第十三章 函数列与函数项级数
§1 一致收敛性
(一) 教学目的：
掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (二) 教学内容：
函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． 基本要求：
1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致 收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．
(2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．
2、教学基本要求：理解并掌握函数列与函数项级数的概念及一致收敛的概念和性质；掌
握函数项级数的几个重要判别法，并能利用它们去进行判别；掌握一致收敛函数列与函数项级数的极限与和函数的连续性，可积性，可微性，并能应用它们去解决问题。
3、教学重点难点：重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛性的概念、判
别及应用。
(三) 教学建议：
(1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项
级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．
(2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．
————————————————————
一 函数列及其一致收敛性
对定义在区间I 上的函数列{f n (x ) },x ∈E ，设 x 0∈E ，若数列 {f n (x 0) }收敛，则称函数列{f n (x ) }在点x 0收敛，x 0称为函数列{f n (x ) }收敛点；若数列 {f n (x 0) }发散，则称函数列{f n (x ) }在点x 0发散。
使函数列{f n (x ) }收敛的全体收敛点集合称为函数列{f n (x ) }收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ）。
若函数列{f n (x ) }在数集D ⊂E 上每一点都收敛，则称函数列{f n (x ) }在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值
lim f n (x ) =f (x )
n →∞
与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列{f n (x ) }的极限函数。
逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“ε-N ”定义.
n
例1 对定义在( -∞ , +∞ ) 内的等比函数列f n (x ) =x , 用“ε-N ”定义
验证其收敛域为( -1 , 1 ], 且 lim f n (x ) = lim x =⎨
n →∞n →∞
例2 f n (x ) =
n
|x |
x =1 . ⎩ 1 ,
sin nx
. 用“ε-N ”定义验证在( -∞ , +∞ ) 内lim f n (x ) =0.
n →∞n
函数列的一致收敛性：
设函数列 {f n (x ) }在E 上收敛于 f (x ) ，若对任意的ε>0 ，存在自然数
N =N (ε) ，当 n >N 时，对E 中一切 x 都有
f n (x ) -f (x )
则称函数列{f n (x )}在E 上一致收敛于f (x ) 。
注意 这里的 N 只与ε有关，与x 无关，这一点是一致收敛与逐点收敛的本质区别。 一致收敛的几何意义
对任给的ε-带 {(x , y ) ; |y -f (x ) |N 时，f n (x ) 的图形全部落入这个ε-带内。
一致收敛情况图示
对任意ε>0，n 充分大时，f n (x ) 将全部落入ε－带以内。
{f n (x )}收敛但不一致收敛的几何意义：
对任意 ∈D ， lim f n () =f () ，但存在一个ε0>0，对任意的N ，都可找到一
n →∞
个n 0，尽管 n 0>N ，但 f n 0(x ) 总有一部分落在ε0带以外。
例 证明函数列
证明 1显然 对任意的x ∈[0, 1] ， f n (x ) =2）但 f n (x ) 不一致收敛于0
先看一看函数列的图象（图中给出的是 n＝8，20，50 的情况）
clf,x=0:1/100:1; y1=8*x./(1+64*x.^2);
1n
n
→0 2
+nx
y2=20*x./(1+400*x.^2); y3=50*x./(1+2500*x.^2);
plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2) hold on
plot([-0.1,1],[0,0],'b',[0,0],[-0.1,0.6],'b') axis([-0.1,1.2,-0.1,0.6])
legend('y1,n=8','y2,n=20','y3,n=50')
可以看出，对于 ε0
事实上存在 x n 0=
11
>ε0， ， |f n 0(x n 0) -f (x ) |=
n 2.
所以该函数列是不一致收敛的。
n
例 函数列 {x }在[0, 1]上不一致收敛，但在 [0, α], α
先看看该函数列的图象
clf,x=0:1/100:1;
y1=x.^4;y2=x.^10;y3=x.^50;
plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2)
对于ε0
n
1111
(1-) n →⇒n 充分大时，(1-) n > 所以该函数列在[0, 1]上不一致收敛。
n e n 3
再看看该函数列在 [0, α], α
y1=x.^13;y2=x.^18;y3=x.^20;
plot(x,y1,x,y2,x,y3,'b','linewidth',2),hold on plot([0,0.7],[0,0],'r',[0,0],[-0.02,0.02],'r') plot([0,0.7],[0.005,0.005],'m') axis([0,0.71,-0.01,0.02])
n
对任意的 ε>0，总存在N, 当 n>N 时，x 的图象将全部落入ε－带之内。事实上，
0
函数项级数及其一致收敛性
定理13.1 (一致收敛的Cauchy 准则 ) 函数列 {f n (x )}, x ∈D 一致收敛的充分必要条件是：对任意 ε>0，存在某一自然数N ，当 n , m >N 时，对一切 x ∈D ，都有
|f n (x ) -f m (x ) |
证 ⇒) ( 利用式 f m -f n ≤f m -f +f n -f )
⇐) 易见逐点收敛. 设lim f n (x ) =f (x ) , „„, 有 |f m (x ) -f n (x ) |
n →∞
ε
2
.
令m →∞, ⇒ |f n (x ) -f (x ) | ≤
ε
2
−−→−−→
f (x ) ,
( n →∞ ) ，x ∈D .
定理13.2 函数列 {f n (x )}, x ∈D 一致收敛的充分必要条件是：
lim sup |f n (x ) -f (x ) |=0
n →∞x ∈D
推论 设在数集D 上 f n (x ) →f (x ) , ( n →∞ ) . 若存在数列{x n }⊂D , 使
|f n (x n ) -f (x n ) | →/ 0, 则函数列{f n (x )}在数集D 上非一致收敛 .
应用此判断函数列{f n (x )}在数集D 上非一致收敛时, 常作辅助函数
F n (x ) =f n (x ) ―f (x ) 取在{x n }为数集D 上的最值点.
例7 对定义在区间[ 0 , 1 ]上的函数列
1⎧2
2n x , 0≤x ≤, ⎪2n ⎪
11⎪2
( n =1 , 2 , ), f n (x ) =⎨2n -2n x ,
2n n ⎪
1⎪
0 ,
证明: lim f n (x ) =0, 但在[ 0 , 1 ]上不一致收敛.
n →∞
-1
证 0x , 就有f n (x ) =0. 因此, 在( 0 , 1 ]上有
f (x ) =lim f n (x ) =0. f n (0) =0, ⇒ f (0) =lim f n (0) =0.
n →∞
n →∞
于是, 在[ 0 , 1 ]上有 f (x ) =lim f n (x ) =0. 但由于
n →∞
⎛1⎫
max |f n (x ) -f (x ) |=f n ⎪=n →/0, ( n →∞ ) , x ∈[0, 1]2n ⎝⎭
因此 , 该函数列在[ 0 , 1 ]上不一致收敛.
例 判别下面函数列在区间 [0, 1] 上的一致收敛性 1) {
nx
} 2) {nx (1-x ) n }
1+n +x
nx
=x
n →∞1+n +x
解 1） f (x ) =lim
sup |f n (x ) -f (x ) |=sup |
n →∞
nx x (1+x ) 2
-x |=sup ||≤
1+n +x 1+n +x n
lim sup |f n (x ) -f (x ) |=0
所以，函数列{
nx
}在区间 [0, 1] 上一致收敛。
1+n +x
n
⎧⎪0, x =0
2）f (x ) =lim nx (1-x ) =⎨ n n →∞lim x [n (1-x )]=0, x ≠0⎪⎩n →∞
求极大点方法可求得
sup |f n (x ) -f (x ) |=sup |nx (1-x ) n |=(1-lim sup |f n (x ) -f (x ) |=
n →∞
1n +1
) n +1
1
≠0 e
函数列 {nx (1-x ) n } 在 [0, 1] 上不一致收敛。
例 f n (x ) =2n xe
2
-n 2x 2
. 证明在R 内 f n (x ) →0, 但不一致收敛.
证 显然有f n (x ) →0, |f n (x ) -f (x ) | = f n (x ) 在点 x n =
-⎛1⎫
f n ⎪=2ne 2→/0, ( n →∞ ) . {f n (x )}不一致收敛. ⎝2n ⎭
1
12n
处取得极大值
例6 S n (x ) =
x
. 证明在( -∞ , +∞ ) 内S n (x ) 22
1+n x
−−→−−→
0, ( n →∞ ) .
证 易见 lim S n (x ) =S (x ) =0. 而
n →∞
|S n (x ) -S (x ) |=
|x |12n |x |1
在( -∞ , +∞ ) 内成立. =⋅≤222
2n 1+(nx ) 2n 1+n x
⇒ „„
二 函数项级数及其一致收敛性
我们知道，有限个函数的和函数的性质是通过每个相加的函数的性质去认识的，有限个连续函数的和是连续的；有限个可微函数的和是可微的，且和的导数等于每个函数的导
数的和；有限个可积函数的和是可积的，且和的积分等于每个函数积分的和。现在要问：是否可以从级数每一项所具有的连续性、可微性与可积性，而得出和函数的连续性、可微性与可积性呢？一般来说，这是不行的！
例 讨论
∑x
n =1
∞
n
的收敛域
由几何级数的敛散性, |x |
∑x
n =1
∞
n
收敛, |x |≥1 时
∑x
n =1
∞
n
发散, 所以
∑x
n =1
∞
n
sin n x
例 讨论级数 ∑ 收敛域 2
n n =1
∞
∞
sin n x 1sin n x ||≤2, 所以级数 ∑2 收敛域为 (-∞, +∞) 2
n n n n =1
一致收敛性概念
例 函数项级数 x +为 S n (x ) =x n ，从而
∑(x
n =2
∞
n
-x n -1) 每一项 在 [0, 1] 上都是连续的， 而其部分和
⎧0, 0≤x
n →∞1, x =1. ⎩
在[0, 1]上却是不连续的。 clf, x=0:1/100:1; n=2:2:8;
y1=x.^2;y2=x.^4;y3=x.^6;y4=x.^100;
plot(x,y1,x,y2,x,y3,'b',x,y4,'r','linewidth',2)
那么在什么条件下，由级数每一项所具有的某种性质（如连续性、可积性、可微性），就可推出和函数也具有这种性质？这需要一个重要的概念－一致收敛性。
函数级数一致收敛判别法:
定理13.3 (柯西准则) 函数级数
∑u
n =1
∞
n
(x ) 在区间I 一致收敛 ⇔
∀ε>0, ∃N , n >N , ∀p ∈N , ∀x ∈I 有
|S n +p (x ) -S n (x ) |
|u m (x ) +u m +1(x ) + +u n (x ) |
定理13.4 函数项级数
∑u
n =1
∞
n
(x ) 在D 上一致收敛于S (x ) 的充分必要条件是：
lim sup |S n (x ) -S (x ) |=0
n →∞x ∈D
x n x n +1
例 讨论函数级数 ∑(-) 在区间 [-1, 1] 上的一致收敛性
n n +1n =1
∞
|S n +p =|
x n +1x n +2x n +p x n +p +1
-S n |=|-+ +-|
n +1n +2n +p n +p +1
n +p +1
x x 2-|
n +1
x n x n +1
所以, 函数级数 ∑(-) 在区间 [-1, 1] 上一致收敛性
n +1n =1n
∞
一般来说, 柯西准则用起来不大方便, 下面给出一个较简便的判别方法 定理13.5 ( Weierstrass 判别法) 设级数
∑u
n
(x ) 定义在区间D 上, ∑M n 是收敛
的正项级数. 若当n 充分大时, 对∀x ∈D 有|u n (x ) |≤M n , 则
证
∑
在D 上一致收敛 .
∑u
i =1
p
n +i
(x ) ≤ ∑|u n +i (x ) | ≤ ∑M n +i = ∑M n +i , 然后用Cauchy 准则.
i =1
i =1
i =1
p p p
亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数个优级数. 于是Th 4 可以叙述为: 若级数
∑M
n
是级数
∑u
n
(x ) 的一
∑u
n
(x ) 在区间D 上存在优级数 , 则级数
x ∈D
∑u ∑u
n
(x ) 在区间D 上一致收敛 . 应用时, 常可试取M n =sup {|u n (x ) |}. 但应注意, 级数(x ) 在区间D 上不存在优级数 , ⇒/ 级数∑u n (x ) 在区间D 上非一致收敛.
x
在R 上一致收敛. ∑42
n =11+n x
∞
1x 收敛, 由M 判别法 ∑∑422
n =11+n x n =12n
∞
n
注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在. 例 证明
x |x |1
因为||≤=, 4222
1+n x 2n |x |2n
在R 上一致收敛.
∞
凡是M 判别法判别的必然是绝对收敛, 一致收敛的, 对于条件收敛级数, 不能用M 判别法判定. 下面介绍两个条件收敛, 一致收敛的判别法
定理13.6 (阿贝尔判别法) 若函数列 {a n (x ) }在区间I 单调一致有界, 且函数级数
∑b (x ) 在区间I 一致收敛, 则函数级数∑a
n n =1
n =1
∞∞
n
(x ) b n (x ) 在区间I 一致收敛.
注意两个定理的条件的区别.
定理13.7 (狄里克雷判别法) 若函数列 {a n (x ) }在区间I 单调递减一致收敛于0, 且函数级数
∞
∑b (x ) 的部分和函数列 {B (x )}在区间I 一致有界, 则函数级数
n
∞
n
n =1
∑a
n =1
n
(x ) b n (x ) 在区间I 一致收敛.
例10 几何级数
∑x
n =0
∞
n
在区间[-a , a ](0
致收敛.
证 在区间[-a , a ]上 , 有
-x n a n
sup |S n (x ) -S (x ) |=sup =→0, ( n →∞ ) .
1-a [-a , a ][-a , a ]1-a
⇒
∑
一致收敛 ;
而在区间(-1 , 1 ) 内 , 取x n =
n
∈(-1 , 1 ) , 有 n +1
n
⎛n ⎫ ⎪n -1
x n n +1⎭⎛n ⎫⎝sup |S n (x ) -S (x ) |=sup ≥ =n ⎪→∞, ( n →∞ ) .
n 1+n (-1, 1) (-1, 1) 1-x ⎝⎭1-
1+n
⇒
∑
非一致收敛.( 亦可由通项u n (x ) =x n 在区间(-1 , 1 ) 内非一致收敛于零⇒
∑
非一致收敛.) 几何级数
∑x
n =0
∞
n
虽然在区间(-1 , 1 ) 内非一致收敛, 但在包含于(-1 , 1 ) 内的任何闭区
间上却一致收敛. 我们称这种情况为“闭一致收敛”. 因此 , 我们说几何级数间(-1 , 1 ) 内闭一致收敛 .
∑x
n =0
∞
n
在区
∞
sin nx cos nx
例12 判断函数项级数 ∑ 和 在R 内的一致收敛性 . ∑22
n n n =i n =i
∞
例13 若级数 敛 .
设u n (x ) ( n =1 , 2 , ) 是区间[ a , b ]上的单调函数. 试证明 :
n
∑u (a ) 与∑u n (b ) 都绝对收敛, 则级数∑u n (x ) 在区间[ a , b ]上绝对并一致收
留为作业. |u n (x ) | ≤ |u n (a ) |+|u n (b ) |. „„
(-1 ) n (x +n ) n
例14 判断函数项级数∑在区间[ 0 , 1 ]上的一致收敛性. n +1
n
(-1 ) n ⎛x ⎫
解 记u n (x ) =, v n (x ) = 1+⎪. 则有 1）级数∑u n (x ) 收敛;
n ⎝n ⎭
2） 对每个x ∈[ 0 , 1 ], v n (x ) ；
n
⎛x ⎫
3） |v n (x ) |= 1+⎪≤e 对 ∀x ∈[ 0 , 1 ]
⎝n ⎭
和∀n 成立. 由Abel 判别法,
n
∑
在区间[ 0 , 1 ]上一致收敛.
例15 设数列{a n }单调收敛于零 . 试证明 : 级数
∑a
n
cos nx 在区间
[ α , 2π-α ] (0
证 在[ α , 2π-α ]上有
1
sin(n + ) x n
11111 |∑cos kx | = -≤ +≤ +.
x x α222k =1
2sin 2|sin |2sin
222
可见级数
u n
∑cos nx 的部分和函数列在区间[ α , 2π-α ]上一致有界 . 取
(x ) =cos nx , v (x ) =a . 就有级数∑u (x ) 的部分和函数列在区间[ α , 2π-α ]
n
n
n
上一致有界, 而函数列{v n (x )}对每一个x ∈[ α , 2π-α ]单调且一致收敛于零. 由
Dirichlet 判别法, 级数
∑a
n
cos nx 在区间[ α , 2π-α ]上一致收敛.
其实 , 在数列{a n }单调收敛于零的条件下, 级数
∑a
n
cos nx 在不包含
2k π ( k =0 , ±1 , ±2 , ) 的任何区间上都一致收敛.
第十三章 函数列与函数项级数
§1 一致收敛性
(一) 教学目的：
掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (二) 教学内容：
函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． 基本要求：
1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致 收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．
(2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．
2、教学基本要求：理解并掌握函数列与函数项级数的概念及一致收敛的概念和性质；掌
握函数项级数的几个重要判别法，并能利用它们去进行判别；掌握一致收敛函数列与函数项级数的极限与和函数的连续性，可积性，可微性，并能应用它们去解决问题。
3、教学重点难点：重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛性的概念、判
别及应用。
(三) 教学建议：
(1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项
级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．
(2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．
————————————————————
一 函数列及其一致收敛性
对定义在区间I 上的函数列{f n (x ) },x ∈E ，设 x 0∈E ，若数列 {f n (x 0) }收敛，则称函数列{f n (x ) }在点x 0收敛，x 0称为函数列{f n (x ) }收敛点；若数列 {f n (x 0) }发散，则称函数列{f n (x ) }在点x 0发散。
使函数列{f n (x ) }收敛的全体收敛点集合称为函数列{f n (x ) }收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ）。
若函数列{f n (x ) }在数集D ⊂E 上每一点都收敛，则称函数列{f n (x ) }在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值
lim f n (x ) =f (x )
n →∞
与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列{f n (x ) }的极限函数。
逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“ε-N ”定义.
n
例1 对定义在( -∞ , +∞ ) 内的等比函数列f n (x ) =x , 用“ε-N ”定义
验证其收敛域为( -1 , 1 ], 且 lim f n (x ) = lim x =⎨
n →∞n →∞
例2 f n (x ) =
n
|x |
x =1 . ⎩ 1 ,
sin nx
. 用“ε-N ”定义验证在( -∞ , +∞ ) 内lim f n (x ) =0.
n →∞n
函数列的一致收敛性：
设函数列 {f n (x ) }在E 上收敛于 f (x ) ，若对任意的ε>0 ，存在自然数
N =N (ε) ，当 n >N 时，对E 中一切 x 都有
f n (x ) -f (x )
则称函数列{f n (x )}在E 上一致收敛于f (x ) 。
注意 这里的 N 只与ε有关，与x 无关，这一点是一致收敛与逐点收敛的本质区别。 一致收敛的几何意义
对任给的ε-带 {(x , y ) ; |y -f (x ) |N 时，f n (x ) 的图形全部落入这个ε-带内。
一致收敛情况图示
对任意ε>0，n 充分大时，f n (x ) 将全部落入ε－带以内。
{f n (x )}收敛但不一致收敛的几何意义：
对任意 ∈D ， lim f n () =f () ，但存在一个ε0>0，对任意的N ，都可找到一
n →∞
个n 0，尽管 n 0>N ，但 f n 0(x ) 总有一部分落在ε0带以外。
例 证明函数列
证明 1显然 对任意的x ∈[0, 1] ， f n (x ) =2）但 f n (x ) 不一致收敛于0
先看一看函数列的图象（图中给出的是 n＝8，20，50 的情况）
clf,x=0:1/100:1; y1=8*x./(1+64*x.^2);
1n
n
→0 2
+nx
y2=20*x./(1+400*x.^2); y3=50*x./(1+2500*x.^2);
plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2) hold on
plot([-0.1,1],[0,0],'b',[0,0],[-0.1,0.6],'b') axis([-0.1,1.2,-0.1,0.6])
legend('y1,n=8','y2,n=20','y3,n=50')
可以看出，对于 ε0
事实上存在 x n 0=
11
>ε0， ， |f n 0(x n 0) -f (x ) |=
n 2.
所以该函数列是不一致收敛的。
n
例 函数列 {x }在[0, 1]上不一致收敛，但在 [0, α], α
先看看该函数列的图象
clf,x=0:1/100:1;
y1=x.^4;y2=x.^10;y3=x.^50;
plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2)
对于ε0
n
1111
(1-) n →⇒n 充分大时，(1-) n > 所以该函数列在[0, 1]上不一致收敛。
n e n 3
再看看该函数列在 [0, α], α
y1=x.^13;y2=x.^18;y3=x.^20;
plot(x,y1,x,y2,x,y3,'b','linewidth',2),hold on plot([0,0.7],[0,0],'r',[0,0],[-0.02,0.02],'r') plot([0,0.7],[0.005,0.005],'m') axis([0,0.71,-0.01,0.02])
n
对任意的 ε>0，总存在N, 当 n>N 时，x 的图象将全部落入ε－带之内。事实上，
0
函数项级数及其一致收敛性
定理13.1 (一致收敛的Cauchy 准则 ) 函数列 {f n (x )}, x ∈D 一致收敛的充分必要条件是：对任意 ε>0，存在某一自然数N ，当 n , m >N 时，对一切 x ∈D ，都有
|f n (x ) -f m (x ) |
证 ⇒) ( 利用式 f m -f n ≤f m -f +f n -f )
⇐) 易见逐点收敛. 设lim f n (x ) =f (x ) , „„, 有 |f m (x ) -f n (x ) |
n →∞
ε
2
.
令m →∞, ⇒ |f n (x ) -f (x ) | ≤
ε
2
−−→−−→
f (x ) ,
( n →∞ ) ，x ∈D .
定理13.2 函数列 {f n (x )}, x ∈D 一致收敛的充分必要条件是：
lim sup |f n (x ) -f (x ) |=0
n →∞x ∈D
推论 设在数集D 上 f n (x ) →f (x ) , ( n →∞ ) . 若存在数列{x n }⊂D , 使
|f n (x n ) -f (x n ) | →/ 0, 则函数列{f n (x )}在数集D 上非一致收敛 .
应用此判断函数列{f n (x )}在数集D 上非一致收敛时, 常作辅助函数
F n (x ) =f n (x ) ―f (x ) 取在{x n }为数集D 上的最值点.
例7 对定义在区间[ 0 , 1 ]上的函数列
1⎧2
2n x , 0≤x ≤, ⎪2n ⎪
11⎪2
( n =1 , 2 , ), f n (x ) =⎨2n -2n x ,
2n n ⎪
1⎪
0 ,
证明: lim f n (x ) =0, 但在[ 0 , 1 ]上不一致收敛.
n →∞
-1
证 0x , 就有f n (x ) =0. 因此, 在( 0 , 1 ]上有
f (x ) =lim f n (x ) =0. f n (0) =0, ⇒ f (0) =lim f n (0) =0.
n →∞
n →∞
于是, 在[ 0 , 1 ]上有 f (x ) =lim f n (x ) =0. 但由于
n →∞
⎛1⎫
max |f n (x ) -f (x ) |=f n ⎪=n →/0, ( n →∞ ) , x ∈[0, 1]2n ⎝⎭
因此 , 该函数列在[ 0 , 1 ]上不一致收敛.
例 判别下面函数列在区间 [0, 1] 上的一致收敛性 1) {
nx
} 2) {nx (1-x ) n }
1+n +x
nx
=x
n →∞1+n +x
解 1） f (x ) =lim
sup |f n (x ) -f (x ) |=sup |
n →∞
nx x (1+x ) 2
-x |=sup ||≤
1+n +x 1+n +x n
lim sup |f n (x ) -f (x ) |=0
所以，函数列{
nx
}在区间 [0, 1] 上一致收敛。
1+n +x
n
⎧⎪0, x =0
2）f (x ) =lim nx (1-x ) =⎨ n n →∞lim x [n (1-x )]=0, x ≠0⎪⎩n →∞
求极大点方法可求得
sup |f n (x ) -f (x ) |=sup |nx (1-x ) n |=(1-lim sup |f n (x ) -f (x ) |=
n →∞
1n +1
) n +1
1
≠0 e
函数列 {nx (1-x ) n } 在 [0, 1] 上不一致收敛。
例 f n (x ) =2n xe
2
-n 2x 2
. 证明在R 内 f n (x ) →0, 但不一致收敛.
证 显然有f n (x ) →0, |f n (x ) -f (x ) | = f n (x ) 在点 x n =
-⎛1⎫
f n ⎪=2ne 2→/0, ( n →∞ ) . {f n (x )}不一致收敛. ⎝2n ⎭
1
12n
处取得极大值
例6 S n (x ) =
x
. 证明在( -∞ , +∞ ) 内S n (x ) 22
1+n x
−−→−−→
0, ( n →∞ ) .
证 易见 lim S n (x ) =S (x ) =0. 而
n →∞
|S n (x ) -S (x ) |=
|x |12n |x |1
在( -∞ , +∞ ) 内成立. =⋅≤222
2n 1+(nx ) 2n 1+n x
⇒ „„
二 函数项级数及其一致收敛性
我们知道，有限个函数的和函数的性质是通过每个相加的函数的性质去认识的，有限个连续函数的和是连续的；有限个可微函数的和是可微的，且和的导数等于每个函数的导
数的和；有限个可积函数的和是可积的，且和的积分等于每个函数积分的和。现在要问：是否可以从级数每一项所具有的连续性、可微性与可积性，而得出和函数的连续性、可微性与可积性呢？一般来说，这是不行的！
例 讨论
∑x
n =1
∞
n
的收敛域
由几何级数的敛散性, |x |
∑x
n =1
∞
n
收敛, |x |≥1 时
∑x
n =1
∞
n
发散, 所以
∑x
n =1
∞
n
sin n x
例 讨论级数 ∑ 收敛域 2
n n =1
∞
∞
sin n x 1sin n x ||≤2, 所以级数 ∑2 收敛域为 (-∞, +∞) 2
n n n n =1
一致收敛性概念
例 函数项级数 x +为 S n (x ) =x n ，从而
∑(x
n =2
∞
n
-x n -1) 每一项 在 [0, 1] 上都是连续的， 而其部分和
⎧0, 0≤x
n →∞1, x =1. ⎩
在[0, 1]上却是不连续的。 clf, x=0:1/100:1; n=2:2:8;
y1=x.^2;y2=x.^4;y3=x.^6;y4=x.^100;
plot(x,y1,x,y2,x,y3,'b',x,y4,'r','linewidth',2)
那么在什么条件下，由级数每一项所具有的某种性质（如连续性、可积性、可微性），就可推出和函数也具有这种性质？这需要一个重要的概念－一致收敛性。
函数级数一致收敛判别法:
定理13.3 (柯西准则) 函数级数
∑u
n =1
∞
n
(x ) 在区间I 一致收敛 ⇔
∀ε>0, ∃N , n >N , ∀p ∈N , ∀x ∈I 有
|S n +p (x ) -S n (x ) |
|u m (x ) +u m +1(x ) + +u n (x ) |
定理13.4 函数项级数
∑u
n =1
∞
n
(x ) 在D 上一致收敛于S (x ) 的充分必要条件是：
lim sup |S n (x ) -S (x ) |=0
n →∞x ∈D
x n x n +1
例 讨论函数级数 ∑(-) 在区间 [-1, 1] 上的一致收敛性
n n +1n =1
∞
|S n +p =|
x n +1x n +2x n +p x n +p +1
-S n |=|-+ +-|
n +1n +2n +p n +p +1
n +p +1
x x 2-|
n +1
x n x n +1
所以, 函数级数 ∑(-) 在区间 [-1, 1] 上一致收敛性
n +1n =1n
∞
一般来说, 柯西准则用起来不大方便, 下面给出一个较简便的判别方法 定理13.5 ( Weierstrass 判别法) 设级数
∑u
n
(x ) 定义在区间D 上, ∑M n 是收敛
的正项级数. 若当n 充分大时, 对∀x ∈D 有|u n (x ) |≤M n , 则
证
∑
在D 上一致收敛 .
∑u
i =1
p
n +i
(x ) ≤ ∑|u n +i (x ) | ≤ ∑M n +i = ∑M n +i , 然后用Cauchy 准则.
i =1
i =1
i =1
p p p
亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数个优级数. 于是Th 4 可以叙述为: 若级数
∑M
n
是级数
∑u
n
(x ) 的一
∑u
n
(x ) 在区间D 上存在优级数 , 则级数
x ∈D
∑u ∑u
n
(x ) 在区间D 上一致收敛 . 应用时, 常可试取M n =sup {|u n (x ) |}. 但应注意, 级数(x ) 在区间D 上不存在优级数 , ⇒/ 级数∑u n (x ) 在区间D 上非一致收敛.
x
在R 上一致收敛. ∑42
n =11+n x
∞
1x 收敛, 由M 判别法 ∑∑422
n =11+n x n =12n
∞
n
注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在. 例 证明
x |x |1
因为||≤=, 4222
1+n x 2n |x |2n
在R 上一致收敛.
∞
凡是M 判别法判别的必然是绝对收敛, 一致收敛的, 对于条件收敛级数, 不能用M 判别法判定. 下面介绍两个条件收敛, 一致收敛的判别法
定理13.6 (阿贝尔判别法) 若函数列 {a n (x ) }在区间I 单调一致有界, 且函数级数
∑b (x ) 在区间I 一致收敛, 则函数级数∑a
n n =1
n =1
∞∞
n
(x ) b n (x ) 在区间I 一致收敛.
注意两个定理的条件的区别.
定理13.7 (狄里克雷判别法) 若函数列 {a n (x ) }在区间I 单调递减一致收敛于0, 且函数级数
∞
∑b (x ) 的部分和函数列 {B (x )}在区间I 一致有界, 则函数级数
n
∞
n
n =1
∑a
n =1
n
(x ) b n (x ) 在区间I 一致收敛.
例10 几何级数
∑x
n =0
∞
n
在区间[-a , a ](0
致收敛.
证 在区间[-a , a ]上 , 有
-x n a n
sup |S n (x ) -S (x ) |=sup =→0, ( n →∞ ) .
1-a [-a , a ][-a , a ]1-a
⇒
∑
一致收敛 ;
而在区间(-1 , 1 ) 内 , 取x n =
n
∈(-1 , 1 ) , 有 n +1
n
⎛n ⎫ ⎪n -1
x n n +1⎭⎛n ⎫⎝sup |S n (x ) -S (x ) |=sup ≥ =n ⎪→∞, ( n →∞ ) .
n 1+n (-1, 1) (-1, 1) 1-x ⎝⎭1-
1+n
⇒
∑
非一致收敛.( 亦可由通项u n (x ) =x n 在区间(-1 , 1 ) 内非一致收敛于零⇒
∑
非一致收敛.) 几何级数
∑x
n =0
∞
n
虽然在区间(-1 , 1 ) 内非一致收敛, 但在包含于(-1 , 1 ) 内的任何闭区
间上却一致收敛. 我们称这种情况为“闭一致收敛”. 因此 , 我们说几何级数间(-1 , 1 ) 内闭一致收敛 .
∑x
n =0
∞
n
在区
∞
sin nx cos nx
例12 判断函数项级数 ∑ 和 在R 内的一致收敛性 . ∑22
n n n =i n =i
∞
例13 若级数 敛 .
设u n (x ) ( n =1 , 2 , ) 是区间[ a , b ]上的单调函数. 试证明 :
n
∑u (a ) 与∑u n (b ) 都绝对收敛, 则级数∑u n (x ) 在区间[ a , b ]上绝对并一致收
留为作业. |u n (x ) | ≤ |u n (a ) |+|u n (b ) |. „„
(-1 ) n (x +n ) n
例14 判断函数项级数∑在区间[ 0 , 1 ]上的一致收敛性. n +1
n
(-1 ) n ⎛x ⎫
解 记u n (x ) =, v n (x ) = 1+⎪. 则有 1）级数∑u n (x ) 收敛;
n ⎝n ⎭
2） 对每个x ∈[ 0 , 1 ], v n (x ) ；
n
⎛x ⎫
3） |v n (x ) |= 1+⎪≤e 对 ∀x ∈[ 0 , 1 ]
⎝n ⎭
和∀n 成立. 由Abel 判别法,
n
∑
在区间[ 0 , 1 ]上一致收敛.
例15 设数列{a n }单调收敛于零 . 试证明 : 级数
∑a
n
cos nx 在区间
[ α , 2π-α ] (0
证 在[ α , 2π-α ]上有
1
sin(n + ) x n
11111 |∑cos kx | = -≤ +≤ +.
x x α222k =1
2sin 2|sin |2sin
222
可见级数
u n
∑cos nx 的部分和函数列在区间[ α , 2π-α ]上一致有界 . 取
(x ) =cos nx , v (x ) =a . 就有级数∑u (x ) 的部分和函数列在区间[ α , 2π-α ]
n
n
n
上一致有界, 而函数列{v n (x )}对每一个x ∈[ α , 2π-α ]单调且一致收敛于零. 由
Dirichlet 判别法, 级数
∑a
n
cos nx 在区间[ α , 2π-α ]上一致收敛.
其实 , 在数列{a n }单调收敛于零的条件下, 级数
∑a
n
cos nx 在不包含
2k π ( k =0 , ±1 , ±2 , ) 的任何区间上都一致收敛.