柱、锥、台、球
一、学习目标：
1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。
2. 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图与直观图，能识别上述三视图与直观图所表示的立体模型。
二、重点、难点：
重点：空间几何体中的棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；空间几何体的三视图与直观图的画法。
难点：柱、锥、台、球结构特征的概括；识别三视图所表示的空间几何体。 知识梳理
1. 多面体
棱柱、棱锥、棱台
2. 旋转体
圆柱、圆锥、圆台、球
3. 三视图
（1）正视图、侧视图、俯视图
（2）三种视图间的关系
4. 直观图
水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法
典型例题
知识点一 柱、锥、台、球的结构特征
例1. 下列叙述正确的是（ ）
①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台。
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台。
④直角三角形绕其一条边旋转得到的旋转体是圆锥。
⑤直角梯形以它的一条垂直于两底边的腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面围成的旋转体叫圆台。
⑥用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分是圆台。
⑦通过圆锥侧面上一点，有无数条母线。
⑧以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成球体。
A. ①②③④⑤⑥⑧ B. ①③④⑦⑧
C. ①②⑤⑧ D. ⑤
思路分析：遇到概念判断问题，一定要在理解透彻相关概念的基础上，仔细分析，如果判断它是正确的，必须能紧扣定义，而不是模棱两可地去作判断；如果判断它是错误的，只需找到一个反例即可。
解答过程：如图所示，由图（1）可知①是错误的；由图（2）可知②③是错误的；由图（3）可知④是错误的；由图（4）可知⑥是错误的。
因为通过圆锥侧面上一点和圆锥的顶点只能连一条射线，所以“通过圆锥侧面上一点，有无数条母线。”是错误的，即⑦是不正确的。
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的应该是球面，半圆面旋转一周形成的才是球体。所以⑧是错误的。
所以只有⑤是正确的。故应选D 。
解题后的思考：在作判断的时候没有严格的根据定义进行多角度分析，而是只抓住定义中的某一点就作出判断，容易导致错误。
知识点二 组合体
例2. 如图，下列组合体是由哪几种简单几何体组成的？
解答过程：
（1）由一个三棱锥和一个四棱锥组成，为左右结构
（2）由两个三棱锥组成，为上下结构
（3）由圆锥和圆台组成，为上下结构
知识点三 柱、锥的侧面展开图
例3. 小明在一个正方体盒子的每个面都写有一个字母，分别是：A 、B 、C 、D 、E 、F ，其平面展开图如图所示，那么在该正方体盒子中，和“A ”相对的面所写的字母是哪一个？
思路分析：在每个格子中标明你所想象的面的位置，如将A 格标明“上”，将B 格标明“前”等等。
解答过程：为字母“E ”
解题后的思考：本题突出考查了学生将正方体各面展开图复原为正方体的空间想象能力。
例4. 如图所示，为一个封闭的立方体，在它的六个面上标出A ，B ，C ，D ，E ，F 这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已标明，则字母A ，B ，C 对面的字母分别是（ ）
A. D，E ，F B. F，D ，E C. E，F ，D D. E，D ，F
思路分析：本题处理方法比较灵活，要将几个图结合起来一起分析。
解答过程：由（1）（2）两个图知，A 与B ，C ，D 相邻，结合第（3）个图知，B ，C 与F 共顶点，所以A 的对面为F ，同理B ，C 的对面分别为D ，E ，故选择B 。
解题后的思考：本题考查推理能力以及空间想象能力。也可先结合图（1）（3）进行判断。
例5. 用长和宽分别是3π和π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，求圆柱的底面半径？ 思路分析：要注意哪条边是圆柱的母线，哪条边是圆柱底面的圆周。
解答过程：设圆柱底面圆的半径为r ，由题意可知矩形长为底面圆的周长时，
31r =3π=2πr ，解得2。矩形宽为底面圆的周长时，π=2πr ，解得2。故圆31
柱的底面半径为2或2。 r =
解题后的思考：本题学生经常会丢解，即主观认为只有图中所示的情况，即以3π作为底面周长，而忽视了它也可作为母线这种情况。
知识点四 旋转体中的有关计算
例6. 一个圆台的母线长12cm ，两底面面积分别为4πcm 和25πcm ，求：
（1）圆台的高；
（2）截得此圆台的圆锥的母线长。
思路分析：通过作截得此圆台的圆锥的轴截面，构造直角三角形与相似三角形求解。 解答过程：（1）作A 1H ⊥OA 22
πr 2=4π∴r =2 πR 2=25π∴R =5
∴AH =3
∴A 1H =2-32=
（2） ∆VA 1O 1与∆VA O 相似 ∴VA 1A 1O 1=VA AO ∴VA =20
解题后的思考：通过构造旋转体的轴截面，将立体问题转化为平面问题。
例7. 已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，且距离为3，求这个球的半径。
思路分析：两截面的相互位置可能出现两种情况，一种是在球心O 的同侧，另一种是在球心O 的异侧。
解答过程：（1）当两截面在球心O 的同侧时，
如图所示，设这两个截面的半径分别为r 1, r 2，球心O 到截面的距离分别为d 1, d 2，球的半径为R 。
π⋅r 12=5π, π⋅r 22=8π, ∴r 12=5, r 22=8。
22222又 R =r 1+d 1=r 2+d 2，
2∴d 12-d 2=r 22-r 12=3，
即(d 1-d 2)(d 1+d 2) =3。
又 d 1-d 2=3，
⎧d 1-d 2=3, ⎧d 1=2, ∴⎨⎨d +d =1, 2⎩1解得⎩d 2=-1.
又 d 2>0, ∴这种情况不成立。
（2）当两截面在球心O 的异侧时，d 1+d 2=3，
由上述解法可知(d 1-d 2)(d 1+d 2) =3，
⎧d 1+d 2=3, ⎧d 1=2, ∴⎨⎨d -d =1, 2⎩1解得⎩d 2=1.
∴R =r 12+d 12=+4=3。
综上所述，这个球的半径为3。
解题后的思考：同学们要注意不要只对同侧的情况进行讨论，而忽略对另一种位置关系的讨论。
知识点五 画几何体的三视图
例8. 画出如图所示的三棱柱的三视图。
思路分析：在正视图中，中间的竖线看不到，应画成虚线；侧视图是从左侧看三棱柱投射到竖直的正对着的平面上的正投影，所以不是三棱柱的一个侧面，而应该是过底面正三角形的一条高线的矩形。
解答过程：
解题后的思考：画三视图的时候要做到“长对正、宽相等、高平齐”，还要注意实线与虚线的区别。
知识点六 三视图中的推测问题
例9. 根据下列三视图，说出各立体图形的形状。
思路分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体
得到的三个视图。正视图反映物体的主要形状特征，
主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。而俯视图和正视图共同反映物体的长相等。侧视图和俯视图共同反映物体的宽相等。据此就不难得出该几何体的形状。
解答过程：（1）圆台；（2）正四棱锥；（3）螺帽。
解题后的思考：三视图的画法里要注意“长对正”，“高平齐”，“宽相等”，另外，还要熟悉基本空间几何体的三视图。
七、直观图的还原与计算问题
例10. 已知△A′B′C′是水平放置的边长为a 的正三角形ABC 的斜二测水平直观图，那么△A′B′C′的面积为_________。
思路分析：先根据题意，画出直观图，然后根据△A′B′C′直观图的边长及夹角求解。
解答过程：如图甲、乙所示的实际图与直观图。
A 'B '=AB =a , O 'C '=13OC =a 24。
在图乙中作C′D′⊥A′B′于D′，则C 'D '=26O 'C '=a 28。所以S ∆A 'B 'C '=1166262A 'B '⋅C 'D '=⨯a ⨯a =a a 22816。故填16。
解题后的思考：该题求直观图的面积，因此应在直观图中求解，需先求出直观图的底和高，然后用三角形面积公式求解。本题旨在考查同学们对直观图画法的掌握情况。
例11. 如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是____________。
思路分析：先根据题意，由直观图画出原图形
解答过程：逆用斜二测画法的规则画出原图如下图所示，由BC//OA且BC=OA，易知OABC 为平行四边形。在上图中，易求O′B′=2，所以OB=22。
22AB =(22) +1=3。 又OA=1，所以在Rt △BOA 中，
故原图形的周长是2⨯(3+1) =8(cm ) ，应填8cm 。
解题后的思考：该题考查的是直观图与原图形之间的关系，及逆用斜二测画法的规则。
同步练习（答题时间：60分钟）
一、选择题：
1. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④
2. 将正三棱柱（底面为正三角形，侧面为矩形的棱柱）截去三个角（如图甲所示，
A 、B 、C 分别是△GHI 三边的中点）得到几何体如图乙所示，则该几何体按如图所示方向的侧视图为（ ）
3. 如果用表示一个立方体，用 表示两个立方体叠加，用表示三个立方
体叠加，那么下图中由7个正方体叠加而成的几何体的正视图是（ ）
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线
B. 梯形的直观图可能是平行四边形
C. 矩形的直观图可能是梯形
D. 正方形的直观图可能是平行四边形
5. 已知正三棱锥V —ABC 的正视图、俯视图如图所示，其中V A=4，AC=2，则该三棱锥得到侧视图的面积为（ ）
32A. 9 B. 6 C. D.
二、填空题：
6. 一个三角形用斜二测画法画出来是一个边长为1的正三角形，则此三角形的面积是_____________________
7. 圆台的两底面半径分别为2,5，母线长是3，则其轴截面面积是
三、解答题：
8. 画出下列几何体的三视图：
9. 如下图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图。若A 1D 1//O 1y ，
2A 1B 1=C 1D 1=2A 1B 1//C 1D 1，3，A 1D 1=O 1D 1=1。请画出原来的平面几何图形的形状，
并求原图形的面积
.
试题答案
一、选择题：
1. D
解析：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为D 。
2. A3. B4. D解析：梯形的上、下底互相平行，但其在直观图中的长度不相等。
5. C 解析：由三视图与原几何体之间的关系可知此几何体的侧视图不是一个等腰三角形，且此三角形的底边长等于正三角形ABC 的高线CF 的长，其高的长度等于原几何体的高。 由所给数据易解得原几何体的高为，CF=3，所以侧视图的面积为
S =13⨯3⨯=22，故选C 。
二、填空题： 6226. 27. 63解析：圆台的高=(3) -(5-2) =9，故其轴截面面积=63
三、解答题：
8. 解：这两个几何体的三视图如下图所示.
9. 解：如图，建立平面直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD =O 1D 1=1；OC =O 1C 1=2。
在过点D 的y 轴的平行线上截取DA =2D 1A 1=2。
在过点A 的x 轴的平行线上截取AB =A 1B 1=2。
连接BC ，即可得到原图形。
由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底的长度分别为AB =2, CD =3，直角腰的长度为AD =2， 所以面积为
S =2+3⨯2=52。
柱、锥、台、球
一、学习目标：
1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。
2. 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图与直观图，能识别上述三视图与直观图所表示的立体模型。
二、重点、难点：
重点：空间几何体中的棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；空间几何体的三视图与直观图的画法。
难点：柱、锥、台、球结构特征的概括；识别三视图所表示的空间几何体。 知识梳理
1. 多面体
棱柱、棱锥、棱台
2. 旋转体
圆柱、圆锥、圆台、球
3. 三视图
（1）正视图、侧视图、俯视图
（2）三种视图间的关系
4. 直观图
水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法
典型例题
知识点一 柱、锥、台、球的结构特征
例1. 下列叙述正确的是（ ）
①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台。
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台。
④直角三角形绕其一条边旋转得到的旋转体是圆锥。
⑤直角梯形以它的一条垂直于两底边的腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面围成的旋转体叫圆台。
⑥用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分是圆台。
⑦通过圆锥侧面上一点，有无数条母线。
⑧以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成球体。
A. ①②③④⑤⑥⑧ B. ①③④⑦⑧
C. ①②⑤⑧ D. ⑤
思路分析：遇到概念判断问题，一定要在理解透彻相关概念的基础上，仔细分析，如果判断它是正确的，必须能紧扣定义，而不是模棱两可地去作判断；如果判断它是错误的，只需找到一个反例即可。
解答过程：如图所示，由图（1）可知①是错误的；由图（2）可知②③是错误的；由图（3）可知④是错误的；由图（4）可知⑥是错误的。
因为通过圆锥侧面上一点和圆锥的顶点只能连一条射线，所以“通过圆锥侧面上一点，有无数条母线。”是错误的，即⑦是不正确的。
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的应该是球面，半圆面旋转一周形成的才是球体。所以⑧是错误的。
所以只有⑤是正确的。故应选D 。
解题后的思考：在作判断的时候没有严格的根据定义进行多角度分析，而是只抓住定义中的某一点就作出判断，容易导致错误。
知识点二 组合体
例2. 如图，下列组合体是由哪几种简单几何体组成的？
解答过程：
（1）由一个三棱锥和一个四棱锥组成，为左右结构
（2）由两个三棱锥组成，为上下结构
（3）由圆锥和圆台组成，为上下结构
知识点三 柱、锥的侧面展开图
例3. 小明在一个正方体盒子的每个面都写有一个字母，分别是：A 、B 、C 、D 、E 、F ，其平面展开图如图所示，那么在该正方体盒子中，和“A ”相对的面所写的字母是哪一个？
思路分析：在每个格子中标明你所想象的面的位置，如将A 格标明“上”，将B 格标明“前”等等。
解答过程：为字母“E ”
解题后的思考：本题突出考查了学生将正方体各面展开图复原为正方体的空间想象能力。
例4. 如图所示，为一个封闭的立方体，在它的六个面上标出A ，B ，C ，D ，E ，F 这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已标明，则字母A ，B ，C 对面的字母分别是（ ）
A. D，E ，F B. F，D ，E C. E，F ，D D. E，D ，F
思路分析：本题处理方法比较灵活，要将几个图结合起来一起分析。
解答过程：由（1）（2）两个图知，A 与B ，C ，D 相邻，结合第（3）个图知，B ，C 与F 共顶点，所以A 的对面为F ，同理B ，C 的对面分别为D ，E ，故选择B 。
解题后的思考：本题考查推理能力以及空间想象能力。也可先结合图（1）（3）进行判断。
例5. 用长和宽分别是3π和π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，求圆柱的底面半径？ 思路分析：要注意哪条边是圆柱的母线，哪条边是圆柱底面的圆周。
解答过程：设圆柱底面圆的半径为r ，由题意可知矩形长为底面圆的周长时，
31r =3π=2πr ，解得2。矩形宽为底面圆的周长时，π=2πr ，解得2。故圆31
柱的底面半径为2或2。 r =
解题后的思考：本题学生经常会丢解，即主观认为只有图中所示的情况，即以3π作为底面周长，而忽视了它也可作为母线这种情况。
知识点四 旋转体中的有关计算
例6. 一个圆台的母线长12cm ，两底面面积分别为4πcm 和25πcm ，求：
（1）圆台的高；
（2）截得此圆台的圆锥的母线长。
思路分析：通过作截得此圆台的圆锥的轴截面，构造直角三角形与相似三角形求解。 解答过程：（1）作A 1H ⊥OA 22
πr 2=4π∴r =2 πR 2=25π∴R =5
∴AH =3
∴A 1H =2-32=
（2） ∆VA 1O 1与∆VA O 相似 ∴VA 1A 1O 1=VA AO ∴VA =20
解题后的思考：通过构造旋转体的轴截面，将立体问题转化为平面问题。
例7. 已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，且距离为3，求这个球的半径。
思路分析：两截面的相互位置可能出现两种情况，一种是在球心O 的同侧，另一种是在球心O 的异侧。
解答过程：（1）当两截面在球心O 的同侧时，
如图所示，设这两个截面的半径分别为r 1, r 2，球心O 到截面的距离分别为d 1, d 2，球的半径为R 。
π⋅r 12=5π, π⋅r 22=8π, ∴r 12=5, r 22=8。
22222又 R =r 1+d 1=r 2+d 2，
2∴d 12-d 2=r 22-r 12=3，
即(d 1-d 2)(d 1+d 2) =3。
又 d 1-d 2=3，
⎧d 1-d 2=3, ⎧d 1=2, ∴⎨⎨d +d =1, 2⎩1解得⎩d 2=-1.
又 d 2>0, ∴这种情况不成立。
（2）当两截面在球心O 的异侧时，d 1+d 2=3，
由上述解法可知(d 1-d 2)(d 1+d 2) =3，
⎧d 1+d 2=3, ⎧d 1=2, ∴⎨⎨d -d =1, 2⎩1解得⎩d 2=1.
∴R =r 12+d 12=+4=3。
综上所述，这个球的半径为3。
解题后的思考：同学们要注意不要只对同侧的情况进行讨论，而忽略对另一种位置关系的讨论。
知识点五 画几何体的三视图
例8. 画出如图所示的三棱柱的三视图。
思路分析：在正视图中，中间的竖线看不到，应画成虚线；侧视图是从左侧看三棱柱投射到竖直的正对着的平面上的正投影，所以不是三棱柱的一个侧面，而应该是过底面正三角形的一条高线的矩形。
解答过程：
解题后的思考：画三视图的时候要做到“长对正、宽相等、高平齐”，还要注意实线与虚线的区别。
知识点六 三视图中的推测问题
例9. 根据下列三视图，说出各立体图形的形状。
思路分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体
得到的三个视图。正视图反映物体的主要形状特征，
主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。而俯视图和正视图共同反映物体的长相等。侧视图和俯视图共同反映物体的宽相等。据此就不难得出该几何体的形状。
解答过程：（1）圆台；（2）正四棱锥；（3）螺帽。
解题后的思考：三视图的画法里要注意“长对正”，“高平齐”，“宽相等”，另外，还要熟悉基本空间几何体的三视图。
七、直观图的还原与计算问题
例10. 已知△A′B′C′是水平放置的边长为a 的正三角形ABC 的斜二测水平直观图，那么△A′B′C′的面积为_________。
思路分析：先根据题意，画出直观图，然后根据△A′B′C′直观图的边长及夹角求解。
解答过程：如图甲、乙所示的实际图与直观图。
A 'B '=AB =a , O 'C '=13OC =a 24。
在图乙中作C′D′⊥A′B′于D′，则C 'D '=26O 'C '=a 28。所以S ∆A 'B 'C '=1166262A 'B '⋅C 'D '=⨯a ⨯a =a a 22816。故填16。
解题后的思考：该题求直观图的面积，因此应在直观图中求解，需先求出直观图的底和高，然后用三角形面积公式求解。本题旨在考查同学们对直观图画法的掌握情况。
例11. 如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是____________。
思路分析：先根据题意，由直观图画出原图形
解答过程：逆用斜二测画法的规则画出原图如下图所示，由BC//OA且BC=OA，易知OABC 为平行四边形。在上图中，易求O′B′=2，所以OB=22。
22AB =(22) +1=3。 又OA=1，所以在Rt △BOA 中，
故原图形的周长是2⨯(3+1) =8(cm ) ，应填8cm 。
解题后的思考：该题考查的是直观图与原图形之间的关系，及逆用斜二测画法的规则。
同步练习（答题时间：60分钟）
一、选择题：
1. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④
2. 将正三棱柱（底面为正三角形，侧面为矩形的棱柱）截去三个角（如图甲所示，
A 、B 、C 分别是△GHI 三边的中点）得到几何体如图乙所示，则该几何体按如图所示方向的侧视图为（ ）
3. 如果用表示一个立方体，用 表示两个立方体叠加，用表示三个立方
体叠加，那么下图中由7个正方体叠加而成的几何体的正视图是（ ）
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线
B. 梯形的直观图可能是平行四边形
C. 矩形的直观图可能是梯形
D. 正方形的直观图可能是平行四边形
5. 已知正三棱锥V —ABC 的正视图、俯视图如图所示，其中V A=4，AC=2，则该三棱锥得到侧视图的面积为（ ）
32A. 9 B. 6 C. D.
二、填空题：
6. 一个三角形用斜二测画法画出来是一个边长为1的正三角形，则此三角形的面积是_____________________
7. 圆台的两底面半径分别为2,5，母线长是3，则其轴截面面积是
三、解答题：
8. 画出下列几何体的三视图：
9. 如下图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图。若A 1D 1//O 1y ，
2A 1B 1=C 1D 1=2A 1B 1//C 1D 1，3，A 1D 1=O 1D 1=1。请画出原来的平面几何图形的形状，
并求原图形的面积
.
试题答案
一、选择题：
1. D
解析：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为D 。
2. A3. B4. D解析：梯形的上、下底互相平行，但其在直观图中的长度不相等。
5. C 解析：由三视图与原几何体之间的关系可知此几何体的侧视图不是一个等腰三角形，且此三角形的底边长等于正三角形ABC 的高线CF 的长，其高的长度等于原几何体的高。 由所给数据易解得原几何体的高为，CF=3，所以侧视图的面积为
S =13⨯3⨯=22，故选C 。
二、填空题： 6226. 27. 63解析：圆台的高=(3) -(5-2) =9，故其轴截面面积=63
三、解答题：
8. 解：这两个几何体的三视图如下图所示.
9. 解：如图，建立平面直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD =O 1D 1=1；OC =O 1C 1=2。
在过点D 的y 轴的平行线上截取DA =2D 1A 1=2。
在过点A 的x 轴的平行线上截取AB =A 1B 1=2。
连接BC ，即可得到原图形。
由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底的长度分别为AB =2, CD =3，直角腰的长度为AD =2， 所以面积为
S =2+3⨯2=52。