 解得
又 0
又当直线GH 斜率不存在，方程为x =0, =
11, λ=. 33
11
∴≤λ
例1、
在R t ∆A B C 中, ∠C A B =90A , B =A 2, C =
，D 是线段AB 的垂直平分线上的一点，D 到AB 的距
离为2，过点C 的曲线E 上的任一点P 满足|PA |+|PB |为常数。
①建立适当的坐标系，并求出曲线E 方程；
②过点D 的直线l 与E 相交于不同的点M 、N ，且点M 在D 、N 之间，若DM =λDN ，求λ的
取值范围。 解：①（易判断曲线E 方程为椭圆）如右图所示，以AB 的中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系， 设椭圆方程为
x 2y 2
+=1, (a >b >0) a 2b 2
，
则2a =|PA |+|PB |=CA +CB =a =又 c =1∴b =1，故所求椭圆方程为②设l :y =kx +2，当l 与y 轴重合时，DM
x 22
+y =1 2
=1，DN =3，此时λ=
1
3
；
当l 与y 轴不重合时，设M (x 1, y 1) 、N (x 2, y 2) ，
⎧y =kx +2⎪
方法一、由⎨x 22⇒(1+2k 2) x 2+8kx +6=0
⎪+y =1⎩2
61+2k 2
∆>0∴k >
2
32
，且x 1+x 2=-
8k
, 1+2k 2
x 1⋅x 2=
⎧8k x 2=-⎪ ⎧x =λx 2(1+λ)(1+2k 2) ⎪⎪
DM =λDN , ∴(x 1, y 1) =λ(x 2, y 2-2) ，即⎨1 ∴⎨
-8k ⎪⎩y 1=λ(y 2-2) ⎪y =+222
⎪(1+λ)(1+2k ) ⎩
2
x 25λ2-8λ+3-8k 8k 23(λ+1) 22
+y 2=1 ∴y 2=又 =+2⇒=22224λ4λ-4λ(1+λ)(1+2k ) 1+2k
3
k >
2
2
3(λ+1) 2∴3
4λ
11
综上所述≤λ
评注：此方法注意到了直线与圆锥曲线相交时的充要条件，利用k 2>但运算量较大。
方法二、 M (x 1, y 1) 、N (x 2, y 2) 在椭圆E 上
⎧(λx 2) 2
⎧12+[λ(y 2-2)]2=1⎪⎪+y 1=1⎪2 ⎧⎪x =λx ⎪ ∴⎨22 又 DM =λDN , ∴(x 1, y 1) =λ(x 2, y 2-2) ，即⎨12∴⎨2
2⎪⎩y 1=λ(y 2-2) ⎪2⎪2+2=1+=1y y 22⎪⎪2⎩⎩2
2
1
3
32
来求参数λ的范围，
*
∴y 2
=
5λ2-8λ+34λ2-4λ
又∵y 2=
5λ2-8λ+34λ-4λ
1
≤1，且0
3
综上所述≤λ
评注：在方程组*中，通过消去x 2，得出y 2 与λ的关系，后借助椭圆的几何意义，比较简单的求出参数λ的范围。
⎧y =kx +2⎪
方法三、由⎨x 22⇒(1+2k 2) x 2+8kx +6=0
⎪+y =1⎩2
13
61+2k ∆>0∴k >
2
32
，且x 1+x 2=-
8k
, 1+2k x 1⋅x 2=
DM =λDN
DM x M -x D x 1
= ∴λ= =
x N -x D x 2DN
x 1x 2(x 1+x 2) 20k 2-632
-2= k >) 令μ=λ+=+= (2x 2x 1x 1⋅x 23(1+2k )
1
则2
1
λ
10
3
1
⇒
又 0
32
13
13
来求参数的范围，但构造μ=λ+
1
λ
时，比较困难。也可如右图
DM MP x ==1，下面如方法三。 所示，在∆ABC ，λ=NQ x 2DN
例2、已知中心在原点，顶点A 1、A 2（A 2为右顶点）在x
轴上，离心率为e =点P (6,6) ，动直线l 经过点(0,1)与双曲线C 交于M 、N 两点，Q 为线段MN 的中点，
①求双曲线C 的标准方程；
的双曲线C 经过
②若E 点为(1,0) ，是否存在实数λ，使EQ =λA 2P ，若存在，
求λ的值；若不存在，说明理由。
x 2y 2
解：①设双曲线的方程为2-2=1, (a >0, b >
0)
a b
36c 422
⇒b =a ∵双曲线C 经过点P (6,6) ， 即2e =
，即=
a a 333x 2y 2
∴a =9, b =12，故所求双曲线方程为-=1
912
2
2
-
36=1 b 2
②设M (x 1, y 1) 、N (x 2, y 2) 、Q (x 0, y 0) ，l :y =kx +1
⎧y =kx +1⎪222
⎨x y 2⇒(4-3k ) x -6kx -39=0⎪-=1⎩912
2
⎧⎪4-3k ≠0
∴-
⎪33⎩∆>0
又x 1+x 2=∴EQ =
6k
4-3k 2
⇒x 0=4⎫
⎪ 4-3k 2⎭
x 1+x 22
=
3k 4-3k 2
⇒y 0=
3k 44
, ) ∴Q (22
4-3k 4-3k 24-3k
⎛3k
-1,
⎝4-3k 2
∵A 2P =(3,6)
⎛3k ⎫⎛4⎫
-1⎪-3⨯ 且EQ =λA 2P ，∴6⨯ ⎪=0 2
⎝4-3k ⎭⎝4-3k 2⎭
23
2
∴k +k -2=0 即k =1或k =-2（舍）
∴EQ =(2,4) ∴2=3λ⇒λ=
所以存在λ=，使EQ =λA 2P
23