§1.5 一般物体的平衡
力对物体的作用可以改变物体的运动状态，物体各部位所受力的合力对物体的平动有影响，合力矩对物体的转动有影响。如果两种影响都没有，就称物体处于平衡状态。因此，一般物体处于平衡时，要求物体所受合外力为零和合力矩为零
(∑M =0)
(∑F 外=0)
同时满足，一般物体的平衡条件写成分量式为
∑F ∑F ∑F
M x , M y , M z
y
x
=0∑M x =0
=0=0
∑M ∑M
y
=0=0
z z
分别为对x 轴、y 轴、z 轴的力矩。
由空间一般力系的平衡方程，去掉由力系的几何性质能自动满足的平衡方程，容易导出各种特殊力系的独立平衡方程。
如平面力系（设在xOy 平面内），则∑足，则独立的平衡方程为：
F x =0, ∑M x =0, ∑M y =0
自动满
∑F ∑F
∑M
z
x
=0=0=0
∑F
=0
y
z
这一方程中的转轴可根据需要任意选取，一般原则是使尽量多的
力的力臂为零。
平面汇交力系与平面平行力系的独立方程均为二个，空间汇交力系和空间平行力系的独立平衡方程均为三个。
§1.6 平衡的稳定性
1．6．1、重心
g 物体的重心即重力的作用点。在重力加速度为常矢量的区域，物体的重心
是惟一的（我们讨论的都是这种情形），重心也就是物体各部分所受重力的合力的作用点，由于重力与质量成正比，重力合力的作用点即为质心，即重心与质心重合。
求重心，也就是求一组平行力的合力作用点。相距L ，质量分别为m 1, m 2的两个质点构成的质点组，其重心在两质点的连线上，且m 1, m 2与相距分别为：
(m 1+m 2) L 1-m 2L =0 (m 1+m 2) L 2-m 1L =0
L 1=
m 2L m 1L
L 2=
m 1+m 2 m 1+m 2
图1-6-1
均匀规则形状的物体，其重心在它的几何中心，求一般物体的重心，常用的方法是将物体分割成若干个重心容易确定的部分后，再用求同向平行力合力的方法找出其重心。
物体重心（或质心）位置的求法
我们可以利用力矩和为零的平衡条件来求物体的重心位置。如图1-6-1由重量分别为G 1, G 2的两均匀圆球和重量为
G 3
的均匀杆连成的系统，设立如图坐标
x 1, x 2, x 3
系，原点取在A 球最左侧点，两球与杆的重心的坐标分别为，系统重心
达
在P 点，我们现在求其坐标x 。设想在P 处给一支持力R ，令到平衡时有：
R =G 1+G 2+G 3
∑M =G x
x =
∴
11
+G 2x 2+G 3x 3-Rx =0
G 1x 1+G 2x 2+G 3x 3G 1x 1+G 2x 2+G 3x 3
=
R G 1+G 2+G 3
这样就得出了如图所示的系统的重心坐标。若有多个物体组成的系统，我们
不难证明其重心位置为：
⎧Gix i ⎪x =
Gi ⎪⎪Giy ⎪∑y =⎨
Gi ⎪⎪Giz ⎪z =∑⎪Gi ⎩
一般来说，物体的质心位置与重心位置重合，由上面公式很易得到质心位置公式：
⎧m i x i ⎪x =
m i ⎪⎪m i y i ⎪⎨y =
m i ⎪⎪m z ⎪z =∑i i ⎪m i ⎩
图1-6-2
如图1-6-2，有5个外形完全一样的均匀金属棒首尾相接焊在一起，从左至
右其密度分别为ρ、⒈1ρ、⒈2ρ、⒈3ρ、⒈4ρ，设每根棒长均为l ，求其质心位置，若为n 段，密度仍如上递增，质心位置又在什么地方？
解：设整个棒重心离最左端距离为x ，则由求质心公式有
m x x =
m
i i i
=
m 1x 1+m 2x 2+ +m 5x 5
m 1+m 2+ +m 5
ρv ⋅+1. 1ρv ⋅l +1. 2ρv ⋅l +1. 3ρv ⋅l +1. 4ρv ⋅l
=
l 357υv +1. 1ρv +1. 2ρv +1. 3ρv +1. 4ρb
9=2. 67l
若为n 段，按上式递推得：
x =
l ⋅2
1+1. 1⨯3+1. 2⨯5+1. 3⨯7+ +(1+
n -1
)(2n -1) n -1
1+1. 1+1. 2+1. 3+ +(1+)
10
将坐标原点移到第一段棒的重心上，则上式化为：
n -1
)(n -1) x =l n -1
1+1. 1+1. 2+ +(1+)
10
12n -1(1+) +(1+) ⨯2+ +(1+)(n -1)
101010=
n -1
1+1. 1+1. 2+ +(1+)
10
[1+2+ +(n -1) ]+112+22+ +(n -1) 2
=l
n -1
1+1. 1+1. 2+ +(1+)
10
1. 1+1. 2⨯2+1. 3⨯3+ +(1+
[]
=
(n -1)(2n +3q )
l
3(n +q )
例、如图1-6-3所示，A 、B 原为
两个相同的均质实心球，半径为R ，重量为G ，A 、B 球分别挖去半径为
R 3R
和24的小球，均质杆重量为
图1-6-3
35G
64，长度l =4R ，试求系统的重心位置。
解：将挖去部份的重力，用等值、反向的力取代，图示系统可简化为图1-1-31所示平行力系；其中
G a '=
G 27
, G b '=G 864。设重心位置为O ，则合力
G 2793
-G =G 86464
W =G +G -
且∑
M 0(G i ) =0
即
G (3R -OC ) +
27R G R 35
G (OC +3R +) =(3R --OC +G ⋅OC +G (3R +OC ) 6448264 ∴ OC=0.53R
1．6．2、物体平衡的种类
物体的平衡分为三类：
稳定平衡 处于平衡状态的物体，当受到外界的扰动而偏离平衡位置时，如果外力或外力矩促使物体回到原平衡位置，这样的平衡叫稳定平衡，处于稳定平衡的物体，偏离平衡位置时，重心一般是升高的。
不稳定平衡 处于平衡状态的物体，当受到外界的扰动而偏离平衡位置时，如果外力或外力矩促使物体偏离原来的平衡位置，这样的平衡叫不稳定平衡，处于不稳定平衡的物体，偏离平衡位置时，重心一般是降低的。
随遇平衡 处于平衡状态的物体，当受到外界扰动而偏离平衡位置时，物体受到的合外力或合力矩没有变化，这样的平衡叫随遇平衡，处于随遇平衡的物体，偏离平衡位置后，重心高度不变。
在平动方面，物体不同方面上可以处于不同的平衡状态，在转动方面，对不同方向的转轴可以处于不同的平衡状态。例如，一个位于光滑水平面上的直管底部的质点，受到平行于管轴方向的扰动时，处于随遇平衡状态；受到与轴垂直方向的扰动时，处于稳定平衡状态，一细棒，当它直立于水平桌面时，是不稳定平衡，当它平放在水平桌面时，是随遇平衡。
1．6．3、稳度
物体稳定的程度叫稳度，一般说来，使一个物体的平衡遭到破坏所需的能量越多，这个平衡的稳度就越高。稳度与重心的高度及支面的大小有关，重心越低，支面越大，稳度越大。
§1.7 流体静力学
流体并没有一定的开头可以自由流动，但具有一定的密度，一般认为理想流
体具有不可压缩的特征。
1．7．1、 静止流体中的压强 (1)静止流体内部压强的特点
在静止流体内任何一点处都有压强，这一压强与方向无关仅与该点的深度有关；相连通的静止流体内部同一深度上各点的压强相等。
关于流体内部的压强与方向无关，可以证明如下：
在静止流体中的某点处任取一个长为∆l 的极小的直角三棱液柱，令其两侧面分别在竖直面内和水平面内，作其截面如图1-7-1所示，图中坐标轴x 沿水平方向，坐标轴y 沿竖直方向，以∆x , ∆y , ∆n 分别表示此液柱截面三角形的三条边长，且以α表示此截面三角形的一个锐角如图1-7-1，又以应侧面上压强的大小，则各侧面所受压力的大小分别为：
∆f x =P x ∆y ∆l ∆f y =P y ∆x ∆l
O
x
图1-7-1
P x P y , P n
, 分别表示对
∆f n =P n ∆n ∆l
由此液柱很小，则其重力将远小于它的一个侧面所受到的压力，故可忽略其重力的作用。则由此液柱的平衡条件知上述三力应互相平衡，乃有：
⎧∆f x =∆f n cos a
⎨
⎩∆f y =∆f n sin a ⎧P x ∆y ∆l =P n ∆n ∆l cos a ⎨
⎩P y ∆x ∆l =P n ∆n ∆l sin a
即
注意到∆x =∆n sin a , ∆y =∆n cos a ，代入上式便得
P x =P y =P n
说明在流体内部的同一点处向各个方向的压强是相等的。
(2)静止流体内部压强的大小
若静止流体表面处的压强为P 。（通常即为与该流体表面相接触的气体的压强），流体的密度为ρ，则此流体表面下深度为h 处的压强为
P =p 0+ρgh
由上式可见，在静止流体内部高度差为∆h 的两点间的压强差为
∆p =ρg ∆h
1．7．2、浮力与浮心
浮力是物体在流体中所受压力的合力。浸没在静止流体内的物体受到的浮力等于它所排开流体的重量，浮力的方向竖直向上。这就是阿基米德定律，可表示为
F =ρ液gV 排
浮力的作用点称为浮心，浮心就是与浸没在流体中的物体同形状、同体积那部分流体的重心，它并不等同于物体的重心。只有在物体密度均匀时，它才与浸没在液体中的物体部分的重心重合。
1．7．3、浮体平衡的稳定性
浮在液体表面的浮体，所受浮力与重力大小相等、方向相反，处于平衡状态。浮体平衡的稳定性，将因所受扰动方式的不同而异。显然，浮体对铅垂方向的扰动，其平衡是稳定的；对水平方向的扰动，其平衡是随遇的。
（a ） （b ）
图1-7-2
浮体对于过质心的水平对称轴的旋转扰动，其平衡的稳定性视具体情况而定。以浮力水面的船体为例：当船体向右倾斜（即船体绕过质心O 的水平对称轴转动一小角度）时，其浮心（浮力作用点）Q 将向右偏离，浮力F 与重力G 构成一对力偶，力偶矩将促使船体恢复到原来的方位，如图1-7-2(a)所示，可见船体对这种扰动，其平衡是稳定的。但如果船体重心O 太高，船体倾斜所造成的力偶矩也可能促使船体倾斜加剧，这时船体的平衡就是不稳的，如图1-7-2(b)所示。
§1.5 一般物体的平衡
力对物体的作用可以改变物体的运动状态，物体各部位所受力的合力对物体的平动有影响，合力矩对物体的转动有影响。如果两种影响都没有，就称物体处于平衡状态。因此，一般物体处于平衡时，要求物体所受合外力为零和合力矩为零
(∑M =0)
(∑F 外=0)
同时满足，一般物体的平衡条件写成分量式为
∑F ∑F ∑F
M x , M y , M z
y
x
=0∑M x =0
=0=0
∑M ∑M
y
=0=0
z z
分别为对x 轴、y 轴、z 轴的力矩。
由空间一般力系的平衡方程，去掉由力系的几何性质能自动满足的平衡方程，容易导出各种特殊力系的独立平衡方程。
如平面力系（设在xOy 平面内），则∑足，则独立的平衡方程为：
F x =0, ∑M x =0, ∑M y =0
自动满
∑F ∑F
∑M
z
x
=0=0=0
∑F
=0
y
z
这一方程中的转轴可根据需要任意选取，一般原则是使尽量多的
力的力臂为零。
平面汇交力系与平面平行力系的独立方程均为二个，空间汇交力系和空间平行力系的独立平衡方程均为三个。
§1.6 平衡的稳定性
1．6．1、重心
g 物体的重心即重力的作用点。在重力加速度为常矢量的区域，物体的重心
是惟一的（我们讨论的都是这种情形），重心也就是物体各部分所受重力的合力的作用点，由于重力与质量成正比，重力合力的作用点即为质心，即重心与质心重合。
求重心，也就是求一组平行力的合力作用点。相距L ，质量分别为m 1, m 2的两个质点构成的质点组，其重心在两质点的连线上，且m 1, m 2与相距分别为：
(m 1+m 2) L 1-m 2L =0 (m 1+m 2) L 2-m 1L =0
L 1=
m 2L m 1L
L 2=
m 1+m 2 m 1+m 2
图1-6-1
均匀规则形状的物体，其重心在它的几何中心，求一般物体的重心，常用的方法是将物体分割成若干个重心容易确定的部分后，再用求同向平行力合力的方法找出其重心。
物体重心（或质心）位置的求法
我们可以利用力矩和为零的平衡条件来求物体的重心位置。如图1-6-1由重量分别为G 1, G 2的两均匀圆球和重量为
G 3
的均匀杆连成的系统，设立如图坐标
x 1, x 2, x 3
系，原点取在A 球最左侧点，两球与杆的重心的坐标分别为，系统重心
达
在P 点，我们现在求其坐标x 。设想在P 处给一支持力R ，令到平衡时有：
R =G 1+G 2+G 3
∑M =G x
x =
∴
11
+G 2x 2+G 3x 3-Rx =0
G 1x 1+G 2x 2+G 3x 3G 1x 1+G 2x 2+G 3x 3
=
R G 1+G 2+G 3
这样就得出了如图所示的系统的重心坐标。若有多个物体组成的系统，我们
不难证明其重心位置为：
⎧Gix i ⎪x =
Gi ⎪⎪Giy ⎪∑y =⎨
Gi ⎪⎪Giz ⎪z =∑⎪Gi ⎩
一般来说，物体的质心位置与重心位置重合，由上面公式很易得到质心位置公式：
⎧m i x i ⎪x =
m i ⎪⎪m i y i ⎪⎨y =
m i ⎪⎪m z ⎪z =∑i i ⎪m i ⎩
图1-6-2
如图1-6-2，有5个外形完全一样的均匀金属棒首尾相接焊在一起，从左至
右其密度分别为ρ、⒈1ρ、⒈2ρ、⒈3ρ、⒈4ρ，设每根棒长均为l ，求其质心位置，若为n 段，密度仍如上递增，质心位置又在什么地方？
解：设整个棒重心离最左端距离为x ，则由求质心公式有
m x x =
m
i i i
=
m 1x 1+m 2x 2+ +m 5x 5
m 1+m 2+ +m 5
ρv ⋅+1. 1ρv ⋅l +1. 2ρv ⋅l +1. 3ρv ⋅l +1. 4ρv ⋅l
=
l 357υv +1. 1ρv +1. 2ρv +1. 3ρv +1. 4ρb
9=2. 67l
若为n 段，按上式递推得：
x =
l ⋅2
1+1. 1⨯3+1. 2⨯5+1. 3⨯7+ +(1+
n -1
)(2n -1) n -1
1+1. 1+1. 2+1. 3+ +(1+)
10
将坐标原点移到第一段棒的重心上，则上式化为：
n -1
)(n -1) x =l n -1
1+1. 1+1. 2+ +(1+)
10
12n -1(1+) +(1+) ⨯2+ +(1+)(n -1)
101010=
n -1
1+1. 1+1. 2+ +(1+)
10
[1+2+ +(n -1) ]+112+22+ +(n -1) 2
=l
n -1
1+1. 1+1. 2+ +(1+)
10
1. 1+1. 2⨯2+1. 3⨯3+ +(1+
[]
=
(n -1)(2n +3q )
l
3(n +q )
例、如图1-6-3所示，A 、B 原为
两个相同的均质实心球，半径为R ，重量为G ，A 、B 球分别挖去半径为
R 3R
和24的小球，均质杆重量为
图1-6-3
35G
64，长度l =4R ，试求系统的重心位置。
解：将挖去部份的重力，用等值、反向的力取代，图示系统可简化为图1-1-31所示平行力系；其中
G a '=
G 27
, G b '=G 864。设重心位置为O ，则合力
G 2793
-G =G 86464
W =G +G -
且∑
M 0(G i ) =0
即
G (3R -OC ) +
27R G R 35
G (OC +3R +) =(3R --OC +G ⋅OC +G (3R +OC ) 6448264 ∴ OC=0.53R
1．6．2、物体平衡的种类
物体的平衡分为三类：
稳定平衡 处于平衡状态的物体，当受到外界的扰动而偏离平衡位置时，如果外力或外力矩促使物体回到原平衡位置，这样的平衡叫稳定平衡，处于稳定平衡的物体，偏离平衡位置时，重心一般是升高的。
不稳定平衡 处于平衡状态的物体，当受到外界的扰动而偏离平衡位置时，如果外力或外力矩促使物体偏离原来的平衡位置，这样的平衡叫不稳定平衡，处于不稳定平衡的物体，偏离平衡位置时，重心一般是降低的。
随遇平衡 处于平衡状态的物体，当受到外界扰动而偏离平衡位置时，物体受到的合外力或合力矩没有变化，这样的平衡叫随遇平衡，处于随遇平衡的物体，偏离平衡位置后，重心高度不变。
在平动方面，物体不同方面上可以处于不同的平衡状态，在转动方面，对不同方向的转轴可以处于不同的平衡状态。例如，一个位于光滑水平面上的直管底部的质点，受到平行于管轴方向的扰动时，处于随遇平衡状态；受到与轴垂直方向的扰动时，处于稳定平衡状态，一细棒，当它直立于水平桌面时，是不稳定平衡，当它平放在水平桌面时，是随遇平衡。
1．6．3、稳度
物体稳定的程度叫稳度，一般说来，使一个物体的平衡遭到破坏所需的能量越多，这个平衡的稳度就越高。稳度与重心的高度及支面的大小有关，重心越低，支面越大，稳度越大。
§1.7 流体静力学
流体并没有一定的开头可以自由流动，但具有一定的密度，一般认为理想流
体具有不可压缩的特征。
1．7．1、 静止流体中的压强 (1)静止流体内部压强的特点
在静止流体内任何一点处都有压强，这一压强与方向无关仅与该点的深度有关；相连通的静止流体内部同一深度上各点的压强相等。
关于流体内部的压强与方向无关，可以证明如下：
在静止流体中的某点处任取一个长为∆l 的极小的直角三棱液柱，令其两侧面分别在竖直面内和水平面内，作其截面如图1-7-1所示，图中坐标轴x 沿水平方向，坐标轴y 沿竖直方向，以∆x , ∆y , ∆n 分别表示此液柱截面三角形的三条边长，且以α表示此截面三角形的一个锐角如图1-7-1，又以应侧面上压强的大小，则各侧面所受压力的大小分别为：
∆f x =P x ∆y ∆l ∆f y =P y ∆x ∆l
O
x
图1-7-1
P x P y , P n
, 分别表示对
∆f n =P n ∆n ∆l
由此液柱很小，则其重力将远小于它的一个侧面所受到的压力，故可忽略其重力的作用。则由此液柱的平衡条件知上述三力应互相平衡，乃有：
⎧∆f x =∆f n cos a
⎨
⎩∆f y =∆f n sin a ⎧P x ∆y ∆l =P n ∆n ∆l cos a ⎨
⎩P y ∆x ∆l =P n ∆n ∆l sin a
即
注意到∆x =∆n sin a , ∆y =∆n cos a ，代入上式便得
P x =P y =P n
说明在流体内部的同一点处向各个方向的压强是相等的。
(2)静止流体内部压强的大小
若静止流体表面处的压强为P 。（通常即为与该流体表面相接触的气体的压强），流体的密度为ρ，则此流体表面下深度为h 处的压强为
P =p 0+ρgh
由上式可见，在静止流体内部高度差为∆h 的两点间的压强差为
∆p =ρg ∆h
1．7．2、浮力与浮心
浮力是物体在流体中所受压力的合力。浸没在静止流体内的物体受到的浮力等于它所排开流体的重量，浮力的方向竖直向上。这就是阿基米德定律，可表示为
F =ρ液gV 排
浮力的作用点称为浮心，浮心就是与浸没在流体中的物体同形状、同体积那部分流体的重心，它并不等同于物体的重心。只有在物体密度均匀时，它才与浸没在液体中的物体部分的重心重合。
1．7．3、浮体平衡的稳定性
浮在液体表面的浮体，所受浮力与重力大小相等、方向相反，处于平衡状态。浮体平衡的稳定性，将因所受扰动方式的不同而异。显然，浮体对铅垂方向的扰动，其平衡是稳定的；对水平方向的扰动，其平衡是随遇的。
（a ） （b ）
图1-7-2
浮体对于过质心的水平对称轴的旋转扰动，其平衡的稳定性视具体情况而定。以浮力水面的船体为例：当船体向右倾斜（即船体绕过质心O 的水平对称轴转动一小角度）时，其浮心（浮力作用点）Q 将向右偏离，浮力F 与重力G 构成一对力偶，力偶矩将促使船体恢复到原来的方位，如图1-7-2(a)所示，可见船体对这种扰动，其平衡是稳定的。但如果船体重心O 太高，船体倾斜所造成的力偶矩也可能促使船体倾斜加剧，这时船体的平衡就是不稳的，如图1-7-2(b)所示。