3.5正态分布

【课题】 3．5 正态分布 【教学目标】知识目标： 理解正态分布的概念、会利用标准正态分布表计算服从正态分布的随机变量的概率． 能力目标： 学生的数学计算技能和数学思维能力得到提高．【教学重点】正态分布的概念．【教学难点】服从二项分布的随机变量的概率的计算．【教学设计】从统计中职学校学生的身高， 画出频率分布直方图等学生已经掌握的知识入手， 对直方 图进行分析，直观地引入概率密度曲线与概率密度函数的概念． “  在区间 (a, b) 内取值的 概率恰好为图中阴影部分图形的面积”是非常重要的，它是后面计算的基础．研究正态曲线 形状的时候， 结合参数为 , 的课件进行， 帮助学生认识正态曲线的三个特征．   0,   1 的正态分布叫做标准正态分布，即  ~ N (0,1) ．相应的曲线叫做标准正态分布曲线．利用图 形，介绍标准正态分布的概率的关系式．例 1、例 2 和例 3 都是利用“标准正态分布表”求 概率的基本题．要注意合理选择公式与正确查“标准正态分布表” ．这里都是近似计算，一 般要求保留 4 个有效数字． 正态随机变量在区间 (  2 ,   2 ) 以外取值的概率小于 4.6%， 在区间 (  3 ,   3 ) 以外取值的概率小于 0.3%.由于这些概率的值很小，通常称这类事件 为小概率事件．一般认为，小概率事件在一次实验中几乎是不可能发生的．例 4 就是应用这 个原理来制定质量控制指标的题目．【教学备品】教学课件．【课时安排】2 课时．(90 分钟)【教学过程】 教 过*揭示课题 3．5 正态分布． *创设情境 兴趣导入 介绍 了解 0学 程教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间第 3 章 概率与统计（教案）教 过学 程教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间为了了解中职学校女学生的身体发育情况，在某校16岁的 女生中，选出60名学生进行身高测量，结果如下（单位：cm） 167 154 159 166 169 159 156 166 162 158159 156 166 160 164 160 157 151 157 161 158 158 153 158 164 158 163 158 153 157 162 162 159 154 165 166 157 151 146 151 158 160 165 158 163 163 162 161 154 165 播放 课件 观看 课件162 162 159 157 159 149 164 168 159 153 下面根据这些数据绘制频率分布直方图． （1）上述60个数据中，最大值为169，最小值为146．它 们的差是169－149=23．取组距为3，由于 数据分为8组．为下列各区间： ［145.5，148.5） ， ［148.5，151.5） ， ［151.5，154.5） ， ［154.5， 157.5） ， ［157.5，160.5） ， ［160.5，163.5） ， ［163.5，166.5） ， ［166.5， 169.5） ． （2）计算出各小组的频数、频率，列出频率分布表： 分组 ［145.5，148.5） ［148.5，151.5） ［151.5，154.5） ［154.5，157.5） ［157.5，160.5） ［160.5，163.5） ［163.5，166.5） ［166.5，169.5）. 合计 正￣ 正 正正正 正正￣ 正正 个数累计 ￣ 频数 1 3 6 8 18 11 10 3 60 频率 0.017 0.050 0.100 0.133 0.300 0.183 0.167 0.050 1.000 质疑 思考23 2  7 ，故将全部 3 3引导 启发 学生 得出 结果（3）绘制频率分布直方图（如图3－2）第 3 章 概率与统计（教案）教 过学 程教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间15 图3－2 *动脑思考 探索新知 由频率直方图可以看出，该校16岁女生的身高的分布状况 具有“中间高、两头低”的特点，即身高在157.5cm至160.5cm 的人数最多，越往左右两边区间内的人数越少，而且左右两边 近似对称． 样本容量越大，所分组数会相应越多，频率分布直方图中 的小矩形就变窄．设想如果样本容量无限增大，且分组的组距 无限缩小，那么频率分布直方图所有的小矩形的上端会无限地 接近于一条光滑曲线y＝f（x） ，我们把这条曲线叫做概率密度 曲线（如图3－3） ．总结 归纳思考图3－3 引导 概率密度曲线精确地反映了随机变量  在各个范围内取 值的规律．以这条曲线为图像的函数y＝f（x）叫做  的概率密 度函数． 学生 发现 解决 问题 方法第 3 章 概率与统计（教案）教 过学 程教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间可以证明，如图3－3所示，  在区间（a，b）内取值的概 率 P(a    b) 恰好为图中阴影部分图形的面积，  在区间 （—∞，a）取值的概率 P(  a ) 恰好是位于曲线与x轴之间， 直线x＝a左侧部分图形的面积． 一般的，如果随机变量  的概率密度函数是 分析 关键 词语 记忆 理解f ( x) 1 2πe( x   )2 2 2,(  x  ) ，其中 , 是常数，且  ＞0，那么称  服从参数为  ,  2 的 正态分布，简记为  ~ N ( , 2 ), 此时  的密度曲线称为正态曲 线，  称为正态随机变量．图3－4 正态曲线具有以下性质（如图3－4所示） ： （1）曲线在x轴的上方，并且关于直线 x   对称； （2）曲线在 x   时处于最高点，由这点此向左、右两边 延伸时，曲线逐渐降低，呈现态 分 布 ， 即 ~ N (0,1) ．标准正态分布的密度函数为f ( x)  1 2π e x2 2,(  x  )相应的曲线叫做标准正态分布曲线（如图3－5） ．图3－5 设随机变量  ~ N (0,1) ．由概率密度曲线的定义知道，任 给区间（—∞，a） ， P(  a ) 的值为图3－5中阴影部分的面 积． P(a    b) 的值为图3－6中阴影部分的面积．因此，P(a    b)  P （  b） P （  a） ．图3－6 可以通过教材附录中“标准正态分布表”求 P （  x0） 出．表中与 x0 相对应的值  ( x0 ) 就是随机变量  小于 x0 的概第 3 章 概率与统计（教案）教 过率．即学 程教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间 ( x0 )  P(  x0 ) ．因此当随机变量  ~ N (0,1) 时，P(a    b)   (b)   (a) ．【说明】 概率密度曲线的定义知道， P(a    b) 的值等于图3－6 中阴影部分所表示的图形的面积．因此P(a    b)  P(a ≤  ≤ b)  P(a ≤   b)  P(a   ≤ b)   (b)   (a) ，由图3－5看到，标准正态曲线是关于y轴对称的．因此在 标准正态分布表中只给出了非负值 x0 的对应值  ( x0 ) ．在实际 计算中，如果 x0＜0 ，那么由标准正态曲线的性质可知，图3 －7中两个阴影部分的面积是相等的．图3－7 由此可知， ( x0 )  1   ( x0 ) ．可以证明（证明略） ，当  ~ N (, 2 ) 时，有P(  x)   (因此x)．P ( a    b)   (b) (a)．第 3 章 概率与统计（教案）教 过学 程教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间在实际问题中，经常会遇到正态分布． 例如，测量的误差， 炮弹的落点，产品的某项质量指标等都服从正态分布． *巩固知识 典型例题 例1 率． 解 因为   1,   3 ，故 已知   1 求随机变量  取值小于 4 的概 ，  3， 引领 讲解 说明 主动 求解 观察 思考 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 引领 观察 304 1 P(  4)   ( )   (1)  0.8413． 31) 求 P(1    0)． 例2 已知随机变量  ~ N (0，，解P(1    0)分析  (0)   (1)  (0)  1   (1)   (0)   (1)  1 0.5  0.8413  1 0.3413．例3 某厂加工一批零件， 零件的直径  ~ N (40, 4)（单位： 说明 mm） （1）求 P(41    43) ； （2） 该厂某一周加工该零件5000个，求直径在41～43 mm 之间的零件的大约个数． 解 （1）因为   40,   2 ，故 引领思考理解45 思考 讲解 说明 主动 求解P(41 ≤  ≤ 43)   (43  40 41  40 ) ( ) 2 2  (1.5)   (0.5)  0.2417 ．（2） 由于加工零件的直径在41 mm～43 mm之间的概率为第 3 章 概率与统计（教案）教 过学 程教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间0.2417，由概率的定义知，零件的大约个数为 0.2417×5000=1208.5≈1209. *动脑思考 探索新知 经过推证和计算可以得到，正态分布在几个区间内取值的 概率如图3－8所示．图3－8 由图中可以看出，正态随机变量在区间 (  2 ,   2 ) 以外取值的概率小于4.6%，在区间 (  3 ,   3 ) 以外取值 的概率小于0.3%.由于这些概率的值很小， 通常称这类事件为小 概率事件．一般认为，小概率事件在一次实验中几乎是不可能 发生的． 由此得到企业管理质量控制的主要规则——“3  规则” ． 根据这个规则，产品的质量指标应落在上、下管理限总结 归纳思考启发 引导 学生 发现 解决 问题 的方 法  3 和   3 之间．可以通过抽样检查来判断生产过程是否出现异常． 例如， 假设一个工人加工出的轴的直径尺寸  ~ N (, 2 ) ， 仔细 那么轴的直径尺寸在区间 (  3 ,   3 ) 内取值的概率为 99.7%． 而落在区间 (  3 ,   3 ) 以外的概率只有0.3%． 这 种小概率事件一旦发生，说明生产中可能出现了异常情况，应 该停止生产查明原因，及时采取措施使生产恢复正常． 分析 讲解 关键 词语 记忆 55 理解 学生 自我 发现 归纳第 3 章 概率与统计（教案）教 过*巩固知识 典型例题学 程教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间注意 引领 观察 观察 学生 是否 讲解 说明 思考 主动 求解 理解 知识 点 60例4 某灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为  （单位： 小时） ， 已知  ~ N (1000,30), 要保证灯泡的平均寿命为 1000 小时的概 率不小于99.7%，应将灯泡的寿命控制在多少小时以上？ 解 已知  ~ N (1000,30), 而  在区间 N (1000  3  30,1000  3  30), 即(910,1090) 内取值的概率为 99.7%，故应将灯泡的寿命控制在910小时以上． *运用知识 强化练习 1．设  ~ N (0,1) ，利用标准正态分布表，求随机变量在下 面区间内取值的概率： （1） (0.5,1.5) ； （2） (1.96,1.96) ． 提问 巡视 指导 动手 求解 及时 了解 学生 知识 掌握 情况2．设  ~ N (2, 4) ，利用标准正态分布表，求随机变量在下 面区间内取值的概率： （1） (3, 0) ； *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 什么叫做正态分布？ 结论： 一般地，如果随机变量  的概率密度函数是 归纳 强调 强化 回答 质疑 理解 （2） (1,1) ．70 师生 共同 归纳 强调 重点f ( x) 1 2πe( x   )2 2 2,(  x  ) ，其中 , 是常数，且  >0，那么称  服从参数为  ,  2 的 正态分布 *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？ 引导 回忆 80 培养 反思 75第 3 章 概率与统计（教案）教 过你的学习效果如何？学 程教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间提问 巡视 指导 说明 反思 动手 求解 记录 学习 过程 的能 力 分层 次要 求 85某工厂生产某种型号的零件，设零件的重量  服从正态分 布 N (64,9) ，单位：g，指出  的均值与方差． *继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题 3．5（必做） ；学习指导 3．5（选 做） (3)实践调查：运用本课所学知识，解决实际问题 【教师教学后记】 项目 反思点 学生是否真正理解有关知识； 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信；90遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 思维是否有条理、灵活； 学生思维情况 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 学生实践的情况 能否根据问题合理地进行实践； 在实践中能否积极思考；第 3 章 概率与统计（教案）能否有意识的反思实践过程的方面；第 3 章 概率与统计（教案）

【课题】 3．5 正态分布 【教学目标】知识目标： 理解正态分布的概念、会利用标准正态分布表计算服从正态分布的随机变量的概率． 能力目标： 学生的数学计算技能和数学思维能力得到提高．【教学重点】正态分布的概念．【教学难点】服从二项分布的随机变量的概率的计算．【教学设计】从统计中职学校学生的身高， 画出频率分布直方图等学生已经掌握的知识入手， 对直方 图进行分析，直观地引入概率密度曲线与概率密度函数的概念． “  在区间 (a, b) 内取值的 概率恰好为图中阴影部分图形的面积”是非常重要的，它是后面计算的基础．研究正态曲线 形状的时候， 结合参数为 , 的课件进行， 帮助学生认识正态曲线的三个特征．   0,   1 的正态分布叫做标准正态分布，即  ~ N (0,1) ．相应的曲线叫做标准正态分布曲线．利用图 形，介绍标准正态分布的概率的关系式．例 1、例 2 和例 3 都是利用“标准正态分布表”求 概率的基本题．要注意合理选择公式与正确查“标准正态分布表” ．这里都是近似计算，一 般要求保留 4 个有效数字． 正态随机变量在区间 (  2 ,   2 ) 以外取值的概率小于 4.6%， 在区间 (  3 ,   3 ) 以外取值的概率小于 0.3%.由于这些概率的值很小，通常称这类事件 为小概率事件．一般认为，小概率事件在一次实验中几乎是不可能发生的．例 4 就是应用这 个原理来制定质量控制指标的题目．【教学备品】教学课件．【课时安排】2 课时．(90 分钟)【教学过程】 教 过*揭示课题 3．5 正态分布． *创设情境 兴趣导入 介绍 了解 0学 程教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间第 3 章 概率与统计（教案）教 过学 程教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间为了了解中职学校女学生的身体发育情况，在某校16岁的 女生中，选出60名学生进行身高测量，结果如下（单位：cm） 167 154 159 166 169 159 156 166 162 158159 156 166 160 164 160 157 151 157 161 158 158 153 158 164 158 163 158 153 157 162 162 159 154 165 166 157 151 146 151 158 160 165 158 163 163 162 161 154 165 播放 课件 观看 课件162 162 159 157 159 149 164 168 159 153 下面根据这些数据绘制频率分布直方图． （1）上述60个数据中，最大值为169，最小值为146．它 们的差是169－149=23．取组距为3，由于 数据分为8组．为下列各区间： ［145.5，148.5） ， ［148.5，151.5） ， ［151.5，154.5） ， ［154.5， 157.5） ， ［157.5，160.5） ， ［160.5，163.5） ， ［163.5，166.5） ， ［166.5， 169.5） ． （2）计算出各小组的频数、频率，列出频率分布表： 分组 ［145.5，148.5） ［148.5，151.5） ［151.5，154.5） ［154.5，157.5） ［157.5，160.5） ［160.5，163.5） ［163.5，166.5） ［166.5，169.5）. 合计 正￣ 正 正正正 正正￣ 正正 个数累计 ￣ 频数 1 3 6 8 18 11 10 3 60 频率 0.017 0.050 0.100 0.133 0.300 0.183 0.167 0.050 1.000 质疑 思考23 2  7 ，故将全部 3 3引导 启发 学生 得出 结果（3）绘制频率分布直方图（如图3－2）第 3 章 概率与统计（教案）教 过学 程教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间15 图3－2 *动脑思考 探索新知 由频率直方图可以看出，该校16岁女生的身高的分布状况 具有“中间高、两头低”的特点，即身高在157.5cm至160.5cm 的人数最多，越往左右两边区间内的人数越少，而且左右两边 近似对称． 样本容量越大，所分组数会相应越多，频率分布直方图中 的小矩形就变窄．设想如果样本容量无限增大，且分组的组距 无限缩小，那么频率分布直方图所有的小矩形的上端会无限地 接近于一条光滑曲线y＝f（x） ，我们把这条曲线叫做概率密度 曲线（如图3－3） ．总结 归纳思考图3－3 引导 概率密度曲线精确地反映了随机变量  在各个范围内取 值的规律．以这条曲线为图像的函数y＝f（x）叫做  的概率密 度函数． 学生 发现 解决 问题 方法第 3 章 概率与统计（教案）教 过学 程教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间可以证明，如图3－3所示，  在区间（a，b）内取值的概 率 P(a    b) 恰好为图中阴影部分图形的面积，  在区间 （—∞，a）取值的概率 P(  a ) 恰好是位于曲线与x轴之间， 直线x＝a左侧部分图形的面积． 一般的，如果随机变量  的概率密度函数是 分析 关键 词语 记忆 理解f ( x) 1 2πe( x   )2 2 2,(  x  ) ，其中 , 是常数，且  ＞0，那么称  服从参数为  ,  2 的 正态分布，简记为  ~ N ( , 2 ), 此时  的密度曲线称为正态曲 线，  称为正态随机变量．图3－4 正态曲线具有以下性质（如图3－4所示） ： （1）曲线在x轴的上方，并且关于直线 x   对称； （2）曲线在 x   时处于最高点，由这点此向左、右两边 延伸时，曲线逐渐降低，呈现态 分 布 ， 即 ~ N (0,1) ．标准正态分布的密度函数为f ( x)  1 2π e x2 2,(  x  )相应的曲线叫做标准正态分布曲线（如图3－5） ．图3－5 设随机变量  ~ N (0,1) ．由概率密度曲线的定义知道，任 给区间（—∞，a） ， P(  a ) 的值为图3－5中阴影部分的面 积． P(a    b) 的值为图3－6中阴影部分的面积．因此，P(a    b)  P （  b） P （  a） ．图3－6 可以通过教材附录中“标准正态分布表”求 P （  x0） 出．表中与 x0 相对应的值  ( x0 ) 就是随机变量  小于 x0 的概第 3 章 概率与统计（教案）教 过率．即学 程教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间 ( x0 )  P(  x0 ) ．因此当随机变量  ~ N (0,1) 时，P(a    b)   (b)   (a) ．【说明】 概率密度曲线的定义知道， P(a    b) 的值等于图3－6 中阴影部分所表示的图形的面积．因此P(a    b)  P(a ≤  ≤ b)  P(a ≤   b)  P(a   ≤ b)   (b)   (a) ，由图3－5看到，标准正态曲线是关于y轴对称的．因此在 标准正态分布表中只给出了非负值 x0 的对应值  ( x0 ) ．在实际 计算中，如果 x0＜0 ，那么由标准正态曲线的性质可知，图3 －7中两个阴影部分的面积是相等的．图3－7 由此可知， ( x0 )  1   ( x0 ) ．可以证明（证明略） ，当  ~ N (, 2 ) 时，有P(  x)   (因此x)．P ( a    b)   (b) (a)．第 3 章 概率与统计（教案）教 过学 程教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间在实际问题中，经常会遇到正态分布． 例如，测量的误差， 炮弹的落点，产品的某项质量指标等都服从正态分布． *巩固知识 典型例题 例1 率． 解 因为   1,   3 ，故 已知   1 求随机变量  取值小于 4 的概 ，  3， 引领 讲解 说明 主动 求解 观察 思考 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 引领 观察 304 1 P(  4)   ( )   (1)  0.8413． 31) 求 P(1    0)． 例2 已知随机变量  ~ N (0，，解P(1    0)分析  (0)   (1)  (0)  1   (1)   (0)   (1)  1 0.5  0.8413  1 0.3413．例3 某厂加工一批零件， 零件的直径  ~ N (40, 4)（单位： 说明 mm） （1）求 P(41    43) ； （2） 该厂某一周加工该零件5000个，求直径在41～43 mm 之间的零件的大约个数． 解 （1）因为   40,   2 ，故 引领思考理解45 思考 讲解 说明 主动 求解P(41 ≤  ≤ 43)   (43  40 41  40 ) ( ) 2 2  (1.5)   (0.5)  0.2417 ．（2） 由于加工零件的直径在41 mm～43 mm之间的概率为第 3 章 概率与统计（教案）教 过学 程教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间0.2417，由概率的定义知，零件的大约个数为 0.2417×5000=1208.5≈1209. *动脑思考 探索新知 经过推证和计算可以得到，正态分布在几个区间内取值的 概率如图3－8所示．图3－8 由图中可以看出，正态随机变量在区间 (  2 ,   2 ) 以外取值的概率小于4.6%，在区间 (  3 ,   3 ) 以外取值 的概率小于0.3%.由于这些概率的值很小， 通常称这类事件为小 概率事件．一般认为，小概率事件在一次实验中几乎是不可能 发生的． 由此得到企业管理质量控制的主要规则——“3  规则” ． 根据这个规则，产品的质量指标应落在上、下管理限总结 归纳思考启发 引导 学生 发现 解决 问题 的方 法  3 和   3 之间．可以通过抽样检查来判断生产过程是否出现异常． 例如， 假设一个工人加工出的轴的直径尺寸  ~ N (, 2 ) ， 仔细 那么轴的直径尺寸在区间 (  3 ,   3 ) 内取值的概率为 99.7%． 而落在区间 (  3 ,   3 ) 以外的概率只有0.3%． 这 种小概率事件一旦发生，说明生产中可能出现了异常情况，应 该停止生产查明原因，及时采取措施使生产恢复正常． 分析 讲解 关键 词语 记忆 55 理解 学生 自我 发现 归纳第 3 章 概率与统计（教案）教 过*巩固知识 典型例题学 程教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间注意 引领 观察 观察 学生 是否 讲解 说明 思考 主动 求解 理解 知识 点 60例4 某灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为  （单位： 小时） ， 已知  ~ N (1000,30), 要保证灯泡的平均寿命为 1000 小时的概 率不小于99.7%，应将灯泡的寿命控制在多少小时以上？ 解 已知  ~ N (1000,30), 而  在区间 N (1000  3  30,1000  3  30), 即(910,1090) 内取值的概率为 99.7%，故应将灯泡的寿命控制在910小时以上． *运用知识 强化练习 1．设  ~ N (0,1) ，利用标准正态分布表，求随机变量在下 面区间内取值的概率： （1） (0.5,1.5) ； （2） (1.96,1.96) ． 提问 巡视 指导 动手 求解 及时 了解 学生 知识 掌握 情况2．设  ~ N (2, 4) ，利用标准正态分布表，求随机变量在下 面区间内取值的概率： （1） (3, 0) ； *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 什么叫做正态分布？ 结论： 一般地，如果随机变量  的概率密度函数是 归纳 强调 强化 回答 质疑 理解 （2） (1,1) ．70 师生 共同 归纳 强调 重点f ( x) 1 2πe( x   )2 2 2,(  x  ) ，其中 , 是常数，且  >0，那么称  服从参数为  ,  2 的 正态分布 *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？ 引导 回忆 80 培养 反思 75第 3 章 概率与统计（教案）教 过你的学习效果如何？学 程教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间提问 巡视 指导 说明 反思 动手 求解 记录 学习 过程 的能 力 分层 次要 求 85某工厂生产某种型号的零件，设零件的重量  服从正态分 布 N (64,9) ，单位：g，指出  的均值与方差． *继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题 3．5（必做） ；学习指导 3．5（选 做） (3)实践调查：运用本课所学知识，解决实际问题 【教师教学后记】 项目 反思点 学生是否真正理解有关知识； 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信；90遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 思维是否有条理、灵活； 学生思维情况 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 学生实践的情况 能否根据问题合理地进行实践； 在实践中能否积极思考；第 3 章 概率与统计（教案）能否有意识的反思实践过程的方面；第 3 章 概率与统计（教案）