23.1.1圆的基本元素
教学目标：
使学生理解圆、等圆、等弧、圆心角等概念，让学生深刻认识圆中的基本概念。
重点难点：
1、重点：圆中的基本概念的认识。
2、难点：对等弧概念的理解。
A
教学过程：
一、圆是如何形成的？
请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的。
如右图，线段OA 绕着它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形。同学们想一想，如何在操场上画出一个很大的圆？说说你的方法。
由以上的画圆和解答问题的过程中，让同学们思考圆的位置是由什么决定的？而大小又是由谁决定的？（圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径长度决定）
二、圆的基本元素
问题：据统计，某个学校的同学上学方式是，有50%的同学步行上学，有20%的同学坐公共汽车上学，其他方式上学的同学有30%，请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式。
我们是用圆规画出一个圆，再将圆划分成一个个扇形，右上图23.1.1就是反映学校学生上学方式的扇子形统计图。
图
23.1.1
如图23.1.2, 线段OA 、OB 、OC 都是圆的半径，线段AB 为直径，. 这个以点O 为圆心的圆叫作“圆O ”，记为“⊙O ”。线段AB 、BC 、AC 都是圆O 中的弦，曲线BC 、BAC
︵︵都是圆中的弧，分别记为BC 、BAC ，其中像弧BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣︵
︵弧，像弧BAC 这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。
∠AOB 、∠AOC 、∠BOC 就是圆心角。
结合上面的扇形统计图，进一步阐述圆心角、优弧、劣弧等圆中的基本元素。
三、课堂练习
1、直径是弦吗？弦是直径吗？
2、半圆是弧吗？弧是半圆吗？
3、半径相等的两个圆是等圆，而两段弧相等需要什么条件呢？
4、比较右图中的三条弧，先估计它们所在圆的半径的大小关系，再用圆规 验证你的结论是否正确。
5、说出上右图中的圆心解、优弧、劣弧。
6、直径是圆中最长的弦吗？为什么？
四、小结本节课我们认识了圆中的一些元素，同学应能从具体的图形中对这些元素加以识别。
五、作业
1、如图，AB 是⊙O 的直径，C 点在⊙O 上，那么，哪一段弧是优弧，哪一段弧是劣弧？
2、经过A 、B 两点的圆的几个？它们的圆心都在哪里？
3、长方形的四个顶点在以 为圆心，以 为半径的圆上。
4、如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 为弦，OD ∥BC ，交AC 于D ，BC 6cm ，求OD 的长。
5、已知：如图，OA 、OB 为⊙O 的半径，C 、D 分别为OA 、OB 的中点，试说明AD=BC。
B
第4题(第3题) 第1题
23.1.2圆的对称性
教学目标：
使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形, 并能运用其特有的性质推出在同一个圆中, 圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。
重点难点：
1、重点：由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。
2、难点：运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。 教学过程：
一、由问题引入新课：要同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的
圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆都是互相重合的。如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合。
由以上实验，同学们发现圆是中心对称图形吗？对称中心是哪一点？圆不仅是中心对称圆形，而且还是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。
二、新课
1、同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
图
23.1.3 图
23.1.4
实验1、将图形23.1.3中的扇形AOB 绕点O 逆时针旋转某个角度，得到图23.1.4中的图形，同学们可以通过比较前后两个图形，发现∠AOB =∠AOB ，AB =AB ， AB = AB 。
实质上，∠AOB 确定了扇形AOB 的大小，所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等。
问题：在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦是否相等呢？ 在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧是否相等呢？
实验2、如图23.1.7，如果在图形纸片上任意画一条垂直
于直径CD 的弦AB ，垂足为P ，再将纸片沿着直径CD 对折，比较AP 与PB 、AC 与CB ，你能发现什么结论？
显然，如果CD 是直径，AB 是⊙O 中垂直于直径的弦，︵︵图23.1.7
。请同学们用一句 ， 那么AP =BP ， AD =BD AC =BC
话加以概括。
（ 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）
2、同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系的应用。（1）思考：如图，在一个半径为6米的圆形花坛里，准备种植六种不同颜色的花卉，要求每种花卉的种植面积相等，请你帮助设计种植方案。（2）如图23.1.5，在⊙O 中，AC =BC ，∠1=45︒，求∠2的度数。
3、课堂练习
（1）如图，在⊙O 中，AB ＝AC ，∠B ＝70°. 求∠C 度数.
(第1题
) ︵︵ 第5题 （第2题）
（2）如图，AB 是直径，BC ＝CD ＝DE ，∠BOC ＝40°，求∠AOE 的度数
（3）已知，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径。
三、课堂小结
本节课我们通过实验得到了圆不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形，而由圆的对称性又得出许多圆的许多性质，即（1）同一个圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等。（2）在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。（3）在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧相等。（4）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
四、作业
Ｐ52 习题1、2、3、4、5
︵︵︵
23.1.3圆周角
教学目标：
使学生知道什么样的角是圆周角，了解圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征；并能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题，同时，通过对圆心角和圆周角关系的探索，培养学生运用已有知识，进行实验、猜想、论证，从而得到新知。
重点难点：
1、重点：认识圆周角，同一条弧的圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征。
2、难点：发现同一条弧的圆周角和圆心角的关系，利用这个关系进一步得到其他知识，运用所得到的知识解决问题。
教学过程：
一、认识圆周角
如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？（顶点在圆心，两边与圆
相交的角叫做圆心角），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角。
究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的解就叫做圆周角，而图（2）、（4）、
（5）中的角都不是圆周角。同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角。（顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角）练习：试找出图中所有相等的圆周角。
（第1题）
图
23.1.9
二、圆周角的度数
探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？而90︒的圆周角所对的弦是否是直
径？
如图23.1.9，线段AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上任意一点（除点A 、B ）， 那 么，∠ACB 就是直径AB 所对的圆周角. 想想看，∠ACB 会是怎么样的角？为什么呢？
启发学生用量角器量出∠ACB 的度数，而后让同学们再画几个直径AB 所对的 圆周角，并测量出它们的度数，通过测量，同学们感性认识到直径所对的圆周角等于90︒（或直角），进而给出严谨的说明。
证明：因为OA ＝OB ＝OC ，所以△AOC 、△BOC 都是等腰三角形，所以∠OAC ＝∠OCA ，∠OBC ＝∠OCB . 又 ∠OAC ＋∠OBC ＋∠ACB ＝180°，所以 ∠ACB ＝∠
180
OCA ＋∠OCB ＝＝90°. 因此，不管点C 在⊙O 上何处（除点A 、B ），∠ACB 总2
等于90°，即
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。反过来也是成立的，即90°的圆周角所对的弦是圆的直径
三、探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系
1、分别量一量图23.1.10中弧AB 所对的两个圆周角的度数比较一下. 再变动点
C 在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化. 你发现其中有 什么规律吗？
（2） 分别量出图23.1.10中弧AB 所对的圆周角和圆心角的
度数，比较一下，你发现什么？
我们可以发现，圆周角的度数没有变化. 并且圆周角的度数 恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半。 图
23.1.10 由上述操作可以猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。
为了验证这个猜想，如图23.1.11所示，可将圆对折，使折痕经过圆心O 和圆周角的顶点C ，这时可能出现三种情况：（1） 折痕是圆周角的一条边，（2） 折痕在圆周角的内部，（3） 折痕在圆周角的外部。
图
23.1.11
我们来分析一下第一种情况：如图23.1.11（1），由于OA ＝OC ，因此 ∠A ＝∠C ，
而∠AOB 是△OAC 的外角，所以 ∠C ＝1∠AOB . 2
对（2）、（3），有同样的结论. （让同学们把推导的过程写出来），由以上的猜想和推导可以得到：
一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。
思考：
1、在同一个圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等吗？为什么？相等的圆周角所
对的弧相等吗，为什么？
2、你能找出右图中相等的圆周角吗？
3、这是一个圆形的零件，你能告诉我，它的圆
心的位置吗？你有什么简捷的办
法？
4、如图，如图23.1.12，AB 是⊙O 的直径，∠A ＝80°．求∠ABC 的度数．5、在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x
＋100）°和（5x －30）°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的
度数.
四、小结 图
23.1.12
本节课我们一同探究了同圆或等圆中，一条弧所对的圆周
角等于这条弧所对的圆心角的一半；由这个结论进一步得到：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半； 相等的圆周角所对的弧相等；半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。90°（直角）的圆周角所对的弦是圆的直径等结论，希望同学们通过复习，记住这些知识，并能做到灵活应用他们解决相关问题。
四、作业
Ｐ52 习题6、7
23.2.1点与圆的位置关系
教学目标：
使学生能够用数量关系来判断点与圆的位置关系, 掌握不在一条直线上的三点确定一个圆, 能画出三角形的外接圆, 求出特殊三角形的外接圆的半径, 渗透方程思想。
重点难点：
1、重点：用数量关系判断点和圆的位置关系, 用尺规作三角形的外接圆, 求直角三角形、等边三角形和等腰三角形的半径。
2、难点：运用方程思想求等腰三角形的外接圆半径。
教学过程：
一、用数量关系来判断点和圆的位置关系
同学们看过奥运会的射击比赛吗？射击的靶子是由许多
圆组成的，射击的成绩是由击中靶子不同位置所决定的；右图
是一位运动员射击10发子弹在靶上留下的痕迹。你知道这个运
动员的成绩吗？请同学们算一算。（击中最里面的圆的成绩为10
环，依次为9、8、„、1环）
这一现象体现了平面上的点与圆的位置关系，如何判断点与圆
的位置关系呢？我们知道圆上的所有点到圆心的距离都等于半径，若点在圆上，那么这个点到圆心的距离等于半径，若点在圆外，那么这个点到圆心的距离大于半径，若点在圆内，那么这个点到圆心的距离小于半径。
如图23.2.1，设⊙O 的半径为r ，A 点在圆内，B 点在圆上，C 点在圆外，那
OA ＜r ， OB ＝r ， OC ＞r ．反过来也成立，即
若点A 在⊙O 内
OA
r
若点A 在⊙O 上OA =r
若点A 在⊙O 外OA >r
图23.2.1 思考与练习
1、⊙O 的半径r =5cm ，圆心O 到直线的AB 距离
d =OD =3cm 。在直线AB 上有P 、Q 、R 三点，且有PD =4cm ，QD >4cm ，RD
2、Rt ABC 中，∠C =90︒，CD ⊥AB ，AB =13，AC =5，对C 点为圆心，60为半径的圆与点A 、B 、D 的位置关系是怎样的？ 13
二、不在一条直线上的三点确定一个圆
问题与思考：平面上有一点A ，经过A 点的圆有几个？圆心在哪里？平面上有两点A 、B ，经过A 、B 点的圆有几个？圆心在哪里？平面上有三点A 、B 、C ，经过A 、B 、C 三点的圆有几个？圆心在哪里？。
图23.2.2 图23. 2. 3 图23.2.4
从以上的图形可以看到，经过平面上一点的圆有无数个，这些圆的圆心分布在整个平面；经过平面上两点的圆也有无数个，这些圆的圆心是在线段AB 的垂直平分线上。经过A 、B 、C 三点能否画圆呢？同学们想一想，画圆的要素是什么？（圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小），所以关键的问题是定其加以和半径。
如图23.2.4，如果A 、B 、C 三点不在一条直线上，那么经过A 、B 两点所画的圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上，而经过B 、C 两点所画的圆的圆心在线段BC 的垂直平分线上，此时，这两条垂直平分线一定相交，设交点为O ，则OA ＝OB ＝OC ，于是以O 为圆心，OA 为半径画圆，便可画出经过A 、B 、C 三点的圆．
思考：如果A 、B 、C 三点在一条直线上，能画出经过三点的圆吗？为什么？ 即有：不在同一条直线上的三个点确定一个圆
也就是说，经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直
平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。
思考：随意画出四点，其中任何三点都不在同
C 一条直线上，是否一定可以画一个圆经过这四点？
请举例说明。
B 三、例题讲解
例1、如图，已知Rt ABC 中，∠C =90︒，A 例1若AC =5cm ， BC =12cm ，求 ABC 的外接圆
半径。
解：略
例2、如图，已知等边三角形ABC 中，边长为6cm ，求它的外接圆半径。
A 解：略 A
E O O
C B B C D D 例3例2
例3、如图，等腰 ABC 中，AB =AC =13cm ，BC =10cm ，求 ABC 外接圆的半径。
四、小结
本节课我们学习了用数量关系判断点和圆的位置关系和不在同一直线上的三点确定一个圆，求解了特殊三角形直角三角形、等边三角形、等腰三角形的外接圆半径，在求解等腰三角形外接圆半径时，运用了方程的思想，希望同学们能够掌握这种方法，领会其思想。
五、作业
Ｐ62 习题1、2、3、4
23.2.2直线与圆的位置关系
教学目标：
使学生掌握直线与圆的位置关系，能用数量来判断直线与圆的位置关系。 重点难点：
用数量关系（圆心到直线的距离）判断直线与圆的位置关系即是教学重点又是教学难点。
教学过程：
一、用移动的观点认识直线与圆的位置关系
1、同学们也许看过海上日出，如右图中，如果我们把太阳看作一个圆，那么太阳在升起的过程中，它和海平面就有右图中的三种位置关系。
2、请同学在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线与圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？
二、数量关系判断直线与圆的位置关系
从以上的两个例子，可以看到，直线与圆的位置关系只有以下三种，如下图所示：
如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离，如图23.2.6
（1）所示． 如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切，如图23.2.6（2）所示．此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点．如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交，如图23.2.6
（3）所示．此
时这条直线叫做圆的割线．
图23.2.6 如何用数量来体现圆与直线的位置关系呢？
如上图，设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，从图中可以看出：
若d >
r 直线
l 与⊙
O 相离；
若d =r 直线l 与⊙O 相切；
若d
所以，若要判断圆与直线的位置关系，必须对圆心到直线的距离与圆的半径进行比较大小，由比较的结果得出结论。
三、练习与例题
练习1、已知圆的半径等于5厘米，圆心到直线l 的距离是：（1）4厘米；（2）5厘米；（3）6厘米. 直线l 和圆分别有几个公共点？分别说出直线l 与圆的位置关系。
练习2、已知圆的半径等于10厘米，直线和圆只有一个公共点，求圆心到直线的
距离. 练习3、如果⊙O 的直径为10厘米，圆心O 到直线AB 的距离为10厘米，那么⊙O 与直线AB 有怎样的位置关系？
例题：例1、如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AB 交小圆于点C 、D ，大圆的弦EF 与小圆相切于点C ，ED 交小圆于点G ， 设大圆的半径为10cm ，EF =8cm ，求小圆的半径r 和
EG 的的长度。
解：连结CG
B 因为EF 切小圆于C 点，AB 为大圆的直径
所以EF ⊥AB ，EC =
1
EF =4cm
2
所以r =OC =3cm 。
所以ED =
因为CD 是小圆的直径
所以OG ⊥DE ，在Rt EOG 和Rt EDC 中 因为∠ECD =∠DGC ，∠E =∠E 所以Rt EOG Rt EDC 所
以
E E
=
C G
，
E E D 即C
E
2
=C ⋅
E ，D E G
EC 2EG ===
ED 13
三、小结
本节课我们学习了直线与圆的位置关系，当我们判断直线与圆的位置关系时，应该用数量关系（圆心到直线的距离）来体现，即上面讲解的圆心到直线的距离与圆的半径进行比较大小，从而断定是哪种关系。
若d >
r 直线
l 与⊙
O 相离； 若d =r 直线l 与⊙O 相切； 若d
四、作业
Ｐ63 习题5、6、7
23.2.3 切线（一）
教学目标：
1、使学生掌握切线的识别方法，并能初步运用它解决有关问题；
2、通过切线识别方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力； 教学重点和难点：
切线的识别方法是重点；而方法的理解及实际运用是难点． 教学过程设计：
一、从学生已有的知识结构提出问题 1、复习、回顾直线与圆的三种位置关系．
2、根据几何画板所示图形，请学生判断直线和圆的位置关系． 学生判断的过程，提问：你是怎样判断出图中的直线和圆相切的？根据学生的回答，继续提出问题：如何界定直线与圆是否只有一个公共点？（画板演示）
教师指出，根据切线的定义可以识别一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义识别很不方便，为此我们还要学习识别切线的其它方法．(板书课题) 二、师生共同探讨、发现结论
1、由上面的复习，我们可以把上节课所学的切线的定义作为识别切线的方法1——定义法：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
2、当然，我们还可以由上节课所学的用圆心到直线的距离d 与半径r 之间的关系来判断直线与圆是否相切，即：当d r 时，直线与圆的位置关系是相切．以此作为识别切线的方法2——数量关系法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线．
3、继续观察复习时的图形，如图，圆心O 到
直线l 的距离d 等于半径r ，直线l 是⊙O 的切线，这时我们来观察直线l 与⊙O 的位置，可以发现：（1）直线l 经过半径OA 的外端点A ；
（2）直线l 垂直于半径OA ．这样我们就得到了从位置上来判断直线是圆的切线的方法3——位置关系法：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
4、思考：现在，任意给定一个圆，你能不能作出圆的切线？应该如何作？ 请学生回顾作图过程，切线l 是如何作出来的? 它满足哪些条件? 引导学生总结出：①经过半径外端；②垂直于这条半径．
请学生继续思考：这两个条件缺少一个行不行? （学生画出反例图）
A
（图1） （图2） （图3）
图(1)中直线l 经过半径外端，但不与半径垂直； 图(2)中直线l 与半径垂直，但不经过半径外端． 从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．
最后引导学生分析，方法3实际上是从前一节所讲的“圆心到直线的距离等于半径时直线和圆相切”这个结论直接得出来的，只是为了便于应用把它改写成“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这种形式． 三、应用定理，强化训练
例1、如图，已知直线AB 经过⊙O 上的点A ，并且AB ＝OA ，∠OBA=45︒，直线AB 是⊙O 的切线吗？为什么？
例2、如图，线段AB 经过圆心O ，交⊙O 于点A 、C ，∠BAD ＝∠B ＝30︒，边BD
交圆于点D ．BD 是⊙O 的切线吗？为什么？
分析：欲证BD 是⊙O 的切线，由于BD 过圆上点D ，若连结OD ，则BD 过半径OD 的外端，因此只需证明BD ⊥OD ，因OA ＝OD ，∠BAD ＝∠B ，易证BD ⊥OD ．
教师板演，给出解答过程及格式．
课堂练习：课本58页练习1－4
四、小结 提问：这节课主要学习了哪些内容? 需要注意什么问题?
在学生回答的基础上，教师总结： 主要学习了切线的识别方法，着重分析了方法3成立的条件，在应用方法3时，注重两个条件缺一不可． 识别一条直线是圆的切线，有三种方法：
(1)根据切线定义判定，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线；
(3)根据直线的位置关系来判定，即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆
的 切线，
说明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线，如果已知直线过圆上某一点，则作出过 这一点的半径，证明直线垂直于半径即可(如例2) ． 五、布置作业
23.2.4切线（2）
【教学目标】：
通过探究, 使学生发现、掌握切线长定理，并初步长定理，并初步学会应用切线长定理解决问题，同时通过从三角形纸片中剪出最大圆的实验的过程中发现三角形内切圆的画法，能用内心的性质解决问题。
【重点难点】：
1、重点：切线长定理及其应用，三角形的内切圆的画法和内心的
性质。
2、难点：三角形的内心及其半径的确定。
【教学过程】：
一、巩固上节课学习的知识
请同学们回顾一下，如何判断一条直线是圆的切线？圆的切线具有什么性质？（经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径。）
你能说明以下这个问题？
如右图所示，PA 是∠BAC 的平分线，AB 是⊙O 的切线，切点E ，那么AC 是⊙O 的切线吗？为什么？
解：连结OE ，过O 作OF ⊥AC ，垂足为F 点
因为 AB是⊙O 的切线
所以 OE ⊥AB B
又因为PA 是∠BAC 的平分线，OF ⊥AC 所以 OF =OE
所以 AC是⊙O 的切线
二、探究从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等以及这一点与圆心的
连线平分两条切线的夹角
问题1、从圆外一点可以作圆的几条切线？请同学们
画一画。
2、请问：这一点与切点的两条线段的长度相等
吗？为什么？
3、切线长的定义是什么？
通过以上几个问题的解决，使同学们得出以下的结论：
从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。这一点与圆心的连线
平分两条切线的夹角。
在解决以上问题时，鼓励同学们用不同的观点、不同的知识来解决问题，它既可以用书上阐述的对称的观点解决，也可以用以前学习的其他知识来解决问题。
三、对以上探究得到的知识的应用
思考：右图，PA 、PB 是，切点分别是A 、B ，直线EF 也是⊙O 的切线，切点为P ，交PA 、PB 为E 、F 点，已知PA =12cm ，∠P =70︒，（1）求 PEF 的周长；（2）求∠EOF 的度数。 解：（1）连结PA 、PB 、EF 是⊙O 的切线 所以PA =PB ，EA =EQ ，FQ =FB
PEF 的周=OE +EP +PF +FB =PA +PB =24cm
（2）因为PA 、PB 、EF 是⊙O 的切线
所
以
所以PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，EF ⊥OQ ∠AEO =∠QEO ，∠QFO =∠BFO 所以∠AOB =180︒-∠P =110︒ 所以∠EOF =
长
F
B
1
∠AOB =55︒ 2
图23.2.11
四、三角形的内切圆
想一想，发给同学们如图23.2.11所示三角形纸片，请在它的上面截一个面
积最大的圆形纸片？
提示：画圆必须确定其位置和大小，即确定圆的圆心和半径，而要截出的圆 的面积最大，这个圆必须与三角形的三边都相切。
如图23.2.12，在△ABC 中，如果有一圆与AB 、AC 、BC
都相切，那么该圆的
圆心到这三角形的三边的距离都相等，如何找到这个圆的
圆心和半径呢？
等待同学们想过之后再阐述如何确定圆心和半径。
我们知道，角平分线上的点到角的两边距离相等，反
图23.2.12
过来，到角两边距离相等
的点在这个角的平分线上。因此，圆心就是△ABC 的角平分线的交点，而半径是这
个交点到边的距离。
根据上述所阐述的，同学们只要分别作∠BAC 、∠CBA 的平分线，他们的交
点I 就是圆心，过I 点作ID ⊥BC ，线段ID 的长度就是所要画的圆的半径，因此以I 点为圆心，ID 长为半径作圆，则⊙I 必与△ABC 的三条边都相切。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。
问题：三角形的内切圆有几个？一个圆的外切圆三角形是否只有一个？ 例题：△ABC 的内切圆⊙O 与AC 、AB 、BC 分别相切于点D 、E 、F ，且AB ＝5
厘米，BC ＝9厘米，AC ＝6厘米，求AE 、BF 和CD 的长。
解：因为⊙O 与△ABC 的三边都相切
所以AE =ED ，BE =BF ，CD =CF 设AE =x 。BF =y ，CD =z
则
{
x +y =5y +z =9z +x =6
A B 解得：x =1，y =4，z =5
即AE =1cm ，Bf =4cm ，CD =5cm
五、课堂练习
Ｐ60 练习1、3
六、小结
1、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。这一点与圆
心连线平分两条切线的夹角。
2、三角形的内切的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三条边的
距离相等。
七、作业
Ｐ63 习题9、10、11、12
23.2.5圆与圆的位置关系
教学目标：
使学生了解圆与圆位置关系的定义，掌握用数量关系来识别圆与圆的位置关系。
重点难点：
用数量关系识别圆与圆的位置关系是本节课的教学重点，又是本节课的教学难点。
教学过程：
一、认识生活中有关圆与圆的位置关系的一些图形
在现实生活中，圆与圆有不同的位置关系，如下图所示： 奥运会五环
圆与圆的位置关系除了以上几种外，还有其他的位置关系吗？我们如何判断圆与圆的位置关系呢？这些问题待学习完这节课后就可以得到解决。 二、用公共点的个数阐述两圆的位置关系 请同学们在纸上画一个圆，把一枚硬币当作另一个圆，在纸上移动这枚硬币，观察两圆的位置关系和公共点的个数。 图
23.2.14
如图23.2.14（1）、（2）、（3）所示，两个圆没有公共点，那么就说两个圆相离，其中（1）又叫做外离，（2）、（3）又叫做内含。（3）中两圆的圆心相同，这两个圆还可以叫做同心圆。如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如图23.2.14（4）、（5）所示．其中（4）又叫做外切，（5）又叫做内切。如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交，如图23.2.14（6）所示。
三、用数量关系识别两圆的位置关系
思考：如果两圆的半径分别为3和5，圆心距（两圆圆心的距离）d 为9，你能确定他们的位置关系吗？若圆心距d 分别为8、6、4、2、1、0时，它们的位置关系又如何呢？
利用以上的思考题让同学们画图或想象，概括出两圆的位置关系与圆心距、两圆的半径具有什么关系。
（1）两圆外离⇔d >R +r ； （2）两圆外切⇔d =R +r ；
（3）两圆外离⇔R -r
为了使学生对两圆的位置关系用数量关系体现有更深刻的理解以及更牢的记忆，教师可有以下数轴的形式让学生加以理解。
内外
相交内含切切外离
要判断两圆的位置关系，要牢牢抓住两个特殊点，即外切和内切两点，当圆心距刚好等于两圆的半径和时，两圆外切，等于两圆的半径差时，两圆内切。若圆心距处于半径和与半径差之间时，两圆相交，大于两圆半径和时，两圆外离，小于两圆半径差时，两圆内含。 四、例题与练习
例1、已知⊙A 、⊙B 相切，圆心距为10 cm，其中⊙A 的半径为4 cm，求⊙B 的半径。
分析：两圆相切，有可能两圆外切，也有可能两圆内切，所以⊙B 的半径就有两种情况。
解 设⊙B 的半径为R ． （1） 如果两圆外切，那么
d ＝10＝4＋R ， R ＝6．
（2） 如果两圆内切，那么
d ＝｜R －4｜＝10， R ＝－6（舍去），R ＝14．
所以⊙B 的半径为6 cm或
14 cm
例2、两圆的半径的比为2:3，内切时的圆心距等于8cm ，那么这两圆相交时圆心距的范围是多少？
解：设其中一个圆的半径为2r ，则另一个圆的半径为3r
因为内切时圆心距等于8 所以3r -2r =8 所以r =8
当两圆相交时，圆心距的取值范围是8
练习：课本Ｐ62 练习1、2、3 五、小结
就好象识别点与圆、直线与圆的位置关系一样，这节课我们同样也用数量关系来体现圆与圆的位置关系。在识别圆与圆的位置关系时，关系式比较多，也难于忘记，如果同学们能够掌握老师上课时讲的用数轴来体现圆与圆的位置关系，理解起来就会更深刻，记忆也会更容易。 六、作业
Ｐ63 习题8、9
23.3.1弧长和扇形的面积
教学目标：
认识扇形，会计算弧长和扇形的面积，通过弧长和扇形面积的发现与推导，培养学生运用已有知识探究问题获得新知的能力。 重点难点：
1、重点：弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积。 2、难点：运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积。 教学过程：
一、发现弧长和扇形的面积的公式
1、弧长公式的推导。
如图23.3.1是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为
图
23.3.1
90°．你能求出这段铁轨的长度吗? （取3.14）我们容易看出这段铁轨是圆周长的所以
1
， 4
2⨯3⨯100
＝157.0（米）. 4
问题：上面求的是90︒的圆心角所对的弧长，若圆心角为n ︒，如何计算它所对
铁轨的长度 l≈
的弧长呢？
请同学们计算半径为3cm ，圆心角分别为180︒、90︒、45︒、1︒、n ︒所对的弧长。
A
B
B B A
A
B B
等待同学们计算完毕，与同学们一起总结出弧长公式（这里关键是1︒圆心角所对的弧长是多少，进而求出n ︒的圆心角所对的弧长。）
弧长的计算公式为
练习：已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。
2、扇形的面积。
如图23.3.3，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形
问：右图中扇形有几个？ 同求弧长的思维一样，要求扇形的面积，应思考圆心角为1︒的扇形面积圆
面积的几分之几？进而求出圆心角n 的扇形面积。
如果设圆心角是n °的扇形面积为S ，圆的半径为r ，那么扇形的面积为
n πr 2n πr r 1S ==⨯=lr
36018022.
因此扇形面积的计算公式为
1n πr 2
S =lr S =
2 360 或
练习:1、如果扇形的圆心角是230°，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆
的面积的____________；
2
2、扇形的面积是它所在圆的面积的3，这个扇形的圆心角的度数是
_________°.
3、扇形的面积是S ，它的半径是r ，这个扇形的弧长是_____________
二、例题讲解
例1 如图23.3.5，圆心角为60°的扇形的半径为10厘米，求这个扇
形的面积和周长．（π≈3.14）
解： 因为n ＝60°，r ＝10厘米，所以扇形面积为
n πr 260⨯3. 14⨯102
S =≈ 360360
=52.33(平方厘米) ；
扇形的周长为 图
23.3.5
l =n πr 60⨯3. 14⨯10+2r ≈+20＝30.47（厘米）。 180180
例2、右图是某工件形状，圆弧BC 的度数为60︒，AB =6cm ，点B 到点C 的距离等于AB ，
∠BAC =30︒，求工件的面积。 的度数为60︒，∠BAC =30︒ 解：因为BC
所在的圆上，设这个圆的圆心为O 点 所以点A 在BC
连结OA 、OB 、OC 、BC
所以∠BOC =60︒
所以 BOC 是等边三角形
因为AB=BC
所以 AOB 也是等边三角形
所以四边形AOCB 是菱形
那么OA ∥BC ，则S ABC =S BOC
60π⋅62
=6π(cm ) 2 所以S 工件=S扇形BOC =360
三、小结
本节课我们共同探寻了弧长和扇形面积的计算公式，一方面，要理解公式的由来，另一方面，能够应用它们计算有关问题，在计算力求准确无误。
四、作业
Ｐ70 习题1、2
23.3.2圆锥的侧面积和全面积
教学目标：
通过实验使学生知道圆锥的侧面积展开图是扇形，知道圆锥各部分的名称，能够计算圆锥的侧面积和全面积。
重点难点：
圆锥的侧面展开图，计算圆锥的侧面积和全面积。
教学过程：
一、由具体的模型认识圆锥的侧面展开图，认识圆锥各个部分的
名称
把一个课前准备好的圆锥模型沿着母线剪开，让学生观察
图
23.3.6 圆锥的侧面展开图，
学生容易看出，圆锥的侧面展开图是一个扇形。
如图 23.3.6，我们把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的
母线，连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高，如图中a ，而h 就是圆锥的高。
问题：圆锥的母线有几条？
二、圆锥的侧面积和全面积
问题；1、沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇
形的弧长与底面的周长有什么关系？
2、圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相
等？
待学生思考后加以阐述。
圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长，圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。
圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面授周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和。
三、例题讲解
例１、一个圆锥形零件的母线长为a ，底面的半径为r ，求这个圆锥形零件的侧面积和全面积．
解 圆锥的侧面展开后是一个扇形，该扇形的半径为a ，扇形的弧长为2πr ，所以
1
S 侧＝2×2πr ×a ＝πra ；
S 底＝πr ；
2 S ＝πra ＋πr ．
2 答：这个圆锥形零件的侧面积为πra ，全面积为πra ＋πr
例2、已知：在Rt ABC 中，∠C =90︒，AB =13cm ，BC =5cm ，求以
AB 为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。
分析：以AB 为轴旋转一周所得到的几何体是由公共底面的两个圆锥所组成
的几何体，因此求全面积就是求两个圆锥的侧面积。
解：过C 点作CD ⊥AB ，垂足为D 点
因为三角形ABC 是Rt ABC ，∠C =90︒，AB =13cm ，BC =5cm ， 所以AC =12cm 2
AC ⨯BC 5⨯1260A == AB 1313
60120π=底面周长为2π⋅ 1313D 1120π1120π1020π⋅5+⋅⋅2=(cm ) 2 所以S 全=⋅21321313B 1020π(cm ) 2。 答：这个几何体的全面积为13CD =C
四、课堂练习
1、一个圆柱形水池的底面半径为4米，池深1.2米. 在池的内壁与底面抹上
水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？
2、已知一个圆锥与一个圆柱的底面半径都为3米，高都为4米. 它们两者的侧面积相差多少？侧面积的比值为多少？1
五、小结
本节课我们认识了圆锥的侧面展开图，学会计算圆锥的侧面积和全面积，在认识圆锥的侧面积展开图时，应知道圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长。圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径，这样在计算侧面积和全面积时才能做到熟练、准确。
六、作业
Ｐ70 习题3、4
23.1.1圆的基本元素
教学目标：
使学生理解圆、等圆、等弧、圆心角等概念，让学生深刻认识圆中的基本概念。
重点难点：
1、重点：圆中的基本概念的认识。
2、难点：对等弧概念的理解。
A
教学过程：
一、圆是如何形成的？
请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的。
如右图，线段OA 绕着它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形。同学们想一想，如何在操场上画出一个很大的圆？说说你的方法。
由以上的画圆和解答问题的过程中，让同学们思考圆的位置是由什么决定的？而大小又是由谁决定的？（圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径长度决定）
二、圆的基本元素
问题：据统计，某个学校的同学上学方式是，有50%的同学步行上学，有20%的同学坐公共汽车上学，其他方式上学的同学有30%，请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式。
我们是用圆规画出一个圆，再将圆划分成一个个扇形，右上图23.1.1就是反映学校学生上学方式的扇子形统计图。
图
23.1.1
如图23.1.2, 线段OA 、OB 、OC 都是圆的半径，线段AB 为直径，. 这个以点O 为圆心的圆叫作“圆O ”，记为“⊙O ”。线段AB 、BC 、AC 都是圆O 中的弦，曲线BC 、BAC
︵︵都是圆中的弧，分别记为BC 、BAC ，其中像弧BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣︵
︵弧，像弧BAC 这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。
∠AOB 、∠AOC 、∠BOC 就是圆心角。
结合上面的扇形统计图，进一步阐述圆心角、优弧、劣弧等圆中的基本元素。
三、课堂练习
1、直径是弦吗？弦是直径吗？
2、半圆是弧吗？弧是半圆吗？
3、半径相等的两个圆是等圆，而两段弧相等需要什么条件呢？
4、比较右图中的三条弧，先估计它们所在圆的半径的大小关系，再用圆规 验证你的结论是否正确。
5、说出上右图中的圆心解、优弧、劣弧。
6、直径是圆中最长的弦吗？为什么？
四、小结本节课我们认识了圆中的一些元素，同学应能从具体的图形中对这些元素加以识别。
五、作业
1、如图，AB 是⊙O 的直径，C 点在⊙O 上，那么，哪一段弧是优弧，哪一段弧是劣弧？
2、经过A 、B 两点的圆的几个？它们的圆心都在哪里？
3、长方形的四个顶点在以 为圆心，以 为半径的圆上。
4、如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 为弦，OD ∥BC ，交AC 于D ，BC 6cm ，求OD 的长。
5、已知：如图，OA 、OB 为⊙O 的半径，C 、D 分别为OA 、OB 的中点，试说明AD=BC。
B
第4题(第3题) 第1题
23.1.2圆的对称性
教学目标：
使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形, 并能运用其特有的性质推出在同一个圆中, 圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。
重点难点：
1、重点：由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。
2、难点：运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。 教学过程：
一、由问题引入新课：要同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的
圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆都是互相重合的。如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合。
由以上实验，同学们发现圆是中心对称图形吗？对称中心是哪一点？圆不仅是中心对称圆形，而且还是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。
二、新课
1、同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
图
23.1.3 图
23.1.4
实验1、将图形23.1.3中的扇形AOB 绕点O 逆时针旋转某个角度，得到图23.1.4中的图形，同学们可以通过比较前后两个图形，发现∠AOB =∠AOB ，AB =AB ， AB = AB 。
实质上，∠AOB 确定了扇形AOB 的大小，所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等。
问题：在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦是否相等呢？ 在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧是否相等呢？
实验2、如图23.1.7，如果在图形纸片上任意画一条垂直
于直径CD 的弦AB ，垂足为P ，再将纸片沿着直径CD 对折，比较AP 与PB 、AC 与CB ，你能发现什么结论？
显然，如果CD 是直径，AB 是⊙O 中垂直于直径的弦，︵︵图23.1.7
。请同学们用一句 ， 那么AP =BP ， AD =BD AC =BC
话加以概括。
（ 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）
2、同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系的应用。（1）思考：如图，在一个半径为6米的圆形花坛里，准备种植六种不同颜色的花卉，要求每种花卉的种植面积相等，请你帮助设计种植方案。（2）如图23.1.5，在⊙O 中，AC =BC ，∠1=45︒，求∠2的度数。
3、课堂练习
（1）如图，在⊙O 中，AB ＝AC ，∠B ＝70°. 求∠C 度数.
(第1题
) ︵︵ 第5题 （第2题）
（2）如图，AB 是直径，BC ＝CD ＝DE ，∠BOC ＝40°，求∠AOE 的度数
（3）已知，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径。
三、课堂小结
本节课我们通过实验得到了圆不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形，而由圆的对称性又得出许多圆的许多性质，即（1）同一个圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等。（2）在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。（3）在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧相等。（4）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
四、作业
Ｐ52 习题1、2、3、4、5
︵︵︵
23.1.3圆周角
教学目标：
使学生知道什么样的角是圆周角，了解圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征；并能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题，同时，通过对圆心角和圆周角关系的探索，培养学生运用已有知识，进行实验、猜想、论证，从而得到新知。
重点难点：
1、重点：认识圆周角，同一条弧的圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征。
2、难点：发现同一条弧的圆周角和圆心角的关系，利用这个关系进一步得到其他知识，运用所得到的知识解决问题。
教学过程：
一、认识圆周角
如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？（顶点在圆心，两边与圆
相交的角叫做圆心角），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角。
究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的解就叫做圆周角，而图（2）、（4）、
（5）中的角都不是圆周角。同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角。（顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角）练习：试找出图中所有相等的圆周角。
（第1题）
图
23.1.9
二、圆周角的度数
探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？而90︒的圆周角所对的弦是否是直
径？
如图23.1.9，线段AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上任意一点（除点A 、B ）， 那 么，∠ACB 就是直径AB 所对的圆周角. 想想看，∠ACB 会是怎么样的角？为什么呢？
启发学生用量角器量出∠ACB 的度数，而后让同学们再画几个直径AB 所对的 圆周角，并测量出它们的度数，通过测量，同学们感性认识到直径所对的圆周角等于90︒（或直角），进而给出严谨的说明。
证明：因为OA ＝OB ＝OC ，所以△AOC 、△BOC 都是等腰三角形，所以∠OAC ＝∠OCA ，∠OBC ＝∠OCB . 又 ∠OAC ＋∠OBC ＋∠ACB ＝180°，所以 ∠ACB ＝∠
180
OCA ＋∠OCB ＝＝90°. 因此，不管点C 在⊙O 上何处（除点A 、B ），∠ACB 总2
等于90°，即
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。反过来也是成立的，即90°的圆周角所对的弦是圆的直径
三、探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系
1、分别量一量图23.1.10中弧AB 所对的两个圆周角的度数比较一下. 再变动点
C 在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化. 你发现其中有 什么规律吗？
（2） 分别量出图23.1.10中弧AB 所对的圆周角和圆心角的
度数，比较一下，你发现什么？
我们可以发现，圆周角的度数没有变化. 并且圆周角的度数 恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半。 图
23.1.10 由上述操作可以猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。
为了验证这个猜想，如图23.1.11所示，可将圆对折，使折痕经过圆心O 和圆周角的顶点C ，这时可能出现三种情况：（1） 折痕是圆周角的一条边，（2） 折痕在圆周角的内部，（3） 折痕在圆周角的外部。
图
23.1.11
我们来分析一下第一种情况：如图23.1.11（1），由于OA ＝OC ，因此 ∠A ＝∠C ，
而∠AOB 是△OAC 的外角，所以 ∠C ＝1∠AOB . 2
对（2）、（3），有同样的结论. （让同学们把推导的过程写出来），由以上的猜想和推导可以得到：
一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。
思考：
1、在同一个圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等吗？为什么？相等的圆周角所
对的弧相等吗，为什么？
2、你能找出右图中相等的圆周角吗？
3、这是一个圆形的零件，你能告诉我，它的圆
心的位置吗？你有什么简捷的办
法？
4、如图，如图23.1.12，AB 是⊙O 的直径，∠A ＝80°．求∠ABC 的度数．5、在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x
＋100）°和（5x －30）°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的
度数.
四、小结 图
23.1.12
本节课我们一同探究了同圆或等圆中，一条弧所对的圆周
角等于这条弧所对的圆心角的一半；由这个结论进一步得到：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半； 相等的圆周角所对的弧相等；半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。90°（直角）的圆周角所对的弦是圆的直径等结论，希望同学们通过复习，记住这些知识，并能做到灵活应用他们解决相关问题。
四、作业
Ｐ52 习题6、7
23.2.1点与圆的位置关系
教学目标：
使学生能够用数量关系来判断点与圆的位置关系, 掌握不在一条直线上的三点确定一个圆, 能画出三角形的外接圆, 求出特殊三角形的外接圆的半径, 渗透方程思想。
重点难点：
1、重点：用数量关系判断点和圆的位置关系, 用尺规作三角形的外接圆, 求直角三角形、等边三角形和等腰三角形的半径。
2、难点：运用方程思想求等腰三角形的外接圆半径。
教学过程：
一、用数量关系来判断点和圆的位置关系
同学们看过奥运会的射击比赛吗？射击的靶子是由许多
圆组成的，射击的成绩是由击中靶子不同位置所决定的；右图
是一位运动员射击10发子弹在靶上留下的痕迹。你知道这个运
动员的成绩吗？请同学们算一算。（击中最里面的圆的成绩为10
环，依次为9、8、„、1环）
这一现象体现了平面上的点与圆的位置关系，如何判断点与圆
的位置关系呢？我们知道圆上的所有点到圆心的距离都等于半径，若点在圆上，那么这个点到圆心的距离等于半径，若点在圆外，那么这个点到圆心的距离大于半径，若点在圆内，那么这个点到圆心的距离小于半径。
如图23.2.1，设⊙O 的半径为r ，A 点在圆内，B 点在圆上，C 点在圆外，那
OA ＜r ， OB ＝r ， OC ＞r ．反过来也成立，即
若点A 在⊙O 内
OA
r
若点A 在⊙O 上OA =r
若点A 在⊙O 外OA >r
图23.2.1 思考与练习
1、⊙O 的半径r =5cm ，圆心O 到直线的AB 距离
d =OD =3cm 。在直线AB 上有P 、Q 、R 三点，且有PD =4cm ，QD >4cm ，RD
2、Rt ABC 中，∠C =90︒，CD ⊥AB ，AB =13，AC =5，对C 点为圆心，60为半径的圆与点A 、B 、D 的位置关系是怎样的？ 13
二、不在一条直线上的三点确定一个圆
问题与思考：平面上有一点A ，经过A 点的圆有几个？圆心在哪里？平面上有两点A 、B ，经过A 、B 点的圆有几个？圆心在哪里？平面上有三点A 、B 、C ，经过A 、B 、C 三点的圆有几个？圆心在哪里？。
图23.2.2 图23. 2. 3 图23.2.4
从以上的图形可以看到，经过平面上一点的圆有无数个，这些圆的圆心分布在整个平面；经过平面上两点的圆也有无数个，这些圆的圆心是在线段AB 的垂直平分线上。经过A 、B 、C 三点能否画圆呢？同学们想一想，画圆的要素是什么？（圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小），所以关键的问题是定其加以和半径。
如图23.2.4，如果A 、B 、C 三点不在一条直线上，那么经过A 、B 两点所画的圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上，而经过B 、C 两点所画的圆的圆心在线段BC 的垂直平分线上，此时，这两条垂直平分线一定相交，设交点为O ，则OA ＝OB ＝OC ，于是以O 为圆心，OA 为半径画圆，便可画出经过A 、B 、C 三点的圆．
思考：如果A 、B 、C 三点在一条直线上，能画出经过三点的圆吗？为什么？ 即有：不在同一条直线上的三个点确定一个圆
也就是说，经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直
平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。
思考：随意画出四点，其中任何三点都不在同
C 一条直线上，是否一定可以画一个圆经过这四点？
请举例说明。
B 三、例题讲解
例1、如图，已知Rt ABC 中，∠C =90︒，A 例1若AC =5cm ， BC =12cm ，求 ABC 的外接圆
半径。
解：略
例2、如图，已知等边三角形ABC 中，边长为6cm ，求它的外接圆半径。
A 解：略 A
E O O
C B B C D D 例3例2
例3、如图，等腰 ABC 中，AB =AC =13cm ，BC =10cm ，求 ABC 外接圆的半径。
四、小结
本节课我们学习了用数量关系判断点和圆的位置关系和不在同一直线上的三点确定一个圆，求解了特殊三角形直角三角形、等边三角形、等腰三角形的外接圆半径，在求解等腰三角形外接圆半径时，运用了方程的思想，希望同学们能够掌握这种方法，领会其思想。
五、作业
Ｐ62 习题1、2、3、4
23.2.2直线与圆的位置关系
教学目标：
使学生掌握直线与圆的位置关系，能用数量来判断直线与圆的位置关系。 重点难点：
用数量关系（圆心到直线的距离）判断直线与圆的位置关系即是教学重点又是教学难点。
教学过程：
一、用移动的观点认识直线与圆的位置关系
1、同学们也许看过海上日出，如右图中，如果我们把太阳看作一个圆，那么太阳在升起的过程中，它和海平面就有右图中的三种位置关系。
2、请同学在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线与圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？
二、数量关系判断直线与圆的位置关系
从以上的两个例子，可以看到，直线与圆的位置关系只有以下三种，如下图所示：
如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离，如图23.2.6
（1）所示． 如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切，如图23.2.6（2）所示．此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点．如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交，如图23.2.6
（3）所示．此
时这条直线叫做圆的割线．
图23.2.6 如何用数量来体现圆与直线的位置关系呢？
如上图，设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，从图中可以看出：
若d >
r 直线
l 与⊙
O 相离；
若d =r 直线l 与⊙O 相切；
若d
所以，若要判断圆与直线的位置关系，必须对圆心到直线的距离与圆的半径进行比较大小，由比较的结果得出结论。
三、练习与例题
练习1、已知圆的半径等于5厘米，圆心到直线l 的距离是：（1）4厘米；（2）5厘米；（3）6厘米. 直线l 和圆分别有几个公共点？分别说出直线l 与圆的位置关系。
练习2、已知圆的半径等于10厘米，直线和圆只有一个公共点，求圆心到直线的
距离. 练习3、如果⊙O 的直径为10厘米，圆心O 到直线AB 的距离为10厘米，那么⊙O 与直线AB 有怎样的位置关系？
例题：例1、如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AB 交小圆于点C 、D ，大圆的弦EF 与小圆相切于点C ，ED 交小圆于点G ， 设大圆的半径为10cm ，EF =8cm ，求小圆的半径r 和
EG 的的长度。
解：连结CG
B 因为EF 切小圆于C 点，AB 为大圆的直径
所以EF ⊥AB ，EC =
1
EF =4cm
2
所以r =OC =3cm 。
所以ED =
因为CD 是小圆的直径
所以OG ⊥DE ，在Rt EOG 和Rt EDC 中 因为∠ECD =∠DGC ，∠E =∠E 所以Rt EOG Rt EDC 所
以
E E
=
C G
，
E E D 即C
E
2
=C ⋅
E ，D E G
EC 2EG ===
ED 13
三、小结
本节课我们学习了直线与圆的位置关系，当我们判断直线与圆的位置关系时，应该用数量关系（圆心到直线的距离）来体现，即上面讲解的圆心到直线的距离与圆的半径进行比较大小，从而断定是哪种关系。
若d >
r 直线
l 与⊙
O 相离； 若d =r 直线l 与⊙O 相切； 若d
四、作业
Ｐ63 习题5、6、7
23.2.3 切线（一）
教学目标：
1、使学生掌握切线的识别方法，并能初步运用它解决有关问题；
2、通过切线识别方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力； 教学重点和难点：
切线的识别方法是重点；而方法的理解及实际运用是难点． 教学过程设计：
一、从学生已有的知识结构提出问题 1、复习、回顾直线与圆的三种位置关系．
2、根据几何画板所示图形，请学生判断直线和圆的位置关系． 学生判断的过程，提问：你是怎样判断出图中的直线和圆相切的？根据学生的回答，继续提出问题：如何界定直线与圆是否只有一个公共点？（画板演示）
教师指出，根据切线的定义可以识别一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义识别很不方便，为此我们还要学习识别切线的其它方法．(板书课题) 二、师生共同探讨、发现结论
1、由上面的复习，我们可以把上节课所学的切线的定义作为识别切线的方法1——定义法：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
2、当然，我们还可以由上节课所学的用圆心到直线的距离d 与半径r 之间的关系来判断直线与圆是否相切，即：当d r 时，直线与圆的位置关系是相切．以此作为识别切线的方法2——数量关系法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线．
3、继续观察复习时的图形，如图，圆心O 到
直线l 的距离d 等于半径r ，直线l 是⊙O 的切线，这时我们来观察直线l 与⊙O 的位置，可以发现：（1）直线l 经过半径OA 的外端点A ；
（2）直线l 垂直于半径OA ．这样我们就得到了从位置上来判断直线是圆的切线的方法3——位置关系法：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
4、思考：现在，任意给定一个圆，你能不能作出圆的切线？应该如何作？ 请学生回顾作图过程，切线l 是如何作出来的? 它满足哪些条件? 引导学生总结出：①经过半径外端；②垂直于这条半径．
请学生继续思考：这两个条件缺少一个行不行? （学生画出反例图）
A
（图1） （图2） （图3）
图(1)中直线l 经过半径外端，但不与半径垂直； 图(2)中直线l 与半径垂直，但不经过半径外端． 从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．
最后引导学生分析，方法3实际上是从前一节所讲的“圆心到直线的距离等于半径时直线和圆相切”这个结论直接得出来的，只是为了便于应用把它改写成“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这种形式． 三、应用定理，强化训练
例1、如图，已知直线AB 经过⊙O 上的点A ，并且AB ＝OA ，∠OBA=45︒，直线AB 是⊙O 的切线吗？为什么？
例2、如图，线段AB 经过圆心O ，交⊙O 于点A 、C ，∠BAD ＝∠B ＝30︒，边BD
交圆于点D ．BD 是⊙O 的切线吗？为什么？
分析：欲证BD 是⊙O 的切线，由于BD 过圆上点D ，若连结OD ，则BD 过半径OD 的外端，因此只需证明BD ⊥OD ，因OA ＝OD ，∠BAD ＝∠B ，易证BD ⊥OD ．
教师板演，给出解答过程及格式．
课堂练习：课本58页练习1－4
四、小结 提问：这节课主要学习了哪些内容? 需要注意什么问题?
在学生回答的基础上，教师总结： 主要学习了切线的识别方法，着重分析了方法3成立的条件，在应用方法3时，注重两个条件缺一不可． 识别一条直线是圆的切线，有三种方法：
(1)根据切线定义判定，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线；
(3)根据直线的位置关系来判定，即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆
的 切线，
说明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线，如果已知直线过圆上某一点，则作出过 这一点的半径，证明直线垂直于半径即可(如例2) ． 五、布置作业
23.2.4切线（2）
【教学目标】：
通过探究, 使学生发现、掌握切线长定理，并初步长定理，并初步学会应用切线长定理解决问题，同时通过从三角形纸片中剪出最大圆的实验的过程中发现三角形内切圆的画法，能用内心的性质解决问题。
【重点难点】：
1、重点：切线长定理及其应用，三角形的内切圆的画法和内心的
性质。
2、难点：三角形的内心及其半径的确定。
【教学过程】：
一、巩固上节课学习的知识
请同学们回顾一下，如何判断一条直线是圆的切线？圆的切线具有什么性质？（经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径。）
你能说明以下这个问题？
如右图所示，PA 是∠BAC 的平分线，AB 是⊙O 的切线，切点E ，那么AC 是⊙O 的切线吗？为什么？
解：连结OE ，过O 作OF ⊥AC ，垂足为F 点
因为 AB是⊙O 的切线
所以 OE ⊥AB B
又因为PA 是∠BAC 的平分线，OF ⊥AC 所以 OF =OE
所以 AC是⊙O 的切线
二、探究从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等以及这一点与圆心的
连线平分两条切线的夹角
问题1、从圆外一点可以作圆的几条切线？请同学们
画一画。
2、请问：这一点与切点的两条线段的长度相等
吗？为什么？
3、切线长的定义是什么？
通过以上几个问题的解决，使同学们得出以下的结论：
从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。这一点与圆心的连线
平分两条切线的夹角。
在解决以上问题时，鼓励同学们用不同的观点、不同的知识来解决问题，它既可以用书上阐述的对称的观点解决，也可以用以前学习的其他知识来解决问题。
三、对以上探究得到的知识的应用
思考：右图，PA 、PB 是，切点分别是A 、B ，直线EF 也是⊙O 的切线，切点为P ，交PA 、PB 为E 、F 点，已知PA =12cm ，∠P =70︒，（1）求 PEF 的周长；（2）求∠EOF 的度数。 解：（1）连结PA 、PB 、EF 是⊙O 的切线 所以PA =PB ，EA =EQ ，FQ =FB
PEF 的周=OE +EP +PF +FB =PA +PB =24cm
（2）因为PA 、PB 、EF 是⊙O 的切线
所
以
所以PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，EF ⊥OQ ∠AEO =∠QEO ，∠QFO =∠BFO 所以∠AOB =180︒-∠P =110︒ 所以∠EOF =
长
F
B
1
∠AOB =55︒ 2
图23.2.11
四、三角形的内切圆
想一想，发给同学们如图23.2.11所示三角形纸片，请在它的上面截一个面
积最大的圆形纸片？
提示：画圆必须确定其位置和大小，即确定圆的圆心和半径，而要截出的圆 的面积最大，这个圆必须与三角形的三边都相切。
如图23.2.12，在△ABC 中，如果有一圆与AB 、AC 、BC
都相切，那么该圆的
圆心到这三角形的三边的距离都相等，如何找到这个圆的
圆心和半径呢？
等待同学们想过之后再阐述如何确定圆心和半径。
我们知道，角平分线上的点到角的两边距离相等，反
图23.2.12
过来，到角两边距离相等
的点在这个角的平分线上。因此，圆心就是△ABC 的角平分线的交点，而半径是这
个交点到边的距离。
根据上述所阐述的，同学们只要分别作∠BAC 、∠CBA 的平分线，他们的交
点I 就是圆心，过I 点作ID ⊥BC ，线段ID 的长度就是所要画的圆的半径，因此以I 点为圆心，ID 长为半径作圆，则⊙I 必与△ABC 的三条边都相切。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。
问题：三角形的内切圆有几个？一个圆的外切圆三角形是否只有一个？ 例题：△ABC 的内切圆⊙O 与AC 、AB 、BC 分别相切于点D 、E 、F ，且AB ＝5
厘米，BC ＝9厘米，AC ＝6厘米，求AE 、BF 和CD 的长。
解：因为⊙O 与△ABC 的三边都相切
所以AE =ED ，BE =BF ，CD =CF 设AE =x 。BF =y ，CD =z
则
{
x +y =5y +z =9z +x =6
A B 解得：x =1，y =4，z =5
即AE =1cm ，Bf =4cm ，CD =5cm
五、课堂练习
Ｐ60 练习1、3
六、小结
1、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。这一点与圆
心连线平分两条切线的夹角。
2、三角形的内切的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三条边的
距离相等。
七、作业
Ｐ63 习题9、10、11、12
23.2.5圆与圆的位置关系
教学目标：
使学生了解圆与圆位置关系的定义，掌握用数量关系来识别圆与圆的位置关系。
重点难点：
用数量关系识别圆与圆的位置关系是本节课的教学重点，又是本节课的教学难点。
教学过程：
一、认识生活中有关圆与圆的位置关系的一些图形
在现实生活中，圆与圆有不同的位置关系，如下图所示： 奥运会五环
圆与圆的位置关系除了以上几种外，还有其他的位置关系吗？我们如何判断圆与圆的位置关系呢？这些问题待学习完这节课后就可以得到解决。 二、用公共点的个数阐述两圆的位置关系 请同学们在纸上画一个圆，把一枚硬币当作另一个圆，在纸上移动这枚硬币，观察两圆的位置关系和公共点的个数。 图
23.2.14
如图23.2.14（1）、（2）、（3）所示，两个圆没有公共点，那么就说两个圆相离，其中（1）又叫做外离，（2）、（3）又叫做内含。（3）中两圆的圆心相同，这两个圆还可以叫做同心圆。如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如图23.2.14（4）、（5）所示．其中（4）又叫做外切，（5）又叫做内切。如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交，如图23.2.14（6）所示。
三、用数量关系识别两圆的位置关系
思考：如果两圆的半径分别为3和5，圆心距（两圆圆心的距离）d 为9，你能确定他们的位置关系吗？若圆心距d 分别为8、6、4、2、1、0时，它们的位置关系又如何呢？
利用以上的思考题让同学们画图或想象，概括出两圆的位置关系与圆心距、两圆的半径具有什么关系。
（1）两圆外离⇔d >R +r ； （2）两圆外切⇔d =R +r ；
（3）两圆外离⇔R -r
为了使学生对两圆的位置关系用数量关系体现有更深刻的理解以及更牢的记忆，教师可有以下数轴的形式让学生加以理解。
内外
相交内含切切外离
要判断两圆的位置关系，要牢牢抓住两个特殊点，即外切和内切两点，当圆心距刚好等于两圆的半径和时，两圆外切，等于两圆的半径差时，两圆内切。若圆心距处于半径和与半径差之间时，两圆相交，大于两圆半径和时，两圆外离，小于两圆半径差时，两圆内含。 四、例题与练习
例1、已知⊙A 、⊙B 相切，圆心距为10 cm，其中⊙A 的半径为4 cm，求⊙B 的半径。
分析：两圆相切，有可能两圆外切，也有可能两圆内切，所以⊙B 的半径就有两种情况。
解 设⊙B 的半径为R ． （1） 如果两圆外切，那么
d ＝10＝4＋R ， R ＝6．
（2） 如果两圆内切，那么
d ＝｜R －4｜＝10， R ＝－6（舍去），R ＝14．
所以⊙B 的半径为6 cm或
14 cm
例2、两圆的半径的比为2:3，内切时的圆心距等于8cm ，那么这两圆相交时圆心距的范围是多少？
解：设其中一个圆的半径为2r ，则另一个圆的半径为3r
因为内切时圆心距等于8 所以3r -2r =8 所以r =8
当两圆相交时，圆心距的取值范围是8
练习：课本Ｐ62 练习1、2、3 五、小结
就好象识别点与圆、直线与圆的位置关系一样，这节课我们同样也用数量关系来体现圆与圆的位置关系。在识别圆与圆的位置关系时，关系式比较多，也难于忘记，如果同学们能够掌握老师上课时讲的用数轴来体现圆与圆的位置关系，理解起来就会更深刻，记忆也会更容易。 六、作业
Ｐ63 习题8、9
23.3.1弧长和扇形的面积
教学目标：
认识扇形，会计算弧长和扇形的面积，通过弧长和扇形面积的发现与推导，培养学生运用已有知识探究问题获得新知的能力。 重点难点：
1、重点：弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积。 2、难点：运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积。 教学过程：
一、发现弧长和扇形的面积的公式
1、弧长公式的推导。
如图23.3.1是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为
图
23.3.1
90°．你能求出这段铁轨的长度吗? （取3.14）我们容易看出这段铁轨是圆周长的所以
1
， 4
2⨯3⨯100
＝157.0（米）. 4
问题：上面求的是90︒的圆心角所对的弧长，若圆心角为n ︒，如何计算它所对
铁轨的长度 l≈
的弧长呢？
请同学们计算半径为3cm ，圆心角分别为180︒、90︒、45︒、1︒、n ︒所对的弧长。
A
B
B B A
A
B B
等待同学们计算完毕，与同学们一起总结出弧长公式（这里关键是1︒圆心角所对的弧长是多少，进而求出n ︒的圆心角所对的弧长。）
弧长的计算公式为
练习：已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。
2、扇形的面积。
如图23.3.3，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形
问：右图中扇形有几个？ 同求弧长的思维一样，要求扇形的面积，应思考圆心角为1︒的扇形面积圆
面积的几分之几？进而求出圆心角n 的扇形面积。
如果设圆心角是n °的扇形面积为S ，圆的半径为r ，那么扇形的面积为
n πr 2n πr r 1S ==⨯=lr
36018022.
因此扇形面积的计算公式为
1n πr 2
S =lr S =
2 360 或
练习:1、如果扇形的圆心角是230°，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆
的面积的____________；
2
2、扇形的面积是它所在圆的面积的3，这个扇形的圆心角的度数是
_________°.
3、扇形的面积是S ，它的半径是r ，这个扇形的弧长是_____________
二、例题讲解
例1 如图23.3.5，圆心角为60°的扇形的半径为10厘米，求这个扇
形的面积和周长．（π≈3.14）
解： 因为n ＝60°，r ＝10厘米，所以扇形面积为
n πr 260⨯3. 14⨯102
S =≈ 360360
=52.33(平方厘米) ；
扇形的周长为 图
23.3.5
l =n πr 60⨯3. 14⨯10+2r ≈+20＝30.47（厘米）。 180180
例2、右图是某工件形状，圆弧BC 的度数为60︒，AB =6cm ，点B 到点C 的距离等于AB ，
∠BAC =30︒，求工件的面积。 的度数为60︒，∠BAC =30︒ 解：因为BC
所在的圆上，设这个圆的圆心为O 点 所以点A 在BC
连结OA 、OB 、OC 、BC
所以∠BOC =60︒
所以 BOC 是等边三角形
因为AB=BC
所以 AOB 也是等边三角形
所以四边形AOCB 是菱形
那么OA ∥BC ，则S ABC =S BOC
60π⋅62
=6π(cm ) 2 所以S 工件=S扇形BOC =360
三、小结
本节课我们共同探寻了弧长和扇形面积的计算公式，一方面，要理解公式的由来，另一方面，能够应用它们计算有关问题，在计算力求准确无误。
四、作业
Ｐ70 习题1、2
23.3.2圆锥的侧面积和全面积
教学目标：
通过实验使学生知道圆锥的侧面积展开图是扇形，知道圆锥各部分的名称，能够计算圆锥的侧面积和全面积。
重点难点：
圆锥的侧面展开图，计算圆锥的侧面积和全面积。
教学过程：
一、由具体的模型认识圆锥的侧面展开图，认识圆锥各个部分的
名称
把一个课前准备好的圆锥模型沿着母线剪开，让学生观察
图
23.3.6 圆锥的侧面展开图，
学生容易看出，圆锥的侧面展开图是一个扇形。
如图 23.3.6，我们把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的
母线，连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高，如图中a ，而h 就是圆锥的高。
问题：圆锥的母线有几条？
二、圆锥的侧面积和全面积
问题；1、沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇
形的弧长与底面的周长有什么关系？
2、圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相
等？
待学生思考后加以阐述。
圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长，圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。
圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面授周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和。
三、例题讲解
例１、一个圆锥形零件的母线长为a ，底面的半径为r ，求这个圆锥形零件的侧面积和全面积．
解 圆锥的侧面展开后是一个扇形，该扇形的半径为a ，扇形的弧长为2πr ，所以
1
S 侧＝2×2πr ×a ＝πra ；
S 底＝πr ；
2 S ＝πra ＋πr ．
2 答：这个圆锥形零件的侧面积为πra ，全面积为πra ＋πr
例2、已知：在Rt ABC 中，∠C =90︒，AB =13cm ，BC =5cm ，求以
AB 为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。
分析：以AB 为轴旋转一周所得到的几何体是由公共底面的两个圆锥所组成
的几何体，因此求全面积就是求两个圆锥的侧面积。
解：过C 点作CD ⊥AB ，垂足为D 点
因为三角形ABC 是Rt ABC ，∠C =90︒，AB =13cm ，BC =5cm ， 所以AC =12cm 2
AC ⨯BC 5⨯1260A == AB 1313
60120π=底面周长为2π⋅ 1313D 1120π1120π1020π⋅5+⋅⋅2=(cm ) 2 所以S 全=⋅21321313B 1020π(cm ) 2。 答：这个几何体的全面积为13CD =C
四、课堂练习
1、一个圆柱形水池的底面半径为4米，池深1.2米. 在池的内壁与底面抹上
水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？
2、已知一个圆锥与一个圆柱的底面半径都为3米，高都为4米. 它们两者的侧面积相差多少？侧面积的比值为多少？1
五、小结
本节课我们认识了圆锥的侧面展开图，学会计算圆锥的侧面积和全面积，在认识圆锥的侧面积展开图时，应知道圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长。圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径，这样在计算侧面积和全面积时才能做到熟练、准确。
六、作业
Ｐ70 习题3、4