精锐教育江苏分公司季度考试
高中数学试卷
一、填空题：本大题共12小题, 每小题5分, 计60分. 不需写出解答过程, 请把答案写在答题纸的指定位置上. 1．已知i 是虚数单位，m ∈R ，且(2-m i)(1-i) 是纯虚数，则m =2．若命题“∀x ∈R , sin x
5．一个质地均匀的正四面体骰子，四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字，抛掷这颗正四面体骰子，其底面落于桌面，观察抛掷后能看到的数字，若抛掷一次，则能看到的三个面上的数字之和大于6的概率是 ． 6．某校举行演讲比赛，9位评委给选手A 打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x ) 无法看清，若统计员计算无误，则数字
x 应该是.
7．如图，矩形ABCD 内放入了5个单位小正方形，在其中有向量a ，b ，c ，则（a +b ）c = 8．已知A (1,0),B (0,2)，实数p , q 满足
11
+=1，若O C p O =A O D q O B , p q
=，则直线CD 恒过定点的坐标为 ．
9．矩形ABCD 的边AB ⊥x 轴，且矩形ABCD 恰好能完全覆盖函数y =a sin ax (a >0) 的一个完整周期的图象，则当a 变化时，矩形ABCD 的周长的最小值为 ．
1⎧
111⎪
x +, x ∈A
)]∈A 10．设集合A =[0,), B =[,1]，函数f (x ) =⎨，若x 0∈A ，且f [f (x ，则的取值范围20
x 220⎪⎩2(1-x ), x ∈B 是 ．
x 2y 2
11．若椭圆＋＝1的焦点在x 轴上，过点(2,1)作圆x 2＋y 2＝4的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过
a b
椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 ．
12．设数列{a n }的通项公式为a n =2n -1， 数列{b n }定义如下：对于正整数m ，b m 是使得不等式a n ≥m 成立
的所有n 中的最小值，则
1
(b 1+b 2+b 3+2012
+b 2012) =.
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
13．（本题满分14分） 已知函数f (x ) =sin(x +
73
π) +cos(x -π), x ∈R 44
（1）求函数f (x ) 的最小正周期和值域；
6π3ππ
（2）若函数f (x ) 的图象过点(α, ),
5444
14．（本题满分14分）
如图, ABCD 是边长为3正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE =3 AF，BE 与平面ABCD 所成角为60︒. （1）设点M 是线段BD 上一点，且BD ＝3BM ，证明： AM ∥平面BEF ； （2）求多面体ABCDEF 的体积。
F C
15．（本题满分14分）
请你设计一个纸盒．如图所示，ABCDEF 是边长为30cm 的正六边形硬纸片，切去阴影部分所示的六个全等的四边形，再沿虚线折起，正好形成一个无盖的正六棱柱形状的纸盒．G 、H 分别在AB 、AF 上，是被切去的一个四边形的两个顶点，设AG =AH =x (cm)． （1）若要求纸盒的侧面积S (cm2) 最大，试问x 应取何值？
（2）若要求纸盒的的容积V (cm3) 最大，试问x 应取何值？并求此时纸盒的高与底面边
长的比．
（第17题）
16．（本题满分16分）
1
已知A (-2,0), B (2,0),点C 、D 依次满足AC =2, AD =(AB +AC ).
2
（1）求点D 的轨迹；
（2）过点A 作直线l 交以A 、B 为焦点的椭圆于M 、N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为
点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，设点Q 的坐标为(1,0)，是否存在椭圆上的点P 及以Q 为圆心的一个圆，使得该圆与
直线PA , PB 都相切，如存在，求出P 点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由．
4
，且直线l 与5
17．（本题满分16分）
已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n 2}的前n 项和为T n ，满足a 1 =1，T n =
41
-(p -S n ) 2．
33
（1）求p 的值及数列{a n }的通项公式；
（2）① 若a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列，求x ，y 的值．
② 问是否存在正整数n ，m ，k （n
若函数f (x )=x 4+ax 3+bx 2+cx +d ．
（1）当a =d =-1，b =c =0时，若函数f (x )的图象与x 轴所有交点的横坐标的和与积分别为m ，n ．
(i)求证：f (x )的图象与x 轴恰有两个交点；
(ii)求证：m 2=n -n 3．
（2）当a =c ，d =1时，设函数f (x )有零点，求a 2+b 2的最小值．
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一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
．．．．．．．．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演．．．．．区域．．
算步骤．
13．（本小题满分14分）
14．（本小题满分14分）
16．（本小题满分16分）
18．（本小题满分16分）
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一、填空题：本大题共12小题, 每小题5分, 计60分. 不需写出解答过程, 请把答案写在答题纸的指定位置上. 1．已知i 是虚数单位，m ∈R ，且(2-m i)(1-i) 是纯虚数，则m =2．若命题“∀x ∈R , sin x
5．一个质地均匀的正四面体骰子，四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字，抛掷这颗正四面体骰子，其底面落于桌面，观察抛掷后能看到的数字，若抛掷一次，则能看到的三个面上的数字之和大于6的概率是 ． 6．某校举行演讲比赛，9位评委给选手A 打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x ) 无法看清，若统计员计算无误，则数字
x 应该是.
7．如图，矩形ABCD 内放入了5个单位小正方形，在其中有向量a ，b ，c ，则（a +b ）c = 8．已知A (1,0),B (0,2)，实数p , q 满足
11
+=1，若O C p O =A O D q O B , p q
=，则直线CD 恒过定点的坐标为 ．
9．矩形ABCD 的边AB ⊥x 轴，且矩形ABCD 恰好能完全覆盖函数y =a sin ax (a >0) 的一个完整周期的图象，则当a 变化时，矩形ABCD 的周长的最小值为 ．
1⎧
111⎪
x +, x ∈A
)]∈A 10．设集合A =[0,), B =[,1]，函数f (x ) =⎨，若x 0∈A ，且f [f (x ，则的取值范围20
x 220⎪⎩2(1-x ), x ∈B 是 ．
x 2y 2
11．若椭圆＋＝1的焦点在x 轴上，过点(2,1)作圆x 2＋y 2＝4的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过
a b
椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 ．
12．设数列{a n }的通项公式为a n =2n -1， 数列{b n }定义如下：对于正整数m ，b m 是使得不等式a n ≥m 成立
的所有n 中的最小值，则
1
(b 1+b 2+b 3+2012
+b 2012) =.
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
13．（本题满分14分） 已知函数f (x ) =sin(x +
73
π) +cos(x -π), x ∈R 44
（1）求函数f (x ) 的最小正周期和值域；
6π3ππ
（2）若函数f (x ) 的图象过点(α, ),
5444
14．（本题满分14分）
如图, ABCD 是边长为3正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE =3 AF，BE 与平面ABCD 所成角为60︒. （1）设点M 是线段BD 上一点，且BD ＝3BM ，证明： AM ∥平面BEF ； （2）求多面体ABCDEF 的体积。
F C
15．（本题满分14分）
请你设计一个纸盒．如图所示，ABCDEF 是边长为30cm 的正六边形硬纸片，切去阴影部分所示的六个全等的四边形，再沿虚线折起，正好形成一个无盖的正六棱柱形状的纸盒．G 、H 分别在AB 、AF 上，是被切去的一个四边形的两个顶点，设AG =AH =x (cm)． （1）若要求纸盒的侧面积S (cm2) 最大，试问x 应取何值？
（2）若要求纸盒的的容积V (cm3) 最大，试问x 应取何值？并求此时纸盒的高与底面边
长的比．
（第17题）
16．（本题满分16分）
1
已知A (-2,0), B (2,0),点C 、D 依次满足AC =2, AD =(AB +AC ).
2
（1）求点D 的轨迹；
（2）过点A 作直线l 交以A 、B 为焦点的椭圆于M 、N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为
点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，设点Q 的坐标为(1,0)，是否存在椭圆上的点P 及以Q 为圆心的一个圆，使得该圆与
直线PA , PB 都相切，如存在，求出P 点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由．
4
，且直线l 与5
17．（本题满分16分）
已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n 2}的前n 项和为T n ，满足a 1 =1，T n =
41
-(p -S n ) 2．
33
（1）求p 的值及数列{a n }的通项公式；
（2）① 若a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列，求x ，y 的值．
② 问是否存在正整数n ，m ，k （n
若函数f (x )=x 4+ax 3+bx 2+cx +d ．
（1）当a =d =-1，b =c =0时，若函数f (x )的图象与x 轴所有交点的横坐标的和与积分别为m ，n ．
(i)求证：f (x )的图象与x 轴恰有两个交点；
(ii)求证：m 2=n -n 3．
（2）当a =c ，d =1时，设函数f (x )有零点，求a 2+b 2的最小值．
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高中数学答卷
一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
．．．．．．．．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演．．．．．区域．．
算步骤．
13．（本小题满分14分）
14．（本小题满分14分）
16．（本小题满分16分）
18．（本小题满分16分）