学习目标：
1. 掌握一元一次、一元二次方程的概念、解法及应用；能解二元一次、二元二次、三元一次方程组，会简单应用。
2. 类比方程（组）的知识点，掌握不等式（组）的知识点。
二. 重点、难点
1. 方程的有关概念，同解原理①②
2. 方程的分类
3. 一元一次方程
①
，a一次项系数，b常数项
②求根公式：
唯一实根
4. 一元二次方程
①
a二次项系数；b一次项系数；c常数项
②根的判别式：
③当
时，求根公式
④解法：
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
⑤当
时，根
与系数a、b、c关系
，
⑥构造以
为根的方程
有无数个，构造以1为二次项系数的
5. 分式方程
①定义；②解法：分式化整式，注意验根；③解的个数
6. 方程组的有关概念
7. 二元一次方程组，二元二次方程组，三元一次方程组
①解法思路：消元、降次
②方法：代入法、加减法
8. 解的情况：个数
9. 不等式的概念：
，
或
，
10. 不等式的基本性质①②③及同解原理
11. 不等式的解集及解法，解的个数
12. 利用数轴确定一元一次不等式组的解集
13. 注意类比的方法
14. 绝对值不等式、分式不等式要转化成不等式组来解，可看作不等式组的应用。
【典型例题】
例1. 已知关于x的方程
与
的解相同，求m的值。
解：
的解为
的解为
两个方程的解相同，
说明：若要求x的值是多少，不必将m＝2代入原方程，只需代入
或
，得
例2. 解下列方程
（1）
（2）
解：（1）方程两边同乘12，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
说明：解一元一次方程是解其它方程的基础，基本思路是把方程变形为最简方程
，再求解。
（2）利用公式的基本性质，原方程化为：
去分母，得
说明：注意不要将分式的性质和等式的性质相混淆。
例3. 解下列方程
（1）
（2）
解：（1）设
，则
原方程可化为
则有
整理，得
解得
当
时，
当
时，
，
此方程无实根
经检验，
是原方程的根。
（2）设
，则
原方程化为
整理得
解得
当
时，
整理得
解得
当
时，
整理得
解得
经检验，
都是原方程的根。
例4. 不解方程，判断关于x的方程
的根的情况。
解：原方程整理为
即
，故原方程没有实数根。
例5. m为何值时，方程
（1）无实根；（2）有实根；（3）只有一个实根；（4）有两个实根；（5）有两个不等实根；（6）有两个相等实根。
解：（1）分两种情况：
①当m＝1时，方程为
，它有一个实根，不符合题意，舍去；
②当
时，
只需
，即
时无实根
（2）分两种情况，当
时，即
且
时方程有两个实根
当m＝1时，方程为
有一个实根
综上所述，即
时，方程有实根
（3）当m＝1时，方程为一元一次方程，只有一个实根
（4）当
，即
且
时，方程有两个实根
（5）当
，即
且
时，方程有两个不等实根
（6）当
，即
时方程有两个相等实根
说明：一定要注意审题，区别题目的不同问法。
例6. 已知关于x的一元二次方程
（m为实数）的两个实数根的倒数和大于零，求m的取值范围。
解：由题意知，应满足
解由知：
由得：
把、代入，得：
综上所述
，且
说明：解决这类题目，常常需要列出五个条件。在本题中，式因为是一元二次方程，故二次项系数
；式因为有两个实数根，故
；、为一元二次方程根与系数的两个关系式；是本题关于一元二次方程两实根的特殊条件
。这五个条件综合起来，此题方可解出。所以同学在审题时一定要认真分析题目中的每个词语，不要遗漏条件，特别要注意挖掘隐含条件。
例7. （1）设
是关于x的方程
的两个根，求证：
；
（2）如果关于x的方程
及方程
均有实数根，问方程
与方程
是否有相同的根？若有，请求出这个相同的根；若没有，请说明理由。
证明：（1）由题意，得
即原等式成立。
（2）解：设方程
与方程
有相同的实数根a，则可得：
，变形为
即
若
，则
，代入方程
及
两方程均为
，
，无实根
，即
则
，即
两个方程有相同的实数根
。
说明：第（2）问的解法是有关“两个一元二次方程有相同根”问题的一个常见解法，注意分类讨论。
例8. 已知：
是关于x的方程
的两个实根，且
，求m的值。
解：由一元二次方程根与系数的关系，有：
均不为零
，即
异号
取
设
，则
整理得
将
和
分别代入
中，符合
反思：
通过此题的分析及解题过程，应注意以下几点：
（1）由
去掉绝对值符号时，一定要考虑
的正、负；
（2）求m的过程中，通过设参数较为简便，也可利用
的关系代入去求；
（3）求出m的值后，还应代入
去检验是否符合
。
例9. 解方程组：
解法一：（用代入法）
由得：
把代入得：
整理，得
把
代入，得
把
代入，得
原方程组的解为
，
解法二：（用因式分解法）
方程可化为
即
或
原方程组可化为：
和
分别解得
，
说明：此题为I型二元二次方程组，一般可用代入法求解，当求出一个未知数的值后，一定要代入到二元一次方程中去求另一个未知数的值。
例10. 解方程组
解：由得：
或
由，得
或
原方程组化为以下四个方程组：
，
，
，
原方程组的解为：
说明：此题为II型二元二次方程组，要注意根据方程的特点，选择恰当的方法去解。
例11. 解下列方程组：
（1）
（2）
（3）
（1）分析：此题是I型二元二次方程组，可以用代入法来解，再介绍另外一种解法。
解：
方程是x与2y的和，方程是x与2y的积
x与2y是方程
的两个根
解此方程得
或
即原方程组的解是
，
（2）解：
得：
，
得：
可化为以下四个方程组：
学习目标：
1. 掌握一元一次、一元二次方程的概念、解法及应用；能解二元一次、二元二次、三元一次方程组，会简单应用。
2. 类比方程（组）的知识点，掌握不等式（组）的知识点。
二. 重点、难点
1. 方程的有关概念，同解原理①②
2. 方程的分类
3. 一元一次方程
①
，a一次项系数，b常数项
②求根公式：
唯一实根
4. 一元二次方程
①
a二次项系数；b一次项系数；c常数项
②根的判别式：
③当
时，求根公式
④解法：
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
⑤当
时，根
与系数a、b、c关系
，
⑥构造以
为根的方程
有无数个，构造以1为二次项系数的
5. 分式方程
①定义；②解法：分式化整式，注意验根；③解的个数
6. 方程组的有关概念
7. 二元一次方程组，二元二次方程组，三元一次方程组
①解法思路：消元、降次
②方法：代入法、加减法
8. 解的情况：个数
9. 不等式的概念：
，
或
，
10. 不等式的基本性质①②③及同解原理
11. 不等式的解集及解法，解的个数
12. 利用数轴确定一元一次不等式组的解集
13. 注意类比的方法
14. 绝对值不等式、分式不等式要转化成不等式组来解，可看作不等式组的应用。
【典型例题】
例1. 已知关于x的方程
与
的解相同，求m的值。
解：
的解为
的解为
两个方程的解相同，
说明：若要求x的值是多少，不必将m＝2代入原方程，只需代入
或
，得
例2. 解下列方程
（1）
（2）
解：（1）方程两边同乘12，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
说明：解一元一次方程是解其它方程的基础，基本思路是把方程变形为最简方程
，再求解。
（2）利用公式的基本性质，原方程化为：
去分母，得
说明：注意不要将分式的性质和等式的性质相混淆。
例3. 解下列方程
（1）
（2）
解：（1）设
，则
原方程可化为
则有
整理，得
解得
当
时，
当
时，
，
此方程无实根
经检验，
是原方程的根。
（2）设
，则
原方程化为
整理得
解得
当
时，
整理得
解得
当
时，
整理得
解得
经检验，
都是原方程的根。
例4. 不解方程，判断关于x的方程
的根的情况。
解：原方程整理为
即
，故原方程没有实数根。
例5. m为何值时，方程
（1）无实根；（2）有实根；（3）只有一个实根；（4）有两个实根；（5）有两个不等实根；（6）有两个相等实根。
解：（1）分两种情况：
①当m＝1时，方程为
，它有一个实根，不符合题意，舍去；
②当
时，
只需
，即
时无实根
（2）分两种情况，当
时，即
且
时方程有两个实根
当m＝1时，方程为
有一个实根
综上所述，即
时，方程有实根
（3）当m＝1时，方程为一元一次方程，只有一个实根
（4）当
，即
且
时，方程有两个实根
（5）当
，即
且
时，方程有两个不等实根
（6）当
，即
时方程有两个相等实根
说明：一定要注意审题，区别题目的不同问法。
例6. 已知关于x的一元二次方程
（m为实数）的两个实数根的倒数和大于零，求m的取值范围。
解：由题意知，应满足
解由知：
由得：
把、代入，得：
综上所述
，且
说明：解决这类题目，常常需要列出五个条件。在本题中，式因为是一元二次方程，故二次项系数
；式因为有两个实数根，故
；、为一元二次方程根与系数的两个关系式；是本题关于一元二次方程两实根的特殊条件
。这五个条件综合起来，此题方可解出。所以同学在审题时一定要认真分析题目中的每个词语，不要遗漏条件，特别要注意挖掘隐含条件。
例7. （1）设
是关于x的方程
的两个根，求证：
；
（2）如果关于x的方程
及方程
均有实数根，问方程
与方程
是否有相同的根？若有，请求出这个相同的根；若没有，请说明理由。
证明：（1）由题意，得
即原等式成立。
（2）解：设方程
与方程
有相同的实数根a，则可得：
，变形为
即
若
，则
，代入方程
及
两方程均为
，
，无实根
，即
则
，即
两个方程有相同的实数根
。
说明：第（2）问的解法是有关“两个一元二次方程有相同根”问题的一个常见解法，注意分类讨论。
例8. 已知：
是关于x的方程
的两个实根，且
，求m的值。
解：由一元二次方程根与系数的关系，有：
均不为零
，即
异号
取
设
，则
整理得
将
和
分别代入
中，符合
反思：
通过此题的分析及解题过程，应注意以下几点：
（1）由
去掉绝对值符号时，一定要考虑
的正、负；
（2）求m的过程中，通过设参数较为简便，也可利用
的关系代入去求；
（3）求出m的值后，还应代入
去检验是否符合
。
例9. 解方程组：
解法一：（用代入法）
由得：
把代入得：
整理，得
把
代入，得
把
代入，得
原方程组的解为
，
解法二：（用因式分解法）
方程可化为
即
或
原方程组可化为：
和
分别解得
，
说明：此题为I型二元二次方程组，一般可用代入法求解，当求出一个未知数的值后，一定要代入到二元一次方程中去求另一个未知数的值。
例10. 解方程组
解：由得：
或
由，得
或
原方程组化为以下四个方程组：
，
，
，
原方程组的解为：
说明：此题为II型二元二次方程组，要注意根据方程的特点，选择恰当的方法去解。
例11. 解下列方程组：
（1）
（2）
（3）
（1）分析：此题是I型二元二次方程组，可以用代入法来解，再介绍另外一种解法。
解：
方程是x与2y的和，方程是x与2y的积
x与2y是方程
的两个根
解此方程得
或
即原方程组的解是
，
（2）解：
得：
，
得：
可化为以下四个方程组：