教学内容：2.1二次函数
教学目标：
1、 从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步
体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 2、 理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。
3、 会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。 4、 会用待定系数法求二次函数的解析式。 教学重点：二次函数的概念和解析式
教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。 教学方法：类比 启发 教学辅助：投影片 教学过程：
一、创设情境，导入新课
问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？
问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数” （板书课题）
二、合作学习，探索新知
请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系： （1）面积y (cm2) 与圆的半径 x ( Cm )
(2)王先生存人银行2万元, 先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期, 设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y 元;
(3)拟建中的一个温室的平面图如图, 如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图, 设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2)
（一） 教师组织合作学习活动：
1、 先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式。
2、 上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。 （1）y =πx 2 （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x2+40000x+20000 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x2+58x-112
（二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？
让学生充分发表意见，提出各自看法。
教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax²+bx+c (a,b,c是常数, a≠0) 的形式. 板书：我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,C 是常数，a ≠0) 的函数叫做二次函数(quadratic funcion)
称a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项，
请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项 （二） 做一做
1、 下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y =x 2 (2) y =-
12
(3) y =2x -x -1 （4）y =x (1-x ) 2x
（5）y =(x -1) 2-(x +1)(x -1)
2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）y =x 2+1 （2）y =3x 2+7x -12 （3）y =2x (1-x ) 3、若函数y =(m 2-1) x m 三、例题示范，了解规律
例2、已知二次函数 y =x 2+px +q 当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5。求这个二次函数的解析式。
此题难度较小，但却反映了求二次函数解析式的一般方法，可让学生一边说，教师一边板书示范，强调书写格式和思考方法。
练习：已知二次函数y =ax +bx +c ，当x=2时，函数值是3；当x=-2时，函数值是2。求这个二次函数的解析式。
例1、如图，一张正方形纸板的边长为2cm ，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设AE=BF=CG=DH=x(cm) ,四边形EFGH 的面积为y(cm2), 求： （1） y 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围。
（2） 当x 分别为0.25，0.5，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH 的面积，并列表表示。
2
2
-m
为二次函数，则m 的值为 。
H
C
F
A
方法：
E
B
（1）学生独立分析思考，尝试写出y 关于x 的函数解析式，教师巡回辅导，适时点拨。 （2）对于第一个问题可以用多种方法解答，比如：
求差法：四边形EFGH 的面积=正方形ABCD 的面积-直角三角形AEH 的面积DE4倍。 直接法：先证明四边形EFGH 是正方形，再由勾股定理求出EH 2
(3)对于自变量的取值范围，要求学生要根据实际问题中自变量的实际意义来确定。
（4）对于第（2）小题，在求解并列表表示后，重点让学生看清x 与y 之间数值的对应关系和内在的规律性：随着x 的取值的增大，y 的值先减后增；y 的值具有对称性。
四、归纳小结，反思提高
本节课你有什么收获？ 五、布置作业 课本作业题
板书设计：
概念 ： 例1 例1 解： 解：
练习 练习
教学反思：
本节课学生对有关概念都很好的落实，亮点在于练习设计有梯度，本节例题学生掌握很好。
2.2二次函数的图像（1）
教学目标：
1、经历描点法画函数图像的过程；
2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征； 3、掌握y =ax 2型二次函数图像的特征；
4、经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。 教学重点：
y =ax 2型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳
教学难点：
选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂。 教学方法：演示法 教学辅助：多媒体 教学过程： 一、回顾知识
前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数的？ 先（用描点法画出函数的图像，再结合图像研究性质。） 引入：我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即y =ax 2入手。因此本节课要讨论二次函数y =ax 2（a ≠0）的图像。
2
板书课题：二次函数y =ax （a ≠0）图像
二、探索图像
1、 用描点法画出二次函数 y =x 和y =-x 图像 （1） 列表
2
2
引导学生观察上表，思考一下问题：
①无论x 取何值，对于y =x 来说，y 的值有什么特征？对于y =-x 来说，又有什么特征？ ②当x 取±
2
2
1
, ±1 等互为相反数时，对应的y 的值有什么特征？ 2
2
2
（2） 描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）. （3） 连线，用平滑曲线按照x 由小到大的顺序连接起来，从而分别得到y =x 和y =-x
的图像。
2、 练习：在同一直角坐标系中画出二次函数y =2x 2 和y =-2x 2的图像。 学生画图像，教师巡视并辅导学困生。（利用实物投影仪进行讲评） 3、二次函数y =ax 2（a ≠0）的图像 由上面的四个函数图像概括出：
（1） 二次函数的y =ax 2图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线， （2） 这条抛物线关于y 轴对称，y 轴就是抛物线的对称轴。
（3） 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y 轴的交点。
（4） 当a o 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像在x 轴的上方(除
顶点外) ；当a o 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图像在x 轴的 下方(除顶点外) 。
（最好是用几何画板演示，让学生加深理解与记忆）
三、课堂练习 观察二次函数y =x 2和y =-x 2的图像
2
2
(2)在同一坐标系内，抛物线y =x 和抛物线y =-x 的位置有什么关系？如果在同一个坐标系内画二次函数y =ax 和y =-ax 的图像怎样画更简便？
(抛物线y =x 与抛物线y =-x 关于x 轴对称，只要画出y =ax 与y =-ax 中的一条抛物线，另一条可利用关于x 轴对称来画) 四、例题讲解
2
例题：已知二次函数y =ax （a ≠0）的图像经过点（-2，-3）。
2
2
2
2
2
2
（1） 求a 的值，并写出这个二次函数的解析式。
（2） 说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。 练习：（1）课本第31页课内练习第2题。 (2) 已知抛物线y=ax2经过点A （-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B （-1，- 4）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。 五、谈收获
1. 二次函数y=ax2(a≠0) 的图像是一条抛物线. 2. 图象关于y 轴对称, 顶点是坐标原点
3. 当a>0时, 抛物线的开口向上, 顶点是抛物线上的最低点; 当a
板书设计：
y x 2 例1
解： 解：
练习 练习
教学反思：
本节课学生对性质都能很好的理解，亮点在于学生跟着操作，学生掌握很好。学生对画图细节掌握不是很好，有待于今后教学多给
2.2二次函数的图像（2）
教学目标：
1、经历二次函数图像平移的过程；理解函数图像平移的意义。
2、了解y =ax 2，y =a (x +m ) 2，y =a (x +m ) 2+k 三类二次函数图像之间的关系。 3、会从图像的平移变换的角度认识y =a (x +m ) 2+k 型二次函数的图像特征。 教学重点：从图像的平移变换的角度认识y =a (x +m ) 2+k 型二次函数的图像特征。 教学难点：对于平移变换的理解和确定，学生较难理解。 教学方法：类比 启发 教学辅助：多媒体 教学过程： 一、知识回顾
二次函数y =ax 2的图像和特征：
1、名称；2、顶点坐标3、对称轴 4、当a o 时，抛物线的开口向，顶点是抛物线上的最点，图像在x 轴的(除顶点外) ；当a o 时，抛物线的开口向 ，顶点是抛物线上的最 点图像在x 轴的 (除顶点外) 。 二、合作学习
在同一坐标系中画出函数图像y =（1） （2） （3） （4）
1211
x ，y =(x +2) 2, y =(x -2) 2的图像。 222
请比较这三个函数图像有什么共同特征？
顶点和对称轴有什么关系？
图像之间的位置能否通过适当的变换得到？ 由此，你发现了什么？
2
2
三、探究二次函数y =ax 和y =a (x +m ) 图像之间的关系 1、 结合学生所画图像，引导学生观察y =
11
(x +2) 2, 与y =x 2的图像位置关系，直观得22
121向左平移两个单位
−→y =(x +2) 2, 的图像。 出y =x 的图像−−−−−
22
向左平移两个单位
教师可以采取以下措施：①借助几何画板演示几个对应点的位置关系 ，如：
−→（-2，0） （0，0）−−−−−
−→（0，2）（2，2）−−−−−； −→（-4，2） （-2，2）−−−−−
②也可以把这些对应点在图像上用彩色粉笔标出，并用带箭头的线段表示平移过程。 2、 用同样的方法得出y =
向左平移两个单位
向左平移两个单位
112向右平移两个单位
x 的图像−−−−−−→y =(x -2) 2的图像。
22
教学内容：2.1二次函数
教学目标：
1、 从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步
体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 2、 理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。
3、 会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。 4、 会用待定系数法求二次函数的解析式。 教学重点：二次函数的概念和解析式
教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。 教学方法：类比 启发 教学辅助：投影片 教学过程：
一、创设情境，导入新课
问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？
问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数” （板书课题）
二、合作学习，探索新知
请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系： （1）面积y (cm2) 与圆的半径 x ( Cm )
(2)王先生存人银行2万元, 先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期, 设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y 元;
(3)拟建中的一个温室的平面图如图, 如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图, 设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2)
（一） 教师组织合作学习活动：
1、 先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式。
2、 上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。 （1）y =πx 2 （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x2+40000x+20000 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x2+58x-112
（二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？
让学生充分发表意见，提出各自看法。
教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax²+bx+c (a,b,c是常数, a≠0) 的形式. 板书：我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,C 是常数，a ≠0) 的函数叫做二次函数(quadratic funcion)
称a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项，
请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项 （二） 做一做
1、 下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y =x 2 (2) y =-
12
(3) y =2x -x -1 （4）y =x (1-x ) 2x
（5）y =(x -1) 2-(x +1)(x -1)
2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）y =x 2+1 （2）y =3x 2+7x -12 （3）y =2x (1-x ) 3、若函数y =(m 2-1) x m 三、例题示范，了解规律
例2、已知二次函数 y =x 2+px +q 当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5。求这个二次函数的解析式。
此题难度较小，但却反映了求二次函数解析式的一般方法，可让学生一边说，教师一边板书示范，强调书写格式和思考方法。
练习：已知二次函数y =ax +bx +c ，当x=2时，函数值是3；当x=-2时，函数值是2。求这个二次函数的解析式。
例1、如图，一张正方形纸板的边长为2cm ，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设AE=BF=CG=DH=x(cm) ,四边形EFGH 的面积为y(cm2), 求： （1） y 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围。
（2） 当x 分别为0.25，0.5，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH 的面积，并列表表示。
2
2
-m
为二次函数，则m 的值为 。
H
C
F
A
方法：
E
B
（1）学生独立分析思考，尝试写出y 关于x 的函数解析式，教师巡回辅导，适时点拨。 （2）对于第一个问题可以用多种方法解答，比如：
求差法：四边形EFGH 的面积=正方形ABCD 的面积-直角三角形AEH 的面积DE4倍。 直接法：先证明四边形EFGH 是正方形，再由勾股定理求出EH 2
(3)对于自变量的取值范围，要求学生要根据实际问题中自变量的实际意义来确定。
（4）对于第（2）小题，在求解并列表表示后，重点让学生看清x 与y 之间数值的对应关系和内在的规律性：随着x 的取值的增大，y 的值先减后增；y 的值具有对称性。
四、归纳小结，反思提高
本节课你有什么收获？ 五、布置作业 课本作业题
板书设计：
概念 ： 例1 例1 解： 解：
练习 练习
教学反思：
本节课学生对有关概念都很好的落实，亮点在于练习设计有梯度，本节例题学生掌握很好。
2.2二次函数的图像（1）
教学目标：
1、经历描点法画函数图像的过程；
2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征； 3、掌握y =ax 2型二次函数图像的特征；
4、经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。 教学重点：
y =ax 2型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳
教学难点：
选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂。 教学方法：演示法 教学辅助：多媒体 教学过程： 一、回顾知识
前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数的？ 先（用描点法画出函数的图像，再结合图像研究性质。） 引入：我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即y =ax 2入手。因此本节课要讨论二次函数y =ax 2（a ≠0）的图像。
2
板书课题：二次函数y =ax （a ≠0）图像
二、探索图像
1、 用描点法画出二次函数 y =x 和y =-x 图像 （1） 列表
2
2
引导学生观察上表，思考一下问题：
①无论x 取何值，对于y =x 来说，y 的值有什么特征？对于y =-x 来说，又有什么特征？ ②当x 取±
2
2
1
, ±1 等互为相反数时，对应的y 的值有什么特征？ 2
2
2
（2） 描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）. （3） 连线，用平滑曲线按照x 由小到大的顺序连接起来，从而分别得到y =x 和y =-x
的图像。
2、 练习：在同一直角坐标系中画出二次函数y =2x 2 和y =-2x 2的图像。 学生画图像，教师巡视并辅导学困生。（利用实物投影仪进行讲评） 3、二次函数y =ax 2（a ≠0）的图像 由上面的四个函数图像概括出：
（1） 二次函数的y =ax 2图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线， （2） 这条抛物线关于y 轴对称，y 轴就是抛物线的对称轴。
（3） 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y 轴的交点。
（4） 当a o 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像在x 轴的上方(除
顶点外) ；当a o 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图像在x 轴的 下方(除顶点外) 。
（最好是用几何画板演示，让学生加深理解与记忆）
三、课堂练习 观察二次函数y =x 2和y =-x 2的图像
2
2
(2)在同一坐标系内，抛物线y =x 和抛物线y =-x 的位置有什么关系？如果在同一个坐标系内画二次函数y =ax 和y =-ax 的图像怎样画更简便？
(抛物线y =x 与抛物线y =-x 关于x 轴对称，只要画出y =ax 与y =-ax 中的一条抛物线，另一条可利用关于x 轴对称来画) 四、例题讲解
2
例题：已知二次函数y =ax （a ≠0）的图像经过点（-2，-3）。
2
2
2
2
2
2
（1） 求a 的值，并写出这个二次函数的解析式。
（2） 说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。 练习：（1）课本第31页课内练习第2题。 (2) 已知抛物线y=ax2经过点A （-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B （-1，- 4）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。 五、谈收获
1. 二次函数y=ax2(a≠0) 的图像是一条抛物线. 2. 图象关于y 轴对称, 顶点是坐标原点
3. 当a>0时, 抛物线的开口向上, 顶点是抛物线上的最低点; 当a
板书设计：
y x 2 例1
解： 解：
练习 练习
教学反思：
本节课学生对性质都能很好的理解，亮点在于学生跟着操作，学生掌握很好。学生对画图细节掌握不是很好，有待于今后教学多给
2.2二次函数的图像（2）
教学目标：
1、经历二次函数图像平移的过程；理解函数图像平移的意义。
2、了解y =ax 2，y =a (x +m ) 2，y =a (x +m ) 2+k 三类二次函数图像之间的关系。 3、会从图像的平移变换的角度认识y =a (x +m ) 2+k 型二次函数的图像特征。 教学重点：从图像的平移变换的角度认识y =a (x +m ) 2+k 型二次函数的图像特征。 教学难点：对于平移变换的理解和确定，学生较难理解。 教学方法：类比 启发 教学辅助：多媒体 教学过程： 一、知识回顾
二次函数y =ax 2的图像和特征：
1、名称；2、顶点坐标3、对称轴 4、当a o 时，抛物线的开口向，顶点是抛物线上的最点，图像在x 轴的(除顶点外) ；当a o 时，抛物线的开口向 ，顶点是抛物线上的最 点图像在x 轴的 (除顶点外) 。 二、合作学习
在同一坐标系中画出函数图像y =（1） （2） （3） （4）
1211
x ，y =(x +2) 2, y =(x -2) 2的图像。 222
请比较这三个函数图像有什么共同特征？
顶点和对称轴有什么关系？
图像之间的位置能否通过适当的变换得到？ 由此，你发现了什么？
2
2
三、探究二次函数y =ax 和y =a (x +m ) 图像之间的关系 1、 结合学生所画图像，引导学生观察y =
11
(x +2) 2, 与y =x 2的图像位置关系，直观得22
121向左平移两个单位
−→y =(x +2) 2, 的图像。 出y =x 的图像−−−−−
22
向左平移两个单位
教师可以采取以下措施：①借助几何画板演示几个对应点的位置关系 ，如：
−→（-2，0） （0，0）−−−−−
−→（0，2）（2，2）−−−−−； −→（-4，2） （-2，2）−−−−−
②也可以把这些对应点在图像上用彩色粉笔标出，并用带箭头的线段表示平移过程。 2、 用同样的方法得出y =
向左平移两个单位
向左平移两个单位
112向右平移两个单位
x 的图像−−−−−−→y =(x -2) 2的图像。
22