正方形
第一课时
一、自主学习
● 目标导学
1、理解并掌握正方形的性质。2、通过自学、合作、交流培养自己分析问题解决问题的能力。 ● 自学生疑
1、口述矩形的性质，并用几何语言叙述矩形的性质。
2、口述菱形的性质，并用几何语言叙述菱形的性质。
3、正方形的定义4、正方形的性质
1) 边
2）角
3）对角线
4）对称性
二、合作学习
● 合作探究
【探究一】正方形的定义
1、正方形的定义：
2、正方形与矩形和菱形的关系是
【探究二】正方形的性质
1、归纳正方形的性质：边 角
对角线 对称性
2、用几何语言叙述正方形的性质：
【探究三】正方形的面积
练一练：
1、已知：如图，正方形ABCD 中，CM =CD ，MN ⊥AC ，连结CN ，则∠DCN =_____=____∠B ，∠MND =_______=_______∠
B.
2. 在正方形ABCD 中，AB =12 cm ，对角线AC 、BD 相交于O ，则△ABO 的周长是（ ）A.12+122 B.12+62 C.12+2 D.24+6
3、下面的命题是真命题的有 。
A 、有一组邻边相等的平行四边形是正方形。B 、有一组邻边相等且有一角为直角的四边形为正方形。C 、正方形是一组邻边相等的矩形。D 、正方形是有一个角为直角的菱形。
精讲精练
例1、在正方形ABCD 的边BC 的延长线上取一点E ，使CE=CA,连接AE 交CD 于F ，求 AFD 的度数。
变式：1、已知如下图，正方形ABCD 中，E 是CD 边上的一点，F 为BC 延长线上一点，CE =CF .
(1)求证：△BEC ≌△DFC ；(2)若∠BEC =60°，求∠EFD 的度数.
例2：如图，E 为正方形ABCD 的BC 边上的一点，CG 平分∠DCF ，连结AE ，并在CG 上取一点G ，使EG =AE . 求证：AE ⊥EG
.
例3、P 为正方形ABCD 内一点，PA =1，PB =2，PC =3，求∠APB 的度数
.
例4、（海南省）如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），
点E 在射线BC 上，且PE=PB.
（1）求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ；
（2）设AP =x , △PBE 的面积为y . 求出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； D
B
E
三、用中学习
1、如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作等边三角形ABE ，CE 与DB 相交于点F ，则 AFD = 。
2、（哈尔滨）若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，BE=3，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF=AE，则BM 的长为 。
3. 正方形的面积是1，则其对角线长是________. 3
4. E 为正方形ABCD 内一点，且△EBC 是等边三角形，求∠EAD 的度数
.
5、如图，正方形ABCD 与正方形OMNP 的边长均为10，点O 是正方形ABCD 的中心，正方形OMNP 绕O 点旋转，证明：无论正方形OMNP 旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．
6、（2008义乌）如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合) ，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针) 方向旋转任意角度 ，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立, 并选取图2证明你的判断．
7、（大连）（1）如图，已知正方形ABCD 和正方形CGEF （CG>BC），B 、C 、G 在同一直线上，M 为线段AE 的中点。探究：线段MD 、MF 的关系。
（2）若将正方形CGEF 绕点C 逆时针旋转45 ，使得正方形CGEF 对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上，M 为AE 的中点。试问：（1）中探究的结论是否还成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。
第二课时
一、自主学习
● 目标导学
1、理解并掌握正方形的判定方法。2、通过合作、探究、交流培养自己分析问题和解决问题的能力。
● 自学生疑
1、判定四边形为矩形的方法：（1）
（2）
（3）
2、判定四边形为菱形的方法：（1）
（2）
（3）
二、合作学习
● 合作探究
根据正方形的定义如何判定一个四边形为正方形？
练一练： 1．不能判定四边形是正方形的是（ ）
A ．对角线互相垂直且相等的四边形 B．对角线互相垂直的矩形
C ．对角线相等的菱形 D．对角线互相垂直平分且相等的四边形
2、（绵阳）四边形ABCD 的对角线相交于点O ，能判定它是正方形的条件是（
）
A ．AB=BC=CD=DA B．AO=CO，BO=DO，AC ⊥BD
C ．AC=BD，AC ⊥BD 且AC 、BD 互相平分 D．AB=BC，CD=DA
3、如图，已知四边形ABCD 是菱形，则只须补充条件：以判定四边形ABCD 是正方形．
● 精讲精练
例1、已知Rt ABC 中，∠C =90︒，CD 平分∠ACB , 交AB 于D ，DF//BC,DE//AC，求证：四边形DECF 为正方形。
例2、E 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，EF ⊥CD , EG ⊥AD , 垂足分别为F 、G ，求证：BE=FG。
例3：（淄博）已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为点E ，（1）求证：四边形ADCE 为矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．
N
例4、如图，△ABC 中，点O 是AC 边上一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于E ，交∠BCA 的外角平分线于点F .
(1)求证：EO =FO
(2)当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论.
(3) 当点O 运动到何处时，四边形AECF 是有可能是正方形？并证明你的结论
.
三、用中学习
1、判断:
（1）四条边都相等的四边形是正方形。（ ）
）
） （2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形。（ （3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形。（
（4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形。（ ）
2. 四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ）
A. OA =OB =OC =OD ，AC ⊥BD B.AB ∥CD ，AC =BD
C. AD ∥BC ，∠A =∠C D.OA =OC ，OB =OD ，AB =BC
3、（上海市）如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 是BD 延
长线上的点，且△ACE 是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD 是菱形；
（2）若∠AED =2∠EAD ，求证：四边形ABCD 是正方形．
E
A
B
拓展探究（平行四边形与特殊平行四边形的综合运用）
1、如图，正方形ABCD 中，E 、F 、G 分别是AD 、AB 、BC 上的点，且AE=FB=GC。试判断 EFG 的形状，并说明理由。
2、如图，在正方形ABCD 中，P 为BC 上一点，Q 为CD 上一点，(1)若PQ=BP+DQ，求∠PAQ 。
（2）若∠PAQ =45︒, 求证：PQ=BP+DQ.
3、如图，菱形ABCD 的边长为2，对角线BD=2，E 、F 分别是AD 、CD 上的动点，且满足AE+CF=2.（1）求证： BDE ≅ BCF .(2)判断 BEF 的形状。
4、如图， ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过点O 作直线MN//BC，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F 。（1）探究：线段OE 与OF 的数量关系，并加以证明；（2）当点O 在边AC 上运动时，四边形BCFE 会是菱形吗？若是，请证明；
若不是，请说明理由；（3）当点O 运动到何处，且 ABC 满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？
正方形
第一课时
一、自主学习
● 目标导学
1、理解并掌握正方形的性质。2、通过自学、合作、交流培养自己分析问题解决问题的能力。 ● 自学生疑
1、口述矩形的性质，并用几何语言叙述矩形的性质。
2、口述菱形的性质，并用几何语言叙述菱形的性质。
3、正方形的定义4、正方形的性质
1) 边
2）角
3）对角线
4）对称性
二、合作学习
● 合作探究
【探究一】正方形的定义
1、正方形的定义：
2、正方形与矩形和菱形的关系是
【探究二】正方形的性质
1、归纳正方形的性质：边 角
对角线 对称性
2、用几何语言叙述正方形的性质：
【探究三】正方形的面积
练一练：
1、已知：如图，正方形ABCD 中，CM =CD ，MN ⊥AC ，连结CN ，则∠DCN =_____=____∠B ，∠MND =_______=_______∠
B.
2. 在正方形ABCD 中，AB =12 cm ，对角线AC 、BD 相交于O ，则△ABO 的周长是（ ）A.12+122 B.12+62 C.12+2 D.24+6
3、下面的命题是真命题的有 。
A 、有一组邻边相等的平行四边形是正方形。B 、有一组邻边相等且有一角为直角的四边形为正方形。C 、正方形是一组邻边相等的矩形。D 、正方形是有一个角为直角的菱形。
精讲精练
例1、在正方形ABCD 的边BC 的延长线上取一点E ，使CE=CA,连接AE 交CD 于F ，求 AFD 的度数。
变式：1、已知如下图，正方形ABCD 中，E 是CD 边上的一点，F 为BC 延长线上一点，CE =CF .
(1)求证：△BEC ≌△DFC ；(2)若∠BEC =60°，求∠EFD 的度数.
例2：如图，E 为正方形ABCD 的BC 边上的一点，CG 平分∠DCF ，连结AE ，并在CG 上取一点G ，使EG =AE . 求证：AE ⊥EG
.
例3、P 为正方形ABCD 内一点，PA =1，PB =2，PC =3，求∠APB 的度数
.
例4、（海南省）如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），
点E 在射线BC 上，且PE=PB.
（1）求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ；
（2）设AP =x , △PBE 的面积为y . 求出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； D
B
E
三、用中学习
1、如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作等边三角形ABE ，CE 与DB 相交于点F ，则 AFD = 。
2、（哈尔滨）若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，BE=3，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF=AE，则BM 的长为 。
3. 正方形的面积是1，则其对角线长是________. 3
4. E 为正方形ABCD 内一点，且△EBC 是等边三角形，求∠EAD 的度数
.
5、如图，正方形ABCD 与正方形OMNP 的边长均为10，点O 是正方形ABCD 的中心，正方形OMNP 绕O 点旋转，证明：无论正方形OMNP 旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．
6、（2008义乌）如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合) ，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针) 方向旋转任意角度 ，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立, 并选取图2证明你的判断．
7、（大连）（1）如图，已知正方形ABCD 和正方形CGEF （CG>BC），B 、C 、G 在同一直线上，M 为线段AE 的中点。探究：线段MD 、MF 的关系。
（2）若将正方形CGEF 绕点C 逆时针旋转45 ，使得正方形CGEF 对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上，M 为AE 的中点。试问：（1）中探究的结论是否还成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。
第二课时
一、自主学习
● 目标导学
1、理解并掌握正方形的判定方法。2、通过合作、探究、交流培养自己分析问题和解决问题的能力。
● 自学生疑
1、判定四边形为矩形的方法：（1）
（2）
（3）
2、判定四边形为菱形的方法：（1）
（2）
（3）
二、合作学习
● 合作探究
根据正方形的定义如何判定一个四边形为正方形？
练一练： 1．不能判定四边形是正方形的是（ ）
A ．对角线互相垂直且相等的四边形 B．对角线互相垂直的矩形
C ．对角线相等的菱形 D．对角线互相垂直平分且相等的四边形
2、（绵阳）四边形ABCD 的对角线相交于点O ，能判定它是正方形的条件是（
）
A ．AB=BC=CD=DA B．AO=CO，BO=DO，AC ⊥BD
C ．AC=BD，AC ⊥BD 且AC 、BD 互相平分 D．AB=BC，CD=DA
3、如图，已知四边形ABCD 是菱形，则只须补充条件：以判定四边形ABCD 是正方形．
● 精讲精练
例1、已知Rt ABC 中，∠C =90︒，CD 平分∠ACB , 交AB 于D ，DF//BC,DE//AC，求证：四边形DECF 为正方形。
例2、E 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，EF ⊥CD , EG ⊥AD , 垂足分别为F 、G ，求证：BE=FG。
例3：（淄博）已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为点E ，（1）求证：四边形ADCE 为矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．
N
例4、如图，△ABC 中，点O 是AC 边上一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于E ，交∠BCA 的外角平分线于点F .
(1)求证：EO =FO
(2)当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论.
(3) 当点O 运动到何处时，四边形AECF 是有可能是正方形？并证明你的结论
.
三、用中学习
1、判断:
（1）四条边都相等的四边形是正方形。（ ）
）
） （2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形。（ （3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形。（
（4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形。（ ）
2. 四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ）
A. OA =OB =OC =OD ，AC ⊥BD B.AB ∥CD ，AC =BD
C. AD ∥BC ，∠A =∠C D.OA =OC ，OB =OD ，AB =BC
3、（上海市）如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 是BD 延
长线上的点，且△ACE 是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD 是菱形；
（2）若∠AED =2∠EAD ，求证：四边形ABCD 是正方形．
E
A
B
拓展探究（平行四边形与特殊平行四边形的综合运用）
1、如图，正方形ABCD 中，E 、F 、G 分别是AD 、AB 、BC 上的点，且AE=FB=GC。试判断 EFG 的形状，并说明理由。
2、如图，在正方形ABCD 中，P 为BC 上一点，Q 为CD 上一点，(1)若PQ=BP+DQ，求∠PAQ 。
（2）若∠PAQ =45︒, 求证：PQ=BP+DQ.
3、如图，菱形ABCD 的边长为2，对角线BD=2，E 、F 分别是AD 、CD 上的动点，且满足AE+CF=2.（1）求证： BDE ≅ BCF .(2)判断 BEF 的形状。
4、如图， ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过点O 作直线MN//BC，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F 。（1）探究：线段OE 与OF 的数量关系，并加以证明；（2）当点O 在边AC 上运动时，四边形BCFE 会是菱形吗？若是，请证明；
若不是，请说明理由；（3）当点O 运动到何处，且 ABC 满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？