22.2.2解一元二次方程公式法

22.2解一元二次方程(公式法)

教学内容

1．一元二次方程求根公式的推导过程； 2．公式法的概念；

3．利用公式法解一元二次方程 一、复习引入

（学生活动）用配方法解下列方程 （1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52 总结用配方法解一元二次方程的步骤 （1）移项；

（2）化二次项系数为1；

（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；

（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；

（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 二、探索新知

如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．

问题：已知ax+bx+c=0（a≠0）且b-4ac≥0，试推导它的两个根x1

22

2a

x2

=

b2a

解：移项，得：ax2+bx=-c 二次项系数化为1，得x2+

ba

b2a

ba

x=-

ca

b2a

b2a

配方，得：x+

2

x+（）=-

2

ca

+（） 即 （x+

2

）=

2

b4ac4a

2

2

∵b2-4ac≥0且4a2>0 ∴

b4ac4a

22

≥0

直接开平方，得：x+

b2a

=

±

2a

即

x=

b2a

∴x1

2a

x2

2a

例1．用公式法解下列方程．

22

（1）2x-4x-1=0 （2）5x+2=3x （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0 应用拓展

例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）x

m2

2

+（m-2）x-1=0提出了下列问题．

（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程． （2）若使方程为一元一次方程，m是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？

2

分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m+1=2，同时还要满足（m+1）≠0． （2）要使它为一元一次方程，必须满足:

m211m210m10

①或②或③

m20(m1)(m2)0m20

解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2 m=1 m=±1

当m=1时，m+1=1+1=2≠0

当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当m=1时，方程为2x-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1

b-4ac=（-1）-4×2×（-1）=1+8=9

x=

(1)

22

12

2

2

2

2



134

x1=，x2=-

12

因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=- （2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0

因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以m=0满足题意．

②当m2+1=0，m不存在．

③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意．

当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0， 解得：x=-1

当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0 解得x=-13

．

因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-•1时，其一元一次方程的根为x=-

13

．

一、选择题

1．用公式法解方程4x-12x=3，得到（ ）．

A．

x=

3

2

2

B．

x=

32

C．

x=

32

D．

x=

32

2

x2

的根是（ ）．

A．x1

=

x2

B．x1=6，x2

C．x1

x2

D．x1=x2

3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（ ）． A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2

二、填空题

1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________． 2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．

3．若关于x的一元二次方程（m-1）x+x+m+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____． 三、综合提高题

1．用公式法解关于x的方程：x-2ax-b+a=0．

2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导x1+x2=-（2）•求代数式

a（x1+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．

3

2

2

22

2

ba

，x1·x2=

ca

；

3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，•那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10•元用电费外超过部分还要按每千瓦时

A100

元收费．

（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（•用A表示）

（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况

答案:

一、1．D 2．D 3．C 二、1．

2ab2-4ac≥0 2．4 3．-3

三、1．

2

2

=a±│b│

2．（1）∵x1、x2是ax+bx+c=0（a≠0）的两根， ∴x1

=

b

2a，x2

=

b2a

∴x1+x2

2a

ba

，

x1·x2

c

a2a2a

2

3

2

（2）∵x1，x2是ax2+bx+c=0的两根，∴ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0 原式=ax1+bx1+c1x1+ax2+bx2+cx2

=x1（ax12+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c） =0

3．（1）超过部分电费=（90-A）· （2）依题意，得：（80-A）·

A100

A100

1100

3

=-

A2+

910

A

=15，A1=30（舍去），A2=50

22.2解一元二次方程(公式法)

教学内容

1．一元二次方程求根公式的推导过程； 2．公式法的概念；

3．利用公式法解一元二次方程 一、复习引入

（学生活动）用配方法解下列方程 （1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52 总结用配方法解一元二次方程的步骤 （1）移项；

（2）化二次项系数为1；

（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；

（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；

（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 二、探索新知

如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．

问题：已知ax+bx+c=0（a≠0）且b-4ac≥0，试推导它的两个根x1

22

2a

x2

=

b2a

解：移项，得：ax2+bx=-c 二次项系数化为1，得x2+

ba

b2a

ba

x=-

ca

b2a

b2a

配方，得：x+

2

x+（）=-

2

ca

+（） 即 （x+

2

）=

2

b4ac4a

2

2

∵b2-4ac≥0且4a2>0 ∴

b4ac4a

22

≥0

直接开平方，得：x+

b2a

=

±

2a

即

x=

b2a

∴x1

2a

x2

2a

例1．用公式法解下列方程．

22

（1）2x-4x-1=0 （2）5x+2=3x （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0 应用拓展

例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）x

m2

2

+（m-2）x-1=0提出了下列问题．

（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程． （2）若使方程为一元一次方程，m是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？

2

分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m+1=2，同时还要满足（m+1）≠0． （2）要使它为一元一次方程，必须满足:

m211m210m10

①或②或③

m20(m1)(m2)0m20

解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2 m=1 m=±1

当m=1时，m+1=1+1=2≠0

当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当m=1时，方程为2x-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1

b-4ac=（-1）-4×2×（-1）=1+8=9

x=

(1)

22

12

2

2

2

2



134

x1=，x2=-

12

因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=- （2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0

因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以m=0满足题意．

②当m2+1=0，m不存在．

③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意．

当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0， 解得：x=-1

当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0 解得x=-13

．

因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-•1时，其一元一次方程的根为x=-

13

．

一、选择题

1．用公式法解方程4x-12x=3，得到（ ）．

A．

x=

3

2

2

B．

x=

32

C．

x=

32

D．

x=

32

2

x2

的根是（ ）．

A．x1

=

x2

B．x1=6，x2

C．x1

x2

D．x1=x2

3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（ ）． A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2

二、填空题

1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________． 2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．

3．若关于x的一元二次方程（m-1）x+x+m+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____． 三、综合提高题

1．用公式法解关于x的方程：x-2ax-b+a=0．

2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导x1+x2=-（2）•求代数式

a（x1+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．

3

2

2

22

2

ba

，x1·x2=

ca

；

3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，•那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10•元用电费外超过部分还要按每千瓦时

A100

元收费．

（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（•用A表示）

（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况

答案:

一、1．D 2．D 3．C 二、1．

2ab2-4ac≥0 2．4 3．-3

三、1．

2

2

=a±│b│

2．（1）∵x1、x2是ax+bx+c=0（a≠0）的两根， ∴x1

=

b

2a，x2

=

b2a

∴x1+x2

2a

ba

，

x1·x2

c

a2a2a

2

3

2

（2）∵x1，x2是ax2+bx+c=0的两根，∴ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0 原式=ax1+bx1+c1x1+ax2+bx2+cx2

=x1（ax12+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c） =0

3．（1）超过部分电费=（90-A）· （2）依题意，得：（80-A）·

A100

A100

1100

3

=-

A2+

910

A

=15，A1=30（舍去），A2=50