《经济师》2000年第6期
●证券市场
证券投资组合优化的数学模型分析
●刘大赵
一、证券投资的收益率与风险
投资者投资于某种证券是为获得收益。若投资者在t时期初以单价Pit购进证券i,在该期发行证券i的公司分发给投资者的单位证券股利或利息为Ait,在t+1时期初证券i的市场价格为Pit+1,则投资者在该期的投资收益率ri=[(Pit+1-Pit)+Ait]/Pit。由于它受证券市场以及股份公司经营业绩等因素的影响,所以ri是一个随机变量,用其数学期望ui=E(ri)表示该证券预期收益率的大小,ui越大,则该证券的获利能力越强。假设投资者所能选择的证券种类有n个,各种证券在证券总投资中所占的比重分别为W1、W2、…、Wn,其中W1+W2+…+Wn=1,用向量表示W=(W1,W2,…,Wn)T,其中ETnW=1,En=(1,1,…,1)T;收益率分别为r1、r2、…、rn,用向量表示R=(r1,r2,…,rn)T;预期收益率分别为u1、u2、…、un,用向量表示U=E(R)
T
=(u1、…、u2、un),则该证券投资组合的收益率r为各种证券收益率的加权平均数,即
r=r1W1+r2W2+…+rnwn=
6
n
i=1
riwi=RTW (1)
预期收益率u为各种证券预期收益率的加权平均数,即u=E(r)=u1W1+u2W2+…+unwn=
6
n
i=1
uiwi=UTW (2)
由于证券市场受到许多不确定因素的影响,既可能给投资者带来收益,也可能给投资者带来意料之外的损失,因此证券投资收益具有不确定性,这就是证券投资的风险。作为风险的衡量标准是证券投资的收益率与其预期收益率的离散程度,因此,可
2
以用证券i的投资收益率ri的方差R2i=D(ri)=E(ri-ui)表示证券i投资风险的大小。在含有n种证券的投资组合中,证券投资组合的风险并不是单个证券投资风险的简单加权平均。它不仅与单个证券的投资风险有关,还与各种证券之间的相关性有
2
关。用方差Rii=Ri=D(ri)表示第i种证券的投资风险(i=1,2,…,n),协方差Rij=Rji=cov(ri,rj)表示第i种证券与第j种证券投资收益率的相关系数(i,j=1,2,…,n),V=(Rij)n×n为r的协方差矩阵
R11 R12 … R1nR21 R22 … R2n
V=
… … … …Rn1 Rn2 … R2
则证券投资组合的风险R为
R2=D(r)=
66
nn
T
(WiWjRij)=WVW (3)
i=1j=1
二、证券投资组合优化的数学模型
根据Markowitz的投资理论,理性的投资行为应具有“非满足性”和“风险回避性”两个特征,即投资者在承受相同风险的条件下总是选择较高收益率的证券投资组合,或者在具有相同收
益率的情况下选择较小风险的证券投资组合。投资者根据以上两个特征进行证券投资组合优化,构造自己满意的证券投资组合。根据证券投资组合的收益率、预期收益率和风险的表达式(1)、(2)和(3),证券投资组合的收益率、预期收益率和风险都是由证券投资比例向量W所决定,因此投资者进行证券投资组合优化的关键是选择投资比例向量W。
1、使预期收益率最大的证券投资组合优化模型。在证券投
2
资组合的风险R为一定的前提下,为了使证券投资组合的预期u最大,根据(2)和(3)式建立以下模型(A):
maxu=UTWWTVW=R2ETnW=1
格朗日乘数法,以上最大值问题可转化成下列最大值问题:
T2T
maxu=UTW+K1(WVW-R)+K2(EnW-1)
如果Y存在最大值,则u也存在最大值。可以通过对Wi(i=1,…,n)、K1和K2分别求偏导,即
《经济师》2000年第6期
●证券市场
证券投资组合优化的数学模型分析
●刘大赵
一、证券投资的收益率与风险
投资者投资于某种证券是为获得收益。若投资者在t时期初以单价Pit购进证券i,在该期发行证券i的公司分发给投资者的单位证券股利或利息为Ait,在t+1时期初证券i的市场价格为Pit+1,则投资者在该期的投资收益率ri=[(Pit+1-Pit)+Ait]/Pit。由于它受证券市场以及股份公司经营业绩等因素的影响,所以ri是一个随机变量,用其数学期望ui=E(ri)表示该证券预期收益率的大小,ui越大,则该证券的获利能力越强。假设投资者所能选择的证券种类有n个,各种证券在证券总投资中所占的比重分别为W1、W2、…、Wn,其中W1+W2+…+Wn=1,用向量表示W=(W1,W2,…,Wn)T,其中ETnW=1,En=(1,1,…,1)T;收益率分别为r1、r2、…、rn,用向量表示R=(r1,r2,…,rn)T;预期收益率分别为u1、u2、…、un,用向量表示U=E(R)
T
=(u1、…、u2、un),则该证券投资组合的收益率r为各种证券收益率的加权平均数,即
r=r1W1+r2W2+…+rnwn=
6
n
i=1
riwi=RTW (1)
预期收益率u为各种证券预期收益率的加权平均数,即u=E(r)=u1W1+u2W2+…+unwn=
6
n
i=1
uiwi=UTW (2)
由于证券市场受到许多不确定因素的影响,既可能给投资者带来收益,也可能给投资者带来意料之外的损失,因此证券投资收益具有不确定性,这就是证券投资的风险。作为风险的衡量标准是证券投资的收益率与其预期收益率的离散程度,因此,可
2
以用证券i的投资收益率ri的方差R2i=D(ri)=E(ri-ui)表示证券i投资风险的大小。在含有n种证券的投资组合中,证券投资组合的风险并不是单个证券投资风险的简单加权平均。它不仅与单个证券的投资风险有关,还与各种证券之间的相关性有
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关。用方差Rii=Ri=D(ri)表示第i种证券的投资风险(i=1,2,…,n),协方差Rij=Rji=cov(ri,rj)表示第i种证券与第j种证券投资收益率的相关系数(i,j=1,2,…,n),V=(Rij)n×n为r的协方差矩阵
R11 R12 … R1nR21 R22 … R2n
V=
… … … …Rn1 Rn2 … R2
则证券投资组合的风险R为
R2=D(r)=
66
nn
T
(WiWjRij)=WVW (3)
i=1j=1
二、证券投资组合优化的数学模型
根据Markowitz的投资理论,理性的投资行为应具有“非满足性”和“风险回避性”两个特征,即投资者在承受相同风险的条件下总是选择较高收益率的证券投资组合,或者在具有相同收
益率的情况下选择较小风险的证券投资组合。投资者根据以上两个特征进行证券投资组合优化,构造自己满意的证券投资组合。根据证券投资组合的收益率、预期收益率和风险的表达式(1)、(2)和(3),证券投资组合的收益率、预期收益率和风险都是由证券投资比例向量W所决定,因此投资者进行证券投资组合优化的关键是选择投资比例向量W。
1、使预期收益率最大的证券投资组合优化模型。在证券投
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资组合的风险R为一定的前提下,为了使证券投资组合的预期u最大,根据(2)和(3)式建立以下模型(A):
maxu=UTWWTVW=R2ETnW=1
格朗日乘数法,以上最大值问题可转化成下列最大值问题:
T2T
maxu=UTW+K1(WVW-R)+K2(EnW-1)
如果Y存在最大值,则u也存在最大值。可以通过对Wi(i=1,…,n)、K1和K2分别求偏导,即