高中数学极限、数学归纳法
一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分) 111
1．(精选考题·江西高考) lim (1＋＝( ) n →∞33353
A. B. C ．2 D ．不存在 32解析：lim (1＋＋…＋) ＝
n →∞
11
3313
3＝121－
3
1
答案：B
f ′(x )
2．设函数f (x ) ＝(x ＋1) (x －2) ，则x lim ( ) →－1x ＋1
2
A ．6 B ．2 C ．0 D ．－6
f ′(x )(x ＋1)2＋2(x ＋1)(x －2)解析：∵＝3x －3，
x ＋1x ＋1f ′(x )
∴x lim 6. →－1x ＋1答案：D
2
x ＋2x －3⎧⎪x －1x ＞1)
3．已知函数f (x ) ＝⎨
⎪⎩ax ＋1 (x ≤1)
在x ＝1处连续，则f －1(3)
等于( )
A ．0 2
C ．－
3
B ．1 2 D. 3
x 2＋2x －3
解析：∵函数f (x ) 在x ＝1处连续，∴f (1)＝lim ＝4. x →1x －1
x 2＋2x －3
又当x ＝1时，f (1)＝a ＋1，∴a ＝3. 当x ＞1时，令3，得
x －12
x ＝0或1，不满足题设．当x ≤1时，令3x ＋1＝3，得x 32
设．∴f (3)3
－1
答案：D
4．用数学归纳法证明
11111时，由n ＝k 到n
2n 34n ＋1n ＋2
＝k ＋1，不等式左边的变化是( )
1
A ．增加一项
2(k ＋1)11
B ．增加
2k ＋12k ＋2C ．增加
111，一项 2k ＋12k ＋2k ＋1
D ．以上结论均错
解析：n ＝k 时，不等式左边为
111
＋＋…＋，n ＝k ＋1
2k k ＋1k ＋2
11111
时，不等式左边为＋…＋＋＋
2k 2k ＋12k ＋2k ＋2k ＋3
故增加
111
一项． 2k ＋12k ＋2k ＋1
答案：C
5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2) ，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n ＝
( )
2
B. n (n ＋1)
2A. (n ＋1)
2C. n 2－1
2 D. 2n －1
解析：由S n ＝n 2a n 知S n ＋1＝(n ＋1) 2a n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1) 2a n ＋1－n 2a n ，
∴a n ＋1＝(n ＋1) a n ＋1－n a n ，∴a n ＋1a (n ≥2) ．
n ＋2n
2
2
当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2， a 12131∴a 2＝，a 3＝a 2＝，a 4＝3＝.
3346510111由a 1＝1，a 2＝，a 3＝，a 4＝3610猜想a n ＝答案：B
x 2－bx －2x ＋2b a n ＋1＋ab n －1
6．设a ，b 满足lim 1，则lim 等－
x →2n →∞a ＋2b x －a 于( )
A ．1 1
C. 3
1 B. 21 D. 42
n (n ＋1)
解析：依题意得a ＝2，
x 2－bx －2x ＋2b (x －b )(x －2)lim ＝lim x →2x →2x －a x －2
a n ＋1＋ab n －1＝lim (x －b ) ＝2－b ＝－1，因此b ＝3. 故lim －
x →2n →∞a n 1＋2b n 2n －1
4×()＋2
2n ＋1＋2×3n －131＝lim ＝lim ＝. －
n →∞2＋2×3n →∞2n －13
)＋2×33
答案：C
二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分) x 3－x 23
7．设a ＝lim ，则1＋a ＋a ＋a ＋…＝________. x →1x －1x 3－x x (x －1)(x ＋1)解析：∵a ＝lim lim x →1x －1x →1(x －1)(x ＋1)(x ＋1)1x ＝lim ， x →1x ＋12∴1＋a ＋a 2＋a 3＋…＝2. 答案：2
⎧⎪a cos x (x ≥0)8．已知函数f (x ) ＝⎨2在点x ＝0处连续，则a ＝
⎪⎩x －1 (x ＜0)
________.
2
解析：由题意得x lim f (x ) ＝lim (x －1) ＝－1，x lim f (x ) ＝x lim a cos x →0－→0＋→0＋x →0－
＝a ，由于f (x ) 在x ＝0处连续，因此a ＝－1.
答案：－1
b n ＋a n 9．已知log a b ＞1(0＜a ＜1) ，则lim ________. n →∞b －a 解析：log a b ＞1,0＜a ＜1得0＜b ＜a ， b n
(b ＋a a )＋1
∴lim ＝lim 1. n →∞b n －a n n →∞b n
(a )－1
n
n
答案：－1
三、解答题(本大题共3个小题，共46分)
10．(本小题满分15分) 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n 2＋n )·3n . a (1)求lim n →∞S n
a a a (2)证明：＋＞3n .
12n S n －S n －1a 解：(1)因为lim lim n →∞S n →∞S
n
n
S n －1S n －1＝lim (1－S ) ＝1－lim S ， →∞n →∞n n n S n －11n －11lim lim ， n →∞S n 3n →∞n ＋13a 2所以lim ＝n →∞S n 3
a (2)证明：当n ＝1时，＝S 1＝6＞3；
1
S n －S n －1a a a S S 2－S 1
当n ＞1时，＋…＋＋…＋
12n 12n 1111111S ＝(－)·S ＋(－)·S ＋…＋[－]S －＋·S ＞＝121232(n －1)n n 1n n n n 2＋n n
3＞3n . ·n
a a a 综上知，当n ≥1时，＋…＋3n .
12n
11．(本小题满分15分) 已知{a n }是由非负整数组成的数列，满足a 1＝0，a 2＝3，a 3＝2，a n ＋1a n ＝(a n －1＋2)(a n －2＋2) ，n ＝3,4,5，….
试用数学归纳法证明：a n ＝a n －2＋2，n ＝3,4,5，…； 证明：①当n ＝3时，a 3＝2＝a 1＋2，所以等式成立； ②假设当n ＝k ≥3时等式成立，即a k ＝a k －2＋2. 而由题设有a k ＋1a k ＝(a k －1＋2)(a k －2＋2) ． 由a k －2是非负整数，得a k ＝a k －2＋2≠0， ∴a k ＋1＝a k －1＋2，
即当n ＝k ＋1时，等式也成立．
综合①②得：对任意正整数n ≥3， 都有a n ＝a n －2＋2.
12．(本小题满分16分) 在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，a n ，1
S n ，S n －
2
(1)求a 2，a 3，a 4并推出a n 的表达式， (2)用数学归纳法证明所得的结论． 1
解：∵a n ，S n ，S n －
212
∴S n ＝a n (S n －n ≥2) ①
2
2
(1)由a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝1＋a 2代入①得a 2＝－，
3212
由a 1＝1，a 2＝－S 3＝a 3代入①得a 3＝－.
3315同理可得a 4＝－
2
，由此可推出 35
⎧1 (n ＝1)a n ＝⎨2
⎩－(2n －3)(2n －1) (n ≥2)
.
(2)证明：①当n ＝1、2、3、4时，由(1)知猜想成立， ②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *) 时， 2
a k ＝－
(2k －3)(2k －1)212
故S k ＝－·(S k －，
2(2k －3)(2k －1)∴(2k －3)(2k －1) S 2k ＋2S k －1＝0， ∴S k ＝
11
，S k ＝－舍) ． 2k －12k －3
由
12
S k ＋1＝a k ＋1·(S k ＋1－得
2
2
1(S k ＋a k ＋1) ＝a k ＋1(a k ＋1＋S k －) ，
2
2a k ＋1a k ＋11122
∴a ＋＋a ＋＋－＋， (2k －1)2k 12k －1k 12k －12k 1－2
∴a k ＋1＝，
[2(k ＋1)－3]·[2(k ＋1)－1]即n ＝k ＋1时，命题也成立．
⎧1 (n ＝1)
由①②知a n ＝⎨2
－
⎩(2n －3)(2n －1) (n ≥2)
对一切n ∈N *成立．
x －3x
1．lim (＋) 等于( ) x →1x －1x －1A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
x －3x (x ＋1)＋x －3x 解析：∵
x －1x －1x －1x 2＋2x －3(x －1)(x ＋3)x ＋3
＝＝
x －1(x ＋1)(x －1)x ＋1x －3x ＋31＋3x ∴lim (＋＝lim 2. x →1x →1x －1x 2－1x ＋11＋1答案：B
(x －a )(x ＋b )2．函数f (x ) ＝x ＝1和x ＝2处的极限值都是0，
x －c 而在点x ＝－2处不连续，则不等式f (x ) ＞0的解集为( )
A ．(－2,1) B ．(－∞，－2) ∪(2，＋∞)
C ．(－2,1) ∪(2，＋∞) D ．(－∞，－2) ∪(1,2)
(x －1)(x －2)
解析：由已知得：f (x ) ＝，则f (x ) ＞0的解集为(－2,1)
x ＋2∪(2，＋∞) ．
答案：C
3．设常数a ＞0，(ax 2143
) 的展开式中x 3的系数为则li n m (a →∞2x
＋a 2＋a 3＋…＋a n ) ＝________.
5r r 4－r
解析：∵T r ＋1＝C 4a x 8－2
数为
3222
C 4a ＝6a ＝，则
2
1a ＝ 2
12
5r
8－＝3，得r ＝2，∴x 3的系
2
23n
∴li n m (a ＋a ＋a ＋…＋a ) ＝→∞
1.
11－2
答案：1
4．(精选考题·上海高考) 将直线l 1：x ＋y －1＝0，l 2：nx ＋y －n ＝0，l 3：x ＋ny －n ＝0(n ∈N *，n ≥2) 围成的三角形面积记为S n ，则lim S n
n →∞＝________.
解析：如图所示，
⎧⎪nx ＋y －n ＝0，由⎨得⎪x ＋ny －n ＝0⎩
⎧
⎨n ⎩y ＝n ＋1n x ＝，n ＋1
n n
则直线l 2、l 3交于点A ，) ．
n ＋1n ＋1
1111n n n S n ＝1××1×－1×1＝－
2n ＋12n ＋12n ＋12
lim S n ＝lim (
n →∞
n →∞
1n
－＝lim n ＋12n →∞
111－1－. 12221＋n
1
1
答案：2
43x 5．对于数列{x n }，满足x 1＝x n ＋1f (x ) 在(－2,2)
31＋x 3n
1
上有意义，f (－＝2，且满足x ，y ，z ∈(－2,2) 时，有f (x ) ＋f (y ) ＋f (z )
2x ＋y ＋z ＝f () 成立．
1＋xyz
4
(1)求f ) 的值；
3
(2)求证：{f (x n )}是等比数列；
3n －2
(3)设{f (x n )}的前n 项和为S n ，求li n m S . →∞
n 解：(1)由x ＝y ＝z ＝0⇒3f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0， 令z ＝0，得f (x ) ＋f (y ) ＝f (x ＋y ) ， 再令y ＝－x ，得f (x ) ＋f (－x ) ＝f (0)＝0， 则f (－x ) ＝－f (x ) ．
41111所以f () ＝f ＋f () ＋f ＝3f (322221
＝－3f (－) ＝－6.
2
4
(2)证明：由x 1＝，结合已知可得
30＜x n ＋1＝
3x 33
≤4＜2； 11＋x n 2x x n n
x n ＋x n ＋x n 3x 由f (x n ＋1) ＝f ＝f (＝f (x n ) ＋f (x n ) ＋f (x n ) ＝3f (x n ) ，
1＋x 31＋x 3n n f (x n ＋1)
得＝3，即{f (x n )}是以－6为首项，以3为公比的等比数列，f (x n )且f (x n ) ＝－2×3n .
a 1(1－q n )－6×(1－3n )
(3)由S n ＝＝3×(1－3n ) ，
1－q 1－33n －23n －2
得lim S ＝lim ＝lim n →∞n →∞3×(1－3)n →∞n
1
. 133×(－1)
31－
23
高中数学极限、数学归纳法
一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分) 111
1．(精选考题·江西高考) lim (1＋＝( ) n →∞33353
A. B. C ．2 D ．不存在 32解析：lim (1＋＋…＋) ＝
n →∞
11
3313
3＝121－
3
1
答案：B
f ′(x )
2．设函数f (x ) ＝(x ＋1) (x －2) ，则x lim ( ) →－1x ＋1
2
A ．6 B ．2 C ．0 D ．－6
f ′(x )(x ＋1)2＋2(x ＋1)(x －2)解析：∵＝3x －3，
x ＋1x ＋1f ′(x )
∴x lim 6. →－1x ＋1答案：D
2
x ＋2x －3⎧⎪x －1x ＞1)
3．已知函数f (x ) ＝⎨
⎪⎩ax ＋1 (x ≤1)
在x ＝1处连续，则f －1(3)
等于( )
A ．0 2
C ．－
3
B ．1 2 D. 3
x 2＋2x －3
解析：∵函数f (x ) 在x ＝1处连续，∴f (1)＝lim ＝4. x →1x －1
x 2＋2x －3
又当x ＝1时，f (1)＝a ＋1，∴a ＝3. 当x ＞1时，令3，得
x －12
x ＝0或1，不满足题设．当x ≤1时，令3x ＋1＝3，得x 32
设．∴f (3)3
－1
答案：D
4．用数学归纳法证明
11111时，由n ＝k 到n
2n 34n ＋1n ＋2
＝k ＋1，不等式左边的变化是( )
1
A ．增加一项
2(k ＋1)11
B ．增加
2k ＋12k ＋2C ．增加
111，一项 2k ＋12k ＋2k ＋1
D ．以上结论均错
解析：n ＝k 时，不等式左边为
111
＋＋…＋，n ＝k ＋1
2k k ＋1k ＋2
11111
时，不等式左边为＋…＋＋＋
2k 2k ＋12k ＋2k ＋2k ＋3
故增加
111
一项． 2k ＋12k ＋2k ＋1
答案：C
5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2) ，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n ＝
( )
2
B. n (n ＋1)
2A. (n ＋1)
2C. n 2－1
2 D. 2n －1
解析：由S n ＝n 2a n 知S n ＋1＝(n ＋1) 2a n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1) 2a n ＋1－n 2a n ，
∴a n ＋1＝(n ＋1) a n ＋1－n a n ，∴a n ＋1a (n ≥2) ．
n ＋2n
2
2
当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2， a 12131∴a 2＝，a 3＝a 2＝，a 4＝3＝.
3346510111由a 1＝1，a 2＝，a 3＝，a 4＝3610猜想a n ＝答案：B
x 2－bx －2x ＋2b a n ＋1＋ab n －1
6．设a ，b 满足lim 1，则lim 等－
x →2n →∞a ＋2b x －a 于( )
A ．1 1
C. 3
1 B. 21 D. 42
n (n ＋1)
解析：依题意得a ＝2，
x 2－bx －2x ＋2b (x －b )(x －2)lim ＝lim x →2x →2x －a x －2
a n ＋1＋ab n －1＝lim (x －b ) ＝2－b ＝－1，因此b ＝3. 故lim －
x →2n →∞a n 1＋2b n 2n －1
4×()＋2
2n ＋1＋2×3n －131＝lim ＝lim ＝. －
n →∞2＋2×3n →∞2n －13
)＋2×33
答案：C
二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分) x 3－x 23
7．设a ＝lim ，则1＋a ＋a ＋a ＋…＝________. x →1x －1x 3－x x (x －1)(x ＋1)解析：∵a ＝lim lim x →1x －1x →1(x －1)(x ＋1)(x ＋1)1x ＝lim ， x →1x ＋12∴1＋a ＋a 2＋a 3＋…＝2. 答案：2
⎧⎪a cos x (x ≥0)8．已知函数f (x ) ＝⎨2在点x ＝0处连续，则a ＝
⎪⎩x －1 (x ＜0)
________.
2
解析：由题意得x lim f (x ) ＝lim (x －1) ＝－1，x lim f (x ) ＝x lim a cos x →0－→0＋→0＋x →0－
＝a ，由于f (x ) 在x ＝0处连续，因此a ＝－1.
答案：－1
b n ＋a n 9．已知log a b ＞1(0＜a ＜1) ，则lim ________. n →∞b －a 解析：log a b ＞1,0＜a ＜1得0＜b ＜a ， b n
(b ＋a a )＋1
∴lim ＝lim 1. n →∞b n －a n n →∞b n
(a )－1
n
n
答案：－1
三、解答题(本大题共3个小题，共46分)
10．(本小题满分15分) 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n 2＋n )·3n . a (1)求lim n →∞S n
a a a (2)证明：＋＞3n .
12n S n －S n －1a 解：(1)因为lim lim n →∞S n →∞S
n
n
S n －1S n －1＝lim (1－S ) ＝1－lim S ， →∞n →∞n n n S n －11n －11lim lim ， n →∞S n 3n →∞n ＋13a 2所以lim ＝n →∞S n 3
a (2)证明：当n ＝1时，＝S 1＝6＞3；
1
S n －S n －1a a a S S 2－S 1
当n ＞1时，＋…＋＋…＋
12n 12n 1111111S ＝(－)·S ＋(－)·S ＋…＋[－]S －＋·S ＞＝121232(n －1)n n 1n n n n 2＋n n
3＞3n . ·n
a a a 综上知，当n ≥1时，＋…＋3n .
12n
11．(本小题满分15分) 已知{a n }是由非负整数组成的数列，满足a 1＝0，a 2＝3，a 3＝2，a n ＋1a n ＝(a n －1＋2)(a n －2＋2) ，n ＝3,4,5，….
试用数学归纳法证明：a n ＝a n －2＋2，n ＝3,4,5，…； 证明：①当n ＝3时，a 3＝2＝a 1＋2，所以等式成立； ②假设当n ＝k ≥3时等式成立，即a k ＝a k －2＋2. 而由题设有a k ＋1a k ＝(a k －1＋2)(a k －2＋2) ． 由a k －2是非负整数，得a k ＝a k －2＋2≠0， ∴a k ＋1＝a k －1＋2，
即当n ＝k ＋1时，等式也成立．
综合①②得：对任意正整数n ≥3， 都有a n ＝a n －2＋2.
12．(本小题满分16分) 在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，a n ，1
S n ，S n －
2
(1)求a 2，a 3，a 4并推出a n 的表达式， (2)用数学归纳法证明所得的结论． 1
解：∵a n ，S n ，S n －
212
∴S n ＝a n (S n －n ≥2) ①
2
2
(1)由a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝1＋a 2代入①得a 2＝－，
3212
由a 1＝1，a 2＝－S 3＝a 3代入①得a 3＝－.
3315同理可得a 4＝－
2
，由此可推出 35
⎧1 (n ＝1)a n ＝⎨2
⎩－(2n －3)(2n －1) (n ≥2)
.
(2)证明：①当n ＝1、2、3、4时，由(1)知猜想成立， ②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *) 时， 2
a k ＝－
(2k －3)(2k －1)212
故S k ＝－·(S k －，
2(2k －3)(2k －1)∴(2k －3)(2k －1) S 2k ＋2S k －1＝0， ∴S k ＝
11
，S k ＝－舍) ． 2k －12k －3
由
12
S k ＋1＝a k ＋1·(S k ＋1－得
2
2
1(S k ＋a k ＋1) ＝a k ＋1(a k ＋1＋S k －) ，
2
2a k ＋1a k ＋11122
∴a ＋＋a ＋＋－＋， (2k －1)2k 12k －1k 12k －12k 1－2
∴a k ＋1＝，
[2(k ＋1)－3]·[2(k ＋1)－1]即n ＝k ＋1时，命题也成立．
⎧1 (n ＝1)
由①②知a n ＝⎨2
－
⎩(2n －3)(2n －1) (n ≥2)
对一切n ∈N *成立．
x －3x
1．lim (＋) 等于( ) x →1x －1x －1A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
x －3x (x ＋1)＋x －3x 解析：∵
x －1x －1x －1x 2＋2x －3(x －1)(x ＋3)x ＋3
＝＝
x －1(x ＋1)(x －1)x ＋1x －3x ＋31＋3x ∴lim (＋＝lim 2. x →1x →1x －1x 2－1x ＋11＋1答案：B
(x －a )(x ＋b )2．函数f (x ) ＝x ＝1和x ＝2处的极限值都是0，
x －c 而在点x ＝－2处不连续，则不等式f (x ) ＞0的解集为( )
A ．(－2,1) B ．(－∞，－2) ∪(2，＋∞)
C ．(－2,1) ∪(2，＋∞) D ．(－∞，－2) ∪(1,2)
(x －1)(x －2)
解析：由已知得：f (x ) ＝，则f (x ) ＞0的解集为(－2,1)
x ＋2∪(2，＋∞) ．
答案：C
3．设常数a ＞0，(ax 2143
) 的展开式中x 3的系数为则li n m (a →∞2x
＋a 2＋a 3＋…＋a n ) ＝________.
5r r 4－r
解析：∵T r ＋1＝C 4a x 8－2
数为
3222
C 4a ＝6a ＝，则
2
1a ＝ 2
12
5r
8－＝3，得r ＝2，∴x 3的系
2
23n
∴li n m (a ＋a ＋a ＋…＋a ) ＝→∞
1.
11－2
答案：1
4．(精选考题·上海高考) 将直线l 1：x ＋y －1＝0，l 2：nx ＋y －n ＝0，l 3：x ＋ny －n ＝0(n ∈N *，n ≥2) 围成的三角形面积记为S n ，则lim S n
n →∞＝________.
解析：如图所示，
⎧⎪nx ＋y －n ＝0，由⎨得⎪x ＋ny －n ＝0⎩
⎧
⎨n ⎩y ＝n ＋1n x ＝，n ＋1
n n
则直线l 2、l 3交于点A ，) ．
n ＋1n ＋1
1111n n n S n ＝1××1×－1×1＝－
2n ＋12n ＋12n ＋12
lim S n ＝lim (
n →∞
n →∞
1n
－＝lim n ＋12n →∞
111－1－. 12221＋n
1
1
答案：2
43x 5．对于数列{x n }，满足x 1＝x n ＋1f (x ) 在(－2,2)
31＋x 3n
1
上有意义，f (－＝2，且满足x ，y ，z ∈(－2,2) 时，有f (x ) ＋f (y ) ＋f (z )
2x ＋y ＋z ＝f () 成立．
1＋xyz
4
(1)求f ) 的值；
3
(2)求证：{f (x n )}是等比数列；
3n －2
(3)设{f (x n )}的前n 项和为S n ，求li n m S . →∞
n 解：(1)由x ＝y ＝z ＝0⇒3f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0， 令z ＝0，得f (x ) ＋f (y ) ＝f (x ＋y ) ， 再令y ＝－x ，得f (x ) ＋f (－x ) ＝f (0)＝0， 则f (－x ) ＝－f (x ) ．
41111所以f () ＝f ＋f () ＋f ＝3f (322221
＝－3f (－) ＝－6.
2
4
(2)证明：由x 1＝，结合已知可得
30＜x n ＋1＝
3x 33
≤4＜2； 11＋x n 2x x n n
x n ＋x n ＋x n 3x 由f (x n ＋1) ＝f ＝f (＝f (x n ) ＋f (x n ) ＋f (x n ) ＝3f (x n ) ，
1＋x 31＋x 3n n f (x n ＋1)
得＝3，即{f (x n )}是以－6为首项，以3为公比的等比数列，f (x n )且f (x n ) ＝－2×3n .
a 1(1－q n )－6×(1－3n )
(3)由S n ＝＝3×(1－3n ) ，
1－q 1－33n －23n －2
得lim S ＝lim ＝lim n →∞n →∞3×(1－3)n →∞n
1
. 133×(－1)
31－
23