浅议常量与变量的大小比较
马乾凯、雷添淇（沈阳市数学会，辽宁 沈阳 110044）
常量与变量的大小比较问题之所以能成为每年高考的必考题目，究其原因，主要是鉴于学生12年数学学习，对量的大小识别是最学生应具备的基本数学素养之一。因此，如何深挖此类问题的本原结构，总结出解决此类问题一般的方法，对高三备考来说，至关重要。本文将以几道典型试题为例，对常量与变量的大小比较归结出几种方法。
在高中数学必修5不等式一章中，我们学习了比较大小的最基本方法——做差比较法. 当比较的两数同号时，有时我们也可以用坐商比较法。以上两种方法是我们确定数量大小关系的最基本的方法。但这两种方法均具有局限性，对于变量而言，只有形式相似即可以在作差时提取公因式或进行相除运算时可约分者方可采用这两种方法进行判断；或形式相同(变量相同) 可以先进行作差整理成函数，而后利用函数的单调性，进而进行判断。而对于形式相似的常量，则可直接采用此法。
一 常量的大小比较
例1 试用比较法说明1与2的大小关系。
1-2=-1
或 1，2同正且1÷2=
12
评析：对于形式相同的常量，可以进行减法运算或除法运算的，可以用作差法与作商法进行比较。
例2 试比较1. 72. 5 与1. 73的大小。
法一：∴1.7
法二：1. 72. 5与1. 73的形式相同，为同底数指数形式，因此可以借助指数函数单调性考虑。
因为指数函数y =1.7在R 上是增函数，且2. 5＜3，所以，1.7
x
2.5
3
2.5
3
评析：形式相同，当不可直接进行做差比较法时，可以考虑借助某个单调函数，利用该函数的单调性来解决问题。
但如果形式不同，以致不可以进行运算，又当如何处理呢？
例3 （2010全国卷I ）设a =log 32, b =ln 2, c =5-2则（ ）
A ．a 首先，我们考虑把待比较的数变形，划归为形式相同我们可以比较的形式. 因为a 、b 为同类的常量，因此可变形为相同形式，即a =log 32=
b =ln 2=
ln 2
=ln 2
ln 2ln 3
1
，
1ln e
ln 2=ln 2>0，ln 3>ln e >0
ln 2ln 2
，即a
ln 3ln e
。
但c 与a 、b 类型不同，无法划归为形式形同可以比较的形式，此时该如可处理呢？ 先看如下例题：
例4 已知a =log 23，b =8-0.7，c =sin
16π5
，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）
A ．a >b >c B. a >c >b C. b >a >c D. c >b >a 此题中a 、b 、c 虽都是常量，但没有一个可以在事先不利用计算设备情况下，将常量的精确值或近似值人工的计算出来，并且也无法划归为相同形式进行比较。 此时，作差法与作商法均已失去效能，那问题又应如何处理？
物理学科中有这样两个名词“参照系”与“参照物”。其定义为：由于一切物体都在运动，在研究一个物体的运动时，首先要确定物体的运动是相对哪一个物体来说的，被选来作为参考标准的物体或物体系，叫做参照物或参照系。这给了我们一定的启迪. 。如果我们找到某个“参照物”，该“参照物”就可以与题目中a 、b 、c 进行大小比较，那么我们就可以将其作为“媒界”利用不等关系的传递性，便可判断出a 、b 、c 之间的大小关系。或者找到数学中的某个“参照系”，把题目中的三个常量安置其中，根据每个“参照系”在数轴的具体位置，即可判断出a 、b 、c 相应的大小关系.
在数学中，常量的“参照物”、“参照系”是什么呢？其实，在比较大小最基本的方法——作差比较法和作商比较法已经给我们提供了两个“参照物”. 作差与“0”比较大小；作商与“1”比较大小. 因此，“0”与“1”自然成为我们首先考虑的“参照物”或“媒界点”.
-0.70
a =log 23>log 22=1，即a >1；0
c =sin
15π6
=-sin
π
5
∴c 故选D.
而对应的参照系应是参照物所在系统，即数轴。因此，对于此类常量无法事先得知其精确值或近似值，又无法化归为相同形式进行比较的问题时，可以用一个区间估计其大小（区间越小则估计越精确）. 但这个区间必须得是一个，即每个变量的估计区间彼此无交集。这时，就可以在数轴上标出各个量的大概位置，即将所有常量纳入到该“有效参照系”（数轴）内，根据各“有效参照系”在数轴上的位置，即可判断出常量间的大小关系。
前面利用“0”和“1”作为“参照物”解决问题的实质是用(-∞, 0) 、(0,1)、(1,+∞) 这
三个区间来估计a 、b 、c 的范围，然后在数轴上表示出来，即判断出a 、b 、c 的大小关系.
现在，接着来思考例3.
首先考虑的自然应是把c
简化：c =5
-12
=
再来思考找到两个区间来分别估计a 、b 和c 的范围，如果两个区间无交集，那么便可以通过数轴来判断出其大小关系.
a =∴12ln 2ln 3
>ln 2ln 4
=12
，b =
ln 2ln e
ln 2ln 2
=1，
又
c =
12
=
12
∴c 至此，例3求解完毕，选C.
评析：当待比较大小的量的形式不同，首先考虑是否可以划归为形式相同的量进而用法（一）、法（二）来解决问题。当无法划归为形式相同的量时，可考虑用区间估计法来解决问题。优点：此法可解决所有的常量比较大小的问题；局限：如何合理的找到相应的区间来估计各个常量成为关键。
前面是对常量的大小比较的基本方法总结。下面来看变量间的大小比较。
二 变量间的大小比较：
变量与变量比较有二种类型：
（1）双元变量之间可以进行作差运算，然后对差式进行因式分解，变形为积的形式或是利用均值不等式以及简单线性规划等手段. 根据条件，判断各因子的正负，进而判断差后整体的正负（与“0”比较大小），从而到变量间的大小关系. 此外，对于四个选项均是确定的大小关系的选择题，用赋值法求解也不失为一种方法.
（2）在单元变量间的大小比较问题中，较为简单的可直接利用函数单调性或某类函数的图象进行比较；较为复杂的问题如可等价的转化为两基本初等函数解析式的大小比较问题，可利用图像法直接画出草图，进而判定。上述方法失效时，则可先进行作差运算，再将差后结果整理成一函数，进而利用导数法确定函数的单调性及零点（画出草图），从而问题得以解决。 例5 已知a >0，b >
0a +
b 的大小.
两变量为同类型可以进行运算，因此利用做差法即可
. -
通分，原式=
a >0, b >0
∴分解因式、整理，得，
原式
=
=
>0
+
>
评析：对于形式相同的变量，可以进行减法运算或除法运算的，可以用作差法与作商法进行比较。
例6 （2008江西卷）若0
A ．a 1b 1+a 2b 2 B．a 1a 2+b 1b 2 C．a 1b 2+a 2b 1 D．
12
本题只要根据条件分别赋给a 1、a 2、b 1、b 2满足条件的值，然后分别计算出选项中四个变量此时对应的值，从而使变量问题常量化，那么得到的最大（小）常量其对应的变量便为最大（小）变量，这也是特殊代替一般的数学思想，淘汰法的应用. 0
∴令a 1=b 1=
13
，a 2=b 2=
59
23
，
49
因此，a 1b 1+a 2b 2=
49
；a 1a 2+b 1b 2=；a 1b 2+a 2b 1=
49
.
=
49
12
59
∴a 1b 1+a 2b 最大 2
故选A.
评析：在高考中比较大小的问题往往以选择题的形式出现，因此，需灵活运用数学的解题思想。特殊与一般的数学思想是高考重点考查的一种数学思想。当四个选择支都是唯一确定的时候，可以考虑使用特殊带一般，淘汰法来进行求解。这同时也是对简易逻辑中充分、必要条件的理解与应用。
练习：若a >b >0，则下列不等式中总成立的是（ ）
A ．
b a
>
b +1a +1
B．a +
1a
>b +
1b
C．a +
1b
>b +
1a
D．
2a +b a +2b
>
a b
例7 已知0
1，x =log a +log a
，y =
12
log a 5，z =log a -log a
，
则（ ）
A. x >y >z B. z >y >x C. y >x >z D. z >x >y 解析：
由题意可知x =
log a
y =
log a
z =log a
0x >z ，故选C .
评析：当变量的形式相同时，且为某个单调函数模型时，可直接利用函数单调性来解决问题。
练习：设偶函数f (x ) =log a x -b 在(0,+∞) 上单调递增，则f (b -2) 与f (a +1) 的大小关系（ ）
A. f (b -2) =f (a +1) B. f (b -2) >f (a +1) C. f (b -2)
方法一（图像法）：利用指数函数图象，在同一直角坐标系下画出函数y =2x 与y =3x 的图象如图，
方法二（作商比较法）： ∀x ∈(0,+∞),
2
2x x x
=()
x
αα
方法三（函数法）：利用幂函数的性质y =x ，当α>0时，y =x 在第一象限内为增函
数，故2
引申思考：∀x ∈(-∞, 0) ，试比较2x 与3的大小。
此时法一、法二均可解决此题，而法三从表面上看，却显现出一定的局限性。法三是否真
x
x x
的完全失效了呢？答案当然是否定的。
设x ∈(-∞, 0) ，则-x ∈(0,+∞) ，由例8的结论可得2-x
x 1, x 2, x 3的大小。
的0) 根，则试比较
在同一坐标系下画出y =ln x , y =lg x , y =log 3x 的图象。
故x 2
评析：当变量的形式相同时，且为某类函数模型时，可利用该类函数图象来解决问题。 练习：已知实数a , b 满足0a b 231 2=3；○2 log a =log b ；○3 a =b ○23
A .0个 B .1个 C .2个 D .3个
例10 （2009宁夏/海南卷）用min{a , b , c }表示a , b , c 三个数的最小者，
f (x ) =
m i n {2x +,
x
2-, 1x 0x ≥}，则(f (x ) 的最大值为（ ）
A .7 B .6 C .5 D .4
分析：对于2x ，x +2，10-x ，三者中存在不同类的函数，因此进行大小比较只能借助于函数图象，利用数形结合的数学思想，从而求解，如图：
其中直线y =10-x 为l 1还是l 2尤为值得关注. 易知两直线的交点为(4,6) ，而对于函数
x
y =2来讲，当x =4时，y =16，故y =10-x 为l 2.
因此易知f (x ) 如图所示：
故f (x ) max =f (4)=6，选B.
评析：当变量的形式不相同时，但均为简单的基本初等函数模型时，可利用函数草图来解决问题。
⎧x +y -11≥0, ⎪
练习：设不等式组⎨3x -y +3≥0, 表示的平面区域为D. 若指数函数y =a x 的图象上存在
⎪5x -3y +9≤0⎩
区域D 上的点，则a 的最大值为 .
例11 （2008山东卷文）已知函数f (x ) =x e 与g (x ) 的大小。
解析：此题无法划归为两个简单函数进行比较，因此构造函数F (x ) =f (x ) -g (x ) ， 则F (x ) =x e
2
x -1
2
x -1
-
13
x -x ，g (x ) =
32
23
x -x ，是比较f (x )
32
-x =x (e
2
x -1
32x -1
-x )
2
目标是判断F (x ) =x (e ∴再次构造函数h (x ) =e
-x ) 的符号，而x 为定号因子， -x ,
x -1
则h '(x ) =e
x -1
-1，令h '(x ) ≥0，得x ∈[1,+∞) ；令h '(x ) ≤0，得x ∈(-∞,1]
故h (x ) 在(-∞,1]上单调递减，在[1,+∞) 上单调递增。 因此h (x ) ≥h (1)=0恒成立
又 x 2≥0，
∴F (x ) =f (x ) -g (x ) ≥0恒成立，即对∀x ∈(-∞, +∞) ，恒有f (x ) ≥g (x ) 。
评析：当变量的形式较为复杂，不是简单的基本初等函数的加减运算构成时，可利用将两变量做差构造函数，然后利用导数确定函数的单调性进而解决问题。
练习：已知函数f (x ) =(a +1) ln x +ax 2+1. 设a ≤-2，证明：对任意x 1, x 2∈(0,+∞) ， f (x 1) -f (x 2) ≥4x 1-x 2
以上是对常量与变量的大小比较问题，作以初浅的总结，如有不当之处，还望广大读者给予指正。
浅议常量与变量的大小比较
马乾凯、雷添淇（沈阳市数学会，辽宁 沈阳 110044）
常量与变量的大小比较问题之所以能成为每年高考的必考题目，究其原因，主要是鉴于学生12年数学学习，对量的大小识别是最学生应具备的基本数学素养之一。因此，如何深挖此类问题的本原结构，总结出解决此类问题一般的方法，对高三备考来说，至关重要。本文将以几道典型试题为例，对常量与变量的大小比较归结出几种方法。
在高中数学必修5不等式一章中，我们学习了比较大小的最基本方法——做差比较法. 当比较的两数同号时，有时我们也可以用坐商比较法。以上两种方法是我们确定数量大小关系的最基本的方法。但这两种方法均具有局限性，对于变量而言，只有形式相似即可以在作差时提取公因式或进行相除运算时可约分者方可采用这两种方法进行判断；或形式相同(变量相同) 可以先进行作差整理成函数，而后利用函数的单调性，进而进行判断。而对于形式相似的常量，则可直接采用此法。
一 常量的大小比较
例1 试用比较法说明1与2的大小关系。
1-2=-1
或 1，2同正且1÷2=
12
评析：对于形式相同的常量，可以进行减法运算或除法运算的，可以用作差法与作商法进行比较。
例2 试比较1. 72. 5 与1. 73的大小。
法一：∴1.7
法二：1. 72. 5与1. 73的形式相同，为同底数指数形式，因此可以借助指数函数单调性考虑。
因为指数函数y =1.7在R 上是增函数，且2. 5＜3，所以，1.7
x
2.5
3
2.5
3
评析：形式相同，当不可直接进行做差比较法时，可以考虑借助某个单调函数，利用该函数的单调性来解决问题。
但如果形式不同，以致不可以进行运算，又当如何处理呢？
例3 （2010全国卷I ）设a =log 32, b =ln 2, c =5-2则（ ）
A ．a 首先，我们考虑把待比较的数变形，划归为形式相同我们可以比较的形式. 因为a 、b 为同类的常量，因此可变形为相同形式，即a =log 32=
b =ln 2=
ln 2
=ln 2
ln 2ln 3
1
，
1ln e
ln 2=ln 2>0，ln 3>ln e >0
ln 2ln 2
，即a
ln 3ln e
。
但c 与a 、b 类型不同，无法划归为形式形同可以比较的形式，此时该如可处理呢？ 先看如下例题：
例4 已知a =log 23，b =8-0.7，c =sin
16π5
，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）
A ．a >b >c B. a >c >b C. b >a >c D. c >b >a 此题中a 、b 、c 虽都是常量，但没有一个可以在事先不利用计算设备情况下，将常量的精确值或近似值人工的计算出来，并且也无法划归为相同形式进行比较。 此时，作差法与作商法均已失去效能，那问题又应如何处理？
物理学科中有这样两个名词“参照系”与“参照物”。其定义为：由于一切物体都在运动，在研究一个物体的运动时，首先要确定物体的运动是相对哪一个物体来说的，被选来作为参考标准的物体或物体系，叫做参照物或参照系。这给了我们一定的启迪. 。如果我们找到某个“参照物”，该“参照物”就可以与题目中a 、b 、c 进行大小比较，那么我们就可以将其作为“媒界”利用不等关系的传递性，便可判断出a 、b 、c 之间的大小关系。或者找到数学中的某个“参照系”，把题目中的三个常量安置其中，根据每个“参照系”在数轴的具体位置，即可判断出a 、b 、c 相应的大小关系.
在数学中，常量的“参照物”、“参照系”是什么呢？其实，在比较大小最基本的方法——作差比较法和作商比较法已经给我们提供了两个“参照物”. 作差与“0”比较大小；作商与“1”比较大小. 因此，“0”与“1”自然成为我们首先考虑的“参照物”或“媒界点”.
-0.70
a =log 23>log 22=1，即a >1；0
c =sin
15π6
=-sin
π
5
∴c 故选D.
而对应的参照系应是参照物所在系统，即数轴。因此，对于此类常量无法事先得知其精确值或近似值，又无法化归为相同形式进行比较的问题时，可以用一个区间估计其大小（区间越小则估计越精确）. 但这个区间必须得是一个，即每个变量的估计区间彼此无交集。这时，就可以在数轴上标出各个量的大概位置，即将所有常量纳入到该“有效参照系”（数轴）内，根据各“有效参照系”在数轴上的位置，即可判断出常量间的大小关系。
前面利用“0”和“1”作为“参照物”解决问题的实质是用(-∞, 0) 、(0,1)、(1,+∞) 这
三个区间来估计a 、b 、c 的范围，然后在数轴上表示出来，即判断出a 、b 、c 的大小关系.
现在，接着来思考例3.
首先考虑的自然应是把c
简化：c =5
-12
=
再来思考找到两个区间来分别估计a 、b 和c 的范围，如果两个区间无交集，那么便可以通过数轴来判断出其大小关系.
a =∴12ln 2ln 3
>ln 2ln 4
=12
，b =
ln 2ln e
ln 2ln 2
=1，
又
c =
12
=
12
∴c 至此，例3求解完毕，选C.
评析：当待比较大小的量的形式不同，首先考虑是否可以划归为形式相同的量进而用法（一）、法（二）来解决问题。当无法划归为形式相同的量时，可考虑用区间估计法来解决问题。优点：此法可解决所有的常量比较大小的问题；局限：如何合理的找到相应的区间来估计各个常量成为关键。
前面是对常量的大小比较的基本方法总结。下面来看变量间的大小比较。
二 变量间的大小比较：
变量与变量比较有二种类型：
（1）双元变量之间可以进行作差运算，然后对差式进行因式分解，变形为积的形式或是利用均值不等式以及简单线性规划等手段. 根据条件，判断各因子的正负，进而判断差后整体的正负（与“0”比较大小），从而到变量间的大小关系. 此外，对于四个选项均是确定的大小关系的选择题，用赋值法求解也不失为一种方法.
（2）在单元变量间的大小比较问题中，较为简单的可直接利用函数单调性或某类函数的图象进行比较；较为复杂的问题如可等价的转化为两基本初等函数解析式的大小比较问题，可利用图像法直接画出草图，进而判定。上述方法失效时，则可先进行作差运算，再将差后结果整理成一函数，进而利用导数法确定函数的单调性及零点（画出草图），从而问题得以解决。 例5 已知a >0，b >
0a +
b 的大小.
两变量为同类型可以进行运算，因此利用做差法即可
. -
通分，原式=
a >0, b >0
∴分解因式、整理，得，
原式
=
=
>0
+
>
评析：对于形式相同的变量，可以进行减法运算或除法运算的，可以用作差法与作商法进行比较。
例6 （2008江西卷）若0
A ．a 1b 1+a 2b 2 B．a 1a 2+b 1b 2 C．a 1b 2+a 2b 1 D．
12
本题只要根据条件分别赋给a 1、a 2、b 1、b 2满足条件的值，然后分别计算出选项中四个变量此时对应的值，从而使变量问题常量化，那么得到的最大（小）常量其对应的变量便为最大（小）变量，这也是特殊代替一般的数学思想，淘汰法的应用. 0
∴令a 1=b 1=
13
，a 2=b 2=
59
23
，
49
因此，a 1b 1+a 2b 2=
49
；a 1a 2+b 1b 2=；a 1b 2+a 2b 1=
49
.
=
49
12
59
∴a 1b 1+a 2b 最大 2
故选A.
评析：在高考中比较大小的问题往往以选择题的形式出现，因此，需灵活运用数学的解题思想。特殊与一般的数学思想是高考重点考查的一种数学思想。当四个选择支都是唯一确定的时候，可以考虑使用特殊带一般，淘汰法来进行求解。这同时也是对简易逻辑中充分、必要条件的理解与应用。
练习：若a >b >0，则下列不等式中总成立的是（ ）
A ．
b a
>
b +1a +1
B．a +
1a
>b +
1b
C．a +
1b
>b +
1a
D．
2a +b a +2b
>
a b
例7 已知0
1，x =log a +log a
，y =
12
log a 5，z =log a -log a
，
则（ ）
A. x >y >z B. z >y >x C. y >x >z D. z >x >y 解析：
由题意可知x =
log a
y =
log a
z =log a
0x >z ，故选C .
评析：当变量的形式相同时，且为某个单调函数模型时，可直接利用函数单调性来解决问题。
练习：设偶函数f (x ) =log a x -b 在(0,+∞) 上单调递增，则f (b -2) 与f (a +1) 的大小关系（ ）
A. f (b -2) =f (a +1) B. f (b -2) >f (a +1) C. f (b -2)
方法一（图像法）：利用指数函数图象，在同一直角坐标系下画出函数y =2x 与y =3x 的图象如图，
方法二（作商比较法）： ∀x ∈(0,+∞),
2
2x x x
=()
x
αα
方法三（函数法）：利用幂函数的性质y =x ，当α>0时，y =x 在第一象限内为增函
数，故2
引申思考：∀x ∈(-∞, 0) ，试比较2x 与3的大小。
此时法一、法二均可解决此题，而法三从表面上看，却显现出一定的局限性。法三是否真
x
x x
的完全失效了呢？答案当然是否定的。
设x ∈(-∞, 0) ，则-x ∈(0,+∞) ，由例8的结论可得2-x
x 1, x 2, x 3的大小。
的0) 根，则试比较
在同一坐标系下画出y =ln x , y =lg x , y =log 3x 的图象。
故x 2
评析：当变量的形式相同时，且为某类函数模型时，可利用该类函数图象来解决问题。 练习：已知实数a , b 满足0a b 231 2=3；○2 log a =log b ；○3 a =b ○23
A .0个 B .1个 C .2个 D .3个
例10 （2009宁夏/海南卷）用min{a , b , c }表示a , b , c 三个数的最小者，
f (x ) =
m i n {2x +,
x
2-, 1x 0x ≥}，则(f (x ) 的最大值为（ ）
A .7 B .6 C .5 D .4
分析：对于2x ，x +2，10-x ，三者中存在不同类的函数，因此进行大小比较只能借助于函数图象，利用数形结合的数学思想，从而求解，如图：
其中直线y =10-x 为l 1还是l 2尤为值得关注. 易知两直线的交点为(4,6) ，而对于函数
x
y =2来讲，当x =4时，y =16，故y =10-x 为l 2.
因此易知f (x ) 如图所示：
故f (x ) max =f (4)=6，选B.
评析：当变量的形式不相同时，但均为简单的基本初等函数模型时，可利用函数草图来解决问题。
⎧x +y -11≥0, ⎪
练习：设不等式组⎨3x -y +3≥0, 表示的平面区域为D. 若指数函数y =a x 的图象上存在
⎪5x -3y +9≤0⎩
区域D 上的点，则a 的最大值为 .
例11 （2008山东卷文）已知函数f (x ) =x e 与g (x ) 的大小。
解析：此题无法划归为两个简单函数进行比较，因此构造函数F (x ) =f (x ) -g (x ) ， 则F (x ) =x e
2
x -1
2
x -1
-
13
x -x ，g (x ) =
32
23
x -x ，是比较f (x )
32
-x =x (e
2
x -1
32x -1
-x )
2
目标是判断F (x ) =x (e ∴再次构造函数h (x ) =e
-x ) 的符号，而x 为定号因子， -x ,
x -1
则h '(x ) =e
x -1
-1，令h '(x ) ≥0，得x ∈[1,+∞) ；令h '(x ) ≤0，得x ∈(-∞,1]
故h (x ) 在(-∞,1]上单调递减，在[1,+∞) 上单调递增。 因此h (x ) ≥h (1)=0恒成立
又 x 2≥0，
∴F (x ) =f (x ) -g (x ) ≥0恒成立，即对∀x ∈(-∞, +∞) ，恒有f (x ) ≥g (x ) 。
评析：当变量的形式较为复杂，不是简单的基本初等函数的加减运算构成时，可利用将两变量做差构造函数，然后利用导数确定函数的单调性进而解决问题。
练习：已知函数f (x ) =(a +1) ln x +ax 2+1. 设a ≤-2，证明：对任意x 1, x 2∈(0,+∞) ， f (x 1) -f (x 2) ≥4x 1-x 2
以上是对常量与变量的大小比较问题，作以初浅的总结，如有不当之处，还望广大读者给予指正。