整式的乘除与因式分解小结与复习

整式的乘除与因式分解小结与复习

考点呈现

一、幂的运算 例1 若m

p



15

,m

2q

7,m

r



75

.求m

3p4q2r

的值.

分析：可以把m3p4q2r逆用幂的有关性质进行变形,化成(mp)3(m2q)2(mr)2的形式． 171

解: m3p4q2r=(mp)3(m2q)2(mr)2=()372()2.

555

评注:灵活运用幂的运算性质是处理此类问题的关键． 二、整式的乘法

例2（2010年广东省）新知识一般有两类：第一类是一般不依赖其他知识的新知识，如“数”，“字

母表示数”这样的初始性知识，第二类是在某些旧知识的基础上联系.拓广等方式产生的知识，大多数知识是这样一类.

（1）多项式乘以多项式的法则，是第几类知识？

（2）在多项式乘以多项式之前，我们学习了哪些有关知识？（写出三条即可）

（3）请用你已有的有关知识，通过数和形两个方面说明多项式乘以多项式法是则如何获得的？（用

（a+b）(c+d)来说明）

分析：阅读是基础，理解是关键. 解：（1）第二类知识. （2）单项式乘以单项式，分配律，字母表示数，数可以表示线段的长或图形的面积，等等.

（3）(ab)(cd)acadbcbd.

评注：此题利用数形结合考查了整式的乘法相关知识.

1.单项式与多项式相乘，实际上是利用乘法的分配律转化为单项式乘法的运算. 2.单项式乘以多项式的积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同. 3.单项式乘以多项式的每一项时，不能漏乘某些项.

4.多项式中的每一项都包括其前面的符号，计算时应注意符号问题．

例3 现规定一种运算：ababab,其中a，b为实数，则ab(ba)b等于 ( )

A.ab B.bb C.b D.ba 分析： 读懂所谓的新定义即可.

解：按新定义运算可得：ab(ba)b =abab(ba)b(ba)b =ababbabbab

2

2

2

2

b

2

=b2b.故应选B.

评注：此类阅读理解问题，关键是按新定义运算，把陌生的运算转化为常见的整式运算. 三 、乘法公式

例4（2010年福建省）已知y2x1，求代数式(y1)2(y24x)的值． 点拨：先用乘法公式计算,去括号、合并同类项后，再将已知条件整体代入计算. 解：原式=y22y1y24x

=2y4x1 =2(y2x)1

当y2x1时，原式=2113．

四、整式的除法

例5（2010年广西）先化简，再求值：abab4ab38a2b24ab，其中a=2，b1. 分析：在进行多项式除以单项式时，一要注意符号，二要注意不漏除，三对于混合运算，要注意运算顺序.

解：（1）abab4ab38a2b24ab =a2b2b22ab =a22ab .

当a2，b1时，原式=22221 =44=0 .

评注：多项式除以单项式应注意：

1.符号问题，多项式是几个单项式的和，其中每一个单项式都是多项式的一项，所以多项式的每一项都包括它前面的符号.

2.不要漏项，多项式除以单项式的结果是一个多项式，其项数与被除式的项数相同. 五、因式分解

例6（2010年宁夏）把多项式x2xx分解因式，结果正确的是（ ）

A．x(x2x) B．x(x2) C．x(x1)(x1) D．x(x1) 解析：先提取公因式，然后再应用完全平方公式，结果为x(x1)．选D． 例7（2010年四川省）把x－y－2y－1分解因式，结果正确的是（ ）

A．（x＋y＋1）(x－y－1) B．（x＋y－1）(x－y－1) C．（x＋y－1）(x＋y＋1) D．（x－y＋1）(x＋y＋1)

解析：将后三项分为一组运用完全平方公式，再与第一项运用平方差进行分解因式，结果为（x

2

2

32

222

2

＋y＋1）(x－y－1)．选A．请同学们思考：其他的分组方法能使分解进行吗？ 例8（2010年山东省）分解因式：xy22xy2y4_________.

解析：先将前两项分为一组，后两项分为一组，再分解因式，结果为xy2y2． 请同学们思考：还有没有其他分组的方法？

错解剖析

一、幂的运算常见错误 例1 计算： x4x3.

错解： x4x3=x43x12.

剖析：同底数幂相乘，应底数不变，指数相加，与幂的乘方运算法则相混淆致错. 正解： x4x3=x43x7. 例2 计算： (ab3)4 .

错解： (ab3)4=ab12.

剖析：积的乘方，应把积中的每个因式分别乘方，再把所得的结果相乘，因此a也应4次方. 正解：(ab3)4=(a)4(b3)4a4b12. 例3 计算：a8(a)2．

错解：原式=(a)82(a)6a6．

剖析：错解中误认为a8的底数是a，实际上它的底数是a． 正解：原式=a8a2= a6． 二、整式的乘除常见错误

例4 计算：( 2x + y ) ( 2x – y ) ． 错解：( 2x + y ) ( 2x – y ) = 2x2 - y2.

剖析：式子在计算中都没有明确“项”的概念，包括字母前面的系数，因此在平方时漏掉了系数.应是2x与y这两项的平方差.

正解：( 2x + y ) ( 2x - y ) =(2x)2y24x2y2． 例 5 计算：（-1+错解：(1

14

2

14

ab）.

2

2

ab)(1)21

14

ab(

14

ab)1

2

12

ab

116

ab.

22

剖析：等号左边的运算符合虽然是加号,但应是1与2(1)

14ab.

14

ab)(1)2(1)

2

2

14

ab的积,所以21

14

ab应为

正解：(1

14

ab(

14

ab)1

2

12

ab

116

ab.

22

评注：出现上述错误的主要原因是对公式理解不透彻和对公式结构特征不熟悉,可以通过多推导几遍公式,加深对两个公式的理解,再结合两个公式的几何解释,会对两个公式的理解更透彻；对公式结构特征的熟悉则要通过多观察,多记忆,做适量的练习来解决.

例6计算: 15x2y20x4

5x

2

5x.

2

错解一: 原式15x2y5x220x45x2

3y4x

2

.

剖析：错误原因是将5x2

5x

2

这一项漏掉了.其实,多项式除以单项式,先把多项式各项分别

除以这个单项式,然后把所得的商相加,注意不能漏除.

错解二: 原式＝15x2y5x2

20x5x5x5x3y4x1.

4

2

2

2

2

剖析：错误原因是计算过程中将符号弄错了. 正解:原式=15x2y5x220x4

例7分解因式：(x+y)2+(x+y)+ 错解:原式= (x+y)( x+y+1)+

1

5x

2

5x

2

5x

2

3y4x

2

1

.

14

.

. 4

剖析:尽管结果的第一项是积的形式,但从整体上看还是和的形式.错因在于曲解了分解因式的意义,误认为只要结果中有整式的积即可,而忽视了整个结果必须是积的形式这一本质.

11

(x+y)+()2= (x+y+)2. 222

11

例8 分解因式：x2xyy2.

22222

错解:原式=x-2xy+y=(x-y).

正解: 原式= (x+y)2+2

1

剖析:错解是把解方程中去分母的方法“移植”到分解因式中, 张冠李戴,错误地把多项式中的每

1

一项都乘以2,破坏了变形的恒等性而致错.正确处理方法是把作为公因式提出来.

2

正解:原式=

12

(x2xyy)

2

2

2

2

2

12

(xy).

2

例9 分解因式：(x+4)-16x.

错解:原式= (x2+4)2-(4x ) 2=( x2+4+4x)( x2+4-4x).

剖析: 错因在于分解因式不彻底.因为结果中的两个因式都是完全平方式,还可以继续分解.所以错解由于半途而废,而导致“前功尽弃”.

正解:原式=( x2+4+4x)( x2+4-4x)=( x+2) 2 (x-2) 2.

温馨提醒：错误本身并不可怕，可怕的是自己犯了错还不知道自己错在哪儿．其实，错误与成功就像睡梦与清醒一样，当你从错误中醒来时，你已走向了成功！ 基础盘点

1．幂的运算主要包括四大类：（1）__________；（2）_____；（3）_______；（4）______.

2．幂的前三个基本性质是整式乘法的基础，整式的乘法包括：______；_______；________． 3.乘法公式是指____公式；_______公式.在乘法公式中，字母a，b都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的___，也可以取一个_____、一个_____或_____.

4.幂的除法是整式除法的基础，熟练进行单项式除法是学习多项式除以单项式的关键.

单项式除以单项式的法则：_________________________________；对于只在被除式里含有的字母，则________.

多项式除以单项式法则：____________________________________. 5.因式分解指的是_______________的形式.

因式分解的基本方法：1．_________；2.__________. 课堂检测

1．（2010年山东省）下列各式计算正确的是( )

A．x2·x3=x6 B．2x+3x=5x2 C．（x）=x D．x÷x=x

2.（2010年四川省）把代数式mx26mx9m分解因式，下列结果中正确的是（ ） A．m(x3)2 B．m(x3)(x3) C．m(x4)2 D．m(x3)2

3.太阳内部高温核聚变反应释放的辐射能功率为3.8103千瓦，到达地球的仅占20亿分之一，到达地球的辅射能功率为（ ） A．1.91014 千瓦 4.已知ab

32

2

3

6

6

2

3

B．2.01014 千瓦 C．7.61015 千瓦 15

D．1.910千瓦

，ab1，化简(a2)(b2)的结果是．

n

5. 已知10m2，则103m2n____________. 103，

6．（2010年云南）分解因式：3a2b4ab__________．

7．卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)约为7.9×103米/秒,则卫星运行3×102秒所走的路程约是多少?

8．已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值： （1）ab+ab ； （2）a+b． 跟踪训练

1．（2010年广西省）下列各式运算正确的是（ ） A.3a22a25a4 B.(a3)2a29

C.(a2)3a5

4

2

2

2

2

2

2

D.3a22a6a3

10

2．下列计算：①a(a)a；②x(xx)x；

4

7

329

2333425

③15(xy)(3xy)5xy，④(ab

23

19

ab)(

26

13

ab)

32

6ab1；

2

其中错误的有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

3．（2010年山东省）由m（a+b+c）=ma+mb+mc，可得：（a+b）（a2－ab+b2）=a3－a2b+ab2+a2b－ab2+b3=a3+b3，即（a+b）（a2－ab+b2）=a3+b3．① 我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式. 下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是（ ） ．．．A. （x+4y）（x2－4xy+16y2）=x3+64y3

2233

B. （2x+y）（4x－2xy+y）=8x+y C. （a+1）（a2＋a+1）=a3+1 D. x3+27=（x+3）（x2－3x+9）

4．（2010年新疆）利用1个aa的正方形，1个bb的正方形和2个ab的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式__________.

322

5.已知3xax3x1能被x1整除，且商式是3x1，则a= .

6.若5m6，5n2，则52mn1的值=________.

7．现有两张铁皮，长方形铁皮的长为x+2y，宽为x－2y（x－2y＞0）；正方形铁皮的边长为2（x－y）．现根据需要，要把两张铁皮焊接成一张长方形的铁皮，铁皮长为6x，请你求出新铁皮的宽． 8．给出三个多项式：

1

2

行加法运算，并把结果因式分解．

基础盘点：

x2x1，

2

12

x4x1，

2

12

2

x2x．请选择你最喜欢的两个多项式进

1．同底数幂乘法 幂的乘法 积的乘法 同底数幂的除法 2．单项式乘法 单项式乘多项式 多项式乘多项式

3．平方差 完全平方 数 字母 单项式 多项式

4．单项式除以单项式把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式 连同它的指数作为商的一个因式 多项式除以单项式把这个多项式的每一项除以这个单项式，然后把所得的商相加 5．把一个多项式分解为几个整式积 提取公因式 公式法 课堂检测：

1.C 2. D 3.A 4. 2 5. 72 6． ab(3a4) 7. 2.37×106米. 8．(1)6； (2)5 . 跟踪训练

1．D 2．B 3.C 4．a2abb(ab) 5． 1 6． 90 7.5x

4y.

2

2

2

63

8.答案不唯一，略.

整式的乘除与因式分解小结与复习

考点呈现

一、幂的运算 例1 若m

p



15

,m

2q

7,m

r



75

.求m

3p4q2r

的值.

分析：可以把m3p4q2r逆用幂的有关性质进行变形,化成(mp)3(m2q)2(mr)2的形式． 171

解: m3p4q2r=(mp)3(m2q)2(mr)2=()372()2.

555

评注:灵活运用幂的运算性质是处理此类问题的关键． 二、整式的乘法

例2（2010年广东省）新知识一般有两类：第一类是一般不依赖其他知识的新知识，如“数”，“字

母表示数”这样的初始性知识，第二类是在某些旧知识的基础上联系.拓广等方式产生的知识，大多数知识是这样一类.

（1）多项式乘以多项式的法则，是第几类知识？

（2）在多项式乘以多项式之前，我们学习了哪些有关知识？（写出三条即可）

（3）请用你已有的有关知识，通过数和形两个方面说明多项式乘以多项式法是则如何获得的？（用

（a+b）(c+d)来说明）

分析：阅读是基础，理解是关键. 解：（1）第二类知识. （2）单项式乘以单项式，分配律，字母表示数，数可以表示线段的长或图形的面积，等等.

（3）(ab)(cd)acadbcbd.

评注：此题利用数形结合考查了整式的乘法相关知识.

1.单项式与多项式相乘，实际上是利用乘法的分配律转化为单项式乘法的运算. 2.单项式乘以多项式的积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同. 3.单项式乘以多项式的每一项时，不能漏乘某些项.

4.多项式中的每一项都包括其前面的符号，计算时应注意符号问题．

例3 现规定一种运算：ababab,其中a，b为实数，则ab(ba)b等于 ( )

A.ab B.bb C.b D.ba 分析： 读懂所谓的新定义即可.

解：按新定义运算可得：ab(ba)b =abab(ba)b(ba)b =ababbabbab

2

2

2

2

b

2

=b2b.故应选B.

评注：此类阅读理解问题，关键是按新定义运算，把陌生的运算转化为常见的整式运算. 三 、乘法公式

例4（2010年福建省）已知y2x1，求代数式(y1)2(y24x)的值． 点拨：先用乘法公式计算,去括号、合并同类项后，再将已知条件整体代入计算. 解：原式=y22y1y24x

=2y4x1 =2(y2x)1

当y2x1时，原式=2113．

四、整式的除法

例5（2010年广西）先化简，再求值：abab4ab38a2b24ab，其中a=2，b1. 分析：在进行多项式除以单项式时，一要注意符号，二要注意不漏除，三对于混合运算，要注意运算顺序.

解：（1）abab4ab38a2b24ab =a2b2b22ab =a22ab .

当a2，b1时，原式=22221 =44=0 .

评注：多项式除以单项式应注意：

1.符号问题，多项式是几个单项式的和，其中每一个单项式都是多项式的一项，所以多项式的每一项都包括它前面的符号.

2.不要漏项，多项式除以单项式的结果是一个多项式，其项数与被除式的项数相同. 五、因式分解

例6（2010年宁夏）把多项式x2xx分解因式，结果正确的是（ ）

A．x(x2x) B．x(x2) C．x(x1)(x1) D．x(x1) 解析：先提取公因式，然后再应用完全平方公式，结果为x(x1)．选D． 例7（2010年四川省）把x－y－2y－1分解因式，结果正确的是（ ）

A．（x＋y＋1）(x－y－1) B．（x＋y－1）(x－y－1) C．（x＋y－1）(x＋y＋1) D．（x－y＋1）(x＋y＋1)

解析：将后三项分为一组运用完全平方公式，再与第一项运用平方差进行分解因式，结果为（x

2

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32

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2

＋y＋1）(x－y－1)．选A．请同学们思考：其他的分组方法能使分解进行吗？ 例8（2010年山东省）分解因式：xy22xy2y4_________.

解析：先将前两项分为一组，后两项分为一组，再分解因式，结果为xy2y2． 请同学们思考：还有没有其他分组的方法？

错解剖析

一、幂的运算常见错误 例1 计算： x4x3.

错解： x4x3=x43x12.

剖析：同底数幂相乘，应底数不变，指数相加，与幂的乘方运算法则相混淆致错. 正解： x4x3=x43x7. 例2 计算： (ab3)4 .

错解： (ab3)4=ab12.

剖析：积的乘方，应把积中的每个因式分别乘方，再把所得的结果相乘，因此a也应4次方. 正解：(ab3)4=(a)4(b3)4a4b12. 例3 计算：a8(a)2．

错解：原式=(a)82(a)6a6．

剖析：错解中误认为a8的底数是a，实际上它的底数是a． 正解：原式=a8a2= a6． 二、整式的乘除常见错误

例4 计算：( 2x + y ) ( 2x – y ) ． 错解：( 2x + y ) ( 2x – y ) = 2x2 - y2.

剖析：式子在计算中都没有明确“项”的概念，包括字母前面的系数，因此在平方时漏掉了系数.应是2x与y这两项的平方差.

正解：( 2x + y ) ( 2x - y ) =(2x)2y24x2y2． 例 5 计算：（-1+错解：(1

14

2

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ab）.

2

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ab)(1)21

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ab(

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ab)1

2

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ab

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ab.

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剖析：等号左边的运算符合虽然是加号,但应是1与2(1)

14ab.

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ab)(1)2(1)

2

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ab的积,所以21

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ab应为

正解：(1

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ab(

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ab)1

2

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ab

116

ab.

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评注：出现上述错误的主要原因是对公式理解不透彻和对公式结构特征不熟悉,可以通过多推导几遍公式,加深对两个公式的理解,再结合两个公式的几何解释,会对两个公式的理解更透彻；对公式结构特征的熟悉则要通过多观察,多记忆,做适量的练习来解决.

例6计算: 15x2y20x4

5x

2

5x.

2

错解一: 原式15x2y5x220x45x2

3y4x

2

.

剖析：错误原因是将5x2

5x

2

这一项漏掉了.其实,多项式除以单项式,先把多项式各项分别

除以这个单项式,然后把所得的商相加,注意不能漏除.

错解二: 原式＝15x2y5x2

20x5x5x5x3y4x1.

4

2

2

2

2

剖析：错误原因是计算过程中将符号弄错了. 正解:原式=15x2y5x220x4

例7分解因式：(x+y)2+(x+y)+ 错解:原式= (x+y)( x+y+1)+

1

5x

2

5x

2

5x

2

3y4x

2

1

.

14

.

. 4

剖析:尽管结果的第一项是积的形式,但从整体上看还是和的形式.错因在于曲解了分解因式的意义,误认为只要结果中有整式的积即可,而忽视了整个结果必须是积的形式这一本质.

11

(x+y)+()2= (x+y+)2. 222

11

例8 分解因式：x2xyy2.

22222

错解:原式=x-2xy+y=(x-y).

正解: 原式= (x+y)2+2

1

剖析:错解是把解方程中去分母的方法“移植”到分解因式中, 张冠李戴,错误地把多项式中的每

1

一项都乘以2,破坏了变形的恒等性而致错.正确处理方法是把作为公因式提出来.

2

正解:原式=

12

(x2xyy)

2

2

2

2

2

12

(xy).

2

例9 分解因式：(x+4)-16x.

错解:原式= (x2+4)2-(4x ) 2=( x2+4+4x)( x2+4-4x).

剖析: 错因在于分解因式不彻底.因为结果中的两个因式都是完全平方式,还可以继续分解.所以错解由于半途而废,而导致“前功尽弃”.

正解:原式=( x2+4+4x)( x2+4-4x)=( x+2) 2 (x-2) 2.

温馨提醒：错误本身并不可怕，可怕的是自己犯了错还不知道自己错在哪儿．其实，错误与成功就像睡梦与清醒一样，当你从错误中醒来时，你已走向了成功！ 基础盘点

1．幂的运算主要包括四大类：（1）__________；（2）_____；（3）_______；（4）______.

2．幂的前三个基本性质是整式乘法的基础，整式的乘法包括：______；_______；________． 3.乘法公式是指____公式；_______公式.在乘法公式中，字母a，b都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的___，也可以取一个_____、一个_____或_____.

4.幂的除法是整式除法的基础，熟练进行单项式除法是学习多项式除以单项式的关键.

单项式除以单项式的法则：_________________________________；对于只在被除式里含有的字母，则________.

多项式除以单项式法则：____________________________________. 5.因式分解指的是_______________的形式.

因式分解的基本方法：1．_________；2.__________. 课堂检测

1．（2010年山东省）下列各式计算正确的是( )

A．x2·x3=x6 B．2x+3x=5x2 C．（x）=x D．x÷x=x

2.（2010年四川省）把代数式mx26mx9m分解因式，下列结果中正确的是（ ） A．m(x3)2 B．m(x3)(x3) C．m(x4)2 D．m(x3)2

3.太阳内部高温核聚变反应释放的辐射能功率为3.8103千瓦，到达地球的仅占20亿分之一，到达地球的辅射能功率为（ ） A．1.91014 千瓦 4.已知ab

32

2

3

6

6

2

3

B．2.01014 千瓦 C．7.61015 千瓦 15

D．1.910千瓦

，ab1，化简(a2)(b2)的结果是．

n

5. 已知10m2，则103m2n____________. 103，

6．（2010年云南）分解因式：3a2b4ab__________．

7．卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)约为7.9×103米/秒,则卫星运行3×102秒所走的路程约是多少?

8．已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值： （1）ab+ab ； （2）a+b． 跟踪训练

1．（2010年广西省）下列各式运算正确的是（ ） A.3a22a25a4 B.(a3)2a29

C.(a2)3a5

4

2

2

2

2

2

2

D.3a22a6a3

10

2．下列计算：①a(a)a；②x(xx)x；

4

7

329

2333425

③15(xy)(3xy)5xy，④(ab

23

19

ab)(

26

13

ab)

32

6ab1；

2

其中错误的有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

3．（2010年山东省）由m（a+b+c）=ma+mb+mc，可得：（a+b）（a2－ab+b2）=a3－a2b+ab2+a2b－ab2+b3=a3+b3，即（a+b）（a2－ab+b2）=a3+b3．① 我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式. 下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是（ ） ．．．A. （x+4y）（x2－4xy+16y2）=x3+64y3

2233

B. （2x+y）（4x－2xy+y）=8x+y C. （a+1）（a2＋a+1）=a3+1 D. x3+27=（x+3）（x2－3x+9）

4．（2010年新疆）利用1个aa的正方形，1个bb的正方形和2个ab的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式__________.

322

5.已知3xax3x1能被x1整除，且商式是3x1，则a= .

6.若5m6，5n2，则52mn1的值=________.

7．现有两张铁皮，长方形铁皮的长为x+2y，宽为x－2y（x－2y＞0）；正方形铁皮的边长为2（x－y）．现根据需要，要把两张铁皮焊接成一张长方形的铁皮，铁皮长为6x，请你求出新铁皮的宽． 8．给出三个多项式：

1

2

行加法运算，并把结果因式分解．

基础盘点：

x2x1，

2

12

x4x1，

2

12

2

x2x．请选择你最喜欢的两个多项式进

1．同底数幂乘法 幂的乘法 积的乘法 同底数幂的除法 2．单项式乘法 单项式乘多项式 多项式乘多项式

3．平方差 完全平方 数 字母 单项式 多项式

4．单项式除以单项式把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式 连同它的指数作为商的一个因式 多项式除以单项式把这个多项式的每一项除以这个单项式，然后把所得的商相加 5．把一个多项式分解为几个整式积 提取公因式 公式法 课堂检测：

1.C 2. D 3.A 4. 2 5. 72 6． ab(3a4) 7. 2.37×106米. 8．(1)6； (2)5 . 跟踪训练

1．D 2．B 3.C 4．a2abb(ab) 5． 1 6． 90 7.5x

4y.

2

2

2

63

8.答案不唯一，略.