解三角形专题
a b c ===2R
1．正弦定理:sin A sin B sin C 或变形：a :b :c =sin A :sin B :sin C .
2．余弦定理：
3. 三角形面积公式 ⎧a 2=b 2+c 2-2bc cos A ⎪222⎨b =a +c -2ac cos B ⎪c 2=b 2+a 2-2ba cos C ⎩ 或 ⎧b 2+c 2-a 2⎪cos A =2bc ⎪a 2+c 2-b 2⎪⎨cos B =2ac ⎪⎪b 2+a 2-c 2⎪cos C =2ab ⎩
S =1ab sin C =__________=__________ 2
4. 思想方法：边化角与角化边
（1）边化角：a =2R sin A ，_______________，________________
（2）角化边：①sin A =a ，_______________，________________ 2R
b 2+c 2-a 2a 2+c 2-b 2a 2+b 2-c 2
②cos A =，cos B =，cos C =
2ab 2bc 2ac
1
例题讲解
1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，
b ，c ，若a 3，b ＋c ＝4，∠B ＝30°，则c ＝( )
1312A. B. 55
13 C ．3 D. 4 2．(2014年太原模拟) △ABC 中，内角A ，B ，C
的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 23bc ，sin C ＝23
sin B ，则A ＝( )
5π2πA. B. 63 ππ C. D. 36 1 3．在△ABC 中，若a ＝4，b ＝2，cos A 4
则c ＝________，sin C ＝________.
，则 4．在△ABC 中，AC 3，BC ＝2，∠B ＝60°
△ABC 的面积为________．
【例1】 (1)(2013年高考天津卷) 在△ABC 中，
π ∠ABC ＝，AB 2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( ) 4
1010 A. 10 B. 5
105 C. 10 D. 5 (2)(2013年高考福建卷) 如图，在△ABC 中，已
22知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝AB 3
＝32，AD ＝3
，则BD 的长为________．
2
同步作业：
1．(2014年太原模拟) 在锐角△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，且3a ＝2c sin A .
(1)求角C 的度数；
33(2)若c 7，且△ABC ，求a ＋b 的值．(答案：C ＝60° a ＋b ＝5) 2
2．(2014年荆州模拟) 已知函数f (x ) ＝2sin x cos x ＋3cos 2x －，x ∈R .
(1)求函数f (x ) 的最小正周期；
2→→(2)在锐角△ABC 中，若f (A ) ＝1，AB ·AC ＝2，求△ABC 2
3．(2014年南昌模拟) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C
＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.
(1)求角B 的大小；
π1(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．(答案： B ＝ ≤b
4．(2014年郑州模拟) 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，2b cos C
＝2a －c ，
(1)求B ；
π(2)若△ABC 的面积为3，求b 的取值范围．(答案： B ＝ b ≥2) 3
5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知向量m ＝(cos A ，cos B ) ，n
＝(a, 2c －b ) ，且m ∥n .
(1)求角A 的大小；
π(2)若a ＝4，求△ABC 面积的最大值．(答案：A ＝ 3.) 3
3
解三角形专题
a b c ===2R
1．正弦定理:sin A sin B sin C 或变形：a :b :c =sin A :sin B :sin C .
2．余弦定理：
3. 三角形面积公式 ⎧a 2=b 2+c 2-2bc cos A ⎪222⎨b =a +c -2ac cos B ⎪c 2=b 2+a 2-2ba cos C ⎩ 或 ⎧b 2+c 2-a 2⎪cos A =2bc ⎪a 2+c 2-b 2⎪⎨cos B =2ac ⎪⎪b 2+a 2-c 2⎪cos C =2ab ⎩
S =1ab sin C =__________=__________ 2
4. 思想方法：边化角与角化边
（1）边化角：a =2R sin A ，_______________，________________
（2）角化边：①sin A =a ，_______________，________________ 2R
b 2+c 2-a 2a 2+c 2-b 2a 2+b 2-c 2
②cos A =，cos B =，cos C =
2ab 2bc 2ac
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例题讲解
1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，
b ，c ，若a 3，b ＋c ＝4，∠B ＝30°，则c ＝( )
1312A. B. 55
13 C ．3 D. 4 2．(2014年太原模拟) △ABC 中，内角A ，B ，C
的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 23bc ，sin C ＝23
sin B ，则A ＝( )
5π2πA. B. 63 ππ C. D. 36 1 3．在△ABC 中，若a ＝4，b ＝2，cos A 4
则c ＝________，sin C ＝________.
，则 4．在△ABC 中，AC 3，BC ＝2，∠B ＝60°
△ABC 的面积为________．
【例1】 (1)(2013年高考天津卷) 在△ABC 中，
π ∠ABC ＝，AB 2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( ) 4
1010 A. 10 B. 5
105 C. 10 D. 5 (2)(2013年高考福建卷) 如图，在△ABC 中，已
22知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝AB 3
＝32，AD ＝3
，则BD 的长为________．
2
同步作业：
1．(2014年太原模拟) 在锐角△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，且3a ＝2c sin A .
(1)求角C 的度数；
33(2)若c 7，且△ABC ，求a ＋b 的值．(答案：C ＝60° a ＋b ＝5) 2
2．(2014年荆州模拟) 已知函数f (x ) ＝2sin x cos x ＋3cos 2x －，x ∈R .
(1)求函数f (x ) 的最小正周期；
2→→(2)在锐角△ABC 中，若f (A ) ＝1，AB ·AC ＝2，求△ABC 2
3．(2014年南昌模拟) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C
＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.
(1)求角B 的大小；
π1(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．(答案： B ＝ ≤b
4．(2014年郑州模拟) 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，2b cos C
＝2a －c ，
(1)求B ；
π(2)若△ABC 的面积为3，求b 的取值范围．(答案： B ＝ b ≥2) 3
5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知向量m ＝(cos A ，cos B ) ，n
＝(a, 2c －b ) ，且m ∥n .
(1)求角A 的大小；
π(2)若a ＝4，求△ABC 面积的最大值．(答案：A ＝ 3.) 3
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