参与教师：李玉娇 郭兵 唐泽燕 肖兴斌 李朝阳
授课教师： 授课班级：
第十七章 勾股定理
（一）教材所处的地位
1、教材分析：本章是人教版《数学》八年级下册第17章，本章的主要内容是勾股定理及勾股定理的应用，教材从实践探索入手，给学生创设学习情境，接着研究直角三角形的勾股定理，介绍勾股定理的逆定理（直角三角形的判定方法），最后介绍勾股定理及勾股定理逆定理的广泛应用。
勾股定理是直角三角形的一个很重要的性质，反映了直角三角形三边之间的数量关系。在理论和实践上都有广泛的应用。勾股定理逆定理是判定一个三角形是不是直角三角形的一种古老而实用的方法。在“四边形”和“解直角三角形”相关章节中，勾股定理知识将得到更
1、议一议 ：画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。 当学生量出AB的长为5cm 时 提问：为什么呢？ 看书、讨论 归纳总结 得出结论
2、例1已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。 求证：a2＋b2=c2。
分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正
A
1
4×ab＋（b－a）2=c2，化简可证。
2
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明小
B
结： 命题1：
如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b.斜边长为c。那么a2b2c2 三、交流展示：
勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。、同学们，试一试？
3、例2已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。 求证：a2＋b2=c2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
b
b
b
a
a
1
ab＋c2 2
右边S=（a+b）2 左边S=4×
左边和右边面积相等，即
b
1
4×ab＋c2=（a+b）2 化简可证。
2
这样就证明了命题1的正确性我国把它叫勾股定理
四、归纳小结：什么叫勾股定理？怎样证明？
B
A
例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12， 求第三边。
分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。
例3（补充）已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。
A
D
B
⑴求等边△ABC的高。 ⑵求S△ABC。
分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要 创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做 法。欲求高CD，可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中， 但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=题可解。
四、归纳小结：
用勾股定理计算时，要先画好图形，并标好图形，理清边之间的关系，之后灵活运用勾股定理计算。
A
B
1
AB=3cm，则此2
A
B
C
例2（教材P25）一架2.6米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4米，如果梯子的顶端A沿强下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？
分析：⑴在△AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB。
（2）在△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD。 则BD=OD－OB，通过计算可知BD≠AC。
⑶进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算BD
例2（补充）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2
－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1） 求证：∠C=90°。
分析：⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大。②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。
⑵要证∠C=90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大。根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。
⑶由于a2+b2= （n2－1）2＋（2n）2=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）2= n4＋2n2＋1，从而a2+b2=c2，故命题获证。
一、必作题 ： 1．判断题。
⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。
⑵命题：“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半。”的逆命题是真命题。
⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这
个三角形是直角三角形。
⑷△ABC的三边之比是1：1：，则△ABC是直角三角形。
2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（ ）
A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。
B．如果c2= b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。 C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形。 D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形。 二、选做题：
3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）
A．a=8，b=15，c=17 B．a=9，b=12，c=15 C．a=5，b=3，c=2 D．a：b：c=2：3：4
4．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？ 1、a=3，b=22，c=； 2、 a=5，b=26，c=1。 六、作业布置:P34 1、2
板书设计： 勾股定理的逆定理（1） 命题1：命题2：勾股定理、勾股定理的逆定理 例1 例2 小结： 教学反思：
例1（P32）判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形： 1、a=15、b=8、c=17 2、a=13、b=14、c=15
分析：根据勾股定理及逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方。 看书 p32 、讨论 归纳 理解 例1解题方法。 了解勾股数。
三、交流展示：
例2 课本（P33例2）
分析：⑴了解方位角，及方位名词；
⑵依题意画出图形；
⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24， QR=30； ⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理 的逆定理，知∠
QPR=90
⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。
小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。 例3（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。 分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；
⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；
⑶根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形。 解略。
一、 填空
1．小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是 。
2．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 。
E
教学过程： 一课堂导入：
问题1、什么叫勾股定理？怎样用面积法证明？ 1、勾股定理的证明（面积法）
四个小直角三角形的面积如何表示：中间小正方形的边长如何表示：根据大正方形面积等于四个小直三角形的面积+小正方形的面积：
2、勾股定理的逆定理：__________________________ 考点：（１）已知直角三角形的任两边，求第三边 （２）证明线段的平方关系问题；
（３）作数轴上的2、3、5，„„等； （４）解决实际问题．、 二、合作探究：
1、（1）直角三角形斜边长是13，则以两直角边所作正方形的面积和是（ ） （2）由四根木棒，长度分别为3，4，5，6 若取其中三根木棒组成三角形，有( )种取法，其中，能构成直角三角形的是
（3）某直角三角形的勾股分别是另一直角三角形勾股的n倍，则这个三角形与另一直角三角形的弦之比是______
2、把一个直角三角形各边扩大N倍，它还是直角三角形吗？______ 把一个直角三角形各边加上一个N，它还是直角三角形吗？____ 把一个直角三角形各边都求平方根，它还是直角三角形吗？____ 选择一个进行证明，（并展示） 三、交流展示：
3.如何判定一个三角形是直角三角形 小组交流，讨论补充，
222222
先确定最大边（如c）验证c与ab是否具有相等关系，若c=ab，则△222
ABC是以∠C为直角的直角三角形；若c≠ab则△ABC不是直角三角形
c b
4、怎样求几何体的表面距离最短(教师画图) 小组交流，讨论补充， 1. 几何体的表面路径最短的问题，一般展开表面成平面。
2.利用两点之间线段最短，及勾股定理求解。
四、归纳小结：这节课你学了那些知识？还有那些知识不熟练？ 板书设计： 勾股定理复习
1、勾股定理的证明（面积法） 2、勾股定理的逆定理： 3.如何判定一个三角形是直角三角形 4、几何体的表面距离最短
参与教师：李玉娇 郭兵 唐泽燕 肖兴斌 李朝阳
授课教师： 授课班级：
第十七章 勾股定理
（一）教材所处的地位
1、教材分析：本章是人教版《数学》八年级下册第17章，本章的主要内容是勾股定理及勾股定理的应用，教材从实践探索入手，给学生创设学习情境，接着研究直角三角形的勾股定理，介绍勾股定理的逆定理（直角三角形的判定方法），最后介绍勾股定理及勾股定理逆定理的广泛应用。
勾股定理是直角三角形的一个很重要的性质，反映了直角三角形三边之间的数量关系。在理论和实践上都有广泛的应用。勾股定理逆定理是判定一个三角形是不是直角三角形的一种古老而实用的方法。在“四边形”和“解直角三角形”相关章节中，勾股定理知识将得到更
1、议一议 ：画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。 当学生量出AB的长为5cm 时 提问：为什么呢？ 看书、讨论 归纳总结 得出结论
2、例1已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。 求证：a2＋b2=c2。
分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正
A
1
4×ab＋（b－a）2=c2，化简可证。
2
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明小
B
结： 命题1：
如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b.斜边长为c。那么a2b2c2 三、交流展示：
勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。、同学们，试一试？
3、例2已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。 求证：a2＋b2=c2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
b
b
b
a
a
1
ab＋c2 2
右边S=（a+b）2 左边S=4×
左边和右边面积相等，即
b
1
4×ab＋c2=（a+b）2 化简可证。
2
这样就证明了命题1的正确性我国把它叫勾股定理
四、归纳小结：什么叫勾股定理？怎样证明？
B
A
例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12， 求第三边。
分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。
例3（补充）已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。
A
D
B
⑴求等边△ABC的高。 ⑵求S△ABC。
分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要 创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做 法。欲求高CD，可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中， 但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=题可解。
四、归纳小结：
用勾股定理计算时，要先画好图形，并标好图形，理清边之间的关系，之后灵活运用勾股定理计算。
A
B
1
AB=3cm，则此2
A
B
C
例2（教材P25）一架2.6米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4米，如果梯子的顶端A沿强下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？
分析：⑴在△AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB。
（2）在△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD。 则BD=OD－OB，通过计算可知BD≠AC。
⑶进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算BD
例2（补充）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2
－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1） 求证：∠C=90°。
分析：⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大。②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。
⑵要证∠C=90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大。根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。
⑶由于a2+b2= （n2－1）2＋（2n）2=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）2= n4＋2n2＋1，从而a2+b2=c2，故命题获证。
一、必作题 ： 1．判断题。
⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。
⑵命题：“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半。”的逆命题是真命题。
⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这
个三角形是直角三角形。
⑷△ABC的三边之比是1：1：，则△ABC是直角三角形。
2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（ ）
A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。
B．如果c2= b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。 C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形。 D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形。 二、选做题：
3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）
A．a=8，b=15，c=17 B．a=9，b=12，c=15 C．a=5，b=3，c=2 D．a：b：c=2：3：4
4．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？ 1、a=3，b=22，c=； 2、 a=5，b=26，c=1。 六、作业布置:P34 1、2
板书设计： 勾股定理的逆定理（1） 命题1：命题2：勾股定理、勾股定理的逆定理 例1 例2 小结： 教学反思：
例1（P32）判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形： 1、a=15、b=8、c=17 2、a=13、b=14、c=15
分析：根据勾股定理及逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方。 看书 p32 、讨论 归纳 理解 例1解题方法。 了解勾股数。
三、交流展示：
例2 课本（P33例2）
分析：⑴了解方位角，及方位名词；
⑵依题意画出图形；
⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24， QR=30； ⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理 的逆定理，知∠
QPR=90
⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。
小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。 例3（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。 分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；
⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；
⑶根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形。 解略。
一、 填空
1．小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是 。
2．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 。
E
教学过程： 一课堂导入：
问题1、什么叫勾股定理？怎样用面积法证明？ 1、勾股定理的证明（面积法）
四个小直角三角形的面积如何表示：中间小正方形的边长如何表示：根据大正方形面积等于四个小直三角形的面积+小正方形的面积：
2、勾股定理的逆定理：__________________________ 考点：（１）已知直角三角形的任两边，求第三边 （２）证明线段的平方关系问题；
（３）作数轴上的2、3、5，„„等； （４）解决实际问题．、 二、合作探究：
1、（1）直角三角形斜边长是13，则以两直角边所作正方形的面积和是（ ） （2）由四根木棒，长度分别为3，4，5，6 若取其中三根木棒组成三角形，有( )种取法，其中，能构成直角三角形的是
（3）某直角三角形的勾股分别是另一直角三角形勾股的n倍，则这个三角形与另一直角三角形的弦之比是______
2、把一个直角三角形各边扩大N倍，它还是直角三角形吗？______ 把一个直角三角形各边加上一个N，它还是直角三角形吗？____ 把一个直角三角形各边都求平方根，它还是直角三角形吗？____ 选择一个进行证明，（并展示） 三、交流展示：
3.如何判定一个三角形是直角三角形 小组交流，讨论补充，
222222
先确定最大边（如c）验证c与ab是否具有相等关系，若c=ab，则△222
ABC是以∠C为直角的直角三角形；若c≠ab则△ABC不是直角三角形
c b
4、怎样求几何体的表面距离最短(教师画图) 小组交流，讨论补充， 1. 几何体的表面路径最短的问题，一般展开表面成平面。
2.利用两点之间线段最短，及勾股定理求解。
四、归纳小结：这节课你学了那些知识？还有那些知识不熟练？ 板书设计： 勾股定理复习
1、勾股定理的证明（面积法） 2、勾股定理的逆定理： 3.如何判定一个三角形是直角三角形 4、几何体的表面距离最短