周期图法功率谱估计——频谱泄漏及改进
刘兆田
1 简介
功率谱估计是随机信号处理的重要内容，功率谱估计的方法很多，一般分成经典谱估计（非参数估计）和现代谱估计（参数估计）。经典谱估计是建立在传统的傅里叶变换基础上的，经典谱估计又分为相关图法和周期图法。相关图法中，先由有限个观测数据估计自相关函数，然后计算自相关序列的傅里叶变换得到功率谱。周期图法直接对观测数据进行傅里叶变换，取模的平方，再除以N 得到功率谱。周期图法比相关图法简单，可用FFT 进行计算，得到了广泛的应用。
在周期图谱估计中，我们取一段有限长的数据进行傅里叶变换，相当于对原始信号作了矩形窗运算。输入数据通过一个窗函数相当于原始数据的频谱与窗函数频谱的卷积。窗函数的频谱由一个主瓣和几个旁瓣组成，主瓣以时域信号的每个频率成份为中心。旁瓣在主瓣的两侧以一定的间隔衰减至零。FFT 产生离散的频谱，出现在FFT 每个谱线的是在每个谱线上的连续卷积频谱。如果原始信号的频谱成份与FFT 中的谱线完全一致，这种情况下采样数据的长度为信号周期的整数倍，频谱中只有主瓣。没有出现旁瓣的原因是旁瓣正处在窗函数主瓣两侧采样频率间隔处的零分量点。如果时间序列的长度不是周期的整数倍，窗函数的连续频谱将偏离主瓣的中心，频率偏移量对应着信号频率和FFT 频率分辨率的差异，这个偏移导致了频谱中出现旁瓣，所以，窗函数的旁瓣特性直接影响着各频谱分量向相邻频谱的泄漏宽度。因此，周期图法功率谱估计中频谱泄露的改进办法既是选择合适的窗函数，尽量减少频谱泄露，改善功率谱估计的性能。 2 常用窗函数特性
运用matlab 编制程序绘制了常用窗函数及其频谱函数图，如图1所示。
n
n
n
w/pi
w/pi
w/pi
n
n
w/pi
w/pi
幅度(d B )
幅度(d B )
幅度(d B ) 幅度(d B )
n
幅度(d B )
w/pi
幅度(d B )
图1 常用窗函数及相应频谱特性
从图1可以看出，矩形窗主瓣宽度较窄，但旁瓣电平较高。 3 周期图功率谱估计中的频谱泄露改进
考虑如下随机过程，对其进行功率谱估计。其中ϕ1，ϕ2，ϕ3为均匀分布的随机初始相
位，v (n ) 是方差为1的零均值白噪声。
x (n ) =cos(0.35πn +ϕ1) +2cos(0.4πn +ϕ2) +0.5cos(0.8πn +ϕ3) +v (n )
程序中使用周期图平均功率谱估计的Welch 法。分别采用不同的窗函数的谱估计效果如图2所示。
Rectangle Welch Estimate,N=4096,K=4,D=819,L=1638
M a g n i t u d e (d B )
Triangular Welch Estimate,N=4096,K=4,D=819,L=1638
M a g n i t u d e (d B )
Frequency (radian/pi)
Hanning Welch Estimate,N=4096,K=4,D=819,L=1638
Frequency (radian/pi)
Hamming Welch Estimate,N=4096,K=4,D=819,L=1638
M a g n i t u d e (d B )
M a g n i t u d e (d B )
Frequency (radian/pi)
Blackman Welch Estimate,N=4096,K=4,D=819,L=1638
Frequency (radian/pi)
Kaiser Welch Estimate,N=4096,K=4,D=819,L=1638,Beta=50
M a g n i t u d e (d B )
M a g n i t u d e (d B )
Frequency (radian/pi)
Frequency (radian/pi)
图2 周期图谱估计频谱泄露及改进仿真图
从上图可以看出，矩形窗虽然分辨率较好，但频谱泄露较严重。使用非矩形窗能在一定程度上改善频谱泄露。 4 小结
本文详细分析了周期图谱中频谱泄露产生的原因，同时在matlab 中采用不同的窗函数对频谱泄露的改进效果进行了仿真，结果表明，不同的窗函数对谱估计质量的影响不一样，应根据不同的用途采用合适的窗函数。
周期图法功率谱估计——频谱泄漏及改进
刘兆田
1 简介
功率谱估计是随机信号处理的重要内容，功率谱估计的方法很多，一般分成经典谱估计（非参数估计）和现代谱估计（参数估计）。经典谱估计是建立在传统的傅里叶变换基础上的，经典谱估计又分为相关图法和周期图法。相关图法中，先由有限个观测数据估计自相关函数，然后计算自相关序列的傅里叶变换得到功率谱。周期图法直接对观测数据进行傅里叶变换，取模的平方，再除以N 得到功率谱。周期图法比相关图法简单，可用FFT 进行计算，得到了广泛的应用。
在周期图谱估计中，我们取一段有限长的数据进行傅里叶变换，相当于对原始信号作了矩形窗运算。输入数据通过一个窗函数相当于原始数据的频谱与窗函数频谱的卷积。窗函数的频谱由一个主瓣和几个旁瓣组成，主瓣以时域信号的每个频率成份为中心。旁瓣在主瓣的两侧以一定的间隔衰减至零。FFT 产生离散的频谱，出现在FFT 每个谱线的是在每个谱线上的连续卷积频谱。如果原始信号的频谱成份与FFT 中的谱线完全一致，这种情况下采样数据的长度为信号周期的整数倍，频谱中只有主瓣。没有出现旁瓣的原因是旁瓣正处在窗函数主瓣两侧采样频率间隔处的零分量点。如果时间序列的长度不是周期的整数倍，窗函数的连续频谱将偏离主瓣的中心，频率偏移量对应着信号频率和FFT 频率分辨率的差异，这个偏移导致了频谱中出现旁瓣，所以，窗函数的旁瓣特性直接影响着各频谱分量向相邻频谱的泄漏宽度。因此，周期图法功率谱估计中频谱泄露的改进办法既是选择合适的窗函数，尽量减少频谱泄露，改善功率谱估计的性能。 2 常用窗函数特性
运用matlab 编制程序绘制了常用窗函数及其频谱函数图，如图1所示。
n
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w/pi
w/pi
w/pi
n
n
w/pi
w/pi
幅度(d B )
幅度(d B )
幅度(d B ) 幅度(d B )
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幅度(d B )
w/pi
幅度(d B )
图1 常用窗函数及相应频谱特性
从图1可以看出，矩形窗主瓣宽度较窄，但旁瓣电平较高。 3 周期图功率谱估计中的频谱泄露改进
考虑如下随机过程，对其进行功率谱估计。其中ϕ1，ϕ2，ϕ3为均匀分布的随机初始相
位，v (n ) 是方差为1的零均值白噪声。
x (n ) =cos(0.35πn +ϕ1) +2cos(0.4πn +ϕ2) +0.5cos(0.8πn +ϕ3) +v (n )
程序中使用周期图平均功率谱估计的Welch 法。分别采用不同的窗函数的谱估计效果如图2所示。
Rectangle Welch Estimate,N=4096,K=4,D=819,L=1638
M a g n i t u d e (d B )
Triangular Welch Estimate,N=4096,K=4,D=819,L=1638
M a g n i t u d e (d B )
Frequency (radian/pi)
Hanning Welch Estimate,N=4096,K=4,D=819,L=1638
Frequency (radian/pi)
Hamming Welch Estimate,N=4096,K=4,D=819,L=1638
M a g n i t u d e (d B )
M a g n i t u d e (d B )
Frequency (radian/pi)
Blackman Welch Estimate,N=4096,K=4,D=819,L=1638
Frequency (radian/pi)
Kaiser Welch Estimate,N=4096,K=4,D=819,L=1638,Beta=50
M a g n i t u d e (d B )
M a g n i t u d e (d B )
Frequency (radian/pi)
Frequency (radian/pi)
图2 周期图谱估计频谱泄露及改进仿真图
从上图可以看出，矩形窗虽然分辨率较好，但频谱泄露较严重。使用非矩形窗能在一定程度上改善频谱泄露。 4 小结
本文详细分析了周期图谱中频谱泄露产生的原因，同时在matlab 中采用不同的窗函数对频谱泄露的改进效果进行了仿真，结果表明，不同的窗函数对谱估计质量的影响不一样，应根据不同的用途采用合适的窗函数。