第21卷第3期2008年6月
高等函授学报(自然科学版)
Journal
ofHigherCorrespondence
V01.21No.3June2008
Education(NaturalSciences)
・高职高专教学・
函数的几种连续性及其相互关系
吴亚敏
(鄂东职业技术学院.湖北黄冈438000)
摘要:本文系统讨论了函数的连续、单侧连续、一致连续和半连续四种连续性及它们之间关系。
关键词:连续;单侧连续;一致连续;半连续中图分类号:0171
文献标识码:A
文章编号:1006—7353(2008)03—0028一02
1
连续和单侧连续
2.3一致连续的应用
例1
1.1连续和单侧连续的定义描述
定义1
设,(z)在[o.+oo)上一致连续,且有limf(x
设函数八工)在n点的某邻域中有定义.若它在
+行)=0,z∈E0,+o。),证明:limf(x)一0.
证明
a点处存在极限,且极限等于,(n),即如果limf(x)一,(d),则称函数八z)在a点连续。或称a为函数,(力的连续点。
定义2
对Ve>0,j占>0,使得I,(z)一,(y)l<l<dr,对[o,13作分划:嚣∈Eo,1](i=l,2.
妻,l
z—Y
若lim,(z)一,(口),则称函数,(z)在a点
…,m),使得对Vt∈Eo,13,必3i,使得lt一.717。I<占。又
由题设知,jN,当行≥N时,有
左连续,而limf(x)=,(口),称函数,(z)在d点右连续。i—’4+
1.2二者之间的关系
定理1
函数,(z)在a点连续的充要条件是,(z)在
f(xi+筇)l<÷(i一1.2,…,m)
现在,对z>N+1。j咒≥N,及i使得lz一丑一竹I
<占,因此,有
a点处既左连续又右连续。
2
连续和一致连续
2.1一致连续的定义描述
定义3设,(z)在点a的某邻域内有定义,若对Ve>0,jd(e)>o.Vzl,z2∈j。l
l<艿时,有
I,(z)I≤I,(而+n)I+I,(z)一,(丑+n)I<e.即
limf(x)=0.
定理4
zl—z2
若,(z)在[o,+oo)上一致连续,则存在正
数A和B,使得I,(z)I≤Ax+B.z∈Eo,+o。).
f(x1)一f(x2)f<e。则称函数,(z)在区间J上一致连
续。
证明
由题设,对V£>0,j占>0,使得当z7,z。∈
[o,+o。)且Iz7一aT,’I≤d时,有lf(x7)一,(z。)l<e,
现在对任意充分大的z∈Eo,+o。),总可取Xo∈[o,+oo),使得z有表达式z=rB+勘-,竹是正整数。
注意到,(z)在[o,阳上有界,不妨设I,(工)I≤M,z∈[o。胡.从而有
定理2(Cantor定理)有界闭区间上的连续函数必
2.2二者之间的关系
一致连续。
定理3
’
设,(z)在(口,6)上连续,则,(z)在(口,6)上
J‘一¨
2一b---
一致连续的充要条件是:存在极限lim,(z).1im,(z).
,(z)=∑[f(Xo+彷)一f(xo+(i一1)占)]+,(勘)
fzl
由定理3知:函数sin三在(O,1)上不一致连续;函数
.工
由此可知
smx在(O,1)上一致连续。
I,(z)I=∑I
f(x。+id)一f(xo+(f—1)奶I+M
收稿日期:2008—03—08.
作者简介:吴亚敏(1960一),男,湖北黄冈人,副教授。主要从事高等数学教学与研究.
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第21卷第3期2008年6月
高等函授学报(自然科学版)
JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)
V01.21No.3June2008
≤堆+M=(工一Xo)E厣+M≤缸/艿+(M+E)
令A=e/艿,B=M+E,
3
在Xo处既上半连续,又下半连续。
例4
Riemann函数R(z)一
即得所证。
连续与半连续
f1/q,当z—P/q(P.口)=1.P。口∈z+.口>0;10,当z一0.1及z硭Q-
3.1半连续的定义描述
定义4
设函数,(z)在XO的附近有定义.对Ve>
由定义知,R(z)在无理点处既上半连续.又下半连续。由定理5知在无理点处连续;在有理点处上半连续,但不下半连续。从而在有理点处不连续。
4
0,j占>0,当z∈E,lz一面I<艿时.恒有,(z)<f(xo)
+e。则称,(z)在XO处上半连续。对V£>0。j艿>0.当
z∈E,Iz—XOl<艿时,恒有f(xo)一e<,(工)。则称
连续、单侧连续、一致连续和半连续四者之间的关系
连续一定单侧连续,单侧连续不一定连续;闭区间上
,(工)在Xo处下半连续。
例2
Dirichet函数D(z):f10,z∈01,z三p;
连续一定一致连续,开区间上连续当满足一些较强的条件时也可以一致连续;连续一定半连续。半连续不一定连续;由于一致连续一定连续,同样也就一定单侧连续和半连续了。
由定义知,它在有理点处上半连续,但不下半连续‘在无理点处的情况则恰恰相反。3.2半连续的性质和应用
性质1
保号性:上、下半连续具有局部保号性。无介值性:半连续函数介值定理不成立。有界性:在有界闭区间上的上(下)半连续函
‘
参考文献
性质2
性质3
1-13朱正佑,秦成林.数学分析(上下册)[M].上海:上海
大学出版社,2001.
数必有上界,且达到上(下)确界。
[23欧阳光中。姚允龙,周渊.数学分析[M].上海:复旦
大学出版社,2003.
[3]许绍傅。姜东平,宋国柱,任福贤.数学分析教程
[M].南京:南京大学出版社,1990.
[4]李成章,黄玉民.数学分析[M].北京:科学出版
例3,(z)是闭区间[口,6]上的函数.满足条件:对每一点,TO∈k,6],任取e>0,有8>0,对一切.7C∈[口。6]n(xo一占,Xo+∞,有,(z)<f(xo)+e,证明,(z)有最大值。
证明
对zo∈[口,6],Ve>0,|疗>0,当lz—z。
社,1999.
[5]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教
育出版社,2001.
[63李峥,周放.高等数学[M].北京:科学出版社.2001.[7]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:
高等教育出版社,1993.
I<占时,有,(z)<f(Xo)+e。
所以,(z)为上半连续函数,由性质3(有界性)知:,(z)在[n,6]上可达到上确界。即,(z)有最大值。
3.3二者之间的关系
定理_S
函数,(z)在劫处连续的充要条件是:,(z)
(上接第18页)
解
由(1),得满足条件L2(o)=l,L。‘虿1)=
7
一o)(工一÷)(z—1).时,有矿(£)一∥(岛)=o,矿(÷)
=0.注意到L”:(工)一24。由引理2得:(0,1)内至少有一
,(专),L2(1)一2的多项式:
1
点手,使得g-(0=0,从而厂(0=∥2(0—24,
从而得
Lz(,)=2(z一÷)I(3z—1)一4f(-{-)工(工一1)+
c(x—o)(z一÷)(z—1).
l厂(9I≥24.
参考文献
,
令g(z)=,(z)--L2(砒得g(o)一g(÷)=g(1),
又因为g(z)在[o,1]上连续,在(o,1)内三阶可导,则由
[1]武忠祥.一类微分学问题的新方法[J].工科数学,
1998.14(2):168-169.
罗尔中值定理知:存在£∈(o,T1)。岛∈(百1,1)使得:
[2]金聪。熊盛武.数值分析[M]。武汉:武汉理工大学
出版社,2003:38-53.
97(£)=97(岛)=o。再令L72(÷)一o。得c=4,从而当
Lz(z)=2(z-1)(3工--1)--4f(-})z(z--1)+4(工
[3]同济大学应用数学系.高等数学(上)[J].北京:高等
教育出版社,2002:132-132.
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高等函授学报(自然科学版)
Journal
ofHigherCorrespondence
V01.21No.3June2008
Education(NaturalSciences)
・高职高专教学・
函数的几种连续性及其相互关系
吴亚敏
(鄂东职业技术学院.湖北黄冈438000)
摘要:本文系统讨论了函数的连续、单侧连续、一致连续和半连续四种连续性及它们之间关系。
关键词:连续;单侧连续;一致连续;半连续中图分类号:0171
文献标识码:A
文章编号:1006—7353(2008)03—0028一02
1
连续和单侧连续
2.3一致连续的应用
例1
1.1连续和单侧连续的定义描述
定义1
设,(z)在[o.+oo)上一致连续,且有limf(x
设函数八工)在n点的某邻域中有定义.若它在
+行)=0,z∈E0,+o。),证明:limf(x)一0.
证明
a点处存在极限,且极限等于,(n),即如果limf(x)一,(d),则称函数八z)在a点连续。或称a为函数,(力的连续点。
定义2
对Ve>0,j占>0,使得I,(z)一,(y)l<l<dr,对[o,13作分划:嚣∈Eo,1](i=l,2.
妻,l
z—Y
若lim,(z)一,(口),则称函数,(z)在a点
…,m),使得对Vt∈Eo,13,必3i,使得lt一.717。I<占。又
由题设知,jN,当行≥N时,有
左连续,而limf(x)=,(口),称函数,(z)在d点右连续。i—’4+
1.2二者之间的关系
定理1
函数,(z)在a点连续的充要条件是,(z)在
f(xi+筇)l<÷(i一1.2,…,m)
现在,对z>N+1。j咒≥N,及i使得lz一丑一竹I
<占,因此,有
a点处既左连续又右连续。
2
连续和一致连续
2.1一致连续的定义描述
定义3设,(z)在点a的某邻域内有定义,若对Ve>0,jd(e)>o.Vzl,z2∈j。l
l<艿时,有
I,(z)I≤I,(而+n)I+I,(z)一,(丑+n)I<e.即
limf(x)=0.
定理4
zl—z2
若,(z)在[o,+oo)上一致连续,则存在正
数A和B,使得I,(z)I≤Ax+B.z∈Eo,+o。).
f(x1)一f(x2)f<e。则称函数,(z)在区间J上一致连
续。
证明
由题设,对V£>0,j占>0,使得当z7,z。∈
[o,+o。)且Iz7一aT,’I≤d时,有lf(x7)一,(z。)l<e,
现在对任意充分大的z∈Eo,+o。),总可取Xo∈[o,+oo),使得z有表达式z=rB+勘-,竹是正整数。
注意到,(z)在[o,阳上有界,不妨设I,(工)I≤M,z∈[o。胡.从而有
定理2(Cantor定理)有界闭区间上的连续函数必
2.2二者之间的关系
一致连续。
定理3
’
设,(z)在(口,6)上连续,则,(z)在(口,6)上
J‘一¨
2一b---
一致连续的充要条件是:存在极限lim,(z).1im,(z).
,(z)=∑[f(Xo+彷)一f(xo+(i一1)占)]+,(勘)
fzl
由定理3知:函数sin三在(O,1)上不一致连续;函数
.工
由此可知
smx在(O,1)上一致连续。
I,(z)I=∑I
f(x。+id)一f(xo+(f—1)奶I+M
收稿日期:2008—03—08.
作者简介:吴亚敏(1960一),男,湖北黄冈人,副教授。主要从事高等数学教学与研究.
28
第21卷第3期2008年6月
高等函授学报(自然科学版)
JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)
V01.21No.3June2008
≤堆+M=(工一Xo)E厣+M≤缸/艿+(M+E)
令A=e/艿,B=M+E,
3
在Xo处既上半连续,又下半连续。
例4
Riemann函数R(z)一
即得所证。
连续与半连续
f1/q,当z—P/q(P.口)=1.P。口∈z+.口>0;10,当z一0.1及z硭Q-
3.1半连续的定义描述
定义4
设函数,(z)在XO的附近有定义.对Ve>
由定义知,R(z)在无理点处既上半连续.又下半连续。由定理5知在无理点处连续;在有理点处上半连续,但不下半连续。从而在有理点处不连续。
4
0,j占>0,当z∈E,lz一面I<艿时.恒有,(z)<f(xo)
+e。则称,(z)在XO处上半连续。对V£>0。j艿>0.当
z∈E,Iz—XOl<艿时,恒有f(xo)一e<,(工)。则称
连续、单侧连续、一致连续和半连续四者之间的关系
连续一定单侧连续,单侧连续不一定连续;闭区间上
,(工)在Xo处下半连续。
例2
Dirichet函数D(z):f10,z∈01,z三p;
连续一定一致连续,开区间上连续当满足一些较强的条件时也可以一致连续;连续一定半连续。半连续不一定连续;由于一致连续一定连续,同样也就一定单侧连续和半连续了。
由定义知,它在有理点处上半连续,但不下半连续‘在无理点处的情况则恰恰相反。3.2半连续的性质和应用
性质1
保号性:上、下半连续具有局部保号性。无介值性:半连续函数介值定理不成立。有界性:在有界闭区间上的上(下)半连续函
‘
参考文献
性质2
性质3
1-13朱正佑,秦成林.数学分析(上下册)[M].上海:上海
大学出版社,2001.
数必有上界,且达到上(下)确界。
[23欧阳光中。姚允龙,周渊.数学分析[M].上海:复旦
大学出版社,2003.
[3]许绍傅。姜东平,宋国柱,任福贤.数学分析教程
[M].南京:南京大学出版社,1990.
[4]李成章,黄玉民.数学分析[M].北京:科学出版
例3,(z)是闭区间[口,6]上的函数.满足条件:对每一点,TO∈k,6],任取e>0,有8>0,对一切.7C∈[口。6]n(xo一占,Xo+∞,有,(z)<f(xo)+e,证明,(z)有最大值。
证明
对zo∈[口,6],Ve>0,|疗>0,当lz—z。
社,1999.
[5]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教
育出版社,2001.
[63李峥,周放.高等数学[M].北京:科学出版社.2001.[7]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:
高等教育出版社,1993.
I<占时,有,(z)<f(Xo)+e。
所以,(z)为上半连续函数,由性质3(有界性)知:,(z)在[n,6]上可达到上确界。即,(z)有最大值。
3.3二者之间的关系
定理_S
函数,(z)在劫处连续的充要条件是:,(z)
(上接第18页)
解
由(1),得满足条件L2(o)=l,L。‘虿1)=
7
一o)(工一÷)(z—1).时,有矿(£)一∥(岛)=o,矿(÷)
=0.注意到L”:(工)一24。由引理2得:(0,1)内至少有一
,(专),L2(1)一2的多项式:
1
点手,使得g-(0=0,从而厂(0=∥2(0—24,
从而得
Lz(,)=2(z一÷)I(3z—1)一4f(-{-)工(工一1)+
c(x—o)(z一÷)(z—1).
l厂(9I≥24.
参考文献
,
令g(z)=,(z)--L2(砒得g(o)一g(÷)=g(1),
又因为g(z)在[o,1]上连续,在(o,1)内三阶可导,则由
[1]武忠祥.一类微分学问题的新方法[J].工科数学,
1998.14(2):168-169.
罗尔中值定理知:存在£∈(o,T1)。岛∈(百1,1)使得:
[2]金聪。熊盛武.数值分析[M]。武汉:武汉理工大学
出版社,2003:38-53.
97(£)=97(岛)=o。再令L72(÷)一o。得c=4,从而当
Lz(z)=2(z-1)(3工--1)--4f(-})z(z--1)+4(工
[3]同济大学应用数学系.高等数学(上)[J].北京:高等
教育出版社,2002:132-132.
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