第一章 习题
题（1.1）英文字母中 e 的出现概率为 0.105，c 的出现概率为 0.023，o 的出现概率为 0.001， 试分别计算它们的自信息量（以比特为单位） 。 解：由题意可得 Ie= -log0.105=3.25bit Io= -log0.001=9.97bit Ic= -log0.023=5.44bit ∴字母 e 的自信息量是 3.25bit， 字母 c 的自信息量是 5.44bit， 字母 o 的自信息量是 9.97bit。 题（1.2）某个消息由字符 A,B,C,D 组成，已知它们的出现概率为 P ( A) =
1 3 ， P( B) = ， 8 4
P (C ) =
1 1 ， P ( D ) = ，试求由 60 个字符所构成的消息，其平均自信息量是多少比特。 4 8
H（x）= -（
解：由题意可得
3 3 1 1 1 1 log + *2*log + log ）=1.906bit 8 8 4 4 8 8
∴由 60 个字符构成的消息的平均自信息量是 1.906*60=114.36bit 题（1.3）在二进制信道中信源消息集为 X = {0,1} ，且已知出现概率 P (0) = P (1) 。信宿消 息集为 Y = {0,1} ，信道传输概率为 P (1 | 0) = 均互信息量 I ( X , Y ) 等于多少？
1 1 和 P (0 | 1) = 。试求该信道所能提供的平 4 8
1 3 4 , 4 1 1 解： ∵ PY/X= ，PX= , 2 2 7 , 1 8 8 1 3 , 1 1 4 4 9 7 ∴PY= PX *PY/X= , * , = 2 2 7 1 16 16 , 8 8
9 9 7 7 log + log ）=0.989bit 16 16 16 16 1 1 3 1 7 1 H（Y/X）= H（ ， ）+ H（ ， ）=0.678bit 2 4 4 2 8 8
∴H（Y）=-（ ∴I（X，Y）=H（Y）-H（Y/X）=0.989-0.678=0.311bit
题（1.4）在二进制对称信道中传输消息 X = {0,1} ，接收到的消息为 Y = {0,1} 。信道中的 干扰平均对每 100 个消息产生一个错误（由 0 变成 1 和由 1 变成 0） 。试求该信道所能提供 的平均互信息量，说明信道的错误传输概率对平均互信息量有何影响？ 解：PX=[0.5 ，0.5]，PY/X=
0.99, 0.01 ，PY= [ 0.5, 0.5] 0.01, 0.99
∴H（Y）=-0.5log0.5-0.5log0.5=1bit H（Y/X）=H（0.99 0.01）=0.081bit ∴平均互信息量 I（X，Y）= H（Y）- H（Y/X）=0.919bit 信道的错误传输概率越大，平均互信息量越小。 题（1.5）设信源 X 发出两个消息 x1 和 x 2 ，它们的概率分别为 P ( x1 ) = 求该信源的信息熵和冗余度。 解：∵H（X）=-
3 1 ， P ( x 2 ) = 。试 4 4
3 3 1 1 log log =0.811bit 4 4 4 4 1 1 1 1 Hmax=log log =1bit 2 2 2 2 H (X ) ∴R=1=1-0.811=0.189bit H max
故信息熵为 0.811bit，冗余度为 0.189bit
题（1.6）已知一种均匀编码信道用 5 个八进制码元组成的码组（符号）来对各个消息进行 信源编码，且已知每秒内信道能传输 100 个这样的符号，试求该信道的信道容量 C t 是多少 每秒比特数？ 解: ∵均匀信道的信道容量为 C=logr-q*log(r-1)-H(q) 3 由题意有 r=5,q=0.5 =0.125 ∴H(q)=-0.125*log0.125=0.375 ∴C=log5-0.125*log(5-1)-0.375=1.697b/s 故该信道的信道容量 Ct=100*1.697=169.7bit 题（1.7
）设信道上传输的符号集合为 {S i } ， i = 1,2,3,4,5 ，它们的时间长度分别为 t1 = 1 ，
t 2 = 2 ， t 3 = 3 ， t 4 = 4 和 t 5 = 5 个（码元持续时间） ，而用这些符号所组成的消息序列不
能出现 S1 S1 ， S 2 S 2 ， S1 S 2 和 S 2 S1 这 4 种符号相连的情况。试求： a. b. 该编码信道的信道容量是多少？ 若信源的消息集合为 {xi } ， i = 1,2,3,4,5,6,7 ，它们的出现概率分别为 P ( x1 ) =
1 ， 2
P( x2 ) =
1 1 1 1 1 ， P ( x3 ) = ， P ( x 4 ) = ， P ( x5 ) = ， P( x6 ) = P( x7 ) = 。试求利用 4 8 16 32 64
该信道来传输这些消息的传输信息速率是多少？ c. 求上述编码方法的编码效率是多少？
题（1.8）某个平均功率受限的连续信道，其带宽为 1 兆赫（MHz） ，在该带宽内存在白噪声， 接收端的功率信噪比为 10dB。试求该信道的信道容量是多少？若功率信噪比降低一半，要 达到相同的信道容量时要求信道带宽是多少？若信道带宽减少为 0.5 兆赫时要保持同样的信 道容量，要求接收端的功率信噪比是多少分贝？ 解: ① ∵SNR=10dB=10 6 6 ∴信道容量 Ct=W*ln(1+SNR)=10 *ln(1+10)=2.398*10 b/s ② ∵SNR=5dB=3.16 ∴由题意有 6 2.398*10 =W* ln(1+SNR)= W*ln(1+3.16)=1.43*W 6 ∴信道带宽 W=1.68*10 HZ ③ 由题意有 6 6 2.398*10 =0.5*10 * ln(1+SNR) ∴功率信噪比 SNR=120.025=20.8dB
题（1.9）某个通信系统内每秒可传送 10 个二进制码元，试求功率信噪比为 5 和 10 倍的条 件下，信道容量各为多少？ 解: 信道容量各为: Ct1=0.5*105*ln(1+5)=8.96*104 Ct2=0.5*105*ln(1+10)=1.20*105
5
题（1.10）已知连续信源发出的消息，在瞬时功率限于 P5 的条件下，其概率密度函数为
p( x) =
1 。试求该条件下的最大相对熵。 2 Ps
解: 由题意有 p(x)=
1 2 Ps
Hmax=-
∫
Ps
− Ps
p ( x) ln p ( x)dx =ln 2 Ps =
(
)
1 ln(4Ps)奈特 2
题（1.11）已知连续信息的平均功率为 σ ，试求它的最大相对熵。
2
解: 最大相对熵为
Hmax=-
∫
∞
−∞
p ( x ) ln p( x)dx ,p(x)=
1 x2 *exp() 2σ 2 σ 2π
即 Hmax=
1 2 ln(2πeσ ) 2
题（1.12）已知连续信息的平均幅度限制于 A，且信号为正值。试求在该条件下的最佳概率 分布和最大相对熵。 解: 由题意有 最佳概率密度为 p(x)=
1 x *exp(- ) A A
且最大相对熵为 Hmax=lnA+1=ln(eA) 奈特
第二章 习题
题(2.1) 已知 X(t)和 Y(t)两个随机过程是统计独立和平稳的， 试求 Z(t)=X(t)Y(t)的自相关 函数，并证明它也是平稳的。 解：∵X(t)和 Y(t)均为平稳随机过程且统计独立 设 E[X（t）]=m1 ，E[X（t）]=m2 2 D[X（t）]=σ1 ，D[X（t）]=σ22 RX（t，t+τ）=E[X（t）*X（t+τ）]=R1（τ） RY (t，t+τ ) =E[X（t）*X（t+τ）]=R2（τ） ∴RZ（t，t+τ） =E[Z（t）*Z（t+τ）]
=E[X（t）*Y（t）*X（t+τ）*Y（t+τ）] =E[X（t）*X（t+τ）]*E[Y（t）*Y（t+τ）] =RX
（t，t+τ）*RY（t，t+τ） =R1（τ）*R2（τ） =常数 又∵E[Z（t）] =E[X（t）*Y（t）] =E[X（t）]*E[Y（t）] =m1*m2 =常数 ∴可推知 D[Z（t）]=常数 ∴E[Z（t）]、D[Z（t）]、RZ（t，t+τ）只与时间间隔τ相关 ∴Z（t）为平稳随机过程。
θ 题(2.2) 假定上题中 Y(t)=cos( ω 0 t+ θ ),其中 ω 0 是常数， 是均匀分布在区间 （0， π ） 2
内的随机变量，试证明此时 Z(t)的自相关函数为 R z (τ ) = 证明：由上题知 RZ（τ）=RY（τ）*RX（τ） ∵RY（τ）=E[Y（t）*Y（t+τ）]
1 R X (τ ) cos ω 0τ 。 2
= = ∴ R z (τ ) =
∫
2π
0
cos( wt + θ ) cos[ w(t + τ ) + θ ]*
1 dθ 2π
1 cos wτ 2
1 R X (τ ) cos ω 0τ 2
题(2.3) 已知调制前的基带信号 f(t)为上下对称的三角波形，其均值为零，最大幅度为 ，采用调幅方式。试画出调制后的波形和用包络检波器解调后的波形。 Am 解：原始波形为：
调幅后的波形为：
经包络检波器解调后，信号不失真，波形为：
题(2.4) 已知载波频率为 1 M H Z ,幅度为 3V，用单音信号来调制，调制前的信号频率为 2 K H Z 。试写出此时调幅波和调频波的时间表达式，在调频时的最大频偏为 4 K H Z 。 解：由题意得 载波：c（t）=3cos（106 *2πt）
调制前信号：f（t）=Amcos（2000*2πt） 则调幅波： SAM（t）=[Ao+f（t）]*c（t） 6 =[Ao+Amcos（2000*2πt）]*3cos（10 *2πt） 6 =（Ao+Amcos4000πt）*3cos（2*10 πt） ∵ΔWFM=βFm*Wm ∴2π*4=βFM*2*2π即βFM=2 ∴调频波： 6 SFM（t）=3cos（2*10 πt+2sin4000πt） 题(2.6) 假定用 10 K H Z 单音信号来调制 100 M H Z 载波， 试求调幅波和调频波的有效带 宽各为多少？调频时的最大频偏为 50 K H Z 。 解：调幅波的有效带宽 BAM=2Wm=2*104*2π=40000π=125670rad 调频波： ∵βFM=ΔWFM /Wm =（50*2π）/（10*2π）=5››0.5 ∴BFM=2（βFM+1）*Wm =2*（5+1）*104*2π 4 =75.4*10 πrad 题(2.7) 已知单音调制时调频波的调频指数为 10，接收机输出信噪比要求为 50dB，信 道内噪声功率谱密度
n0 为 10−12W / H Z 。如果发端平均发射功率为 10W，试求达到上述输 2 出信噪比要求时所允许的信道衰减是多少 dB?假设调制前信号频率为 2 K H Z 。
解：由题意得 Wm=4000π，βFM=10 ∴ΔWFM=βFM*Wm=10*4000π=40000π Ni=no*ΔWFM/π -12 =10 *20000*2π*2/π -8 =8*10 W -8 8 ∴SNRiFM=10/（8*10 ）=1.25*10 =81dB ∴信道衰减为 SNRi-SNRo=81-50=31dB 题(2.8) 给定接收机的输出信噪比为 50dB，信道内噪声功率谱密度 n0 = 10−10W / H Z ，
单音调制信号频率为 10 K H Z 。试求： a. 在用 90%调幅指数时，需要调幅波的输入信噪比和载波幅度为多少？ b. 在用最大频偏为 75 K H Z 调频时，需要调频波的输入信噪比和载波幅度为多少？ 解: ① ∵SNRo=
SNRi, SNRi ≫ o 2 SNRi, SNRi ≪ 0
∴输入信噪比 SNRi=SNRo=50dB
又∵SNRo=
2 2
π f 2 (t )
No × Wm
即
π f 2 (t )
10
−10
× 10 × 2π
4
=50dB=10
5
∴Ao =f (t)=0.2 即 Ao=0.447 ∴载波幅度为 Am=Ao*90%=0.447*0.9=0.402 ② ∵βm=
∆W 75 = =7.5 Wm 10
3 3
∴GFM=3βm =3*7.5 =1265.625 5 又∵SNRo =50dB=10
SNRo 105 ∴SNRi= = =79.012=18.98dB G 1265.625
由 SNRi=
π Ao 2
2 No × ∆W
=
π Ao2
2 × 10−10 × 75000 × 2π
得
载波幅度 Ao=0.049
第三章 习题
题（3.1） 已知 8 进制数字信号的传输速率为每秒 1600 波特，试求变换成二进制信号后 的传输速率是每秒多少比特？反之，如果二进制数字信号的传输速率是 2400 比特/秒，则变 换成 4 进制信号后的传输速率是每秒多少波特？ 解：设 Rx 表示 x 进制的传输速率 ∴R2=R8*log28=1600*3=4800bit/s ∴R4=R2/log24=2400/2=1200 波特/s 题（3.2） 已知语音信号用频率 8KHz 取样，每个样值以 8 比特来量化，然后再用 32 路 进行复用。试求在误码率为 10-5 情况下每分钟的误码总数等于多少个？ 解：每秒钟的信号总数为： 8*103*8*32=2048000 ∴由题意，每分钟的误码总数为： 2048000*60*10-5=1228.8 题（3.3） 已知基带数字信号在理想低同信道内传输的频带利用率为 2bit / s ⋅ H Z ，若改用 4 进制码元来传输，则相应的最高频带利用率是多少？ 解：η=2*log2M 其中 M 为所采取的码元进制 η4=2*log24=4bit/S.HZ 即用 4 进制码元来传输时，相应的最高频带利用率为 4bit/s.HZ。 题（3.4） 已知基带数字信号中出现信号 1 的概率为 q 出现信号 0 的概率为 p 并且接收端 的噪声功率为 σn 2，信号采用单极性码，即 A1 = A 和 A0 = 0 。试求使得误码率为最小时的最 佳门限电平是多少？ 解：由题意
PSE=p.
∫
∞
vb
p0( y )dy ，PME=q.
∫
vb
−∞
p1( y )dy
∴PE= PSE+ PME= p.
∫
∞
vb
p0( y )dy + q.
∫
vb
−∞
p1( y )dy
对其两边求导得：p.p0（vb0）=q.p1（vb0） 化简得最佳门限电平为：vb0=
σ n2
A
*ln
p A + q 2
题（3.5） 已知基带数字信号的峰—峰电压皆为 1V，要求误码率在 10-3 以下。若分别采 用单极性码和双极性码来传输，试求允许接收端的噪声功率各为多少？ 解：A=1V 当误码率在 10-3 时，单极性码的 rs=13dB，双极性码的 rd=10dB 即 rs=19.95，rd=10 由 rs=
A2 得σn2=A2/2rs=1/（2*19.95）=0.0251 2σ n 2 A2 得σn2=A2/4rd=1/（4*10）=0.025 4σ n 2
由 rd=
题（3.6） 已知在幅移键控系统内发送信号 1 的幅度是 5V，接收端的噪声平均功率为
3 × 10−12 W，并且发送信号 1 和信号 0 的概率是相等的。在接收机内已经设置好最佳门限电
平，试求在误码率小于 10−4 条件下分别采用相干和非相干解调时容许的信道衰减量应该各 为多少 dB 值？ 解：∵r=A2/2σn2=52/（2*3*10-12） ∴10lgr=126dB 又∵单极码调制 -4 相干解调 Pe=0.5*erfc（√rs）/2≤10 rs=14dB ∴信道衰减：126
-14=112dB -rs/4 -4 非相干解调 Pe=0.5e ≤10 ∴rs≥15.3dB ∴信道衰减：126-15.3=110.7dB 题（3.7） 已知在频移键控系统内，发送信号的电压幅度是 2V，信道衰减量是 100dB， 噪声平均功率是 4 × 10−12 W。试求在相干和非相干解调时的误码率个为多少？ 解：ri=A2/2σn2=22/（2*4*10-12）=117dB ∴rs=117-100=17dB=50 相干解调时 Pe=0.5erfc（√rs/2）=0.5erfc（5） 非相干解调时
Pe=0.5e
-rs/2
=0.5e =6.9*10
-25
-12
题（3.8） 假设接收端信噪比的变化范围是 5≤γ≤15，试求在采用绝对相移键控、相干解 调和差分相移键控、差分相干解调时的误码率范围各为多少？ 解：绝对相移键控时 Pe=0.5erfc（√r） ∴Pe∈[0.5erfc√15，0.5erfc√5] 相干解调和差分相移键控时 Pe=erfc（√r） ∴Pe∈[erfc√15，erfc√5] -r 差分相干解调时 Pe=0.5e -5 -3 -15 -7 0.5e =3.37*10 ，0.5e =1.53*10 -7 -3 ∴Pe∈[1.53*10 ，3.37*10 ]
题（3.9） 假设采用 32 进制数字信号，其最大幅度是 31V，最小幅度是零。现在改用 k 位二进制码元来调制，其中信号 1 对应于 15，信号 0 为零，并已知信号 1 和 0 等概率出现。 试求它们的平均功率之比是多少？ 解：P32=（02+12+…+312）/32=325.5 P2=（152+02）/2=112.5 ∴平均功率之比为 P32/P2=325.5/112.5=2.89
第一章 习题
题（1.1）英文字母中 e 的出现概率为 0.105，c 的出现概率为 0.023，o 的出现概率为 0.001， 试分别计算它们的自信息量（以比特为单位） 。 解：由题意可得 Ie= -log0.105=3.25bit Io= -log0.001=9.97bit Ic= -log0.023=5.44bit ∴字母 e 的自信息量是 3.25bit， 字母 c 的自信息量是 5.44bit， 字母 o 的自信息量是 9.97bit。 题（1.2）某个消息由字符 A,B,C,D 组成，已知它们的出现概率为 P ( A) =
1 3 ， P( B) = ， 8 4
P (C ) =
1 1 ， P ( D ) = ，试求由 60 个字符所构成的消息，其平均自信息量是多少比特。 4 8
H（x）= -（
解：由题意可得
3 3 1 1 1 1 log + *2*log + log ）=1.906bit 8 8 4 4 8 8
∴由 60 个字符构成的消息的平均自信息量是 1.906*60=114.36bit 题（1.3）在二进制信道中信源消息集为 X = {0,1} ，且已知出现概率 P (0) = P (1) 。信宿消 息集为 Y = {0,1} ，信道传输概率为 P (1 | 0) = 均互信息量 I ( X , Y ) 等于多少？
1 1 和 P (0 | 1) = 。试求该信道所能提供的平 4 8
1 3 4 , 4 1 1 解： ∵ PY/X= ，PX= , 2 2 7 , 1 8 8 1 3 , 1 1 4 4 9 7 ∴PY= PX *PY/X= , * , = 2 2 7 1 16 16 , 8 8
9 9 7 7 log + log ）=0.989bit 16 16 16 16 1 1 3 1 7 1 H（Y/X）= H（ ， ）+ H（ ， ）=0.678bit 2 4 4 2 8 8
∴H（Y）=-（ ∴I（X，Y）=H（Y）-H（Y/X）=0.989-0.678=0.311bit
题（1.4）在二进制对称信道中传输消息 X = {0,1} ，接收到的消息为 Y = {0,1} 。信道中的 干扰平均对每 100 个消息产生一个错误（由 0 变成 1 和由 1 变成 0） 。试求该信道所能提供 的平均互信息量，说明信道的错误传输概率对平均互信息量有何影响？ 解：PX=[0.5 ，0.5]，PY/X=
0.99, 0.01 ，PY= [ 0.5, 0.5] 0.01, 0.99
∴H（Y）=-0.5log0.5-0.5log0.5=1bit H（Y/X）=H（0.99 0.01）=0.081bit ∴平均互信息量 I（X，Y）= H（Y）- H（Y/X）=0.919bit 信道的错误传输概率越大，平均互信息量越小。 题（1.5）设信源 X 发出两个消息 x1 和 x 2 ，它们的概率分别为 P ( x1 ) = 求该信源的信息熵和冗余度。 解：∵H（X）=-
3 1 ， P ( x 2 ) = 。试 4 4
3 3 1 1 log log =0.811bit 4 4 4 4 1 1 1 1 Hmax=log log =1bit 2 2 2 2 H (X ) ∴R=1=1-0.811=0.189bit H max
故信息熵为 0.811bit，冗余度为 0.189bit
题（1.6）已知一种均匀编码信道用 5 个八进制码元组成的码组（符号）来对各个消息进行 信源编码，且已知每秒内信道能传输 100 个这样的符号，试求该信道的信道容量 C t 是多少 每秒比特数？ 解: ∵均匀信道的信道容量为 C=logr-q*log(r-1)-H(q) 3 由题意有 r=5,q=0.5 =0.125 ∴H(q)=-0.125*log0.125=0.375 ∴C=log5-0.125*log(5-1)-0.375=1.697b/s 故该信道的信道容量 Ct=100*1.697=169.7bit 题（1.7
）设信道上传输的符号集合为 {S i } ， i = 1,2,3,4,5 ，它们的时间长度分别为 t1 = 1 ，
t 2 = 2 ， t 3 = 3 ， t 4 = 4 和 t 5 = 5 个（码元持续时间） ，而用这些符号所组成的消息序列不
能出现 S1 S1 ， S 2 S 2 ， S1 S 2 和 S 2 S1 这 4 种符号相连的情况。试求： a. b. 该编码信道的信道容量是多少？ 若信源的消息集合为 {xi } ， i = 1,2,3,4,5,6,7 ，它们的出现概率分别为 P ( x1 ) =
1 ， 2
P( x2 ) =
1 1 1 1 1 ， P ( x3 ) = ， P ( x 4 ) = ， P ( x5 ) = ， P( x6 ) = P( x7 ) = 。试求利用 4 8 16 32 64
该信道来传输这些消息的传输信息速率是多少？ c. 求上述编码方法的编码效率是多少？
题（1.8）某个平均功率受限的连续信道，其带宽为 1 兆赫（MHz） ，在该带宽内存在白噪声， 接收端的功率信噪比为 10dB。试求该信道的信道容量是多少？若功率信噪比降低一半，要 达到相同的信道容量时要求信道带宽是多少？若信道带宽减少为 0.5 兆赫时要保持同样的信 道容量，要求接收端的功率信噪比是多少分贝？ 解: ① ∵SNR=10dB=10 6 6 ∴信道容量 Ct=W*ln(1+SNR)=10 *ln(1+10)=2.398*10 b/s ② ∵SNR=5dB=3.16 ∴由题意有 6 2.398*10 =W* ln(1+SNR)= W*ln(1+3.16)=1.43*W 6 ∴信道带宽 W=1.68*10 HZ ③ 由题意有 6 6 2.398*10 =0.5*10 * ln(1+SNR) ∴功率信噪比 SNR=120.025=20.8dB
题（1.9）某个通信系统内每秒可传送 10 个二进制码元，试求功率信噪比为 5 和 10 倍的条 件下，信道容量各为多少？ 解: 信道容量各为: Ct1=0.5*105*ln(1+5)=8.96*104 Ct2=0.5*105*ln(1+10)=1.20*105
5
题（1.10）已知连续信源发出的消息，在瞬时功率限于 P5 的条件下，其概率密度函数为
p( x) =
1 。试求该条件下的最大相对熵。 2 Ps
解: 由题意有 p(x)=
1 2 Ps
Hmax=-
∫
Ps
− Ps
p ( x) ln p ( x)dx =ln 2 Ps =
(
)
1 ln(4Ps)奈特 2
题（1.11）已知连续信息的平均功率为 σ ，试求它的最大相对熵。
2
解: 最大相对熵为
Hmax=-
∫
∞
−∞
p ( x ) ln p( x)dx ,p(x)=
1 x2 *exp() 2σ 2 σ 2π
即 Hmax=
1 2 ln(2πeσ ) 2
题（1.12）已知连续信息的平均幅度限制于 A，且信号为正值。试求在该条件下的最佳概率 分布和最大相对熵。 解: 由题意有 最佳概率密度为 p(x)=
1 x *exp(- ) A A
且最大相对熵为 Hmax=lnA+1=ln(eA) 奈特
第二章 习题
题(2.1) 已知 X(t)和 Y(t)两个随机过程是统计独立和平稳的， 试求 Z(t)=X(t)Y(t)的自相关 函数，并证明它也是平稳的。 解：∵X(t)和 Y(t)均为平稳随机过程且统计独立 设 E[X（t）]=m1 ，E[X（t）]=m2 2 D[X（t）]=σ1 ，D[X（t）]=σ22 RX（t，t+τ）=E[X（t）*X（t+τ）]=R1（τ） RY (t，t+τ ) =E[X（t）*X（t+τ）]=R2（τ） ∴RZ（t，t+τ） =E[Z（t）*Z（t+τ）]
=E[X（t）*Y（t）*X（t+τ）*Y（t+τ）] =E[X（t）*X（t+τ）]*E[Y（t）*Y（t+τ）] =RX
（t，t+τ）*RY（t，t+τ） =R1（τ）*R2（τ） =常数 又∵E[Z（t）] =E[X（t）*Y（t）] =E[X（t）]*E[Y（t）] =m1*m2 =常数 ∴可推知 D[Z（t）]=常数 ∴E[Z（t）]、D[Z（t）]、RZ（t，t+τ）只与时间间隔τ相关 ∴Z（t）为平稳随机过程。
θ 题(2.2) 假定上题中 Y(t)=cos( ω 0 t+ θ ),其中 ω 0 是常数， 是均匀分布在区间 （0， π ） 2
内的随机变量，试证明此时 Z(t)的自相关函数为 R z (τ ) = 证明：由上题知 RZ（τ）=RY（τ）*RX（τ） ∵RY（τ）=E[Y（t）*Y（t+τ）]
1 R X (τ ) cos ω 0τ 。 2
= = ∴ R z (τ ) =
∫
2π
0
cos( wt + θ ) cos[ w(t + τ ) + θ ]*
1 dθ 2π
1 cos wτ 2
1 R X (τ ) cos ω 0τ 2
题(2.3) 已知调制前的基带信号 f(t)为上下对称的三角波形，其均值为零，最大幅度为 ，采用调幅方式。试画出调制后的波形和用包络检波器解调后的波形。 Am 解：原始波形为：
调幅后的波形为：
经包络检波器解调后，信号不失真，波形为：
题(2.4) 已知载波频率为 1 M H Z ,幅度为 3V，用单音信号来调制，调制前的信号频率为 2 K H Z 。试写出此时调幅波和调频波的时间表达式，在调频时的最大频偏为 4 K H Z 。 解：由题意得 载波：c（t）=3cos（106 *2πt）
调制前信号：f（t）=Amcos（2000*2πt） 则调幅波： SAM（t）=[Ao+f（t）]*c（t） 6 =[Ao+Amcos（2000*2πt）]*3cos（10 *2πt） 6 =（Ao+Amcos4000πt）*3cos（2*10 πt） ∵ΔWFM=βFm*Wm ∴2π*4=βFM*2*2π即βFM=2 ∴调频波： 6 SFM（t）=3cos（2*10 πt+2sin4000πt） 题(2.6) 假定用 10 K H Z 单音信号来调制 100 M H Z 载波， 试求调幅波和调频波的有效带 宽各为多少？调频时的最大频偏为 50 K H Z 。 解：调幅波的有效带宽 BAM=2Wm=2*104*2π=40000π=125670rad 调频波： ∵βFM=ΔWFM /Wm =（50*2π）/（10*2π）=5››0.5 ∴BFM=2（βFM+1）*Wm =2*（5+1）*104*2π 4 =75.4*10 πrad 题(2.7) 已知单音调制时调频波的调频指数为 10，接收机输出信噪比要求为 50dB，信 道内噪声功率谱密度
n0 为 10−12W / H Z 。如果发端平均发射功率为 10W，试求达到上述输 2 出信噪比要求时所允许的信道衰减是多少 dB?假设调制前信号频率为 2 K H Z 。
解：由题意得 Wm=4000π，βFM=10 ∴ΔWFM=βFM*Wm=10*4000π=40000π Ni=no*ΔWFM/π -12 =10 *20000*2π*2/π -8 =8*10 W -8 8 ∴SNRiFM=10/（8*10 ）=1.25*10 =81dB ∴信道衰减为 SNRi-SNRo=81-50=31dB 题(2.8) 给定接收机的输出信噪比为 50dB，信道内噪声功率谱密度 n0 = 10−10W / H Z ，
单音调制信号频率为 10 K H Z 。试求： a. 在用 90%调幅指数时，需要调幅波的输入信噪比和载波幅度为多少？ b. 在用最大频偏为 75 K H Z 调频时，需要调频波的输入信噪比和载波幅度为多少？ 解: ① ∵SNRo=
SNRi, SNRi ≫ o 2 SNRi, SNRi ≪ 0
∴输入信噪比 SNRi=SNRo=50dB
又∵SNRo=
2 2
π f 2 (t )
No × Wm
即
π f 2 (t )
10
−10
× 10 × 2π
4
=50dB=10
5
∴Ao =f (t)=0.2 即 Ao=0.447 ∴载波幅度为 Am=Ao*90%=0.447*0.9=0.402 ② ∵βm=
∆W 75 = =7.5 Wm 10
3 3
∴GFM=3βm =3*7.5 =1265.625 5 又∵SNRo =50dB=10
SNRo 105 ∴SNRi= = =79.012=18.98dB G 1265.625
由 SNRi=
π Ao 2
2 No × ∆W
=
π Ao2
2 × 10−10 × 75000 × 2π
得
载波幅度 Ao=0.049
第三章 习题
题（3.1） 已知 8 进制数字信号的传输速率为每秒 1600 波特，试求变换成二进制信号后 的传输速率是每秒多少比特？反之，如果二进制数字信号的传输速率是 2400 比特/秒，则变 换成 4 进制信号后的传输速率是每秒多少波特？ 解：设 Rx 表示 x 进制的传输速率 ∴R2=R8*log28=1600*3=4800bit/s ∴R4=R2/log24=2400/2=1200 波特/s 题（3.2） 已知语音信号用频率 8KHz 取样，每个样值以 8 比特来量化，然后再用 32 路 进行复用。试求在误码率为 10-5 情况下每分钟的误码总数等于多少个？ 解：每秒钟的信号总数为： 8*103*8*32=2048000 ∴由题意，每分钟的误码总数为： 2048000*60*10-5=1228.8 题（3.3） 已知基带数字信号在理想低同信道内传输的频带利用率为 2bit / s ⋅ H Z ，若改用 4 进制码元来传输，则相应的最高频带利用率是多少？ 解：η=2*log2M 其中 M 为所采取的码元进制 η4=2*log24=4bit/S.HZ 即用 4 进制码元来传输时，相应的最高频带利用率为 4bit/s.HZ。 题（3.4） 已知基带数字信号中出现信号 1 的概率为 q 出现信号 0 的概率为 p 并且接收端 的噪声功率为 σn 2，信号采用单极性码，即 A1 = A 和 A0 = 0 。试求使得误码率为最小时的最 佳门限电平是多少？ 解：由题意
PSE=p.
∫
∞
vb
p0( y )dy ，PME=q.
∫
vb
−∞
p1( y )dy
∴PE= PSE+ PME= p.
∫
∞
vb
p0( y )dy + q.
∫
vb
−∞
p1( y )dy
对其两边求导得：p.p0（vb0）=q.p1（vb0） 化简得最佳门限电平为：vb0=
σ n2
A
*ln
p A + q 2
题（3.5） 已知基带数字信号的峰—峰电压皆为 1V，要求误码率在 10-3 以下。若分别采 用单极性码和双极性码来传输，试求允许接收端的噪声功率各为多少？ 解：A=1V 当误码率在 10-3 时，单极性码的 rs=13dB，双极性码的 rd=10dB 即 rs=19.95，rd=10 由 rs=
A2 得σn2=A2/2rs=1/（2*19.95）=0.0251 2σ n 2 A2 得σn2=A2/4rd=1/（4*10）=0.025 4σ n 2
由 rd=
题（3.6） 已知在幅移键控系统内发送信号 1 的幅度是 5V，接收端的噪声平均功率为
3 × 10−12 W，并且发送信号 1 和信号 0 的概率是相等的。在接收机内已经设置好最佳门限电
平，试求在误码率小于 10−4 条件下分别采用相干和非相干解调时容许的信道衰减量应该各 为多少 dB 值？ 解：∵r=A2/2σn2=52/（2*3*10-12） ∴10lgr=126dB 又∵单极码调制 -4 相干解调 Pe=0.5*erfc（√rs）/2≤10 rs=14dB ∴信道衰减：126
-14=112dB -rs/4 -4 非相干解调 Pe=0.5e ≤10 ∴rs≥15.3dB ∴信道衰减：126-15.3=110.7dB 题（3.7） 已知在频移键控系统内，发送信号的电压幅度是 2V，信道衰减量是 100dB， 噪声平均功率是 4 × 10−12 W。试求在相干和非相干解调时的误码率个为多少？ 解：ri=A2/2σn2=22/（2*4*10-12）=117dB ∴rs=117-100=17dB=50 相干解调时 Pe=0.5erfc（√rs/2）=0.5erfc（5） 非相干解调时
Pe=0.5e
-rs/2
=0.5e =6.9*10
-25
-12
题（3.8） 假设接收端信噪比的变化范围是 5≤γ≤15，试求在采用绝对相移键控、相干解 调和差分相移键控、差分相干解调时的误码率范围各为多少？ 解：绝对相移键控时 Pe=0.5erfc（√r） ∴Pe∈[0.5erfc√15，0.5erfc√5] 相干解调和差分相移键控时 Pe=erfc（√r） ∴Pe∈[erfc√15，erfc√5] -r 差分相干解调时 Pe=0.5e -5 -3 -15 -7 0.5e =3.37*10 ，0.5e =1.53*10 -7 -3 ∴Pe∈[1.53*10 ，3.37*10 ]
题（3.9） 假设采用 32 进制数字信号，其最大幅度是 31V，最小幅度是零。现在改用 k 位二进制码元来调制，其中信号 1 对应于 15，信号 0 为零，并已知信号 1 和 0 等概率出现。 试求它们的平均功率之比是多少？ 解：P32=（02+12+…+312）/32=325.5 P2=（152+02）/2=112.5 ∴平均功率之比为 P32/P2=325.5/112.5=2.89