曲线运动
一、曲线运动
（1）条件：质点所受合外力的方向（或加速度方向）跟它的速度方向不在同一直线上。
①匀变速曲线运动：若做曲线运动的物体受的是恒力，即加速度大小、方向都不变的曲线运动，如平抛运动；
②变加速曲线运动：若做曲线运动的物体所受的是变力，加速度改变，如匀速圆周运动。 （2）特点：
①曲线运动的速度方向不断变化，故曲线运动一定是变速运动。 ②曲线运动轨迹上某点的切线方向表示该点的速度方向。
③曲线运动的轨迹向合力所指一方弯曲，合力指向轨迹的凹侧。
④当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为锐角时，物体做曲线运动速率将增大；当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为钝角时，物体做曲线运动的速率将减小；当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为90度时，物体做曲线运动速率将不变。
2. 运动的合成与分解（指位移、速度、加速度三个物理量的合成和分解） （1）合运动和分运动关系：等时性、等效性、独立性、矢量性、相关性 ①等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动所需时间相等。
②等效性：合运动的效果和各分运动的整体效果是相同的，合运动和分运动是等效替代关系，不能并存。 ③独立性：每个分运动都是独立的，不受其他运动的影响
④矢量性：加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则 ⑤相关性：合运动的性质是由分运动性质决定的
（2）从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成；求已知运动的分运动，叫运动的分解。 ①物体的实际运动是合运动
②速度、时间、位移、加速度要一一对应
③如果分运动都在同一条直线上，需选取正方向，与正方向相同的量取正，相反的量取负，矢量运算简化为代数运算。如果分运动互成角度，运动合成要遵循平行四边形定则 3. 小船渡河问题
一条宽度为L 的河流，水流速度为V s ，船在静水中的速度为V c （1）渡河时间最短：
设船上头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量V 1=Vc sin θ, 渡河所需时间为：t =
L L
， sin90=1当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，t min =
V c sin θV c
（与水
速的大小无关） 渡河位移：s =
L 2+v s 2t 2
L
v sin θ
（2）渡河位移最短：
①当V c >Vs 时V s = Vc cos θ渡河位移最短s min =L ；渡河时间为t =
船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ=arccosVs /Vc
②当V c >Vs 时以V s 的矢尖为圆心，以V c 为半径画圆，当V 与圆相切时，α角最大，V c =Vs cos θ, 船头与河岸的夹角为：θ=arccosVc /Vs 。 渡河的最小位移：s =
L V
=s L
cos
θV c
船漂的最短距离为：x min =(V s -V c cos θ)
s L L
；渡河时间：t ==min 。
v c sin θv s sin θV c sin θ
4. 关联速度和绳（杆）端点速度分解
一根轻绳，沿绳的速度、位移、加速度的大小处处相等。 绳（杆）端点速度分解为沿绳的速度和垂直绳的速度。 如图有v A cos α=v B cos β
二、平抛运动：：将物体沿水平方向抛出，只在重力作用下的运动为平抛运动 1. 运动特点：（1）只受重力；（2）初速度与重力垂直。 2. 运动性质：平抛运动是初速度为零的匀变速曲线运动。
3. 处理方法：平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。 4. 基本规律：
（1）水平方向：匀速直线运动v x =v 0 x=vo t （2）竖直方向：自由落体运动v y =gt y =（3）合速度：v =
22
v x +v y tan θ=
12gt 2
v y v x
=
gt
（θ为合速度与水平方向的夹角） v o
（4）合位移：s =
x 2+y 2 tan α=
y g =⋅t （α为合位移与水平方向的夹角） x 2v o
（5）特点 ：①运动时间由高度决定t =
2h
，与v 0无关 g
②竖直方向自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立
5类平抛：当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，做类平抛运动（处理方式和平抛运动处理方式一样）
三、圆周运动
1. 描述述圆周运动物理量：
（1）线速度：做匀速圆周运动的物体所通过的弧长与所用的时间的比值（描述质点沿切线方向运动的快慢）
大小：v ＝ m/s
方向：某点线速度方向沿圆弧该点切线方向
（2）角速度：做匀速圆周运动的物体，连接物体与圆心的半径转过的圆心角与所用的时间的比值（描述质点绕圆心转动的快慢） 大小：ω=
s t
θ
t
矢量 单位：rad/s
（3）周期和转速 周期（T ）：做圆周运动物体一周所用的时间（s ） 转速（n ）：做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数（r/s r/min） （4）V 、ω、T 、n 的关系： ω=
2π2πr
=2πn ，v ＝
ωr ==2πnr T T
2. 向心力
（1）作用：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变速度的大小，向心力对做圆周运动的物体不做功。
v 22π
=m ω2r =m () 2r =m (2πn ) 2r =mv ω=ma 向 （2）大小：F 向=m r T
（3）方向：总是沿半径指向圆心，时刻在变化，即向心力是个变力．
说明: 向心力是按效果命名的力，不是某种性质的力，向心力可以由某一个力提供，也可以由几个力的合力提供，要根据物体受力的实际情况判定。 3. 向心加速度（描述线速度方向改变的快慢）
v 22π
=ω2r =() 2r =(2πn ) 2r =v ω （1）大小：a 向=r T
（2）方向：总是指向圆心，方向时刻在变化
4. 匀速圆周运动
（1）特点：线速度的大小恒定，角速度、周期和频率都是恒定不变的，向心加速度和向心力的大小也都是恒定不变的。.
（2）性质：匀速圆周运动是速度大小不变而速度方向时刻改变，加速度大小不变、方向时刻改变的变加速曲线运动。
（3）加速度和向心力：由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故仅存在向心加速度，因此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力。
（4）质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心． 5. 关联速度
①同轴转动的物体：各点角速度ω相等，而线速度v ＝ωr 与半径r 成正比 ②链条传动、齿轮传动、皮带传动（不打滑）：两轮边缘的各点线速度大小相等，而角速度ω＝v/r与半径r 成反比。
6. 向心运动和离心运动
提供的向心力等于所需要的向心力时物体做匀速圆周运动 提供的向心力大于所需要的向心力时物体做向心运动 提供的向心力小于所需要的向心力时物体做离心运动 7. 典型模型
（1）火车转弯：
v 2
如果车轮与铁轨间无挤压力，则向心力完全由重力和支持力提供mg tan α=m
r
v =gr tan α v增加，外轨挤压，如果v 减小，内轨挤压
（飞机转弯的向心力由升力和重力提供） （2）竖直面内圆周运动（非匀速圆周运动）
①无支撑物情况：绳栓小球和小球在圆内轨运动（弹力只能指向圆心）
小球机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。
2mv m
最低点：mg -
F 弹
=
R
2m v min
最高点：F 弹+m g =
R
过最高点临界条件：mg =
2mv 临
R
v 临=
gr v ≥gR 是过最高点条件
②有支撑物情况：杆栓小球和小球在圆双轨运动（弹力既能指向圆心又能背离圆心）
2mv m
最低点：mg -F 弹=
R 2m v min
最高点：F 弹+m g =
R
过最高点临界条件：F 弹=mg v 临=0 v ≥0是过最高点条件 当v >当v
gR 时物体受到的弹力必然是向下的 gR 时物体受到的弹力必然是向上的
当v =gR 时物体受到的弹力恰好为零。 （4）汽车过拱桥（弹力只能背离圆心）
2v min
最高点：mg -F N =m （汽车不平衡）
r
v 2
注：若最高点m g =m 即v =gr 时物体恰好做平抛运动。
r
（5）汽车过凹路（弹力只能指向圆心）
2v m
最低点：F N -mg =m （汽车不平衡）
r
万有引力定律 人造卫星
一、地心说和日心说
1. 地心说的内容：地球是宇宙中心，其他星球围绕地球做匀速圆周运动，地球不动。
2. 日心说的内容：太阳是宇宙的中心，其他行星围绕地球匀速圆周运动，太阳不动。日心说是波兰科学家天文学家哥白尼创立的。 3. 开普勒三定律
德国科学家开普勒在研究麦天文学家第谷资料时得出开普勒三定律
（1）所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。 （2）任何一个行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
32
（3）所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。即R ／T =k 二、万有引力定律
1. 内容：自然界任何两个物体之间都存在着相互作用的引力，两物体间的引力的大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比.
表达式：F ＝Ｇ
m 1m 2r 2
－1１
２
２
引力常量G ＝6.67×10Ｎ·ｍ/kg（英）卡文迪许扭秤测得“能称出地球质量的人”
2. 适用条件：①公式适用于质点间的相互作用②当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点③均匀球体可视为质点，r 为两球心间的距离
3. 万有引力遵守牛顿第三定律，即它们之间的引力总是大小相等、方向相反. 4. 万有引力和重力
重力是万有引力的一个分力，万有引力的另一个分力提供物体随地球自转时需要的向心力，
F 向=mr ω2物体跟地球自转的向心力随维度增大而减小，故物体的重力随纬度的变大而变大，即重力加
速度g 随纬度变大而变大。
m g =
GMm
物体的重力随高度的变高而减小，即重力加速度g 随高度的变高而减小。
(R +h ) 2
GMm
=m g 得黄金代换式gR 2=GM 2
R
不计地球自转时
5. 用万有引力定律分析天体的运动
（1）基本方法：①把天体运动近似看作匀速圆周运动②万有引力提供向心力
GMm v 22π22
=m =mr ω=mr () =ma 向=m g r 即2
r T r
（2）估算天体的质量和密度
4π24π2r 3Mm
①由G 2＝ｍ2r 得：Ｍ＝．
r T Gt 2
即只要测出环绕星体M 运转的一颗卫星运转的半径和周期，就可以计算出中心天体的质量。
M 433πr 3
由ρ=，V =πR 得：ρ=。R 为中心天体的星体半径 23
V 3GT R
当ｒ＝Ｒ时，即卫星是近地面卫星时，ρ=
3π
，由此可以测量天体的密度. GT 2
GMm gR 2
=m g 得M =② 由 R 2G
由ρ=
M 433g ，V =πR 得ρ= V 34πGR
三、人造卫星
1. 卫星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系
Mm v 2GM
（1）由G 2=m 得:v =即轨道半径越大，绕行速度越小
r r r
（2）由G
Mm GM 2
=m ωr 得：即轨道半径越大，绕行角速度越小 ω=23r r
（3）由
GM GMm
a ==ma 得：即轨道半径越大，绕行加速度越小 22
r r
GMm 2π2
=mr () 得：T =（4）由2
T r 4π2R 3
即轨道半径越大，绕行周期越大 GM
2. 三种宇宙速度
（1）第一宇宙速度：v １＝7.9ｋm/s是人造地球卫星的最小发射速度，最大绕行速度。 推导：
方法一：地球对卫星的万有引力提供卫星做圆周运动的向心力 由G
mM
R +h 2
v 2
得v ==m
R +h GM
=7. 9km/s R +h
方法二：在地面附近物体的重力近似地等于地球对物体的万有引力，重力就是卫星做圆周运动的向心力
v 2
由m g =m 得v =gR =7. 9km/s
R
（2）第二宇宙速度：v ２＝11.2km/s是物体挣脱地球的引力束缚需要的最小发射速度。 （3）第三宇宙速度：v ３＝16.7km/s是物体挣脱太阳的引力束缚需要的最小发射速度。 3. 近地卫星特点
（1）近地卫星的轨道半径r 可以近似地认为等于地球半径R （2）近地卫星的线速度大小为v 1=7.9km/s
3
（3）近地卫星的周期为T =5.06×10s=84min，是人造卫星中周期最小的。 4. 地球同步卫星（通信卫星）
所谓地球同步卫星是指相对于地面静止的人造卫星。 特点：
（1）只能定点在赤道正上方
（2）同步卫星的角速度、周期与地球自转的角速度、周期相同 （3）同步卫星距地面高度一定
2
GMT Mm 4π24由G 得h =-R =3. 6⨯10k m =m (R +h ) 222
4π(R +h ) T
5. 双星问题
两颗星角速度、周期相等，向心力均由两者间万有引力提供。
G
m 1m 2m 1m 222
=m ωr G =m ωr 2 r =r 1+r 2 11222
r r
（注：万有引力定律公式F =G
m 1m 22
中的r 指的是两个物体间的距离，F =m ωr 中的r ，对于椭圆轨2
r
道指的是曲率半径，对于圆轨道指的是圆半径。） 6. 卫星的超重和失重
（1）人造卫星中在发射阶段，尚未进入预定轨道的加速阶段，具有竖直向上的加速度，卫星内的所有物体处于超重状态，卫星与物体具有相同的加速度
(2)卫星进入轨道后正常运转时，卫星与物体处于完全失重
机械能
一、功
1. 功：功等于力和沿该力方向上的位移的乘积。
（1）做功的两个必要因素：力和物体在力的方向上的位移。
（2）公式：W ＝FScos θ（θ为F 与s 的夹角）适用恒力做功求解。单位：焦耳1J ＝1N ·m 。 （3）功是过程量，是力对空间的积累效应, 和位移、时间相对应。求功必须指明是“哪个力”“在哪个过程中”做的功。
（4）功是标量，没有方向，但有正负。正功表示动力做功，负功表示阻力做功，功的正负表示能的转移方向。
（5）由公式W=Fs cosθ求解两种处理办法：
①W 等于力F 乘以物体在力F 方向上的分位移scos θ, 即将物体的位移分解为沿F 方向上和垂直F 方向上的两个分位移s 1和s 2，则F 做的功W ＝Fs 1＝Fscos θ。
②W 等于力F 在位移s 方向上的分力Fcos θ乘以物体的位移s ，即将力F 分解为沿s 方向和垂直s 方向的两个分力F 1和F 2，则F 做功W=F1s ＝Fscos θ。
（6）功的物理含义：功是能量转化的量度，即：做功的过程是能量的一个转化过程，这个过程做了多少功，就有多少能量发生了转化．对物体做正功，物体的能量增加；对物体做负功，也称物体克服阻力做功，物体的能量减少。 2. 功的正负
（1）当0≤θ＜90时W ＞0，力对物体做正功，动力
（2）当θ=90时W ＝0，力对物体不做功
00
（3）当90＜θ≤180时W ＜0，力对物体做负功或说成物体克服这个力做正功，阻力 3. 合力功的计算
（1）用平行四边形定则求出合外力，再根据w ＝F 合scos θ计算功．注意θ应是合外力与位移s 间的夹角，且合力为恒力。
（2）分别求各个外力的功，再求各个外力功的代数和。 4. 变力做功问题
（1）将变力转化为恒力，再用W ＝Fscos θ计算
（2）滑动摩擦力、空气阻力等，在曲线运动或往返运动时，若变力F 大小不变，功等于力和路程的乘积 （3）作出变力F 随位移变化的图象，图象与位移轴所围均“面积”即为变力做的功 （4）根据动能定理或能量转化和守恒定律求变力做的功 5. 摩擦力的做功
（1）静摩擦力做功的特点
①静摩擦力可以做正功，可以做负功，也可以不做功。
②在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移（静摩擦力起着传递机械能的作用），而没有机械能转化为其他形式的能。
③相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做功的代数和总为零。 （2）滑动摩擦力做功的特点
①滑摩擦力可以做正功，可以做负功，也可以不做功。
②一对滑动摩擦力做功的过程中，能量的转化有两个方面：一是相互摩擦的物体之间机械能的转移；二是机械能转化为内能。
③相互摩擦的系统内，一对滑摩擦力所做功的代数和不为零，转化为内能值等于滑动摩擦力与相对位移的乘积Q F f s 相对。
二、功率：功跟完成这些功所用时间的比值叫做功率。功率是描述做功快慢的物理量。
（1）功率的定义式：P =
W
，所求出的功率是时间t 内的平均功率。 t
（2）功率的计算式：P=Fvcosθ，其中θ是力与速度间的夹角。
该公式有两种用法：①求某一时刻的瞬时功率。这时F 是该时刻的作用力大小，v 取瞬时值，对应的P 为F 在该时刻的瞬时功率；②当v 为某段位移（时间）内的平均速度时，则要求这段位移（时间）内F 必须为恒力，对应的P 为F 在该段时间内的平均功率。 （3）单位：瓦（w ），千瓦（kw ）
（4）额定功率：机器长时间正常运行时的最大输出功率。实际功率小于或等于额定功率。
（5）汽车的启动问题：当汽车从静止开始沿水平面加速运动时，有两种不同的加速过程，但分析时采用的基本公式都是P=Fv和F-f=ma ①以恒定功率启动
由公式P=Fv和F-f=ma知，由于P 恒定，随着v 的增大，F 必将减小，a 也必将减小，汽车做加速度不断减小的加速运动，直到F=f，a=0，这时v 达到最大值v m =P m =P m 。可见恒定功率的加速一定不是匀加速。
F f 这种加速过程发动机做的功只能用W=Pt计算，不能用W=Fs计算（因为F 为变力）。
12
加速度减小的加速运动：①v m =P m =P m ②P t -fs =mv m
2F f
②以恒定加速度启动
由公式P=Fv和F-f=ma知，由于F 恒定，所以a 恒定，汽车做匀加速运动，而随着v 的增大，P 也将不断增大，直到P 达到额定功率P m ，功率不能再增大了。这时匀加速运动结束，其最大速度为
P P
'=m
F f 率）。此后汽车功率恒定，随着v 的继续增大，F 必将减小，a 也必将减小，汽车做加速度不断减小的加速运动，直到F=f，a=0，这时v 达到最大值v m =P m =P m
F f
三、动能、势能、动能定理 1. 动能
（1）动能：物体由于运动而具有的能量叫动能。
表达式为：E k =
12
mv 。 2
（2）对动能的理解
①v 是瞬时速度。动能是一个状态量，它与物体的运动状态对应。
②动能是标量．它只有大小，没有方向，而且物体的动能总是大于等于零，不会出现负值。 ③动能是相对的，它与参照物的选取密切相关。高中研究动能时只能选地面为参考系。 2. 重力势能（E p ）：物体由于受到重力的作用，而具有的与其相对位置有关的能量叫做重力势能。
（2）表达式：E p ＝mgh （h 是重心相对于零势能面的高度） （3）相对性 ① 需要选取零势能面，一般选大地或整个过程的最低点为零势能面。 ②势能的正负和大小是相对于零势能面的，高速低于零势能面，重力势能为负值，高于零势能面，重力势能为正值，正负表示大小。
（4）系统性：重力势能是物体和地球共有的，一般说物体的重力势能。 （5）重力做功特点：①重力做功与路径无关，与初末位置的高度差有关。
②重力做正功，重力势能减小，重力做负功，重力势能增大，重力做的功等于重力势能变化量的负值即W G =-∆E p =E p 1-E p 2
3. 弹性势能（E p ）：发生形变的物体，在恢复原状时能够对外做功，因而具有能量，叫弹性势能，跟物体形变和材料有关。
（1）大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量越大劲度系数越大弹簧的弹性势能越大。E p =
12k x 2
（2）相对性：弹性势能一般取形变量x ＝0处为零势能点
（3）系统性：弹性势能属于系统所有，即由弹簧各部分组成的系统所共有，而与外界物体无关。 （4）弹力做功特点：①弹力做功与路径无关。
②弹力做正功，弹性势能减小，弹力做负功，弹性势能增大，弹力做的功等于弹性势能变化量的负值即W 弹=-∆E p
4. 动能定理
（1）内容：所有外力对物体做的总功(也叫合外力的功) 等于物体动能的变化量． （2）表达式：W 合=E k 2-E k 1=
1212mv 2-mv 1 22
（3）理解：
① “增量”是末动能减初动能．ΔE K ＞0表示动能增加，ΔE K ＜0表示动能减小．
②动能定理适用单个物体，对于物体系统尤其是具有相对运动的物体系统不能盲目的应用动能定理，原因是系统内所有内力做的总功不一定是零。
③各力位移相同时，可求合外力做的功，各力位移不同时，分别求力做功，然后求代数和． ④动能定理是标量式．功和动能都是标量，不能在某一个方向上应用动能定理。
⑤动能定理的表达式是在物体受恒力作用且做直线运动的情况下得出的。但动能定理适用于恒力、变力；适用于直线运动和曲线运动；适用于瞬间过程和时间长的过程。
⑥对动能定理中的位移与速度必须相对同一参照系，以地面为参考系。
⑦动能定理用来求初末速度、初末动能、合力、分力、功、合位移、分位移，但是除机车恒定功率启动情况一般不用动能定理求时间和加速度。 （4）应用动能定理解题的步骤
①确定研究对象和研究过程。动能定理的研究对象只能是单个物体，如果是系统，那么系统内的物体间不能有相对运动。
②对研究对象受力分析。（研究对象以外的物体施于研究对象的力都要分析，含重力）。 ③写出该过程中合外力做的功，或分别写出各个力做的功（注意功的正负）。 ④写出物体的初、末动能。按照动能定理列式求解。 四、机械能守恒定律
1. 内容：在只有重力（和系统内弹力）做功的情况下，物体的动能和势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。 2. 条件：
（1）对某一物体，若只有重力（或系统内弹力）做功，其他力不做功（或其他力做功的代数和为零），则该物体机械能守恒．
（2）对某一系统，物体间只有动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统和外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变为其他形式的能，则系统机械能守恒。
注：①竖直方向匀速直线运动和竖直方向匀速圆周运动机械能不守恒。
②对绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等除题目特别说明，必定有机械能损失，碰撞后两物体粘在一起的
过程中一定有机械能损失。
3. 机械能守恒定律的各种表达形式
（1）E 1=E 2 E k 1+E p 1=E k 2+E p 2需要选择重力势能的零势能面 （2）∆E p =-∆E k ∆E p 减=∆E k 增 （3）∆E A =-∆E B ∆E A 减=∆E B 增
4. 应用机械能守恒定律解题的基本步骤： （1）根据题意选取研究对象（物体或系统）。．
（2）明确研究对象的运动过程，分析对象在过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒。
（3）恰当地选取零势面，确定研究对象在过程中的始态和末态的机械能。
（4）根据机械能守恒定律的不同表达式列式方程，若选用了增（减）量表达式。 五、能量转化和守恒定律
能量既不能凭空产生，也不能凭空消失，它只能从一种形式的能转化为另一种形式的能，或者从一个物体转移到另一个物体，能的总量保持不变。
（1）某种形式的能的减少量，一定等于其他形式能的增加量． （2）某物体能量的减少量，一定等于其他物体能量的增加量． 六、功能关系
功是一种过程量，它和一段位移（一段时间）相对应；而能是一种状态量，它与某一时刻（某一位置）相对应。两者的单位是相同的（都是J ），但不能说功就是能，也不能说“功变成了能”。 做功的过程是能量转化的过程，功是能量转化的量度。
1. 物体动能的增量由外力做的总功来量度：W 外=ΔE k ，这就是动能定理。 2. 物体重力势能的增量由重力做的功来量度：W G = -ΔE P ，这就是势能定理。 3. 物体机械能的增量由重力以外的其他力做的功来量度：W 其它=ΔE 机，（W 其它表示除重力以外的其它力做的功），这就是机械能守恒定律。
4. 弹性势能的改变由弹力做功来完成
5. 一对互为作用力反作用力的摩擦力做的总功，用来量度该过程系统由于摩擦而减小的机械能，也就是系统增加的内能。Q =F f s 相对（s 为这两个物体间相对移动的位移）。
曲线运动
一、曲线运动
（1）条件：质点所受合外力的方向（或加速度方向）跟它的速度方向不在同一直线上。
①匀变速曲线运动：若做曲线运动的物体受的是恒力，即加速度大小、方向都不变的曲线运动，如平抛运动；
②变加速曲线运动：若做曲线运动的物体所受的是变力，加速度改变，如匀速圆周运动。 （2）特点：
①曲线运动的速度方向不断变化，故曲线运动一定是变速运动。 ②曲线运动轨迹上某点的切线方向表示该点的速度方向。
③曲线运动的轨迹向合力所指一方弯曲，合力指向轨迹的凹侧。
④当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为锐角时，物体做曲线运动速率将增大；当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为钝角时，物体做曲线运动的速率将减小；当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为90度时，物体做曲线运动速率将不变。
2. 运动的合成与分解（指位移、速度、加速度三个物理量的合成和分解） （1）合运动和分运动关系：等时性、等效性、独立性、矢量性、相关性 ①等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动所需时间相等。
②等效性：合运动的效果和各分运动的整体效果是相同的，合运动和分运动是等效替代关系，不能并存。 ③独立性：每个分运动都是独立的，不受其他运动的影响
④矢量性：加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则 ⑤相关性：合运动的性质是由分运动性质决定的
（2）从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成；求已知运动的分运动，叫运动的分解。 ①物体的实际运动是合运动
②速度、时间、位移、加速度要一一对应
③如果分运动都在同一条直线上，需选取正方向，与正方向相同的量取正，相反的量取负，矢量运算简化为代数运算。如果分运动互成角度，运动合成要遵循平行四边形定则 3. 小船渡河问题
一条宽度为L 的河流，水流速度为V s ，船在静水中的速度为V c （1）渡河时间最短：
设船上头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量V 1=Vc sin θ, 渡河所需时间为：t =
L L
， sin90=1当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，t min =
V c sin θV c
（与水
速的大小无关） 渡河位移：s =
L 2+v s 2t 2
L
v sin θ
（2）渡河位移最短：
①当V c >Vs 时V s = Vc cos θ渡河位移最短s min =L ；渡河时间为t =
船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ=arccosVs /Vc
②当V c >Vs 时以V s 的矢尖为圆心，以V c 为半径画圆，当V 与圆相切时，α角最大，V c =Vs cos θ, 船头与河岸的夹角为：θ=arccosVc /Vs 。 渡河的最小位移：s =
L V
=s L
cos
θV c
船漂的最短距离为：x min =(V s -V c cos θ)
s L L
；渡河时间：t ==min 。
v c sin θv s sin θV c sin θ
4. 关联速度和绳（杆）端点速度分解
一根轻绳，沿绳的速度、位移、加速度的大小处处相等。 绳（杆）端点速度分解为沿绳的速度和垂直绳的速度。 如图有v A cos α=v B cos β
二、平抛运动：：将物体沿水平方向抛出，只在重力作用下的运动为平抛运动 1. 运动特点：（1）只受重力；（2）初速度与重力垂直。 2. 运动性质：平抛运动是初速度为零的匀变速曲线运动。
3. 处理方法：平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。 4. 基本规律：
（1）水平方向：匀速直线运动v x =v 0 x=vo t （2）竖直方向：自由落体运动v y =gt y =（3）合速度：v =
22
v x +v y tan θ=
12gt 2
v y v x
=
gt
（θ为合速度与水平方向的夹角） v o
（4）合位移：s =
x 2+y 2 tan α=
y g =⋅t （α为合位移与水平方向的夹角） x 2v o
（5）特点 ：①运动时间由高度决定t =
2h
，与v 0无关 g
②竖直方向自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立
5类平抛：当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，做类平抛运动（处理方式和平抛运动处理方式一样）
三、圆周运动
1. 描述述圆周运动物理量：
（1）线速度：做匀速圆周运动的物体所通过的弧长与所用的时间的比值（描述质点沿切线方向运动的快慢）
大小：v ＝ m/s
方向：某点线速度方向沿圆弧该点切线方向
（2）角速度：做匀速圆周运动的物体，连接物体与圆心的半径转过的圆心角与所用的时间的比值（描述质点绕圆心转动的快慢） 大小：ω=
s t
θ
t
矢量 单位：rad/s
（3）周期和转速 周期（T ）：做圆周运动物体一周所用的时间（s ） 转速（n ）：做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数（r/s r/min） （4）V 、ω、T 、n 的关系： ω=
2π2πr
=2πn ，v ＝
ωr ==2πnr T T
2. 向心力
（1）作用：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变速度的大小，向心力对做圆周运动的物体不做功。
v 22π
=m ω2r =m () 2r =m (2πn ) 2r =mv ω=ma 向 （2）大小：F 向=m r T
（3）方向：总是沿半径指向圆心，时刻在变化，即向心力是个变力．
说明: 向心力是按效果命名的力，不是某种性质的力，向心力可以由某一个力提供，也可以由几个力的合力提供，要根据物体受力的实际情况判定。 3. 向心加速度（描述线速度方向改变的快慢）
v 22π
=ω2r =() 2r =(2πn ) 2r =v ω （1）大小：a 向=r T
（2）方向：总是指向圆心，方向时刻在变化
4. 匀速圆周运动
（1）特点：线速度的大小恒定，角速度、周期和频率都是恒定不变的，向心加速度和向心力的大小也都是恒定不变的。.
（2）性质：匀速圆周运动是速度大小不变而速度方向时刻改变，加速度大小不变、方向时刻改变的变加速曲线运动。
（3）加速度和向心力：由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故仅存在向心加速度，因此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力。
（4）质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心． 5. 关联速度
①同轴转动的物体：各点角速度ω相等，而线速度v ＝ωr 与半径r 成正比 ②链条传动、齿轮传动、皮带传动（不打滑）：两轮边缘的各点线速度大小相等，而角速度ω＝v/r与半径r 成反比。
6. 向心运动和离心运动
提供的向心力等于所需要的向心力时物体做匀速圆周运动 提供的向心力大于所需要的向心力时物体做向心运动 提供的向心力小于所需要的向心力时物体做离心运动 7. 典型模型
（1）火车转弯：
v 2
如果车轮与铁轨间无挤压力，则向心力完全由重力和支持力提供mg tan α=m
r
v =gr tan α v增加，外轨挤压，如果v 减小，内轨挤压
（飞机转弯的向心力由升力和重力提供） （2）竖直面内圆周运动（非匀速圆周运动）
①无支撑物情况：绳栓小球和小球在圆内轨运动（弹力只能指向圆心）
小球机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。
2mv m
最低点：mg -
F 弹
=
R
2m v min
最高点：F 弹+m g =
R
过最高点临界条件：mg =
2mv 临
R
v 临=
gr v ≥gR 是过最高点条件
②有支撑物情况：杆栓小球和小球在圆双轨运动（弹力既能指向圆心又能背离圆心）
2mv m
最低点：mg -F 弹=
R 2m v min
最高点：F 弹+m g =
R
过最高点临界条件：F 弹=mg v 临=0 v ≥0是过最高点条件 当v >当v
gR 时物体受到的弹力必然是向下的 gR 时物体受到的弹力必然是向上的
当v =gR 时物体受到的弹力恰好为零。 （4）汽车过拱桥（弹力只能背离圆心）
2v min
最高点：mg -F N =m （汽车不平衡）
r
v 2
注：若最高点m g =m 即v =gr 时物体恰好做平抛运动。
r
（5）汽车过凹路（弹力只能指向圆心）
2v m
最低点：F N -mg =m （汽车不平衡）
r
万有引力定律 人造卫星
一、地心说和日心说
1. 地心说的内容：地球是宇宙中心，其他星球围绕地球做匀速圆周运动，地球不动。
2. 日心说的内容：太阳是宇宙的中心，其他行星围绕地球匀速圆周运动，太阳不动。日心说是波兰科学家天文学家哥白尼创立的。 3. 开普勒三定律
德国科学家开普勒在研究麦天文学家第谷资料时得出开普勒三定律
（1）所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。 （2）任何一个行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
32
（3）所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。即R ／T =k 二、万有引力定律
1. 内容：自然界任何两个物体之间都存在着相互作用的引力，两物体间的引力的大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比.
表达式：F ＝Ｇ
m 1m 2r 2
－1１
２
２
引力常量G ＝6.67×10Ｎ·ｍ/kg（英）卡文迪许扭秤测得“能称出地球质量的人”
2. 适用条件：①公式适用于质点间的相互作用②当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点③均匀球体可视为质点，r 为两球心间的距离
3. 万有引力遵守牛顿第三定律，即它们之间的引力总是大小相等、方向相反. 4. 万有引力和重力
重力是万有引力的一个分力，万有引力的另一个分力提供物体随地球自转时需要的向心力，
F 向=mr ω2物体跟地球自转的向心力随维度增大而减小，故物体的重力随纬度的变大而变大，即重力加
速度g 随纬度变大而变大。
m g =
GMm
物体的重力随高度的变高而减小，即重力加速度g 随高度的变高而减小。
(R +h ) 2
GMm
=m g 得黄金代换式gR 2=GM 2
R
不计地球自转时
5. 用万有引力定律分析天体的运动
（1）基本方法：①把天体运动近似看作匀速圆周运动②万有引力提供向心力
GMm v 22π22
=m =mr ω=mr () =ma 向=m g r 即2
r T r
（2）估算天体的质量和密度
4π24π2r 3Mm
①由G 2＝ｍ2r 得：Ｍ＝．
r T Gt 2
即只要测出环绕星体M 运转的一颗卫星运转的半径和周期，就可以计算出中心天体的质量。
M 433πr 3
由ρ=，V =πR 得：ρ=。R 为中心天体的星体半径 23
V 3GT R
当ｒ＝Ｒ时，即卫星是近地面卫星时，ρ=
3π
，由此可以测量天体的密度. GT 2
GMm gR 2
=m g 得M =② 由 R 2G
由ρ=
M 433g ，V =πR 得ρ= V 34πGR
三、人造卫星
1. 卫星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系
Mm v 2GM
（1）由G 2=m 得:v =即轨道半径越大，绕行速度越小
r r r
（2）由G
Mm GM 2
=m ωr 得：即轨道半径越大，绕行角速度越小 ω=23r r
（3）由
GM GMm
a ==ma 得：即轨道半径越大，绕行加速度越小 22
r r
GMm 2π2
=mr () 得：T =（4）由2
T r 4π2R 3
即轨道半径越大，绕行周期越大 GM
2. 三种宇宙速度
（1）第一宇宙速度：v １＝7.9ｋm/s是人造地球卫星的最小发射速度，最大绕行速度。 推导：
方法一：地球对卫星的万有引力提供卫星做圆周运动的向心力 由G
mM
R +h 2
v 2
得v ==m
R +h GM
=7. 9km/s R +h
方法二：在地面附近物体的重力近似地等于地球对物体的万有引力，重力就是卫星做圆周运动的向心力
v 2
由m g =m 得v =gR =7. 9km/s
R
（2）第二宇宙速度：v ２＝11.2km/s是物体挣脱地球的引力束缚需要的最小发射速度。 （3）第三宇宙速度：v ３＝16.7km/s是物体挣脱太阳的引力束缚需要的最小发射速度。 3. 近地卫星特点
（1）近地卫星的轨道半径r 可以近似地认为等于地球半径R （2）近地卫星的线速度大小为v 1=7.9km/s
3
（3）近地卫星的周期为T =5.06×10s=84min，是人造卫星中周期最小的。 4. 地球同步卫星（通信卫星）
所谓地球同步卫星是指相对于地面静止的人造卫星。 特点：
（1）只能定点在赤道正上方
（2）同步卫星的角速度、周期与地球自转的角速度、周期相同 （3）同步卫星距地面高度一定
2
GMT Mm 4π24由G 得h =-R =3. 6⨯10k m =m (R +h ) 222
4π(R +h ) T
5. 双星问题
两颗星角速度、周期相等，向心力均由两者间万有引力提供。
G
m 1m 2m 1m 222
=m ωr G =m ωr 2 r =r 1+r 2 11222
r r
（注：万有引力定律公式F =G
m 1m 22
中的r 指的是两个物体间的距离，F =m ωr 中的r ，对于椭圆轨2
r
道指的是曲率半径，对于圆轨道指的是圆半径。） 6. 卫星的超重和失重
（1）人造卫星中在发射阶段，尚未进入预定轨道的加速阶段，具有竖直向上的加速度，卫星内的所有物体处于超重状态，卫星与物体具有相同的加速度
(2)卫星进入轨道后正常运转时，卫星与物体处于完全失重
机械能
一、功
1. 功：功等于力和沿该力方向上的位移的乘积。
（1）做功的两个必要因素：力和物体在力的方向上的位移。
（2）公式：W ＝FScos θ（θ为F 与s 的夹角）适用恒力做功求解。单位：焦耳1J ＝1N ·m 。 （3）功是过程量，是力对空间的积累效应, 和位移、时间相对应。求功必须指明是“哪个力”“在哪个过程中”做的功。
（4）功是标量，没有方向，但有正负。正功表示动力做功，负功表示阻力做功，功的正负表示能的转移方向。
（5）由公式W=Fs cosθ求解两种处理办法：
①W 等于力F 乘以物体在力F 方向上的分位移scos θ, 即将物体的位移分解为沿F 方向上和垂直F 方向上的两个分位移s 1和s 2，则F 做的功W ＝Fs 1＝Fscos θ。
②W 等于力F 在位移s 方向上的分力Fcos θ乘以物体的位移s ，即将力F 分解为沿s 方向和垂直s 方向的两个分力F 1和F 2，则F 做功W=F1s ＝Fscos θ。
（6）功的物理含义：功是能量转化的量度，即：做功的过程是能量的一个转化过程，这个过程做了多少功，就有多少能量发生了转化．对物体做正功，物体的能量增加；对物体做负功，也称物体克服阻力做功，物体的能量减少。 2. 功的正负
（1）当0≤θ＜90时W ＞0，力对物体做正功，动力
（2）当θ=90时W ＝0，力对物体不做功
00
（3）当90＜θ≤180时W ＜0，力对物体做负功或说成物体克服这个力做正功，阻力 3. 合力功的计算
（1）用平行四边形定则求出合外力，再根据w ＝F 合scos θ计算功．注意θ应是合外力与位移s 间的夹角，且合力为恒力。
（2）分别求各个外力的功，再求各个外力功的代数和。 4. 变力做功问题
（1）将变力转化为恒力，再用W ＝Fscos θ计算
（2）滑动摩擦力、空气阻力等，在曲线运动或往返运动时，若变力F 大小不变，功等于力和路程的乘积 （3）作出变力F 随位移变化的图象，图象与位移轴所围均“面积”即为变力做的功 （4）根据动能定理或能量转化和守恒定律求变力做的功 5. 摩擦力的做功
（1）静摩擦力做功的特点
①静摩擦力可以做正功，可以做负功，也可以不做功。
②在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移（静摩擦力起着传递机械能的作用），而没有机械能转化为其他形式的能。
③相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做功的代数和总为零。 （2）滑动摩擦力做功的特点
①滑摩擦力可以做正功，可以做负功，也可以不做功。
②一对滑动摩擦力做功的过程中，能量的转化有两个方面：一是相互摩擦的物体之间机械能的转移；二是机械能转化为内能。
③相互摩擦的系统内，一对滑摩擦力所做功的代数和不为零，转化为内能值等于滑动摩擦力与相对位移的乘积Q F f s 相对。
二、功率：功跟完成这些功所用时间的比值叫做功率。功率是描述做功快慢的物理量。
（1）功率的定义式：P =
W
，所求出的功率是时间t 内的平均功率。 t
（2）功率的计算式：P=Fvcosθ，其中θ是力与速度间的夹角。
该公式有两种用法：①求某一时刻的瞬时功率。这时F 是该时刻的作用力大小，v 取瞬时值，对应的P 为F 在该时刻的瞬时功率；②当v 为某段位移（时间）内的平均速度时，则要求这段位移（时间）内F 必须为恒力，对应的P 为F 在该段时间内的平均功率。 （3）单位：瓦（w ），千瓦（kw ）
（4）额定功率：机器长时间正常运行时的最大输出功率。实际功率小于或等于额定功率。
（5）汽车的启动问题：当汽车从静止开始沿水平面加速运动时，有两种不同的加速过程，但分析时采用的基本公式都是P=Fv和F-f=ma ①以恒定功率启动
由公式P=Fv和F-f=ma知，由于P 恒定，随着v 的增大，F 必将减小，a 也必将减小，汽车做加速度不断减小的加速运动，直到F=f，a=0，这时v 达到最大值v m =P m =P m 。可见恒定功率的加速一定不是匀加速。
F f 这种加速过程发动机做的功只能用W=Pt计算，不能用W=Fs计算（因为F 为变力）。
12
加速度减小的加速运动：①v m =P m =P m ②P t -fs =mv m
2F f
②以恒定加速度启动
由公式P=Fv和F-f=ma知，由于F 恒定，所以a 恒定，汽车做匀加速运动，而随着v 的增大，P 也将不断增大，直到P 达到额定功率P m ，功率不能再增大了。这时匀加速运动结束，其最大速度为
P P
'=m
F f 率）。此后汽车功率恒定，随着v 的继续增大，F 必将减小，a 也必将减小，汽车做加速度不断减小的加速运动，直到F=f，a=0，这时v 达到最大值v m =P m =P m
F f
三、动能、势能、动能定理 1. 动能
（1）动能：物体由于运动而具有的能量叫动能。
表达式为：E k =
12
mv 。 2
（2）对动能的理解
①v 是瞬时速度。动能是一个状态量，它与物体的运动状态对应。
②动能是标量．它只有大小，没有方向，而且物体的动能总是大于等于零，不会出现负值。 ③动能是相对的，它与参照物的选取密切相关。高中研究动能时只能选地面为参考系。 2. 重力势能（E p ）：物体由于受到重力的作用，而具有的与其相对位置有关的能量叫做重力势能。
（2）表达式：E p ＝mgh （h 是重心相对于零势能面的高度） （3）相对性 ① 需要选取零势能面，一般选大地或整个过程的最低点为零势能面。 ②势能的正负和大小是相对于零势能面的，高速低于零势能面，重力势能为负值，高于零势能面，重力势能为正值，正负表示大小。
（4）系统性：重力势能是物体和地球共有的，一般说物体的重力势能。 （5）重力做功特点：①重力做功与路径无关，与初末位置的高度差有关。
②重力做正功，重力势能减小，重力做负功，重力势能增大，重力做的功等于重力势能变化量的负值即W G =-∆E p =E p 1-E p 2
3. 弹性势能（E p ）：发生形变的物体，在恢复原状时能够对外做功，因而具有能量，叫弹性势能，跟物体形变和材料有关。
（1）大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量越大劲度系数越大弹簧的弹性势能越大。E p =
12k x 2
（2）相对性：弹性势能一般取形变量x ＝0处为零势能点
（3）系统性：弹性势能属于系统所有，即由弹簧各部分组成的系统所共有，而与外界物体无关。 （4）弹力做功特点：①弹力做功与路径无关。
②弹力做正功，弹性势能减小，弹力做负功，弹性势能增大，弹力做的功等于弹性势能变化量的负值即W 弹=-∆E p
4. 动能定理
（1）内容：所有外力对物体做的总功(也叫合外力的功) 等于物体动能的变化量． （2）表达式：W 合=E k 2-E k 1=
1212mv 2-mv 1 22
（3）理解：
① “增量”是末动能减初动能．ΔE K ＞0表示动能增加，ΔE K ＜0表示动能减小．
②动能定理适用单个物体，对于物体系统尤其是具有相对运动的物体系统不能盲目的应用动能定理，原因是系统内所有内力做的总功不一定是零。
③各力位移相同时，可求合外力做的功，各力位移不同时，分别求力做功，然后求代数和． ④动能定理是标量式．功和动能都是标量，不能在某一个方向上应用动能定理。
⑤动能定理的表达式是在物体受恒力作用且做直线运动的情况下得出的。但动能定理适用于恒力、变力；适用于直线运动和曲线运动；适用于瞬间过程和时间长的过程。
⑥对动能定理中的位移与速度必须相对同一参照系，以地面为参考系。
⑦动能定理用来求初末速度、初末动能、合力、分力、功、合位移、分位移，但是除机车恒定功率启动情况一般不用动能定理求时间和加速度。 （4）应用动能定理解题的步骤
①确定研究对象和研究过程。动能定理的研究对象只能是单个物体，如果是系统，那么系统内的物体间不能有相对运动。
②对研究对象受力分析。（研究对象以外的物体施于研究对象的力都要分析，含重力）。 ③写出该过程中合外力做的功，或分别写出各个力做的功（注意功的正负）。 ④写出物体的初、末动能。按照动能定理列式求解。 四、机械能守恒定律
1. 内容：在只有重力（和系统内弹力）做功的情况下，物体的动能和势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。 2. 条件：
（1）对某一物体，若只有重力（或系统内弹力）做功，其他力不做功（或其他力做功的代数和为零），则该物体机械能守恒．
（2）对某一系统，物体间只有动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统和外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变为其他形式的能，则系统机械能守恒。
注：①竖直方向匀速直线运动和竖直方向匀速圆周运动机械能不守恒。
②对绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等除题目特别说明，必定有机械能损失，碰撞后两物体粘在一起的
过程中一定有机械能损失。
3. 机械能守恒定律的各种表达形式
（1）E 1=E 2 E k 1+E p 1=E k 2+E p 2需要选择重力势能的零势能面 （2）∆E p =-∆E k ∆E p 减=∆E k 增 （3）∆E A =-∆E B ∆E A 减=∆E B 增
4. 应用机械能守恒定律解题的基本步骤： （1）根据题意选取研究对象（物体或系统）。．
（2）明确研究对象的运动过程，分析对象在过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒。
（3）恰当地选取零势面，确定研究对象在过程中的始态和末态的机械能。
（4）根据机械能守恒定律的不同表达式列式方程，若选用了增（减）量表达式。 五、能量转化和守恒定律
能量既不能凭空产生，也不能凭空消失，它只能从一种形式的能转化为另一种形式的能，或者从一个物体转移到另一个物体，能的总量保持不变。
（1）某种形式的能的减少量，一定等于其他形式能的增加量． （2）某物体能量的减少量，一定等于其他物体能量的增加量． 六、功能关系
功是一种过程量，它和一段位移（一段时间）相对应；而能是一种状态量，它与某一时刻（某一位置）相对应。两者的单位是相同的（都是J ），但不能说功就是能，也不能说“功变成了能”。 做功的过程是能量转化的过程，功是能量转化的量度。
1. 物体动能的增量由外力做的总功来量度：W 外=ΔE k ，这就是动能定理。 2. 物体重力势能的增量由重力做的功来量度：W G = -ΔE P ，这就是势能定理。 3. 物体机械能的增量由重力以外的其他力做的功来量度：W 其它=ΔE 机，（W 其它表示除重力以外的其它力做的功），这就是机械能守恒定律。
4. 弹性势能的改变由弹力做功来完成
5. 一对互为作用力反作用力的摩擦力做的总功，用来量度该过程系统由于摩擦而减小的机械能，也就是系统增加的内能。Q =F f s 相对（s 为这两个物体间相对移动的位移）。