求函数极限方法的若干方法

求函数极限方法的若干方法

摘要： 关键词：

1引言：极限的重要性

极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数y =f(x)在x =x 0处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。

2极限的概念及性质

2.1极限的概念

2.1.1lim n →∞

x n =A , 任意的正整数N ，使得当n>N时就有 x n −A

2.1.2lim x →∞f x =A ∀ε>0，任意整数X ，使得当 x >X时就有 f x −A

以定义单侧极限lim x →+∞f x =A 与lim x →−∞f(x)。 2.2.3类似可定义

当

，

整数

，使得当

时有

。，

时右极限与左极限：。在此处键入公式。

2.2极限的性质

2.2.1极限的不等式性质：设

若若

，则，使得当

，当

时有

。 时有时有

，则

；

。 ，则

与

，使得当

在

的某空心邻

时

，

时有

，则。

；

。

2.2.1（推论）极限的保号性：设

若若

, 则，使得当

，当

2.2.2存在极限的函数局部有界性：设存在极限域有

内有界，即

3求极限的方法

1、定义法 2、利用极限的四则运算性质求极限, 3、利用夹逼性定理求极限 4、利用两个重要极限求极限，5、利用迫敛性求极限, 6、利用洛必达法则求极限, 7、利用定积分求极限, 8、利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限9、利用变量替换求极限, 10、利用递推公式求极限, 11、利用等价无穷小量代换求极限,12、利用函数的连续性求极限, 13、利用泰勒展开式求极限, 14、利用两个准则求极限15、利用级数收敛的必要条件求极限16、利用单侧极限求极限17、利用中值定理求极限 3.1定义法

利用数列极限的定义求出数列的极限. 设的

, 总存在一个正整数

.

，当

是一个数列,

是实数, 如果对任意给定, 我们就称是数列

时, 都有

的极限. 记为

例1 证明

证 任给，取，则当时有

，所以

。

3.2利用极限的四则运算性质求极限 设

，

，

，则

。

，

例1求

解 这是求

型极限，用相消法，分子、分母同除以

得。

，其中

3.3利用夹逼性定理求极限

当极限不易直接求出时, 可考虑将求极限的变量作适当的放大和缩小, 使放大与缩小所得的新变量易于求极限, 且二者的极限值相同, 则原极限存在, 且等

于公共值。特别是当在连加或连乘的极限里, 可通过各项或各因子的放大与缩小来获得所需的不等式。 3.3.1（数列情形）若

则

。

，使得当时有，且

，

3.3.2（函数情形）若

，则

，使得当

。

时有，又

例题

解 ：

，其中，，因此。

3.4利用两个重要极限球极限 两个重要极限是

，

或

。

第一个重要极限可通过等价无穷小来实现。利用这两个重要极限来求函数的极限时要观察所给的函数形式，只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时，才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。 例题1解：令t=故 例题2

3.5利用迫敛性求极限

, 且在某个

。

内有

, 那么

. 则sinx=sin(

t)=sint, 且当

时

例 求的极限

解：因为. 且 由迫敛性知

所以

3.6利用洛必达法则求极限

假设当自变量和

趋近于某一定值（或无穷大）时，函数

和

和

满足：的导数不为0

的极限都是或都是无穷大都可导，并且

存在（或无穷大），则极限也必存在，且等于，即

= 。利用洛必达法则求极限，可连续进行运算，可简化一些较复杂的函数求极限

的过程，但是运用时需注意条件。

例题 求

解 原式=

注：运用洛比达法则应注意以下几点：

1、要注意条件，也就是说，在没有化为或时不可求导。

2、 应用洛必达法则，要分别求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。 3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否还是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会错误。

3.7利用定积分求极限

利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数f(x)。把所求极限的和式表示成f(x)在某区间 例

上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限。

解 原式=，由定积分的定义可知

。

3.8利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限 利用无穷小量乘有界变量仍是无穷小量, 这一方法在求极限时常用到。在求函数极限过程中, 如果此函数是某个无穷小量与所有其他量相乘或相除时, 这个无穷小量可用它的等价无穷小量来代替, 从而使计算简单化。 例

解 注意

时，

，

。

3.9利用变量替换求极限

为将未知的极限化简，或转化为已知的极限，可以根据极限式特点，适当的引入新变量，来替换原有变量，使原来的极限过程转化为新的极限过程。最常用的方法就是等价无穷小的代换。

例 已知

证 令

试证

则时，于是

当时），故

时第二、三项趋于零，现在证明第四项极限也为零。因有界，即

，使得

。所以

（当

原式得证。

3.10利用递推公式求极限

用递推公式计算或者证明序列的极限，也是一常见的方法，我们需要首先验证极限的存在性。在极限存在前提下，根据极限唯一性，解出我们所需要的结果，但是验证极限的存在形式是比较困难的，需要利用有关的不等式或实数的一些性质来解决。

例 设

，对

，定义

且

。证明 时，

解 对推出递推公式解得

, ，因为

，因此，序列

中可以得出

是单调递增且有界的，它的极限

，设为

，从

，即

。

3.11利用等价无穷小量代换求极限 所谓的无穷小量即

，

例如 求极限 解 本题属于有

型极限，利用等价无穷小因子替换

=

=

,

，

称

与

是

时的无穷小量，记作

注：可以看出，想利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的

等价无穷小量，如：由于，故有又由于

故有，。

另注：在利用等价无穷小代换求极限时，应注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能利用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。

小结:在求解极限的时候要特别要注意无穷小等价代换, 无穷小等价代换可以很好的简化解题。

3.12利用函数的连续性求极限

在

若

处连续，那么

且

在点连续，则

。

例 求的极限

解：由于

及函数在处连续，故

3.13利用泰勒展开式求极限 列举下 例题

3.14利用两个准则求极限

3.14.1函数极限迫敛性（夹逼准则）：若一个正整数

，并且

例题

3.14.2单调有界准则：单调有界数列必有极限，并且极限唯一。

, 当时，则

则。

利用单调有界准则求极限，关键是要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。 例题

3.15利用级数收敛的必要条件求极限

利用级数收敛的必要条件：若级数收敛，则，首先判定级数

收敛，然后求出它的通项的极限。 例题

3.16利用单侧极限求极限

1） 求含

的函数

趋向无穷的极限，或求含

的函数

趋于

的极限;

2）求含取整函数的函数极限; 3）分段函数在分段点处的极限; 4）含偶次方根的函数以及

或

的函数，

趋向无穷的极限.

这种方法还能使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左，右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。 例题

3.17利用中值定理求极限 3.17.1微分中值定理： 3.17.2积分中值定理

求函数极限方法的若干方法

摘要： 关键词：

1引言：极限的重要性

极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数y =f(x)在x =x 0处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。

2极限的概念及性质

2.1极限的概念

2.1.1lim n →∞

x n =A , 任意的正整数N ，使得当n>N时就有 x n −A

2.1.2lim x →∞f x =A ∀ε>0，任意整数X ，使得当 x >X时就有 f x −A

以定义单侧极限lim x →+∞f x =A 与lim x →−∞f(x)。 2.2.3类似可定义

当

，

整数

，使得当

时有

。，

时右极限与左极限：。在此处键入公式。

2.2极限的性质

2.2.1极限的不等式性质：设

若若

，则，使得当

，当

时有

。 时有时有

，则

；

。 ，则

与

，使得当

在

的某空心邻

时

，

时有

，则。

；

。

2.2.1（推论）极限的保号性：设

若若

, 则，使得当

，当

2.2.2存在极限的函数局部有界性：设存在极限域有

内有界，即

3求极限的方法

1、定义法 2、利用极限的四则运算性质求极限, 3、利用夹逼性定理求极限 4、利用两个重要极限求极限，5、利用迫敛性求极限, 6、利用洛必达法则求极限, 7、利用定积分求极限, 8、利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限9、利用变量替换求极限, 10、利用递推公式求极限, 11、利用等价无穷小量代换求极限,12、利用函数的连续性求极限, 13、利用泰勒展开式求极限, 14、利用两个准则求极限15、利用级数收敛的必要条件求极限16、利用单侧极限求极限17、利用中值定理求极限 3.1定义法

利用数列极限的定义求出数列的极限. 设的

, 总存在一个正整数

.

，当

是一个数列,

是实数, 如果对任意给定, 我们就称是数列

时, 都有

的极限. 记为

例1 证明

证 任给，取，则当时有

，所以

。

3.2利用极限的四则运算性质求极限 设

，

，

，则

。

，

例1求

解 这是求

型极限，用相消法，分子、分母同除以

得。

，其中

3.3利用夹逼性定理求极限

当极限不易直接求出时, 可考虑将求极限的变量作适当的放大和缩小, 使放大与缩小所得的新变量易于求极限, 且二者的极限值相同, 则原极限存在, 且等

于公共值。特别是当在连加或连乘的极限里, 可通过各项或各因子的放大与缩小来获得所需的不等式。 3.3.1（数列情形）若

则

。

，使得当时有，且

，

3.3.2（函数情形）若

，则

，使得当

。

时有，又

例题

解 ：

，其中，，因此。

3.4利用两个重要极限球极限 两个重要极限是

，

或

。

第一个重要极限可通过等价无穷小来实现。利用这两个重要极限来求函数的极限时要观察所给的函数形式，只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时，才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。 例题1解：令t=故 例题2

3.5利用迫敛性求极限

, 且在某个

。

内有

, 那么

. 则sinx=sin(

t)=sint, 且当

时

例 求的极限

解：因为. 且 由迫敛性知

所以

3.6利用洛必达法则求极限

假设当自变量和

趋近于某一定值（或无穷大）时，函数

和

和

满足：的导数不为0

的极限都是或都是无穷大都可导，并且

存在（或无穷大），则极限也必存在，且等于，即

= 。利用洛必达法则求极限，可连续进行运算，可简化一些较复杂的函数求极限

的过程，但是运用时需注意条件。

例题 求

解 原式=

注：运用洛比达法则应注意以下几点：

1、要注意条件，也就是说，在没有化为或时不可求导。

2、 应用洛必达法则，要分别求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。 3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否还是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会错误。

3.7利用定积分求极限

利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数f(x)。把所求极限的和式表示成f(x)在某区间 例

上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限。

解 原式=，由定积分的定义可知

。

3.8利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限 利用无穷小量乘有界变量仍是无穷小量, 这一方法在求极限时常用到。在求函数极限过程中, 如果此函数是某个无穷小量与所有其他量相乘或相除时, 这个无穷小量可用它的等价无穷小量来代替, 从而使计算简单化。 例

解 注意

时，

，

。

3.9利用变量替换求极限

为将未知的极限化简，或转化为已知的极限，可以根据极限式特点，适当的引入新变量，来替换原有变量，使原来的极限过程转化为新的极限过程。最常用的方法就是等价无穷小的代换。

例 已知

证 令

试证

则时，于是

当时），故

时第二、三项趋于零，现在证明第四项极限也为零。因有界，即

，使得

。所以

（当

原式得证。

3.10利用递推公式求极限

用递推公式计算或者证明序列的极限，也是一常见的方法，我们需要首先验证极限的存在性。在极限存在前提下，根据极限唯一性，解出我们所需要的结果，但是验证极限的存在形式是比较困难的，需要利用有关的不等式或实数的一些性质来解决。

例 设

，对

，定义

且

。证明 时，

解 对推出递推公式解得

, ，因为

，因此，序列

中可以得出

是单调递增且有界的，它的极限

，设为

，从

，即

。

3.11利用等价无穷小量代换求极限 所谓的无穷小量即

，

例如 求极限 解 本题属于有

型极限，利用等价无穷小因子替换

=

=

,

，

称

与

是

时的无穷小量，记作

注：可以看出，想利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的

等价无穷小量，如：由于，故有又由于

故有，。

另注：在利用等价无穷小代换求极限时，应注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能利用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。

小结:在求解极限的时候要特别要注意无穷小等价代换, 无穷小等价代换可以很好的简化解题。

3.12利用函数的连续性求极限

在

若

处连续，那么

且

在点连续，则

。

例 求的极限

解：由于

及函数在处连续，故

3.13利用泰勒展开式求极限 列举下 例题

3.14利用两个准则求极限

3.14.1函数极限迫敛性（夹逼准则）：若一个正整数

，并且

例题

3.14.2单调有界准则：单调有界数列必有极限，并且极限唯一。

, 当时，则

则。

利用单调有界准则求极限，关键是要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。 例题

3.15利用级数收敛的必要条件求极限

利用级数收敛的必要条件：若级数收敛，则，首先判定级数

收敛，然后求出它的通项的极限。 例题

3.16利用单侧极限求极限

1） 求含

的函数

趋向无穷的极限，或求含

的函数

趋于

的极限;

2）求含取整函数的函数极限; 3）分段函数在分段点处的极限; 4）含偶次方根的函数以及

或

的函数，

趋向无穷的极限.

这种方法还能使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左，右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。 例题

3.17利用中值定理求极限 3.17.1微分中值定理： 3.17.2积分中值定理