初中不等式专题
知识点回顾
1．不等式
用不等号连接起来的式子叫做不等式．
常见的不等号有五种： “≠”、 “>” 、 “
不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集． 注意：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值． 3．不等式的基本性质（重点）
(1)不等式的两边都加上(或减去) 同一个数或同一个整式．不等号的方向不变．如果a >b ，那么a ±c __b ±c
(2)不等式的两边都乘以(或除以) 同一个正数，不等号的方向不变．如果
a b
a >b , c >0，那么ac __bc （或___）
c c
（3) 不等式的两边都乘以(或除以) 同一个负数，不等号的方向改变．如果
a b
a >b , c
c c
一元一次不等式
1只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等
式． 注：其标准形式：ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0) ．
2解一元一次不等式的一般步骤（重难点）
⑴去分母——方程两边同乘以各分母的最小公倍数． ⑵去括号——应用分配律、去括号法则，
⑶移项—一般把含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边。 ⑷合并同类项——要注意只是系数相加减，字母及其指数不变．
b
⑸系数化为1——同除以未知数前面的系数或乘以系数的倒数，即ax ＝b →x ＝
a
x +32x -3
例 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． -1≥
23
解：去分母，得 3（x+3）-6≥2（2x-3）
去括号，得 3x+9-6≥4x-6
移项，得 3x-4x≥-6-9+6（或9-6+6≥4x-3x 即4x-3x ≤9-6+6） 合并，得 -x≥-9
两边同除以-1，得 x≤9
这个不等式的解集在数轴上的表示，如图所示．
练习（1）5-
（3）
3x -11+x
（2）2x-1的值不小于0； ≤
42
3x +12x -5
的值小于1． -
23
一元一次不等式组
次不等式组。
2解不等式组的步骤：
求不等式组的解的过程叫做解不等式组。 1. 分别解不等式组中的每一个不等式；
2. 将每一个不等式的解在数轴上表示出来，找出它们的公共部分； 3. 写出这个一元一次不等式组的解。
由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解的四种情况见下表：
x +2⎧⎪ ＜1，
例〔2011•盐城市〕解不等式组⎨3并把解集在数轴上表示出来．
⎪⎩2(1-x ) ≤5，x +23
解：解不等式1，得x ＜1； 解不等式2(1-x ) ≤5，得x ≥-；
323
∴原不等式组的解集是- ≤x ＜1.
2 解集在数轴上表示为
练习
1-2x
+1≤6的非负整数解． 5
求不等式组-2≤
已知关于x 的不等式组⎨
⎧5-2x ≥-1
无解，求a 的取值范围．
⎩x -a >0
⎧x +1
≥0⎪1-
解不等式组⎨ 3
⎪⎩3-4(x -1)
一元二次不等式
1只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等
式
一般形式：
或
.
2一般的一元二次不等式的解法
3设一元二次方程
的两根为
且
，
，
则相应的不等式的解集的各种情况如下表：
4解一元二次不等式的步骤
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
（2）写出相应的方程 ①
时，求出两根
，且
，计算判别式：
（注意灵活运用因式分解和配方法）；
② ③
时，求根时，方程无解
；
（3）根据不等式，写出解集.
例1．解下列一元二次不等式 （1）
（1）方法一： 因为 所以方程 函数
的两个实数根为：的简图为：
，
； （2）
； （3）
因而不等式
的解集是
.
方法二：
或
解得 因而不等式 （2）方法一： 因为 方程 函数
或
，即的解集是
或. .
，
的解为的简图为：
.
所以，原不等式的解集是 方法二：
所以原不等式的解集是 （3）方法一： 原不等式整理得 因为 函数
，方程
（当
时，）
.
无实数解，
的简图为：
所以不等式
所以原不等式的解集是 方法二：
.
的解集是
.
∵
∴原不等式的解集是
.
练习
解下列不等式
(1) (3)
解不等式：
不等式
集。
已知关于
的不等
式的解集.
3．已知关于x 的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3＞0对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值
范围。
解(1)当m 2+4m-5=0时，m=1或m=-5
若m=1，则不等式化为3＞0, 对一切实数x 成立，符合题意。
若m=-5，则不等式为24x+3＞0，不满足对一切实数x 均成立，所以m=-5舍去。
(2)当m 2+4m-5≠0即 m ≠1且m ≠-5时，
由此一元二次不等式的解集为R 知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，
且与x 轴无交点，
；
(2) ；
(4)
的解集为，求关于
的不等式的解
的解集
为，求关于的不等
式
所以，
即， ∴ 1＜m ＜19。
综上所述，实数m 的取值范围是{m|1≤m ＜19}。
绝对值不等式
1. 绝对值的意义
（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反
数，零的绝对值仍是零．即
⎧a , a >0, ⎪
|a |=⎨0, a =0,
⎪-a , a
两个数的差的绝对值的几何意义：a -b 表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．
A (a )
A (a )
O
2. 绝对值不等式的解法
（1）不等式x 0) 的解集是{x -a 0) 的解集是{x x >a , 或x
（3）不等式ax +b 0) 的解集为 {x |-c 0) ； （4）不等式ax +b >c (c >0) 的解集为 {x |ax +b c }(c >0)
例1. 解下列不等式：
⑴. |x -3|>4 ⑵. 1≤|x +1|
例2 解不等式：x -1+x +2≥5
解法1. （1）当x ≤-2时，原不等式化为： -(x -1) -(x +2) ≥5，解得x ≤-3，此时不
等式的解集为 (-∞, -3]；
（2）当-2
此时不等式的解集为ϕ； （3）当x ≥1时，原不等式化为：(x -1) +(x +2) ≥5, 解得x ≥2，
此时不等式的解集为 [2, +∞).
综上知，原不等式的解集为(-∞, -3]⋃[2, +∞) 解法2.
-3
-2
-1
2
设数轴上与-2,1对应的点分别为A , B ，则A , B 两点的距离为3，故在区间[-2,1]上的数都不是原不等式的解. 将点A 左移个单位得点A 1，这时有A 1A +A 1B =5，
同理：将B 点左移个单位得点B 1，这时也有B 1A +B 1B =5. 从数轴上可看出原不等 式的解集为(-∞, -3]⋃[2, +∞).
│x+2│+│x-2│≤12．
解不等式组⎨
⎧5x -1>3(x -2) ⎩2-x ≤5.
初中不等式专题
知识点回顾
1．不等式
用不等号连接起来的式子叫做不等式．
常见的不等号有五种： “≠”、 “>” 、 “
不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集． 注意：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值． 3．不等式的基本性质（重点）
(1)不等式的两边都加上(或减去) 同一个数或同一个整式．不等号的方向不变．如果a >b ，那么a ±c __b ±c
(2)不等式的两边都乘以(或除以) 同一个正数，不等号的方向不变．如果
a b
a >b , c >0，那么ac __bc （或___）
c c
（3) 不等式的两边都乘以(或除以) 同一个负数，不等号的方向改变．如果
a b
a >b , c
c c
一元一次不等式
1只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等
式． 注：其标准形式：ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0) ．
2解一元一次不等式的一般步骤（重难点）
⑴去分母——方程两边同乘以各分母的最小公倍数． ⑵去括号——应用分配律、去括号法则，
⑶移项—一般把含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边。 ⑷合并同类项——要注意只是系数相加减，字母及其指数不变．
b
⑸系数化为1——同除以未知数前面的系数或乘以系数的倒数，即ax ＝b →x ＝
a
x +32x -3
例 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． -1≥
23
解：去分母，得 3（x+3）-6≥2（2x-3）
去括号，得 3x+9-6≥4x-6
移项，得 3x-4x≥-6-9+6（或9-6+6≥4x-3x 即4x-3x ≤9-6+6） 合并，得 -x≥-9
两边同除以-1，得 x≤9
这个不等式的解集在数轴上的表示，如图所示．
练习（1）5-
（3）
3x -11+x
（2）2x-1的值不小于0； ≤
42
3x +12x -5
的值小于1． -
23
一元一次不等式组
次不等式组。
2解不等式组的步骤：
求不等式组的解的过程叫做解不等式组。 1. 分别解不等式组中的每一个不等式；
2. 将每一个不等式的解在数轴上表示出来，找出它们的公共部分； 3. 写出这个一元一次不等式组的解。
由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解的四种情况见下表：
x +2⎧⎪ ＜1，
例〔2011•盐城市〕解不等式组⎨3并把解集在数轴上表示出来．
⎪⎩2(1-x ) ≤5，x +23
解：解不等式1，得x ＜1； 解不等式2(1-x ) ≤5，得x ≥-；
323
∴原不等式组的解集是- ≤x ＜1.
2 解集在数轴上表示为
练习
1-2x
+1≤6的非负整数解． 5
求不等式组-2≤
已知关于x 的不等式组⎨
⎧5-2x ≥-1
无解，求a 的取值范围．
⎩x -a >0
⎧x +1
≥0⎪1-
解不等式组⎨ 3
⎪⎩3-4(x -1)
一元二次不等式
1只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等
式
一般形式：
或
.
2一般的一元二次不等式的解法
3设一元二次方程
的两根为
且
，
，
则相应的不等式的解集的各种情况如下表：
4解一元二次不等式的步骤
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
（2）写出相应的方程 ①
时，求出两根
，且
，计算判别式：
（注意灵活运用因式分解和配方法）；
② ③
时，求根时，方程无解
；
（3）根据不等式，写出解集.
例1．解下列一元二次不等式 （1）
（1）方法一： 因为 所以方程 函数
的两个实数根为：的简图为：
，
； （2）
； （3）
因而不等式
的解集是
.
方法二：
或
解得 因而不等式 （2）方法一： 因为 方程 函数
或
，即的解集是
或. .
，
的解为的简图为：
.
所以，原不等式的解集是 方法二：
所以原不等式的解集是 （3）方法一： 原不等式整理得 因为 函数
，方程
（当
时，）
.
无实数解，
的简图为：
所以不等式
所以原不等式的解集是 方法二：
.
的解集是
.
∵
∴原不等式的解集是
.
练习
解下列不等式
(1) (3)
解不等式：
不等式
集。
已知关于
的不等
式的解集.
3．已知关于x 的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3＞0对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值
范围。
解(1)当m 2+4m-5=0时，m=1或m=-5
若m=1，则不等式化为3＞0, 对一切实数x 成立，符合题意。
若m=-5，则不等式为24x+3＞0，不满足对一切实数x 均成立，所以m=-5舍去。
(2)当m 2+4m-5≠0即 m ≠1且m ≠-5时，
由此一元二次不等式的解集为R 知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，
且与x 轴无交点，
；
(2) ；
(4)
的解集为，求关于
的不等式的解
的解集
为，求关于的不等
式
所以，
即， ∴ 1＜m ＜19。
综上所述，实数m 的取值范围是{m|1≤m ＜19}。
绝对值不等式
1. 绝对值的意义
（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反
数，零的绝对值仍是零．即
⎧a , a >0, ⎪
|a |=⎨0, a =0,
⎪-a , a
两个数的差的绝对值的几何意义：a -b 表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．
A (a )
A (a )
O
2. 绝对值不等式的解法
（1）不等式x 0) 的解集是{x -a 0) 的解集是{x x >a , 或x
（3）不等式ax +b 0) 的解集为 {x |-c 0) ； （4）不等式ax +b >c (c >0) 的解集为 {x |ax +b c }(c >0)
例1. 解下列不等式：
⑴. |x -3|>4 ⑵. 1≤|x +1|
例2 解不等式：x -1+x +2≥5
解法1. （1）当x ≤-2时，原不等式化为： -(x -1) -(x +2) ≥5，解得x ≤-3，此时不
等式的解集为 (-∞, -3]；
（2）当-2
此时不等式的解集为ϕ； （3）当x ≥1时，原不等式化为：(x -1) +(x +2) ≥5, 解得x ≥2，
此时不等式的解集为 [2, +∞).
综上知，原不等式的解集为(-∞, -3]⋃[2, +∞) 解法2.
-3
-2
-1
2
设数轴上与-2,1对应的点分别为A , B ，则A , B 两点的距离为3，故在区间[-2,1]上的数都不是原不等式的解. 将点A 左移个单位得点A 1，这时有A 1A +A 1B =5，
同理：将B 点左移个单位得点B 1，这时也有B 1A +B 1B =5. 从数轴上可看出原不等 式的解集为(-∞, -3]⋃[2, +∞).
│x+2│+│x-2│≤12．
解不等式组⎨
⎧5x -1>3(x -2) ⎩2-x ≤5.