第2期离散信号与模拟信号的傅里叶变换的探讨
离散信号与模拟信号的傅里叶变换的探讨
黄植功
(广西师范大学物理与信息工程学院,广西 桂林 541004)
摘 要: 针对离散信号的傅里叶变换与模拟信号的傅里叶变换之间关系,介绍了一种与教材不
同,既简单又易于理解的推导方法;并对教材的 实际隐含了T=1的假设 提出不同的见解。
关键词: 数字信号处理;傅里叶变换;教学方法
中图分类号: TN911 7 文献标识码:A 文章编号:1003-7551(2005)02-0053-03
1 引言
数字信号处理 课程通常采用丁玉美、高西全编著的、由西安电子科技大学出版社出版的教材 数字信号处理 [1]。在承担本课程的教学工作中,在讲授第二章2 4节关于时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间关系时,教材采用的是复杂的数学推导,学生难以理解,笔者则采用一种与教材不同的推导方法,相对而言本方法比较简单和易于理解;另外笔者认为教材中的例2 4 1的有关 实际隐含了T=1的假设 的说法欠合理,并提出不同的见解。现详细叙述如下:
2 模拟信号、采样信号和离散信号
对模拟信号xa(t)以采样周期为T进行采样,设理想采样信号为xa(t),由采样得到的样本值xa(nT)得到时域离散信号x(n)。它们之间的关系如下:
xa(t)=
xa(nT) (t-nT)n=-
x(n)=xa(nT)
(1)(2)
教材的例2 4 1中,xa(t)=cos(2 f0t),f0=50Hz,采样频率为fs=200Hz,则
xa(t)=
n=-
n=-
cos(2 f0n/fs) (t-n/fs)= cos(0.5 n) (t-0.005n)
x(n)=cos(0.5 n)
3 模拟信号、采样信号和离散信号的傅里叶变换
根据理想采样的性质,采样信号xa(t)的频谱函数是xa(t)的频谱函数Xa(j )的周期延拓,周期为 s=2 /T,幅度除以采样周期T=,即
fs
Xa(j )=Tk= Xa[j( -k s)]-
(3)
现采用比较简单和易于理解的方法推导时域离散信号x(n)的频谱函数X(ej )与模拟信号傅里叶变换之间关系:
众所周知, (t-nT)的傅里叶变换为e- -
j nT
,即
-
(t-nT)e
-j t
dt=
(t-nT)e-
j nT
dt=e-
j nT
(4)
* 收稿日期:2005-04-20
西 物 理 Vol.26No.2 2005第26卷 第2期 广GUANGXIWULI因此,再根据式(1)和式(2),得到xa(t)的傅里叶变换为
Xa(j )=
xa(nT)e-n=- X(ej )=
jn T
=
x(n)e-n=-
j n
jn T
(5)
根据定义,x(n)的离散时间傅里叶变换为
x(n)e-n=-
(6)
比较式5与式6,有如下关系:
X(ej )=Xa(j )
再由式(3)得
X(e)=Xa(j )
j
=(7)
=k= X-ka
jT- TT
=
=
Tk=-
Xa
j-k s
T
(8)
至此,根据式(3)可知,对模拟信号xa(t)的频谱进行周期为 s的周期延拓,幅度除以采样周期T,则
可得到xa(t)的频谱Xa(j );比较式(3)和式(8)可知
,只需对Xa(j )进行尺度变换得到Xaj,再将
T
自变量换成数字频率 ,即可得到X(ej )。用图1配合可以直观地说明这些结论。相对本推导方法,教材中的推导过程比较繁琐,涉及求和与积分顺序的交换等数学知识,推导过程不易于理解,纯粹是数学推导。
图1
注意到Xa(j )与X(ej )的图形的不同在于横坐标的刻度不同,但符合数字频率与模拟角频率之间的关系: = T。如果采用归一化频率,即 = /2 , = / s,则横坐标的刻度也是一样的,只需将Xa(j )波形图的横坐标 换成 ,即可以得到X(ej )波形图。
4 对两种傅里叶变换的改进
现讨论教材中的例2 4 1,xa(t)=cos(2 f0t),f0=50Hz,采样频率为fs=200Hz,得到的理想采样信号为xa(t)=
j
n=-
cos(0.5 n) (t-0.005n)和时域离散信号x(n)=cos(0.5 n)。分别求Xa(j )、Xa(j )、
Xa(j )= [ ( -2 f0)+ ( +2 f0)]
Xa(j )=k= [ ( -2 f0-k s)+ ( +2 f0-k s)]
T-
X(e)。教材的解答如下:
(9)(10)(11)
X(e)=k= [ ( fs-2 f0-k 2 fs)+ ( fs+2 f0-k 2 fs)]
T-
j
第2期
j
离散信号与模拟信号的傅里叶变换的探讨
X(e)=k=
T-
--2 k+
+-2 k22
(12)
根据教材中第39页例2 3 3对x(n)=cos( 0n)进行傅里叶变换的结果,本例的 0=0.5 ,可得到
x(n)=cos(0.5 n)的傅里叶变换如下:
-2 k+
s
+-2 k22
式(12)和式(13)并不一致。为了使式(12)和式(13)一
X(e)= k= -
j
s-
(13)
致,教材给出的解释是 因为从模拟信号采样得到xa(nT),再变成序列x(n)。作为序列的x(n),不再考虑采样间隔的大小,实际隐含了T=1的假设 。最后给出结果如图2所示,从图中可见Xa(j )中各冲激分量的强度为。笔者认为教材给出,X(ej )中各冲激分量的强度为
T
的解释不合理。
为什么X(e)各冲激分量的强度与Xa(j )中各冲激分量的强度不相等,合理的解释应该如下:
由式(8)可知,由Xa(j )得到X(ej )过程中,实际是,再将自变量换成T
数字频率 ,即可得到X(ej )的表达式。如果对不含冲激对Xa(j )进行尺度变换,即Xaj
j
分量的一般函数进行尺度变换,则只对自变量本身进行变
图2
[2]
换,其函数值不变,图1正是这种情况。但对冲激函数 (t)进行尺度变换时,根据
-b= ( fs-b)=T -fTs
,有
(14)
例2 4 1中,由于Xa(j )由冲激分量构成,对Xa(j )进行尺度变换时,相当于对各冲激分量进行尺度变换,尺度变换后各冲激分量的强度变为原来的f倍,即T倍。教材的解答中式(11)是正确的,但在由式(11)
s
得出式(12)时,没有考虑到冲激函数尺度变换的特殊性。根据式(14),在由式(11)得出式(12)时,各冲激分量的强度应该除以fs或乘以T,这样就可以得到式(13)。因此,Xa(j )中各冲激分量的强度为,X(ej )中各
T
冲激分量的强度为 。显然,当模拟信号的频谱不含冲激分量时,例如图1的情况,教材中T=1的假设不能
成立,因为X(ej )的表达式[式(8)]中显含有参数T,必须考虑T具体的值,而不能认为T=1。
4 结束语
教材 数字信号处理 [1]一直以来是许多院校采用和肯定的教材,书中公式的推导都比较严谨,需要学者具有好的数学基础。作为教师,不可能完全照搬教材的方法,应该对教材中的方法、解释和假设等加以推敲,因材施教,研究出简单又让学生容易理解的推导方法,让学生更容易地获得知识,而且获得的是正确的知识,而不是把书本中错误的知识灌输给学生。以上是笔者根据有限的教学经验所提出的拙见,仅供参考,并因篇幅原因,不可能面面俱到。如有错漏,希望使用该教材、讲授该课程的同仁们或专家给予斧正。
参
考
文
献
[1]丁玉美,高西全编著 数字信号处理[M] 西安电子科技大学出版社,2000 [2]吴大正主编 信号与线性系统分析[M] 高等教育出版社,1998
第2期离散信号与模拟信号的傅里叶变换的探讨
离散信号与模拟信号的傅里叶变换的探讨
黄植功
(广西师范大学物理与信息工程学院,广西 桂林 541004)
摘 要: 针对离散信号的傅里叶变换与模拟信号的傅里叶变换之间关系,介绍了一种与教材不
同,既简单又易于理解的推导方法;并对教材的 实际隐含了T=1的假设 提出不同的见解。
关键词: 数字信号处理;傅里叶变换;教学方法
中图分类号: TN911 7 文献标识码:A 文章编号:1003-7551(2005)02-0053-03
1 引言
数字信号处理 课程通常采用丁玉美、高西全编著的、由西安电子科技大学出版社出版的教材 数字信号处理 [1]。在承担本课程的教学工作中,在讲授第二章2 4节关于时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间关系时,教材采用的是复杂的数学推导,学生难以理解,笔者则采用一种与教材不同的推导方法,相对而言本方法比较简单和易于理解;另外笔者认为教材中的例2 4 1的有关 实际隐含了T=1的假设 的说法欠合理,并提出不同的见解。现详细叙述如下:
2 模拟信号、采样信号和离散信号
对模拟信号xa(t)以采样周期为T进行采样,设理想采样信号为xa(t),由采样得到的样本值xa(nT)得到时域离散信号x(n)。它们之间的关系如下:
xa(t)=
xa(nT) (t-nT)n=-
x(n)=xa(nT)
(1)(2)
教材的例2 4 1中,xa(t)=cos(2 f0t),f0=50Hz,采样频率为fs=200Hz,则
xa(t)=
n=-
n=-
cos(2 f0n/fs) (t-n/fs)= cos(0.5 n) (t-0.005n)
x(n)=cos(0.5 n)
3 模拟信号、采样信号和离散信号的傅里叶变换
根据理想采样的性质,采样信号xa(t)的频谱函数是xa(t)的频谱函数Xa(j )的周期延拓,周期为 s=2 /T,幅度除以采样周期T=,即
fs
Xa(j )=Tk= Xa[j( -k s)]-
(3)
现采用比较简单和易于理解的方法推导时域离散信号x(n)的频谱函数X(ej )与模拟信号傅里叶变换之间关系:
众所周知, (t-nT)的傅里叶变换为e- -
j nT
,即
-
(t-nT)e
-j t
dt=
(t-nT)e-
j nT
dt=e-
j nT
(4)
* 收稿日期:2005-04-20
西 物 理 Vol.26No.2 2005第26卷 第2期 广GUANGXIWULI因此,再根据式(1)和式(2),得到xa(t)的傅里叶变换为
Xa(j )=
xa(nT)e-n=- X(ej )=
jn T
=
x(n)e-n=-
j n
jn T
(5)
根据定义,x(n)的离散时间傅里叶变换为
x(n)e-n=-
(6)
比较式5与式6,有如下关系:
X(ej )=Xa(j )
再由式(3)得
X(e)=Xa(j )
j
=(7)
=k= X-ka
jT- TT
=
=
Tk=-
Xa
j-k s
T
(8)
至此,根据式(3)可知,对模拟信号xa(t)的频谱进行周期为 s的周期延拓,幅度除以采样周期T,则
可得到xa(t)的频谱Xa(j );比较式(3)和式(8)可知
,只需对Xa(j )进行尺度变换得到Xaj,再将
T
自变量换成数字频率 ,即可得到X(ej )。用图1配合可以直观地说明这些结论。相对本推导方法,教材中的推导过程比较繁琐,涉及求和与积分顺序的交换等数学知识,推导过程不易于理解,纯粹是数学推导。
图1
注意到Xa(j )与X(ej )的图形的不同在于横坐标的刻度不同,但符合数字频率与模拟角频率之间的关系: = T。如果采用归一化频率,即 = /2 , = / s,则横坐标的刻度也是一样的,只需将Xa(j )波形图的横坐标 换成 ,即可以得到X(ej )波形图。
4 对两种傅里叶变换的改进
现讨论教材中的例2 4 1,xa(t)=cos(2 f0t),f0=50Hz,采样频率为fs=200Hz,得到的理想采样信号为xa(t)=
j
n=-
cos(0.5 n) (t-0.005n)和时域离散信号x(n)=cos(0.5 n)。分别求Xa(j )、Xa(j )、
Xa(j )= [ ( -2 f0)+ ( +2 f0)]
Xa(j )=k= [ ( -2 f0-k s)+ ( +2 f0-k s)]
T-
X(e)。教材的解答如下:
(9)(10)(11)
X(e)=k= [ ( fs-2 f0-k 2 fs)+ ( fs+2 f0-k 2 fs)]
T-
j
第2期
j
离散信号与模拟信号的傅里叶变换的探讨
X(e)=k=
T-
--2 k+
+-2 k22
(12)
根据教材中第39页例2 3 3对x(n)=cos( 0n)进行傅里叶变换的结果,本例的 0=0.5 ,可得到
x(n)=cos(0.5 n)的傅里叶变换如下:
-2 k+
s
+-2 k22
式(12)和式(13)并不一致。为了使式(12)和式(13)一
X(e)= k= -
j
s-
(13)
致,教材给出的解释是 因为从模拟信号采样得到xa(nT),再变成序列x(n)。作为序列的x(n),不再考虑采样间隔的大小,实际隐含了T=1的假设 。最后给出结果如图2所示,从图中可见Xa(j )中各冲激分量的强度为。笔者认为教材给出,X(ej )中各冲激分量的强度为
T
的解释不合理。
为什么X(e)各冲激分量的强度与Xa(j )中各冲激分量的强度不相等,合理的解释应该如下:
由式(8)可知,由Xa(j )得到X(ej )过程中,实际是,再将自变量换成T
数字频率 ,即可得到X(ej )的表达式。如果对不含冲激对Xa(j )进行尺度变换,即Xaj
j
分量的一般函数进行尺度变换,则只对自变量本身进行变
图2
[2]
换,其函数值不变,图1正是这种情况。但对冲激函数 (t)进行尺度变换时,根据
-b= ( fs-b)=T -fTs
,有
(14)
例2 4 1中,由于Xa(j )由冲激分量构成,对Xa(j )进行尺度变换时,相当于对各冲激分量进行尺度变换,尺度变换后各冲激分量的强度变为原来的f倍,即T倍。教材的解答中式(11)是正确的,但在由式(11)
s
得出式(12)时,没有考虑到冲激函数尺度变换的特殊性。根据式(14),在由式(11)得出式(12)时,各冲激分量的强度应该除以fs或乘以T,这样就可以得到式(13)。因此,Xa(j )中各冲激分量的强度为,X(ej )中各
T
冲激分量的强度为 。显然,当模拟信号的频谱不含冲激分量时,例如图1的情况,教材中T=1的假设不能
成立,因为X(ej )的表达式[式(8)]中显含有参数T,必须考虑T具体的值,而不能认为T=1。
4 结束语
教材 数字信号处理 [1]一直以来是许多院校采用和肯定的教材,书中公式的推导都比较严谨,需要学者具有好的数学基础。作为教师,不可能完全照搬教材的方法,应该对教材中的方法、解释和假设等加以推敲,因材施教,研究出简单又让学生容易理解的推导方法,让学生更容易地获得知识,而且获得的是正确的知识,而不是把书本中错误的知识灌输给学生。以上是笔者根据有限的教学经验所提出的拙见,仅供参考,并因篇幅原因,不可能面面俱到。如有错漏,希望使用该教材、讲授该课程的同仁们或专家给予斧正。
参
考
文
献
[1]丁玉美,高西全编著 数字信号处理[M] 西安电子科技大学出版社,2000 [2]吴大正主编 信号与线性系统分析[M] 高等教育出版社,1998