71. 常用不等式：
（1）a , b ∈R ⇒a +b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“=”号) ．
2
2
a +b
≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号) ． 2
333
（3）a +b +c ≥3abc (a >0, b >0, c >0).
（2）a , b ∈
R ⇒
+
（4）柯西不等式
(a 2+b 2)(c 2+d 2) ≥(ac +bd ) 2, a , b , c , d ∈R .
（5）a -b ≤a +b ≤a +b . 72. 极值定理
已知x , y 都是正数，则有
（1）若积xy 是定值p ，则当x =y 时和x +y 有最小值2p ； （2）若和x +y 是定值s ，则当x =y 时积xy 有最大值推广 已知x , y ∈R ，则有(x +y ) =(x -y ) +2xy （1）若积xy 是定值, 则当|x -y |最大时, |x +y |最大； 当|x -y |最小时, |x +y |最小.
（2）若和|x +y |是定值, 则当|x -y |最大时, |xy |最小； 当|x -y |最小时, |xy |最大.
73. 一元二次不等式ax +bx +c >0(或0) ，如果a 与
2
2
12s . 4
22
ax 2+bx +c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2+bx +c 异号，则其解集在两根之
间. 简言之：同号两根之外，异号两根之间.
x 1x 2⇔(x -x 1)(x -x 2) >0(x 1
74. 含有绝对值的不等式 当a> 0时，有
x
2
x >a ⇔x 2>a 2⇔x >a 或x
75. 无理不等式 （1
（2
（3
⎧f (x ) ≥0⎪
>⇔⎨g (x ) ≥0 .
⎪f (x ) >g (x ) ⎩
⎧f (x ) ≥0
⎧f (x ) ≥0⎪
>g (x ) ⇔⎨g (x ) ≥0或⎨.
g (x ) [g (x )]2⎩
⎩
⎧f (x ) ≥0⎪
0.
⎪f (x )
76. 指数不等式与对数不等式 (1)当a >1时,
a f (x ) >a g (x ) ⇔f (x ) >g (x ) ;
⎧f (x ) >0⎪
log a f (x ) >log a g (x ) ⇔⎨g (x ) >0.
⎪f (x ) >g (x ) ⎩
(2)当0
a f (x ) >a g (x ) ⇔f (x )
⎧f (x ) >0⎪
log a f (x ) >log a g (x ) ⇔⎨g (x ) >0
⎪f (x )
77. 斜率公式
k =
y 2-y 1
（P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) ）.
x 2-x 1
78. 直线的五种方程
（1）点斜式 y -y 1=k (x -x 1) (直线l 过点P 1(x 1, y 1) ，且斜率为k ) ． （2）斜截式 y =kx +b (b为直线l 在y 轴上的截距).
y -y 1x -x 1
(y 1≠y 2)(P =1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) (x 1≠x 2)).
y 2-y 1x 2-x 1x y
(4)截距式 +=1(a 、b 分别为直线的横、纵截距，a 、b ≠0)
a b
（5）一般式 Ax +By +C =0(其中A 、B 不同时为0).
（3）两点式
79. 两条直线的平行和垂直
(1)若l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2 ①l 1||l 2⇔k 1=k 2, b 1≠b 2; ②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.
(2)若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0, 且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,
A 1B 1C 1
； =≠
A 2B 2C 2
②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0；
①l 1||l 2⇔80. 夹角公式
k 2-k 1
|.
1+k 2k 1
(l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2, k 1k 2≠-1)
A B -A 2B 1
|. (2)tan α=|12
A 1A 2+B 1B 2
(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0, A 1A 2+B 1B 2≠0).
(1)tan α=|
直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角是81. l 1到l 2的角公式
π. 2
k 2-k 1
.
1+k 2k 1
(l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2, k 1k 2≠-1)
(1)tan α=
A 1B 2-A 2B 1
.
A 1A 2+B 1B 2
(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0, A 1A 2+B 1B 2≠0).
(2)tan α=
直线l 1⊥l 2时，直线l 1到l 2的角是
π. 2
82．四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点P 0(x 0, y 0) 的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0) (除直线
x =x 0), 其中k 是待定的系数; 经过定点P 0(x 0, y 0) 的直线系方程为A (x -x 0) +B (y -y 0) =0, 其中A , B 是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为(A 1x +B 1y +C 1) +λ(A 2x +B 2y +C 2) =0(除l 2) ，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线y =kx +b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠0) ，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0 (A≠0，B ≠0) 垂直的直线系方程是
Bx -Ay +λ=0, λ是参变量．
83. 点到直线的距离
84. Ax +By +C >0或
设直线l :Ax +By +C =0，则Ax +By +C >0或
若B =0，当A 与Ax +By +C 同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax +By +C 异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之, 同号在右, 异号在左.
85. (A 1x +B 1y +C 1)(A 2x +B 2y +C 2) >0或
(A 1x +B 1y +C 1)(A 2x +B 2y +C 2) >0或0所表示的平面区域上下两部分； (A 1x +B 1y +C 1)(A 2x +B 2y +C 2)
86. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 (x -a ) +(y -b ) =r .
（2）圆的一般方程 x +y +Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F ＞0). （3）圆的参数方程 ⎨
2
22
2
2
d =
(点P (x 0, y 0) , 直线l ：Ax +By +C =0).
⎧x =a +r cos θ
.
⎩y =b +r sin θ
0圆的直径的端点是（4）圆的直径式方程 (x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) =(A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) ).
87. 圆系方程
(1)过点A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2) 的圆系方程是
(x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) +λ[(x -x 1)(y 1-y 2) -(y -y 1)(x 1-x 2)]=0 ⇔(x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) +λ(ax +by +c ) =0, 其中a x +b y +c =0是直线AB 的方程, λ是待定的系数．
(2)过直线l :Ax +By +C =0与圆C :x +y +Dx +Ey +F =0的交点的圆系方程是x +y +Dx +Ey +F +λ(Ax +By +C ) =0, λ是待定的系数．
(3) 过圆C 1:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0与圆C 2:x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0的交点的圆系方程是x +y +D 1x +E 1y +F 1+λ(x +y +D 2x +E 2y +F 2) =0, λ是待定的系数．
88. 点与圆的位置关系
点P (x 0, y 0) 与圆(x -a ) +(y -b ) =r 的位置关系有三种
若d =
2
2
2
2
2
2
2
22
22
d >r ⇔点P 在圆外; d =r ⇔点P 在圆上; d
89. 直线与圆的位置关系
直线Ax +By +C =0与圆(x -a ) +(y -b ) =r 的位置关系有三种:
2
2
2
d >r ⇔相离⇔∆0.
Aa +Bb +C
其中d =.
22A +B
90. 两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，O 1O 2=d
d >r 1+r 2⇔外离⇔4条公切线; d =r 1+r 2⇔外切⇔3条公切线;
r 1-r 2
91. 圆的切线方程
(1)已知圆x +y +Dx +Ey +F =0．
①若已知切点(x 0, y 0) 在圆上，则切线只有一条，其方程是
2
2
D (x 0+x ) E (y 0+y )
++F =0. 22
D (x 0+x ) E (y 0+y )
当(x 0, y 0) 圆外时, x 0x +y 0y +++F =0表示过两个切点
22
x 0x +y 0y +
的切点弦方程．
②过圆外一点的切线方程可设为y -y 0=k (x -x 0) ，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．
③斜率为k 的切线方程可设为y =kx +b ，再利用相切条件求b ，必有两条切线．
(2)已知圆x +y =r ．
①过圆上的P 0(x 0, y 0) 点的切线方程为x 0x +y 0y =r ; ②斜率为k
的圆的切线方程为y =kx ±109．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行；
222
2
（4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.
110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.
111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.
112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；
（3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.
115. 空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．
(2)加法结合律：(a ＋b ) ＋c =a ＋(b ＋c ) ． (3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ．
116. 平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.
117. 共线向量定理
对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．
P 、A 、B 三点共线⇔AP ||AB ⇔AP =t AB ⇔OP =(1-t ) OA +tOB .
AB ||CD ⇔AB 、CD 共线且AB 、CD 不共线⇔AB =tCD 且AB 、CD 不共线.
推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对x , y , 使MP =xMA +yMB ，
或对空间任一定点O ，有序实数对x , y ，使OP =OM +xMA +yMB .
119. 对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP =xOA +yOB +zOC （x +y +z =k ），则当k =1时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当k ≠1时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共
面．
118. 共面向量定理
向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对x , y , 使p =ax +by ．
A 、B 、 C、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD =xAB +y AC ⇔
OD =(1-x -y ) OA +xOB +yOC （O ∉平面ABC ）.
120. 空间向量基本定理
如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．
数x ，y ，z ，使OP =xOA +yOB +zOC .
121. 射影公式
推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实
已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量. 作A 点在l 上的射影A ' ，作B 点在l 上的射影B ' ，则
' '
A B =|AB |cos 〈a ，e 〉=a ·e
122. 向量的直角坐标运算
设a ＝(a 1, a 2, a 3) ，b ＝(b 1, b 2, b 3) 则 (1)a ＋b ＝(a 1+b 1, a 2+b 2, a 3+b 3) ； (2)a －b ＝(a 1-b 1, a 2-b 2, a 3-b 3) ； (3)λa ＝(λa 1, λa 2, λa 3) (λ∈R) ； (4)a ·b ＝a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3； 123. 设A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ，则 124．空间的线线平行或垂直
AB =OB -OA = (x 2-x 1, y 2-y 1, z 2-z 1) .
r r
设a =(x 1, y 1, z 1) ，b =(x 2, y 2, z 2) ，则
⎧x 1=λx 2
r r r r r r ⎪
a P b ⇔a =λb (b ≠0) ⇔⎨y 1=λy 2；
⎪z =λz
2⎩1
r r r r
a ⊥b ⇔a ⋅b =0⇔x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2=0.
125. 夹角公式
设a ＝(a 1, a 2, a 3) ，b ＝(b 1, b 2, b 3) ，则 cos 〈a ，b 〉
2
2
2
.
2
2
2
推论 (a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3) ≤(a 1+a 2+a 3)(b 1+b 2+b 3) ，此即三维柯西不等式. 126. 四面体的对棱所成的角
四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ, 则
2
|(AB 2+CD 2) -(BC 2+DA 2) |
cos θ=.
2AC ⋅BD
r r
cos θ=|cos a , b |
r r
|a ⋅b |
= =
|a |⋅|b |r o o
（其中θ（0
128. 直线AB 与平面所成角
AB ⋅m β=arc sin (m 为平面α的法向量). |AB ||m |
129. 若∆ABC 所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ, 另两边AC , BC 与平面
127．异面直线所成角
α成的角分别是θ1、θ2, A 、B 为∆ABC 的两个内角，则
sin 2θ1+sin 2θ2=(sin2A +sin 2B )sin 2θ.
特别地, 当∠ACB =90时, 有
sin 2θ1+sin 2θ2=sin 2θ.
130. 若∆ABC 所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ, 另两边AC , BC 与平面α
成的角分别是θ1、θ2, A ' 、B ' 为∆ABO 的两个内角，则
tan 2θ1+tan 2θ2=(sin2A ' +sin 2B ' ) tan 2θ.
特别地, 当∠AOB =90时, 有
sin 2θ1+sin 2θ2=sin 2θ. 131. 二面角α-l -β的平面角
m ⋅n m ⋅n
θ=arc cos 或π-arc cos （m ，n 为平面α，β的法向量）.
|m ||n ||m ||n |
132. 三余弦定理
设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为θ1，AB 与AC 所成的角为θ2，AO 与AC 所成的角为θ．则cos θ=cos θ1cos θ2.
133. 三射线定理
若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是θ1, θ2, 与二面角的棱所成的角是θ，则有sin ϕsin θ=sin θ1+sin θ2-2sin θ1sin θ2cos ϕ ;
2
2
2
2
|θ1-θ2|≤ϕ≤180 -(θ1+θ2) (当且仅当θ=90 时等号成立).
134. 空间两点间的距离公式
若A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ，则 135. 点Q 到直线l 距离
d
A , B =|AB |==.
h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a =PA ，向量
b =PQ ).
136. 异面直线间的距离
|CD ⋅n |
d =(l 1, l 2是两异面直线，其公垂向量为n ，C 、D 分别是l 1, l 2上任一点，d 为|n |
l 1, l 2间的距离).
137. 点B 到平面α的距离
|AB ⋅n | d =（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A ∈α）. |n |
138. 异面直线上两点距离公式
d =
.
d =d =ϕ=E -AA ' -F ）.
(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段AA 的长度为h. 在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，A E =m , AF =n , EF =d ).
'
'
139.三个向量和的平方公式
2 2 2 2 (a +b +c ) =a +b +c +2a ⋅b +2b ⋅c +2c ⋅a
2 2 2 =a +b +c +2|a |⋅|b |cos a , b +2|b |⋅|c |cos b , c +2|c |⋅|a |cos c , a
140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l 1、l 2、l 3，夹角分
别为θ1、θ2、θ3, 则有
l 2=l 12+l 22+l 32⇔cos 2θ1+cos 2θ2+cos 2θ3=1⇔sin 2θ1+sin 2θ2+sin 2θ3=2.
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.
141. 面积射影定理
S '
. S =
cos θ
(平面多边形及其射影的面积分别是S 、S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). 142. 斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的侧棱长是l , 侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱, 它的直截面的周长和面积分别是c 1和S 1, 则
①S 斜棱柱侧=c 1l . ②V 斜棱柱=S 1l .
143．作截面的依据
三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．
145. 欧拉定理(欧拉公式)
V +F -E =2(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).
（1）E =各面多边形边数和的一半. 特别地, 若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：E =
'
1
nF ； 2
1
mV . 2
（2）若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：E =146. 球的半径是R ，则
43πR , 3
2
其表面积S =4πR ．
其体积V =
147. 球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:
棱长为a
的正四面体的内切球的半径为148．柱体、锥体的体积
,
外接球的半径为. 124
1
V 柱体=Sh （S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.
31
V 锥体=Sh （S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.
3
71. 常用不等式：
（1）a , b ∈R ⇒a +b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“=”号) ．
2
2
a +b
≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号) ． 2
333
（3）a +b +c ≥3abc (a >0, b >0, c >0).
（2）a , b ∈
R ⇒
+
（4）柯西不等式
(a 2+b 2)(c 2+d 2) ≥(ac +bd ) 2, a , b , c , d ∈R .
（5）a -b ≤a +b ≤a +b . 72. 极值定理
已知x , y 都是正数，则有
（1）若积xy 是定值p ，则当x =y 时和x +y 有最小值2p ； （2）若和x +y 是定值s ，则当x =y 时积xy 有最大值推广 已知x , y ∈R ，则有(x +y ) =(x -y ) +2xy （1）若积xy 是定值, 则当|x -y |最大时, |x +y |最大； 当|x -y |最小时, |x +y |最小.
（2）若和|x +y |是定值, 则当|x -y |最大时, |xy |最小； 当|x -y |最小时, |xy |最大.
73. 一元二次不等式ax +bx +c >0(或0) ，如果a 与
2
2
12s . 4
22
ax 2+bx +c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2+bx +c 异号，则其解集在两根之
间. 简言之：同号两根之外，异号两根之间.
x 1x 2⇔(x -x 1)(x -x 2) >0(x 1
74. 含有绝对值的不等式 当a> 0时，有
x
2
x >a ⇔x 2>a 2⇔x >a 或x
75. 无理不等式 （1
（2
（3
⎧f (x ) ≥0⎪
>⇔⎨g (x ) ≥0 .
⎪f (x ) >g (x ) ⎩
⎧f (x ) ≥0
⎧f (x ) ≥0⎪
>g (x ) ⇔⎨g (x ) ≥0或⎨.
g (x ) [g (x )]2⎩
⎩
⎧f (x ) ≥0⎪
0.
⎪f (x )
76. 指数不等式与对数不等式 (1)当a >1时,
a f (x ) >a g (x ) ⇔f (x ) >g (x ) ;
⎧f (x ) >0⎪
log a f (x ) >log a g (x ) ⇔⎨g (x ) >0.
⎪f (x ) >g (x ) ⎩
(2)当0
a f (x ) >a g (x ) ⇔f (x )
⎧f (x ) >0⎪
log a f (x ) >log a g (x ) ⇔⎨g (x ) >0
⎪f (x )
77. 斜率公式
k =
y 2-y 1
（P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) ）.
x 2-x 1
78. 直线的五种方程
（1）点斜式 y -y 1=k (x -x 1) (直线l 过点P 1(x 1, y 1) ，且斜率为k ) ． （2）斜截式 y =kx +b (b为直线l 在y 轴上的截距).
y -y 1x -x 1
(y 1≠y 2)(P =1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) (x 1≠x 2)).
y 2-y 1x 2-x 1x y
(4)截距式 +=1(a 、b 分别为直线的横、纵截距，a 、b ≠0)
a b
（5）一般式 Ax +By +C =0(其中A 、B 不同时为0).
（3）两点式
79. 两条直线的平行和垂直
(1)若l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2 ①l 1||l 2⇔k 1=k 2, b 1≠b 2; ②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.
(2)若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0, 且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,
A 1B 1C 1
； =≠
A 2B 2C 2
②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0；
①l 1||l 2⇔80. 夹角公式
k 2-k 1
|.
1+k 2k 1
(l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2, k 1k 2≠-1)
A B -A 2B 1
|. (2)tan α=|12
A 1A 2+B 1B 2
(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0, A 1A 2+B 1B 2≠0).
(1)tan α=|
直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角是81. l 1到l 2的角公式
π. 2
k 2-k 1
.
1+k 2k 1
(l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2, k 1k 2≠-1)
(1)tan α=
A 1B 2-A 2B 1
.
A 1A 2+B 1B 2
(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0, A 1A 2+B 1B 2≠0).
(2)tan α=
直线l 1⊥l 2时，直线l 1到l 2的角是
π. 2
82．四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点P 0(x 0, y 0) 的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0) (除直线
x =x 0), 其中k 是待定的系数; 经过定点P 0(x 0, y 0) 的直线系方程为A (x -x 0) +B (y -y 0) =0, 其中A , B 是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为(A 1x +B 1y +C 1) +λ(A 2x +B 2y +C 2) =0(除l 2) ，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线y =kx +b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠0) ，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0 (A≠0，B ≠0) 垂直的直线系方程是
Bx -Ay +λ=0, λ是参变量．
83. 点到直线的距离
84. Ax +By +C >0或
设直线l :Ax +By +C =0，则Ax +By +C >0或
若B =0，当A 与Ax +By +C 同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax +By +C 异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之, 同号在右, 异号在左.
85. (A 1x +B 1y +C 1)(A 2x +B 2y +C 2) >0或
(A 1x +B 1y +C 1)(A 2x +B 2y +C 2) >0或0所表示的平面区域上下两部分； (A 1x +B 1y +C 1)(A 2x +B 2y +C 2)
86. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 (x -a ) +(y -b ) =r .
（2）圆的一般方程 x +y +Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F ＞0). （3）圆的参数方程 ⎨
2
22
2
2
d =
(点P (x 0, y 0) , 直线l ：Ax +By +C =0).
⎧x =a +r cos θ
.
⎩y =b +r sin θ
0圆的直径的端点是（4）圆的直径式方程 (x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) =(A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) ).
87. 圆系方程
(1)过点A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2) 的圆系方程是
(x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) +λ[(x -x 1)(y 1-y 2) -(y -y 1)(x 1-x 2)]=0 ⇔(x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) +λ(ax +by +c ) =0, 其中a x +b y +c =0是直线AB 的方程, λ是待定的系数．
(2)过直线l :Ax +By +C =0与圆C :x +y +Dx +Ey +F =0的交点的圆系方程是x +y +Dx +Ey +F +λ(Ax +By +C ) =0, λ是待定的系数．
(3) 过圆C 1:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0与圆C 2:x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0的交点的圆系方程是x +y +D 1x +E 1y +F 1+λ(x +y +D 2x +E 2y +F 2) =0, λ是待定的系数．
88. 点与圆的位置关系
点P (x 0, y 0) 与圆(x -a ) +(y -b ) =r 的位置关系有三种
若d =
2
2
2
2
2
2
2
22
22
d >r ⇔点P 在圆外; d =r ⇔点P 在圆上; d
89. 直线与圆的位置关系
直线Ax +By +C =0与圆(x -a ) +(y -b ) =r 的位置关系有三种:
2
2
2
d >r ⇔相离⇔∆0.
Aa +Bb +C
其中d =.
22A +B
90. 两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，O 1O 2=d
d >r 1+r 2⇔外离⇔4条公切线; d =r 1+r 2⇔外切⇔3条公切线;
r 1-r 2
91. 圆的切线方程
(1)已知圆x +y +Dx +Ey +F =0．
①若已知切点(x 0, y 0) 在圆上，则切线只有一条，其方程是
2
2
D (x 0+x ) E (y 0+y )
++F =0. 22
D (x 0+x ) E (y 0+y )
当(x 0, y 0) 圆外时, x 0x +y 0y +++F =0表示过两个切点
22
x 0x +y 0y +
的切点弦方程．
②过圆外一点的切线方程可设为y -y 0=k (x -x 0) ，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．
③斜率为k 的切线方程可设为y =kx +b ，再利用相切条件求b ，必有两条切线．
(2)已知圆x +y =r ．
①过圆上的P 0(x 0, y 0) 点的切线方程为x 0x +y 0y =r ; ②斜率为k
的圆的切线方程为y =kx ±109．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行；
222
2
（4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.
110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.
111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.
112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；
（3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.
115. 空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．
(2)加法结合律：(a ＋b ) ＋c =a ＋(b ＋c ) ． (3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ．
116. 平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.
117. 共线向量定理
对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．
P 、A 、B 三点共线⇔AP ||AB ⇔AP =t AB ⇔OP =(1-t ) OA +tOB .
AB ||CD ⇔AB 、CD 共线且AB 、CD 不共线⇔AB =tCD 且AB 、CD 不共线.
推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对x , y , 使MP =xMA +yMB ，
或对空间任一定点O ，有序实数对x , y ，使OP =OM +xMA +yMB .
119. 对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP =xOA +yOB +zOC （x +y +z =k ），则当k =1时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当k ≠1时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共
面．
118. 共面向量定理
向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对x , y , 使p =ax +by ．
A 、B 、 C、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD =xAB +y AC ⇔
OD =(1-x -y ) OA +xOB +yOC （O ∉平面ABC ）.
120. 空间向量基本定理
如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．
数x ，y ，z ，使OP =xOA +yOB +zOC .
121. 射影公式
推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实
已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量. 作A 点在l 上的射影A ' ，作B 点在l 上的射影B ' ，则
' '
A B =|AB |cos 〈a ，e 〉=a ·e
122. 向量的直角坐标运算
设a ＝(a 1, a 2, a 3) ，b ＝(b 1, b 2, b 3) 则 (1)a ＋b ＝(a 1+b 1, a 2+b 2, a 3+b 3) ； (2)a －b ＝(a 1-b 1, a 2-b 2, a 3-b 3) ； (3)λa ＝(λa 1, λa 2, λa 3) (λ∈R) ； (4)a ·b ＝a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3； 123. 设A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ，则 124．空间的线线平行或垂直
AB =OB -OA = (x 2-x 1, y 2-y 1, z 2-z 1) .
r r
设a =(x 1, y 1, z 1) ，b =(x 2, y 2, z 2) ，则
⎧x 1=λx 2
r r r r r r ⎪
a P b ⇔a =λb (b ≠0) ⇔⎨y 1=λy 2；
⎪z =λz
2⎩1
r r r r
a ⊥b ⇔a ⋅b =0⇔x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2=0.
125. 夹角公式
设a ＝(a 1, a 2, a 3) ，b ＝(b 1, b 2, b 3) ，则 cos 〈a ，b 〉
2
2
2
.
2
2
2
推论 (a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3) ≤(a 1+a 2+a 3)(b 1+b 2+b 3) ，此即三维柯西不等式. 126. 四面体的对棱所成的角
四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ, 则
2
|(AB 2+CD 2) -(BC 2+DA 2) |
cos θ=.
2AC ⋅BD
r r
cos θ=|cos a , b |
r r
|a ⋅b |
= =
|a |⋅|b |r o o
（其中θ（0
128. 直线AB 与平面所成角
AB ⋅m β=arc sin (m 为平面α的法向量). |AB ||m |
129. 若∆ABC 所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ, 另两边AC , BC 与平面
127．异面直线所成角
α成的角分别是θ1、θ2, A 、B 为∆ABC 的两个内角，则
sin 2θ1+sin 2θ2=(sin2A +sin 2B )sin 2θ.
特别地, 当∠ACB =90时, 有
sin 2θ1+sin 2θ2=sin 2θ.
130. 若∆ABC 所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ, 另两边AC , BC 与平面α
成的角分别是θ1、θ2, A ' 、B ' 为∆ABO 的两个内角，则
tan 2θ1+tan 2θ2=(sin2A ' +sin 2B ' ) tan 2θ.
特别地, 当∠AOB =90时, 有
sin 2θ1+sin 2θ2=sin 2θ. 131. 二面角α-l -β的平面角
m ⋅n m ⋅n
θ=arc cos 或π-arc cos （m ，n 为平面α，β的法向量）.
|m ||n ||m ||n |
132. 三余弦定理
设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为θ1，AB 与AC 所成的角为θ2，AO 与AC 所成的角为θ．则cos θ=cos θ1cos θ2.
133. 三射线定理
若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是θ1, θ2, 与二面角的棱所成的角是θ，则有sin ϕsin θ=sin θ1+sin θ2-2sin θ1sin θ2cos ϕ ;
2
2
2
2
|θ1-θ2|≤ϕ≤180 -(θ1+θ2) (当且仅当θ=90 时等号成立).
134. 空间两点间的距离公式
若A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ，则 135. 点Q 到直线l 距离
d
A , B =|AB |==.
h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a =PA ，向量
b =PQ ).
136. 异面直线间的距离
|CD ⋅n |
d =(l 1, l 2是两异面直线，其公垂向量为n ，C 、D 分别是l 1, l 2上任一点，d 为|n |
l 1, l 2间的距离).
137. 点B 到平面α的距离
|AB ⋅n | d =（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A ∈α）. |n |
138. 异面直线上两点距离公式
d =
.
d =d =ϕ=E -AA ' -F ）.
(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段AA 的长度为h. 在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，A E =m , AF =n , EF =d ).
'
'
139.三个向量和的平方公式
2 2 2 2 (a +b +c ) =a +b +c +2a ⋅b +2b ⋅c +2c ⋅a
2 2 2 =a +b +c +2|a |⋅|b |cos a , b +2|b |⋅|c |cos b , c +2|c |⋅|a |cos c , a
140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l 1、l 2、l 3，夹角分
别为θ1、θ2、θ3, 则有
l 2=l 12+l 22+l 32⇔cos 2θ1+cos 2θ2+cos 2θ3=1⇔sin 2θ1+sin 2θ2+sin 2θ3=2.
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.
141. 面积射影定理
S '
. S =
cos θ
(平面多边形及其射影的面积分别是S 、S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). 142. 斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的侧棱长是l , 侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱, 它的直截面的周长和面积分别是c 1和S 1, 则
①S 斜棱柱侧=c 1l . ②V 斜棱柱=S 1l .
143．作截面的依据
三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．
145. 欧拉定理(欧拉公式)
V +F -E =2(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).
（1）E =各面多边形边数和的一半. 特别地, 若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：E =
'
1
nF ； 2
1
mV . 2
（2）若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：E =146. 球的半径是R ，则
43πR , 3
2
其表面积S =4πR ．
其体积V =
147. 球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:
棱长为a
的正四面体的内切球的半径为148．柱体、锥体的体积
,
外接球的半径为. 124
1
V 柱体=Sh （S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.
31
V 锥体=Sh （S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.
3