第24章 《圆》整章知识点归纳
第一节 圆的有关性质
知识点一：圆的定义
1、圆可以看作是到定点（圆心O ）的距离等于定长（半径r ）的点的集合.
2、圆的特征
（1）圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径）. （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上. 注意：（1）圆指的是圆周，即一条封闭的曲线，而不是圆面.
（2）“圆上的点”指圆周上的点，圆心不在圆周上.
知识点二：圆的相关概念
1、弦与直径：连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.
2、弧、半圆、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 大于半圆的弧（用三个点表示）叫优弧；小于半圆的弧叫做劣弧．如劣弧 AB ，优弧 ACB
注意：半圆是弧，但弧不一定是半圆. 半圆既不是优弧，也不是劣弧. ．．．．．．．．．．．．．
3、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.
4、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
知识点三：圆的对称性
1、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. ．．．．．．．
注意：（1）圆的对称轴有无数条
（2）因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成“圆的对称轴是经过圆心的直线”.
2、圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心，不仅如此，把圆绕圆心旋转任意一个
角度，所得的图形都与原图形重合（圆的旋转不变性）.
知识点四：垂径定理及推论（重点）
1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 如图，AB 是⊙O 的
， =DB 直径，CD 是⊙O 的弦，AB 交CD 于点E ，若AB ⊥CD ，则CE =DE ，CB AD AC =
注意：（1）这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”. （2）垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍成立.
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2、垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 如图1：CD 是非直径的弦，AB 是直径，若CE =DE ，则AB ⊥CD ，CB =DB ，AC =AD . 注意：被平分的弦不是直径，因为直径是弦，两直径互相平分，结论就不成立，如图2 直径AB 平分CD ，但AB 不垂直于CD .
图1
重点剖析
图2
知识点五：弧、弦、圆心角之间的关系（重点、难点）
1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，
. 所对的弧也相等. 如图，在⊙O 中，若∠AOB =∠COD ，则AB =CD ， AB =CD
2、推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.
定理和推论可概括为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等. （圆心角、弧、弦关系定理）
知识点六：圆周角定理及其推论
1、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 1
如图：∠CAB =COB
2
2、圆周角定理的推论：
（1）同弧或等弧所对的圆周角相等.
（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. A 如图，若AB 为直径，则∠C =90°
；若∠C 为90°，则AB 是直径. 知识点七：圆内接多边形
1、圆的内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补.
∠A +∠C =180°，∠B
+∠D =180°
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第二节 点和圆、直线和圆的位置关系
知识点一：圆的确定
1、过一点作圆：只要以点A 外的任意一点
为圆心，以这一点与点A 的距离为半径作圆就可以 作出，这样的圆有无数个.
2、过两点作圆：经过两个点A ，B 作圆，只要以线段 AB 垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点与点A 或 点B 的距离为半径作圆就可以，这样有圆也有无数个.
3、过不在同一直线上的三点作圆：过不在同一直线上的 三点A 、B 、C 作圆，圆心到这三个点的距离相等，因此， 圆心在线段AB ，AC 的垂直平分线的交点O 处，以O 为 圆心，以OA （或OB ，OC ）为半径可作出经过A 、B 、C 三点的圆，这样的圆有且只有一个. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆
4、要想过四点作圆，应先作出经过不在同一条直线上的三点的圆，如果第四到圆心的距离等于半径，则第四个点在圆上，否则不在圆上.
方法归纳：确定一个圆的圆心的方法，只需作出此圆任意两条弦的垂直平分线，其交点就是圆心.
知识点二：三角形的外接圆
1、三角形的外接圆：经过三角形三个项点可以作一个圆， 2、这个圆叫做三角形的外接圆.
3、三角形的外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边 的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心，如图：⊙O 是 △ABC 的外接圆，点
O 是△ABC 的外心.
（1）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于外接圆的半径. （2）一个三角形有且只有一个外接圆，而一个圆却有无数个内接三角形
.
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（3）三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心是斜边中点.
知识点三：反证法：
（1）假设命题的结论不成立
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确.
知识点四：直线和圆的位置关系
1、直线与圆相离 ⇔ d >r ⇔ 直线与圆无交点； 2、直线与圆相切 ⇔ d =r ⇔ 直线与圆有一个交点； 3、直线与圆相交 ⇔ d
l
知识点五：切线的性质与判定定理
l
l
1、切线的判定定理： （1）两个条件：①过半径外端；②垂直半径，二者缺一不可
即：∵MN ⊥OA ，MN 过半径OA 外端
∴MN 是⊙O 的切线 （2）切线判定方法：
（1）数量关系：若圆心到直线的距离d 等于半径r ，则直线是圆的切线. （2）切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
提示：在判定切线时，往往需要添加辅助线（连半径证垂直或作垂直证半径）. 2、切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点. 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心. 以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出第三个.
知识点六：切线长定理
切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 即：∵P A 、PB 是⊙O 的两条切线
P ∴P A =PB ，PO 平分∠BP A
知识点七：三角形的内切圆
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与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫
做三角形的内心.
三角形的外接圆与内切圆以及外心与内心的对比
第三节 正多边形和圆
知识点一：正多边形的定义及其相关概念
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
b
C
r=
B
a+b-c
2
我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形的每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距.
知识点二：与正多边形的有关计算
(n -2) ∙180︒360︒
=180︒-（1）正n 边形的每个内角为
n n 360︒
（2）正n 边形的每个中心角为
n 360︒
（3）正n 边形的每个外角为
n
半径R
边心距r 中心角α
⎛1⎫
（4）正n 边形的半径R 、边心距r 、边长a 之间的关系为 a ⎪+r 2=R 2
⎝2⎭
（5）正n 边形的边长a 、边心距r 、周长l ，面积S 之间的关系为l =na ，s =
2
1rl 2
知识点三：正多边形与圆的关系
（1）把圆分成n （n ≥3）等份，①依次连接各分点所得的多边形就是这个圆的内接正n 边形；②经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形.
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（2）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
知识点四：正多边形的性质
1、正多边形的各边相等，各角相等.
2、正多边形都是轴对称图形，几边形就有几条对称轴，边数为偶数的正多边形也是中心对称图形. 3、正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形.
注意：正多边形都有一个外接圆，而圆有无数个内接正多边形.
第四节 弧长和扇形面积
知识点一：弧长公式：l =
n πR
180
在半径为R 的圆中，因为360° 的圆心角所对的弧长就是圆周长C =2πR ，所以1°的圆心角所对的弧长是
2πR πR n πR
，即，于是n ︒的圆心角所对的弧长为l = 360180180
注意：在弧长公式中，n 和180都不带单位“度”.
知识点二：扇形面积公式： S 扇形
n πR 21
==lR （其中l 为扇形的弧长，R 为半径） 3602
2
在半径为R 的圆中，因为360° 的圆心角所对的扇形面积S =πR ，所以圆心角是1°的扇形面积
是
πR 2
360
，于是圆心角为n ︒的扇形面积是S 扇形
n πR 2
= 360
知识点三：圆锥的有关概念
1、圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段 叫做圆锥的母线，如图，线段P A 、PB 是圆锥的两条母线. 2、圆锥的侧面积和全面积
A
如图，设圆锥的底面圆的半径为r ，母线长为R ，那么这个这个扇形的半径为R ，扇形的弧长为
1
2πr ，因此圆锥的侧面积公式：S 侧=(2πr ) ·R =πRr
2 圆锥的全面积公式：S 全=S 侧+S 底=πRr +πr
注意：在计算圆锥的侧面积时，要注意各元素之间的对应关系，千万不要错认为圆锥底面圆的半径等于扇形半径或把母线当成扇形的弧长.
2
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第24章 《圆》整章知识点归纳
第一节 圆的有关性质
知识点一：圆的定义
1、圆可以看作是到定点（圆心O ）的距离等于定长（半径r ）的点的集合.
2、圆的特征
（1）圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径）. （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上. 注意：（1）圆指的是圆周，即一条封闭的曲线，而不是圆面.
（2）“圆上的点”指圆周上的点，圆心不在圆周上.
知识点二：圆的相关概念
1、弦与直径：连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.
2、弧、半圆、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 大于半圆的弧（用三个点表示）叫优弧；小于半圆的弧叫做劣弧．如劣弧 AB ，优弧 ACB
注意：半圆是弧，但弧不一定是半圆. 半圆既不是优弧，也不是劣弧. ．．．．．．．．．．．．．
3、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.
4、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
知识点三：圆的对称性
1、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. ．．．．．．．
注意：（1）圆的对称轴有无数条
（2）因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成“圆的对称轴是经过圆心的直线”.
2、圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心，不仅如此，把圆绕圆心旋转任意一个
角度，所得的图形都与原图形重合（圆的旋转不变性）.
知识点四：垂径定理及推论（重点）
1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 如图，AB 是⊙O 的
， =DB 直径，CD 是⊙O 的弦，AB 交CD 于点E ，若AB ⊥CD ，则CE =DE ，CB AD AC =
注意：（1）这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”. （2）垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍成立.
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2、垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 如图1：CD 是非直径的弦，AB 是直径，若CE =DE ，则AB ⊥CD ，CB =DB ，AC =AD . 注意：被平分的弦不是直径，因为直径是弦，两直径互相平分，结论就不成立，如图2 直径AB 平分CD ，但AB 不垂直于CD .
图1
重点剖析
图2
知识点五：弧、弦、圆心角之间的关系（重点、难点）
1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，
. 所对的弧也相等. 如图，在⊙O 中，若∠AOB =∠COD ，则AB =CD ， AB =CD
2、推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.
定理和推论可概括为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等. （圆心角、弧、弦关系定理）
知识点六：圆周角定理及其推论
1、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 1
如图：∠CAB =COB
2
2、圆周角定理的推论：
（1）同弧或等弧所对的圆周角相等.
（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. A 如图，若AB 为直径，则∠C =90°
；若∠C 为90°，则AB 是直径. 知识点七：圆内接多边形
1、圆的内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补.
∠A +∠C =180°，∠B
+∠D =180°
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第二节 点和圆、直线和圆的位置关系
知识点一：圆的确定
1、过一点作圆：只要以点A 外的任意一点
为圆心，以这一点与点A 的距离为半径作圆就可以 作出，这样的圆有无数个.
2、过两点作圆：经过两个点A ，B 作圆，只要以线段 AB 垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点与点A 或 点B 的距离为半径作圆就可以，这样有圆也有无数个.
3、过不在同一直线上的三点作圆：过不在同一直线上的 三点A 、B 、C 作圆，圆心到这三个点的距离相等，因此， 圆心在线段AB ，AC 的垂直平分线的交点O 处，以O 为 圆心，以OA （或OB ，OC ）为半径可作出经过A 、B 、C 三点的圆，这样的圆有且只有一个. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆
4、要想过四点作圆，应先作出经过不在同一条直线上的三点的圆，如果第四到圆心的距离等于半径，则第四个点在圆上，否则不在圆上.
方法归纳：确定一个圆的圆心的方法，只需作出此圆任意两条弦的垂直平分线，其交点就是圆心.
知识点二：三角形的外接圆
1、三角形的外接圆：经过三角形三个项点可以作一个圆， 2、这个圆叫做三角形的外接圆.
3、三角形的外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边 的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心，如图：⊙O 是 △ABC 的外接圆，点
O 是△ABC 的外心.
（1）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于外接圆的半径. （2）一个三角形有且只有一个外接圆，而一个圆却有无数个内接三角形
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（3）三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心是斜边中点.
知识点三：反证法：
（1）假设命题的结论不成立
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确.
知识点四：直线和圆的位置关系
1、直线与圆相离 ⇔ d >r ⇔ 直线与圆无交点； 2、直线与圆相切 ⇔ d =r ⇔ 直线与圆有一个交点； 3、直线与圆相交 ⇔ d
l
知识点五：切线的性质与判定定理
l
l
1、切线的判定定理： （1）两个条件：①过半径外端；②垂直半径，二者缺一不可
即：∵MN ⊥OA ，MN 过半径OA 外端
∴MN 是⊙O 的切线 （2）切线判定方法：
（1）数量关系：若圆心到直线的距离d 等于半径r ，则直线是圆的切线. （2）切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
提示：在判定切线时，往往需要添加辅助线（连半径证垂直或作垂直证半径）. 2、切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点. 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心. 以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出第三个.
知识点六：切线长定理
切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 即：∵P A 、PB 是⊙O 的两条切线
P ∴P A =PB ，PO 平分∠BP A
知识点七：三角形的内切圆
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与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫
做三角形的内心.
三角形的外接圆与内切圆以及外心与内心的对比
第三节 正多边形和圆
知识点一：正多边形的定义及其相关概念
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
b
C
r=
B
a+b-c
2
我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形的每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距.
知识点二：与正多边形的有关计算
(n -2) ∙180︒360︒
=180︒-（1）正n 边形的每个内角为
n n 360︒
（2）正n 边形的每个中心角为
n 360︒
（3）正n 边形的每个外角为
n
半径R
边心距r 中心角α
⎛1⎫
（4）正n 边形的半径R 、边心距r 、边长a 之间的关系为 a ⎪+r 2=R 2
⎝2⎭
（5）正n 边形的边长a 、边心距r 、周长l ，面积S 之间的关系为l =na ，s =
2
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知识点三：正多边形与圆的关系
（1）把圆分成n （n ≥3）等份，①依次连接各分点所得的多边形就是这个圆的内接正n 边形；②经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形.
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（2）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
知识点四：正多边形的性质
1、正多边形的各边相等，各角相等.
2、正多边形都是轴对称图形，几边形就有几条对称轴，边数为偶数的正多边形也是中心对称图形. 3、正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形.
注意：正多边形都有一个外接圆，而圆有无数个内接正多边形.
第四节 弧长和扇形面积
知识点一：弧长公式：l =
n πR
180
在半径为R 的圆中，因为360° 的圆心角所对的弧长就是圆周长C =2πR ，所以1°的圆心角所对的弧长是
2πR πR n πR
，即，于是n ︒的圆心角所对的弧长为l = 360180180
注意：在弧长公式中，n 和180都不带单位“度”.
知识点二：扇形面积公式： S 扇形
n πR 21
==lR （其中l 为扇形的弧长，R 为半径） 3602
2
在半径为R 的圆中，因为360° 的圆心角所对的扇形面积S =πR ，所以圆心角是1°的扇形面积
是
πR 2
360
，于是圆心角为n ︒的扇形面积是S 扇形
n πR 2
= 360
知识点三：圆锥的有关概念
1、圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段 叫做圆锥的母线，如图，线段P A 、PB 是圆锥的两条母线. 2、圆锥的侧面积和全面积
A
如图，设圆锥的底面圆的半径为r ，母线长为R ，那么这个这个扇形的半径为R ，扇形的弧长为
1
2πr ，因此圆锥的侧面积公式：S 侧=(2πr ) ·R =πRr
2 圆锥的全面积公式：S 全=S 侧+S 底=πRr +πr
注意：在计算圆锥的侧面积时，要注意各元素之间的对应关系，千万不要错认为圆锥底面圆的半径等于扇形半径或把母线当成扇形的弧长.
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