不定积分论文

摘要„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1 关键词„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1 Abstract„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1 Keywords„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2 1 引言„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3 2 求不定积分的思想方法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3

2.1直接积分的思想方法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3

2.2换元积分的思想方法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3

2.2.1第一类换元积分的思想方法„„„„„„„„„„„„„„„„„„3

2.2.2第二类换元积分的思想方法„„„„„„„„„„„„„„„„„„3

2.3分部积分的思想方法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4

2.4拆项的思想方法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4 3 常见的不定积分类型„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4 4 例题分析 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7 5 不定积分的方法与归类„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10

结束语„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11 谢辞„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11 参考文献„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11

对不定积分一题多解的分析

摘要

随着社会进入信息时代，积分的语言已经渗透到各个领域。积分的出现不仅是数学史上也是人类历史上一个伟大的创举。它的产生是由于社会经济的发展和生产技术的进步的需要促成的，也是自古以来许多数学家长期辛勤发展起来的一连串数学思想的结晶。因此，他在数学及其他学科有着广泛的应用。

研究不定积分要重在提高自己的逻辑思维能力、科学分析能力、运用数学语言能力、联想运算能力以及应用能力。求解不定积分的过程对学生的科学思维和文化素质的培养所起的作用极为明显。数学与不同学科的结合形成新兴学科，都体现了量化方法已经成为研究经济学、社会科学的重要方法。掌握了它，会使我们在以后的学习及工作中占有一定的优势。

本文的题目是“对不定积分一题多解的分析”。一题多解其实就是培养学生的多方向性和开放性思维，是培养学生发散思维最有效的方法。其主要解法有三种，分别是：直接积分法、换元积分法以及分部积分法。对于同一题可以用不同的方法来解。

关键字：积分；直接积分法；换元积分法；分部积分法;一题多解

Indefinite integral solutions to a problem of example analysis

Liu Han

( Xianyang Normal University College of mathematics and information science, Shaanxi, Xianyang)

Abstract

Along with the society into the information age, the integral language has penetrated into all fields. It is not only the emergence of mathematics history is also the history of the last great pioneering work. It is caused because of the development of social economy and the progress of production technology of the need to facilitate, also since ancient times, many mathematicians long-term hard developed a series of mathematical thought crystallization. Therefore, he was in mathematics and other disciplines have a wide range of applications. Study of indefinite integral should focus on improving their ability of logic

thinking, scientific analysis ability, making use of the mathematics language ability, operation ability and application ability of association. Solving indefinite integral process on students' scientific thinking and cultural quality cultivation of the role is very clear. Mathematics and different disciplines are combined to form a new discipline, reflected the quantification method has become the study of economics, social scientific important method. Grasp it, we will in future work to occupy certain advantages.

The title of this paper is on" indefinite integral solutions to a problem analysis". Several solutions to one problem is to cultivate the students' multiple directions and open thinking, divergent thinking of students is the most effective method. Its main method has three kinds, respectively is: the direct integral method, integration by substitution and subsection integral method. For the same problem can use different methods to solve.

Keywords: integral; integral method; changing integral method; subsection integral method；several solutions to one problem.

1 引言

怎样计算不定积分是高等数学教学的难点和重点．不定积分的求解方法技巧性很强，灵活性也比较大，而且对于同一个不定积分可能有多种不同的求解方法．为了开拓学生的思路，培养学生灵活的思维能力，使学生能够更好的理解和使用多种积分方法，达到举一反三、触类旁通的教学效果，教学中往往要让学生进行一题多解的练习．

在学生初步掌握不定积分的基本积分方法后，我们不能局限于一题一解，要试图一题多解。为了正确使用各种积分方法求解不定积分，我们必须掌握它的概念和性质以及积分的基本公式，才能够在以后的解题中做题自如，进行同类迁移。

2.求不定积分思想方法

2.1 直接积分的思想方法观察所求积分的形式是否可用积分基本公式直接求解。

2.2 换元积分的思想方法

2.2.1 第一类换元（凑微分法）的思想方法

（1）被积函数有一个因式，主要是观察被积函数与积分基本公式中的哪一个公式的被积函数相似，即所应用的基本积分公式；然后再根据与基本积分公式相似的形式进行凑微分，凑微分的目的是为了应用积分基本公式和性质求积分。

（2）被积函数有两个因式时，先由一个因式找到与基本积分公式相似的公式，余下一个因式与dx 结合凑微分，进而可由积分基本公式求出结果。

2.2.2 第二类换元的思想方法

主要可以分为以下三类：1.三角代换 2.根式代换

3.倒数代换

第二类换元积分法主要是通过x=ϕ(t)对所求积分进行化简。

（1）根式代换：如果被积函数中，含有因子+b，我们可以通过x=ϕ(t)去掉根式，以便化简后的积分式能直接积分或使用简单的变形凑微分后可直接用积分基本公式，故选取x=ϕ(t)要保证去掉根式。

（2）三角代换法：如果被积函数中，含有因式a2-x2，x2-a2，x2+a2时，我们由根号下式子的特点，能够联想到三角公式的平方关系式，sin2α+cos2α=1以及 1+tan2α=sec2α由此来选择x=ϕ(t)，以此来去掉根号。当遇到ax2+bx+c时，

先将ax2+bx+c进行配方成a2-x2，x2-a2，x2+a2三种形式中的一种，再用公式或利用三角代换积分。若果遇到ax+b，我们对它先进行分母有理化，在对 cx+d

其分子进行配方就可化简为a2-x2，x2-a2，x2+a2三种形式中的一种，可根据上述方法进行求解。

1 （3）倒数代换：当积分表达式分母中自变量的幂较高于分子时，我们可以采用x= t

进行化简求解

2.3 分部积分的思想方法

分部积分法是运用公式⎰udv=uv-⎰vdu进行求解不定积分，通常适用于两类不同函数相乘的积分。此法的关键是u，dv的选择。通常来讲，先选定dv，使选定的v'dx能容易的凑出微分dv且积分后不是很复杂，一次分部积分后，未积出的部分⎰vduu求导后变简单，

要比原来的积分⎰udv简单。如果被积函数是反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数中任意两类函数的乘积，那么，我们可以考虑按照反、对、幂、三、指的顺序来选取u，另一个函数想办法凑成dv进行分部积分。

2.4 拆项的思想方法

对形如⎰1这种形式的积分，我们很难进行用以上公式进行求解，那么我们可以ϕx⋅ux1可以分解为ϕx⋅ux对它进行拆项已达到可以用以上方法求解的效果。我们把⎰

k(x)p(x)-⎰ϕx⎰ux。

例：⎰

=⎤11⎡1-x1⎤1⎡1x1 =+dx=-+dx2222⎢⎥⎢⎥⎰⎰⎰⎰2+x⋅1+x3⎣32+x31+x⎦9⎣2+x1+x⎦2+x⎤1⎡22112()arctanx-d2+x+Inx+⎢⎥+C1 9⎣222⎰2+x2⎦

1⎛2x+1⎫ 2arctan⎪+C（C1和C均为任意常数） x+In2 18⎝2x+2⎪⎭=

3 常见函数的积分类型

（1）有理函数的积分

一般情况下，是把有理函数变形为有理整函数与真分式函数之和的形式，把真分式函数化成部分分式函数之和的形式，然后利用积分的一些方法将有理函数的积分积出来。

（2）无理函数的积分

如果所求积分不能用直接积分法、换元法、分部积分法求解的话，可将无理函数通过一系列的变形化为有理三角函数或有理函数。

(3)三角函数的积分

所求积分是三角函数的积分时，通常是运用三角等式进行变换。

①形如⎰sinkxdx和⎰cosωxdx的积分，可直接利用第一类换元积分法进行计算；

②形如⎰sinkxdx或⎰coskxdx的积分

当k为正奇数时，即k=2n+1，则将可将被积函数化简成sin2nx与sinx的乘积，再利用三角恒等式sin2x+cos2x=1可将正弦函数转化为余弦或余弦函数转化为正弦，如：

sinkxdx=sin2n+1xdx=sin2nxsinxdx=-sin2nxdcosx=-(1-cos2x)ndcosx或

coskxdx=cos2n+1xdx=cos2nxcosxdx=cos2nxdsinx=(1-sin2x)ndsinx进行计算不定积分；

当k为正偶数时，即k=2n，则可利用三角恒等式sin2x=1-cos2x,cos2x=1+cos2x将被积

函数进行先化简后计算。即被积表达式可化为 sinkxdx=sin2nxdx=(sin2x)ndx=(1-cos2x)ndx或

coskxdx=cos2nxdx =(cos2x)ndx=(1+cos2x)ndx进行计算不定积分。

③形如sinkxcostxdx、sinkxsintxdx、coskxcostxdx的积分 ⎰⎰⎰

我们这里只以⎰sinkxcostxdx型的积分为例进行说明，其它积分解法与此相似。

当k=t时，我们可先利用二倍角公式对其进行化简后再用第一类换元积分法进行计算。即 ⎰sinkxcostxdx=1⎰sin2kxdx2=-1cos2kx+C

当k≠t时，我们可以利用积化和差公式对其进行化简后再用第一类换元积分法进行计算，即

⎰sinkxcostxdx=111[sin(k+t)x+sin(k-t)x]dx=-cos(k+t)x-cos(k-t)x+C ⎰22(k+t)2(k-t)

④形如sinkxcostxdx的积分 ⎰

若k=t时，则化为⎰sinkxdx或⎰coskxdx型的积分；

若k≠t时，如果k为奇数t为偶数时，⎰sinkxcostxdx=-⎰(1-cos2x)2

k-1costx(cosx)'dx，此时令

m=cosx就可把上式化为多项式的积分，积分后把m=cosx回代即可；

如果k为偶数t为奇数时，⎰sinkxcostxdx=⎰sinkx(1-sin2x)2t-1(sinx)'dx此时令m=sinx就可把上式化为多项式的积分，积分后把m=sinx回代即可；

如果k、t均为奇数时，我们取k、t中比较小的数按上述方法进行计算；

如果k、t均为偶数时，我们利用三角恒等式2sinxcosx=sin2x,sin2x=1-cos2x,cos2x=1+cos2x可22将被积函数降次化简，然后再用上述方法换元进行计算。

⑤形如seckxtantxdx的积分 ⎰

如果k为正偶数时，则⎰seckxtantxdx=⎰(1+tan2x)2-1tantx(tanx)'dx，此时令m=tanx就可把上式化为多项式的积分；

如果k=0时，则得积分⎰tantxdx，此时可利用tan2x=sec2x-1将积分化为上面的情形和积分⎰tanxdx上去。或者也可利用换元公式m=tanx化为分母为1+t2的有理函数的积分；

如果k为奇数，t为偶数时，利用恒等式tan2x=sec2x-1以及不定积分的线性性，最后可化为形如⎰sec2n-1xdx的积分；

如果t为奇数时，则⎰seckxtantxdx=⎰seck-1x(sec2x-1)2(secx)'dx，此时令t=secx就把上式化为多项式的积分。

⑥形如secnxdx、cscnxdx、tannxdx、cotnxdx的积分 ⎰⎰⎰⎰t-1k

一般利用tan2x=sec2x-1或cot2x=csc2x-1化简进行求解

如果n为偶数时，由

⎰tannxdx=⎰tann-2xtan2xdx=⎰tann-2x(sec2x-1)dx=⎰tann-2xdtanx-⎰tann-2xdx

=1tann-1x-⎰tann-2xdxn-1得一递推公式，则⎰tannxdx的积分问

题即得解决。

解决⎰cotnxdx的积分类似于⎰tannxdx的积分

⎰secnxdx=⎰secn-2xsecxdx=⎰(tanx+1)22n-22dtanx ⎰cscxdx=⎰cscnn-2xcscxdx=-⎰(cotx+1)22n-22dcotx 如果n为奇数时，⎰secnxdx=⎰secn-2xsec2xdx=⎰secn-2xdtanx=secn-2xtanx-(n-2)⎰secn-2xtan2xdx ⎰csc

⎰tannnxdx=⎰cscn-2xcsc2xdx=-⎰cscn-2xdcotx=-cscn-2xcotx+(n-2)⎰cscn-2xcot2xdx xdx=⎰tann-2xtan2xdx=⎰tann-2x(sec2x-1)dx

=⎰tann-2xdtanx-⎰tann-2xdx=

1tann-1x-⎰tann-2xdx n-1

4 例题分析

例1 求⎰1 x⋅x20+1解：（方法1）（分析：所求积分可以看做两个分式的乘积的积分，那么我们可把它拆成两个分式的差的积分）

⎛1⎫1x20+1-x20x19

⎰ ⎪==dx-202020⎰⎰⎰ ⎪x⋅x+1x⋅x+1x+1⎭⎝x

111⎡1⎤=⎢⎰-⎰20d(x20+1)⎥=Inx-In(x20+1)+C 20x+120⎣x⎦

（方法2）（分析：x20+1的导数为20x19，而x乘以x19恰巧也等于x20因此，我们可以对其进行换元，然后再进行拆项求解）

x191201分子分母同时乘以x令u=x2 ⎰xx20+1⎰x20x20+1⎰20u1+u119

1⎛11⎫111x20

=In+C=In20+C -⎪du=⎰20⎝uu+1⎭20u+120x+1

（方法3）（分析：所求积分的分母的次数大于分子的次数，因此我们可以考虑用倒代换法）

11u21⎛1⎫u19

-2⎪du=-⎰du 20⎰x⋅x20+1令x=u⎰1+u20⋅ 1+u⎝u⎭

11⎛1⎫1x2020=-In(1+u)+C=-In 1+20⎪+C=In20+C 2020⎝x⎭20x+1

（方法4）

1111-20() ==-d1+x-20⎰x⋅x20+1⎰x211+x-20⎰201+x

11x20-20=-In(1+x)+C=In+C 2020x20+1

例2 求⎰

arctanx x1+x

2x解（方法1）（所求积分包含x，其导数等于，恰好可利用此特点对其进行凑微分）原式=2⎰

=(arctanxx=2⎰xdx 1+xx)+C 2()

（方法2）（分析：所求积分含有根式，因此我们可以考虑用根式代换求解）原式令x=t2⎰arctantarctant⋅2tdt=2=2⎰arctantdarctant 22⎰t1+t1+t

2 =(arctant)+C=arctan

例3 求⎰xarctanx

+x2(x+C )2

解方法1 原式=1arctanx22() 1+x=arctanxd+x⎰⎰22+x

1dx1+x2

=arctanx⋅+x2-⎰+x2⋅

=+x2⋅arctanx-⎰1

+x2=+x2⋅arctanx-Inx++x2+C

+x2() （此解法采用了分部积分法,令u=arctanx，v'=）

π⎫⎛π方法2 令x=tant dx=sec2tdt -

原式=⎰tant⋅t⋅sec2tdt=⎰ttantsectdt=⎰tdsect=tsect-⎰sectdt sect

=tsect-Insect+tant+C=arctanx⋅+x2-Inx++x2+C

（此解法采用了三角代换进行求解。当积分表达式中含有a2-x2x2-a2x2+a2时，可分别令x=asint，x=atant，x=asect进行换元计算）

sinx例4 求⎰ sinx+cosx

解：方法1（因为被积函数是三角有理式，所以我们很自然地想到用万能代换进行换元，转化成有理函数的不定积分来做．）

()

xxx8sincos8tan=原式= 2sincos+cos2-sin22tan+1-tan2

222222

xuu+1u-1令u=tan-8⎰2=2-2 222⎰⎰u+1u-2u-1u+1u-2u-1

=In(u2+1)+2arctanu-Inu2-2u-1+C ⎛ =x+In 1+tan2

⎝x⎫x2x-Intan-2tan-1+C ⎪2⎭22

方法2（因为被积函数的分母是一个和式，如果能化成一个整体再拆成部分分式之和可能有助于问题的解决，所以我们自然地想到用倍角公式来试一下．）

sinx(cosx-sinx)1=⎰(tan2x-sec2x+1)dx 原式=⎰cos2x2

1 =-(Incos2x+Insec2x+tan2x-2x)+C 4

方法3（凑微分法是不定积分的常用方法，通过观察将被积函数适当变形，再进行凑微分是我们应该掌握的技巧．）原式=1⎛sinx-cosx⎫1(x-Insinx+cosx)+C 1+dx= ⎪⎰2⎝sinx+cosx⎭2

方法4（此法是通过三角函数的恒等变形（分子与分母同时除以sin3x）转化成的凑微分法，结合了有理真分式拆分成部分分式之和．）

原式=-⎰

=11⎛11-cotx⎫cotx=-+ ⎪dcotx 22⎰1+cotx1+cotx2⎝cotx+11+cotx⎭111x+In(1+cot2x)-In+cotx+C 242

1 例 5 求⎰2x-3x-10

解（方法1）（分析：因为分母可以分解为两个因式的乘积，因此我们可以联想到用拆项法可以对其进行化简）

原式=⎰

=1x-5x+2=1⎛11⎫1⎛11⎫-dx=dx-dx ⎪ ⎪ ⎰⎰⎰7⎝x-5x+2⎭7⎝x-5x+2⎭1⎡111x-5⎤1()()[]dx-5-dx+2=Inx-5-Inx+2+C=In+C ⎰⎰⎥7⎢x-5x+277x+2⎣⎦

（方法2）（分析：因为分母为一元二次式，因此，我们可以对其进行配方，然后观察其特点，又用了第一类换元法）

- 9 -

原式=⎰1

x-+-2442=⎰13⎫49⎛ x-⎪-2⎭4⎝2dx令t=x-31 2⎰t2-4

737⎛⎫t-x--11 11⎪11+C=In+C ⎪dt=In=⎰=⎰ -7 t-t+⎪7t+7x--+⎛7⎫⎛7⎫t+t- ⎪ ⎪ ⎪2⎭222⎝2⎝2⎭⎝2⎭

=1x-5In+C 7x+2

5 不定积分的方法与归类

当我们在积分时，如果所求积分中含有如下特点，我们可以考虑一下其对应解决方法。含a2-x2 令x=asint或x=acost 三角代换 x2-a2 令x=asect 三角代换

x2+a2 令x=atant 三角代换

x+1 令x+1=t 根式代换

ax+bax+b=t 根式代换令cx+dcx+d

x 令x=1 倒数代换 t

我们在求积分时遇见与如下形式相似的，可采用凑微分法。

1.dx=d(x+c)=

3.xdx=1111d(ax+c)=d(ax+c)=d(ax) 2.dx=2daaaxx)=2d2x+c（x>0）)111d(x2+c)=d(ax2+c)=dx2 4.dx=d22a2x)=2xdx) x115.dx=d(Inx)=d(Inx) 6.dx=d(1+x2)=d+x2 x+x22+x2)

- 10 -

-x

-x27.dx=d1-x) 8.e(1+x)dx=d(xe) 2xx

9.1⎫1⎫⎛⎛dx=dInx++x2 10. 1±2⎪dx=d x±2⎪ x⎭x⎭⎝⎝+x21(())

11.(1+Inx)dx=d(xInx)

结束语

为什么一道题会有多种解法呢？这是因为同一道题兼有不同类型的积分的特点，因而兼属于几种不同的积分类型；或同一个积分类型兼有不同的积分方法。对于一些简单的基本的不定积分，我们可以通过基本的积分公式直接进行求解。对于难以直接用基本积分公式的积分，我们有第一类换元积分法和第二类换元积分法，以及分部积分法。对于某些特殊类型的不定积分，如一些有理函数的和可以化为有理函数的不定积分，无论不定积分有多么复杂，我们都可以按照一定的步骤求解。对于有理函数的不定积分，我们可以用待定系数法把它拆成一些分式的和，再按照基本积分公式求解；对于高阶的积分，我们可以运用多次分部积分法递推公式，也可以通过一些公式代换将它化为有理函数的不定积分，但在具体计算时，应根据被积函数的特点而采用简单灵活的代换；一些无理根式的不定积分，可以运用换元法将其化为有理函数的不定积分，再按照有理函数的不定积分方法进行求解。

谢辞

在我选了论文题目之后，我曾经一度痛苦、彷徨，我不知道该怎么写，该怎样找到有效的资料。通过指导老师的细心点拨，使我在对这次论文的写作有了明确的方向。老师的严格教导，对教学的细心认真，是我在写作过程中的问题与不足都被老师一一发现并进行指正。如今，伴随着这篇毕业论文的最终成稿，复杂的心情烟消云散，自己甚至还有一点成就感。

非常感谢伊老师在我大学的最后阶段——毕业设计阶段给予指导，从资料收集，开题报告，到写作，修改，到论文定稿，她给了我耐心的指导和无私的帮助。同时，感谢所有任课老师和所有同学在这几年里给我的指导和帮助，是他们教会了我专业知识，教会了我如何学习，教会了我如何做人。正是由于他们，我才能在各方面取得显著的进步，在此向他们表示由衷的感谢。

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