第33卷第3期 2004年9月
上海师范大学学报(自然科学版) V ol.33, N o.3Sep . 2004
Jour nal of Shanghai N orm al U ni versi t y(N at ur al Sci ences)
大角度单摆的周期
魏慧军, 朱炯明
1
2
(1.上海外国语大学附属大境中学,上海200011; 2. 上海师范大学数理信息学院,上海200234)
摘 要:讨论了对大角度单摆的周期公式的修正, 并用数值方法对修正前后的周期进行对比、分析. 结果表明修正的效果是明显的. 关键词:单摆周期; 大角度; 数值解
中图分类号:O 322 文献标识码:C 文章编号:1000-5137(2004)03-0103-03
无论是在中学物理,还是在大学物理的力学教学中,我们都要研究单摆,就要涉及到切向运动方程
m l θ=-m gsi nθ,
¨o
¨
(1)
其中m 是摆球的质量,l是摆长,θ是摆角,θ是角加速度.然而,我们无法通过求解上述微分方程得出单摆的周期T ,于是只能分析在摆角小于5情况下的小角度单摆作简谐运动时的近似周期.当角度θ很小
¨
,这是一个标的时候,其正弦函数值近似等于θ的弧度值,即si nθ,于是切向方程(1)变为m l θ=-m gθ准的简谐振动方程,对应的角频率为ω=
/l,由此可得到单摆的周期T =2π
o
l
. g
(2)
≈θ的关系不再但当摆角大于5或更大的时候,这个周期公式就不再适用了,原因是摆角大时,si nθ成立.
1 修正公式
θθ
cos 来作适当的近似.为便于求解方程,将半角公式中的22
θm θθθ
代替cos 近似为θ中的θ,从而得到另一种近似关系si nθ≈θcos .代入切向si n m
2222
¨θm
cos ,这同样是一个标准的简谐振动方程,对应的周期为方程(1) 后得到m l θ=-m gθ
2
但我们可以利用半角公式si nθ=2si n
T =2π
l θm
gcos
2
(3)
2 讨论与结果
在以上分析中,我们分别用θ和θcos
收稿日期:2004-05-12
作者简介:魏慧军(1973-) ,女,上海外国语大学附属大境中学教师,上海师范大学数理信息学院课程与教学论教育硕士研究生.朱炯明(1948-) ,男,上海师范大学数理信息学院教授.
θm
近似代替了切向方程(1)式中的si nθ,那么这样的近似处2
理究竟会带来多少误差呢?我们先用数值方法画出si nθ,θ,θcos
θm
的曲线,定性地看一下三者的关系.2
=20°时的曲线,图1(b) 是最大摆角θ=80°
时的曲线.图1(a) 是最大摆角θm m
(a) θ (b) θm =20°m =30°
图1 最大摆角θ和θcos m 的曲线sinθ,θ
θm 2
图1中si nθ是正弦曲线,θ是斜率为1的直线,θcos
θθm m
是斜率为cos 的直线,这一斜率总是小于22
1的,θm 越小则斜率越大,越接近1.从图1中看出,摆幅θm 小的时候三者的差别很小.当摆幅θm 大的时候,直线θcos
θm
的斜率明显小于1,另外,从图1中看出,在θ较小的区域,θ与si nθ比较接近,而在θ较2
θm
更接近si nθ.虽然两种近似各有所长,但考虑到单摆在θ小的区域运动时速度较2
大的区域,则是θcos
大,花的时间较少,而在θ大的区域运动速度小,花的时间相应较多,所以在计算周期时,θ大的区域尤为重要.这样,对于大角度单摆,由(3)式算得周期应该比(2)式更准确些.
为了证实这一点,我们用数值方法计算出各种摆幅的单摆周期的数值,并与用近似周期公式(2)式和(3) 式算得的结果进行比较.
数值计算的方法如下:
①由方程(1) 可得任意给定角度的角加速度θ=-·¨
g
nθ; l
··
¨
②由角速度和角加速度可算出下一时刻的角速度θ=θ+θΔt;③再由角度和角速度可算出下一时刻的角度θ=θ+θΔt.
·
初始时刻,θ=θm , θ=0,然后循环计算,即可得任一时刻的角度.当角度θ=0时对应的时间即为1/4周期.不失一般性,在计算中取l =1, g =9.8,另外,计算步长Δt取得越小,则计算精度越高.选择一些摆幅进行计算(表1) ,其中周期1由(2)式算得,周期2由(3)式算得,周期3由数值计算得出(数值解),误差1是周期1与周期3之间的相对差,误差2是周期2与周期3之间的相对差.
表1 用近似公式(2) ,(3)式计算的单摆周期与数值计算比较
摆幅(角度)
[1**********]0
摆幅(弧度) 0.0349070.0872660.1745330.5235990.6981321.221731.570796
周期12.00712.00712.00712.00712.00712.00712.0071
周期22.00722.00802.01092.04222.07052.21762.3868
周期32.00722.00762.01042.04162.06962.21162.3688
误差10.01%0.03%0.16%1.69%3.02%9.25%15.27%
误差20.00%-0.02%-0.03%-0.03%-0.04%-0.27%-0.76%
从表中数据分析可得:(1)式应用在小角度的单摆中误差很小,大角度特别摆角超出40°后,明显不正确;在大角度的单摆中,(2) 式的误差明显小.所以,在单摆大角度摆动过程中,虽然不能把它看成简谐运动,但用(2)式可算出其周期.从表中数据也可得到此公式在小角度时周期误差也很小.
周期1～周期3随摆角的变化见图
2.
图2 周期1～周期3随摆角的变化
可见T =2π
l θm
gcos
2
此表达式对周期T 可适用到相当大的角度,而且也是一个使用起来很方便、
运算简单的公式.
参考文献:
[1] 梁昆淼.数学物理方法[M ].北京:高等教育出版社,1991.
[2] 凯恩J W , 斯特海姆M M .生命科学物理学[M].北京:科学出版社,1985.[3] 郑永令,贾起民.力学[M ].上海:复旦大学出版社,2002.
[4] 教育部新世纪网络课程建设工程.大学物理网络课程第13章第4节[OL].ht t p://ww w.j sw l .cn /cour se/dxwl/
net t eacher/Chapter 13/Show.asp?chapt er=13§ i on =4#1. [5] 程守诛,江之永.普通物理学[M].北京:高等教育出版社,1998.
T he l arge-angl e pendul um peri od
W E I H ui -j un , ZH U J i ong-m i ng
1
2
(1.Shanghai D aJi ng H i gh School A f f i l i at ed t o Shanghai I nt ernat i onal St udi es U ni ver si t y, Shanghai200011, C hi na;
2. M at hem at i cs and Sci ences C ol l ege, Shanghai N or m al U ni ver si t y,Shanghai200234,Chi na)
A bst ract :R esear ches ar e gi ven t o t he r evi si on of per i od f or m ul a f or a l arge-angl e s i ngl e pendul um . N um er i cal sol ut i on i s appl i ed her e t o anal yze t he di f f er ence of t he per i ods bef or e and af t er t he r evi si on. The r esul t s how s a si gni f i cant ef f ect of t he f or m ul a r evi -si on.
K ey w ords:pendul um per i od; l ar ge-angl e; num er i cal sol ut i on
第33卷第3期 2004年9月
上海师范大学学报(自然科学版) V ol.33, N o.3Sep . 2004
Jour nal of Shanghai N orm al U ni versi t y(N at ur al Sci ences)
大角度单摆的周期
魏慧军, 朱炯明
1
2
(1.上海外国语大学附属大境中学,上海200011; 2. 上海师范大学数理信息学院,上海200234)
摘 要:讨论了对大角度单摆的周期公式的修正, 并用数值方法对修正前后的周期进行对比、分析. 结果表明修正的效果是明显的. 关键词:单摆周期; 大角度; 数值解
中图分类号:O 322 文献标识码:C 文章编号:1000-5137(2004)03-0103-03
无论是在中学物理,还是在大学物理的力学教学中,我们都要研究单摆,就要涉及到切向运动方程
m l θ=-m gsi nθ,
¨o
¨
(1)
其中m 是摆球的质量,l是摆长,θ是摆角,θ是角加速度.然而,我们无法通过求解上述微分方程得出单摆的周期T ,于是只能分析在摆角小于5情况下的小角度单摆作简谐运动时的近似周期.当角度θ很小
¨
,这是一个标的时候,其正弦函数值近似等于θ的弧度值,即si nθ,于是切向方程(1)变为m l θ=-m gθ准的简谐振动方程,对应的角频率为ω=
/l,由此可得到单摆的周期T =2π
o
l
. g
(2)
≈θ的关系不再但当摆角大于5或更大的时候,这个周期公式就不再适用了,原因是摆角大时,si nθ成立.
1 修正公式
θθ
cos 来作适当的近似.为便于求解方程,将半角公式中的22
θm θθθ
代替cos 近似为θ中的θ,从而得到另一种近似关系si nθ≈θcos .代入切向si n m
2222
¨θm
cos ,这同样是一个标准的简谐振动方程,对应的周期为方程(1) 后得到m l θ=-m gθ
2
但我们可以利用半角公式si nθ=2si n
T =2π
l θm
gcos
2
(3)
2 讨论与结果
在以上分析中,我们分别用θ和θcos
收稿日期:2004-05-12
作者简介:魏慧军(1973-) ,女,上海外国语大学附属大境中学教师,上海师范大学数理信息学院课程与教学论教育硕士研究生.朱炯明(1948-) ,男,上海师范大学数理信息学院教授.
θm
近似代替了切向方程(1)式中的si nθ,那么这样的近似处2
理究竟会带来多少误差呢?我们先用数值方法画出si nθ,θ,θcos
θm
的曲线,定性地看一下三者的关系.2
=20°时的曲线,图1(b) 是最大摆角θ=80°
时的曲线.图1(a) 是最大摆角θm m
(a) θ (b) θm =20°m =30°
图1 最大摆角θ和θcos m 的曲线sinθ,θ
θm 2
图1中si nθ是正弦曲线,θ是斜率为1的直线,θcos
θθm m
是斜率为cos 的直线,这一斜率总是小于22
1的,θm 越小则斜率越大,越接近1.从图1中看出,摆幅θm 小的时候三者的差别很小.当摆幅θm 大的时候,直线θcos
θm
的斜率明显小于1,另外,从图1中看出,在θ较小的区域,θ与si nθ比较接近,而在θ较2
θm
更接近si nθ.虽然两种近似各有所长,但考虑到单摆在θ小的区域运动时速度较2
大的区域,则是θcos
大,花的时间较少,而在θ大的区域运动速度小,花的时间相应较多,所以在计算周期时,θ大的区域尤为重要.这样,对于大角度单摆,由(3)式算得周期应该比(2)式更准确些.
为了证实这一点,我们用数值方法计算出各种摆幅的单摆周期的数值,并与用近似周期公式(2)式和(3) 式算得的结果进行比较.
数值计算的方法如下:
①由方程(1) 可得任意给定角度的角加速度θ=-·¨
g
nθ; l
··
¨
②由角速度和角加速度可算出下一时刻的角速度θ=θ+θΔt;③再由角度和角速度可算出下一时刻的角度θ=θ+θΔt.
·
初始时刻,θ=θm , θ=0,然后循环计算,即可得任一时刻的角度.当角度θ=0时对应的时间即为1/4周期.不失一般性,在计算中取l =1, g =9.8,另外,计算步长Δt取得越小,则计算精度越高.选择一些摆幅进行计算(表1) ,其中周期1由(2)式算得,周期2由(3)式算得,周期3由数值计算得出(数值解),误差1是周期1与周期3之间的相对差,误差2是周期2与周期3之间的相对差.
表1 用近似公式(2) ,(3)式计算的单摆周期与数值计算比较
摆幅(角度)
[1**********]0
摆幅(弧度) 0.0349070.0872660.1745330.5235990.6981321.221731.570796
周期12.00712.00712.00712.00712.00712.00712.0071
周期22.00722.00802.01092.04222.07052.21762.3868
周期32.00722.00762.01042.04162.06962.21162.3688
误差10.01%0.03%0.16%1.69%3.02%9.25%15.27%
误差20.00%-0.02%-0.03%-0.03%-0.04%-0.27%-0.76%
从表中数据分析可得:(1)式应用在小角度的单摆中误差很小,大角度特别摆角超出40°后,明显不正确;在大角度的单摆中,(2) 式的误差明显小.所以,在单摆大角度摆动过程中,虽然不能把它看成简谐运动,但用(2)式可算出其周期.从表中数据也可得到此公式在小角度时周期误差也很小.
周期1～周期3随摆角的变化见图
2.
图2 周期1～周期3随摆角的变化
可见T =2π
l θm
gcos
2
此表达式对周期T 可适用到相当大的角度,而且也是一个使用起来很方便、
运算简单的公式.
参考文献:
[1] 梁昆淼.数学物理方法[M ].北京:高等教育出版社,1991.
[2] 凯恩J W , 斯特海姆M M .生命科学物理学[M].北京:科学出版社,1985.[3] 郑永令,贾起民.力学[M ].上海:复旦大学出版社,2002.
[4] 教育部新世纪网络课程建设工程.大学物理网络课程第13章第4节[OL].ht t p://ww w.j sw l .cn /cour se/dxwl/
net t eacher/Chapter 13/Show.asp?chapt er=13§ i on =4#1. [5] 程守诛,江之永.普通物理学[M].北京:高等教育出版社,1998.
T he l arge-angl e pendul um peri od
W E I H ui -j un , ZH U J i ong-m i ng
1
2
(1.Shanghai D aJi ng H i gh School A f f i l i at ed t o Shanghai I nt ernat i onal St udi es U ni ver si t y, Shanghai200011, C hi na;
2. M at hem at i cs and Sci ences C ol l ege, Shanghai N or m al U ni ver si t y,Shanghai200234,Chi na)
A bst ract :R esear ches ar e gi ven t o t he r evi si on of per i od f or m ul a f or a l arge-angl e s i ngl e pendul um . N um er i cal sol ut i on i s appl i ed her e t o anal yze t he di f f er ence of t he per i ods bef or e and af t er t he r evi si on. The r esul t s how s a si gni f i cant ef f ect of t he f or m ul a r evi -si on.
K ey w ords:pendul um per i od; l ar ge-angl e; num er i cal sol ut i on