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三次函数与 三次函数与四次函数
大连市红旗高中 王金泽 wjz9589＠163.com 在初中，已经初步学习了二次函数，到了高中又系统的学习和深化了二次函数，三次函数是继二次函数后接 触的新的多项式函数类型，它是二次函数的发展，和二次函数类似也有“与 x 轴交点个数”等类似问题。三次函 数是目前高考尤其是文科高考的热点，不仅仅如此，通过深化对三次函数的学习，可以解决四次函数问题。2008 年高考有多个省份出现了四次函数高考题，本文的目的就是，对三次函数做个重点的归纳，并且阐述在四次函数 中的应用
第一部分：三次函数的图象特征、以及与 x 轴的交点个数（根的个数） 、极值情况
三
次 函
数
图
象
说
明
可以根据极限的思想去分析 当 a＞0 时，在 x → +∞右向上 伸展， x → -∞左向下伸展。 伸展， x → -∞左向上伸展。
a 对图象 的影响
当 a＜0 时，在 x → +∞右向下
(可以联系二次函数 a 对开口的影 响去联想三次函数右侧伸展情况) 若b
2
− 3ac > 0 ,且
f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 )
与 x 轴有三 个交点
值异号；图象与 x 轴有三个交点
若b
2
− 3ac > 0 ,且
f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) = 0 ，既有一
与 x 轴有二 个交点
个极值为 0，图象与 x 轴有两个 交点
1。存在极值时即 b
2
− 3ac > 0 ,
且
f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) > 0 ，既两个
与 x 轴有一 个交点
极值同号， 图象与 x 轴有一个交点。 2。不存在极值，函数是单调函数 时图象也与 x 轴有一个交点。
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1. f ( x) = 0 根的个数
三次函数 f ( x) = ax + bx + cx + d
3 2
导函数为二次函数: f ( x) = 3ax + 2bx + c( a ≠ 0) ，
/ 2 2 2 二次函数的判别式化简为：△= 4b − 12ac = 4(b − 3ac) ，
(1) 若 b − 3ac ≤ 0 ，则 f ( x) = 0 恰有一个实根；
2
(2) 若 b − 3ac > 0 ,且 f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) > 0 ，则 f ( x) = 0 恰有一个实根；
2
(3) 若 b − 3ac > 0 ,且 f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) = 0 ，则 f ( x) = 0 有两个不相等的实根；
2
(4) 若 b − 3ac > 0 ,且 f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 )
2
即 （或 说明(1)(2) f ( x) = 0 含有一个实根的充要条件是曲线 y = f (x) 与 X 轴只相交一次， f (x) 在 R 上为单调函数 两极值同号） ，所以 b − 3ac ≤ 0 （或 b − 3ac > 0 ，且 f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) > 0 ）.
2 2
(3) f ( x) = 0 有两个相异实根的充要条件是曲线 y = f (x) 与 X 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以
b 2 − 3ac > 0 ，且 f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) = 0 .
(4) f ( x) = 0 有三个不相等的实根的充要条件是曲线 y = f (x) 与 X 轴有三个公共点，即 f (x) 有一个极大值，一 个极小值，且两极值异号.所以 b − 3ac > 0 且 f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 )
2
2.极值情况：
三次函数 f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d （a＞0）, 导函数为二次函数 f / ( x) = 3ax 2 + 2bx + c( a > 0) ， 二次函数的判别式化简为：△= 4b 2 − 12ac = 4(b 2 − 3ac) ， (1) 若 b − 3ac ≤ 0 ，则 f (x) 在 (−∞,+∞) 上为增函数；
2
(2) 若 b − 3ac > 0 ， 则 f (x) 在 ( −∞, x1 ) 和 ( x 2 ,+∞) 上 为 增 函 数 ， f (x) 在 ( x1 , x 2 ) 上 为 减 函 数 ， 其 中
2
x1 =
− b − b 2 − 3ac − b + b 2 − 3ac , x2 = . 3a 3a
△= 4b 2 − 12ac = 4(b 2 − 3ac) ，
证明： f ' ( x) = 3ax 2 + 2bx + c ,
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(1) 当 ∆ ≤ 0 (2) 当 ∆ > 0
即 b − 3ac ≤ 0 时， f ' ( x ) ≥ 0 在 R 上恒成立， 即 f (x ) 在 (−∞,+∞) 为增函数.
2
即 b − 3ac > 0 时，解方程 f ' ( x ) = 0 ，得
2
x1 =
− b − b 2 − 3ac − b + b 2 − 3ac , x2 = 3a 3a
由 f ' ( x) > 0 得 x x 2 ， f (x ) 在 ( −∞, x1 ) 和 ( x 2 ,+∞) 上为增函数. 由 f ' ( x ) 0) , (1) 若 b − 3ac ≤ 0 ，则 f (x) 在 R 上无极值；
2
(2) 若 b − 3ac > 0 ，则 f (x) 在 R 上有两个极值；且 f (x) 在 x = x1 处取得极大值，在 x = x 2 处取得极小值.
2
由此三次函数的极值要么一个也没有，要么有两个。 【例题 1】（2005 全国二卷）设 a 为实数，函数 f ( x) = x3 − x 2 − x + a ． ： （Ⅰ）求 f ( x) 的极值； （Ⅱ）当 a 在什么范围内取值时，曲线 y = f ( x) 与 x 轴仅有一个交点． 解： （I） f ' ( x) = 3x 2 − 2 x − 1 若 f ' ( x) = 0 ，则 x = −
1 ，1 3
当 x 变化时， f ' ( x), f ( x) 变化情况如下表： x
1 ( −∞， − ) 3
＋
−
1 3
1 ( − ，1) 3
－
1 0 极小值
(1， + ∞ )
＋
f ' ( x) f ( x)
0 极大值
↑ 1 3
↓
↑
所以 f(x)的极大值是 f ( − ) =
5 + a ，极小值是 f (1) = a − 1 27
（II）函数 f ( x) = x 3 − x 2 − x + a = ( x − 1) 2 ( x + 1) + a − 1 由此可知 x 取足够大的正数时，有 f ( x) > 0 ，x 取足够小的负数时有 f ( x)
5 5 + a
一个交点，它在 (1， + ∞) 上；
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当 f(x)的极小值 a − 1 > 0 ，即 a ∈ (1， + ∞) 时，它的极大值也大于 0，因此曲线 y = f ( x) 与 x 轴仅有一个
1 3 5 所以当 a ∈ ( −∞， − ) U(1， + ∞) 时，曲线 y = f ( x) 与 x 轴仅有一个交点。 27 1 ） （也可以直接用 f ( − ) ⋅ f (1) > 0 ， 3
交点，它在 ( −∞， − ) 上 [变式训练]：a 为何值时 f（x）的图象与直线 y=1 恰有一个交点 分析：令 极大值 f ( − ) =
1 3
5 + a 1 27
第二部分： 第二部分：在四次函数中的应用
由于四次函数的导函数为三次函数，所以四次函数的问题往往转化为三次函数问题 【例题 2】(2008 湖南文 已知函数 f ( x ) = 湖南文) （I）证明： −27
1 4 9 x + x 3 − x 2 + cx 有三个极值点。 4 2
（II）若存在实数 c，使函数 f (x ) 在区间 [ a, a + 2 ] 上单调递减，求 a 的取值范围。
1 4 9 x + x 3 − x 2 + cx 有三个极值点, 4 2 所以 f ′( x) = x3 + 3 x 2 − 9 x + c = 0 有三个互异的实根. 设 g ( x) = x3 + 3 x 2 − 9 x + c, 则 g ′( x) = 3 x 2 + 6 x − 9 = 3( x + 3)( x − 1), 当 x 0, g ( x) 在 ( −∞, −3) 上为增函数; 当 −3 1 时， g ′( x) > 0, g ( x) 在 (1, +∞) 上为增函数; 所以函数 g ( x) 在 x = −3 时取极大值,在 x = 1 时取极小值. 因为 g ( x) = 0 有三个不同实根, 所以 g (−3) > 0 且 g (1) 0 ,且 1 + 3 − 9 + c −27, 且 c
解： （I）因为函数 f ( x ) = 若 f ( x) 在区间 [ a, a + 2 ] 上单调递减， 所以 f ( x) 的单调递减区间是 ( −∞，x1 ] , [ x2 , x3 ]
若 [ a, a + 2] ⊂ ( −∞，x1 ] ,则 a + 2 ≤ x1 .由（I）知， x1 −3, 且 a + 2 ≤ 3. 即 −3
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则 [ a, a + 2] ⊂ ( −∞，x1 ] , 或 [ a, a + 2] ⊂ [ x2 , x3 ] ,
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总可找到 c ∈ ( −27,5), 使函数 f (x ) 在区间 [ a, a + 2 ] 上单调递减. 综上所述, a 的取值范围是 ( −∞， 5) U ( −3,1) . − 总结：四次函数的导数是三次函数，有三个极值点说明三次函数有三个相异的实数根。可以归结为三次函数图象 与 x 轴有三个交点问题，可以利用第一部分很好的解决 【例题 3】(2008 江西文 江西文)已知函数 f ( x ) =
（1）求函数 y = f ( x) 的单调区间；
1 4 1 3 x + ax − a 2 x 2 + a 4 (a > 0) 4 3
（2）若函数 y = f ( x) 的图像与直线 y = 1 恰有两个交点，求 a 的取值范围． 解： （1）因为 f ′( x) = x3 + ax 2 − 2a 2 x = x( x + 2a )( x − a ) 令 f ′( x) = 0 得 x1 = −2a, x2 = 0, x3 = a 由 a > 0 时， f ′( x ) 在 f ′( x ) = 0 根的左右的符号如下表所示
x
f ′( x) f ( x)
(−∞, −2a ) −
−2a 0
极小值
(−2a, 0)
0 0
极大值
+
(0, a ) −
a
0
极小值
(a, +∞ )
+
所以 f ( x ) 的递增区间为 ( −2a, 0)与( a, +∞)
f ( x) 的递减区间为 (−∞， 2a)与(0，a) −
（2）由（1）得到
5 f ( x)极小值 = f (−2a ) = − a 4 ， 3 7 f ( x)极小值 = f (a ) = a 4 12 f ( x)极大值 = f (0) = a 4
要使 f ( x ) 的图像与直线 y = 1 恰有两个交点，只要 − a
4
4
5 3
7 4 a 或 a4
即a >
12 或 0 ≤ a
只要我们掌握了三次函数的这些性质， 在高考中无论是主观题还是客观题， 都能找到明确的解 题思路，解题过程也简明扼要。四次函数问题,应该先求导，转化为三次函数问题，一般通过极值 等手段解决，这些对大家来讲都是很容易的。
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三次函数与 三次函数与四次函数
大连市红旗高中 王金泽 wjz9589＠163.com 在初中，已经初步学习了二次函数，到了高中又系统的学习和深化了二次函数，三次函数是继二次函数后接 触的新的多项式函数类型，它是二次函数的发展，和二次函数类似也有“与 x 轴交点个数”等类似问题。三次函 数是目前高考尤其是文科高考的热点，不仅仅如此，通过深化对三次函数的学习，可以解决四次函数问题。2008 年高考有多个省份出现了四次函数高考题，本文的目的就是，对三次函数做个重点的归纳，并且阐述在四次函数 中的应用
第一部分：三次函数的图象特征、以及与 x 轴的交点个数（根的个数） 、极值情况
三
次 函
数
图
象
说
明
可以根据极限的思想去分析 当 a＞0 时，在 x → +∞右向上 伸展， x → -∞左向下伸展。 伸展， x → -∞左向上伸展。
a 对图象 的影响
当 a＜0 时，在 x → +∞右向下
(可以联系二次函数 a 对开口的影 响去联想三次函数右侧伸展情况) 若b
2
− 3ac > 0 ,且
f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 )
与 x 轴有三 个交点
值异号；图象与 x 轴有三个交点
若b
2
− 3ac > 0 ,且
f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) = 0 ，既有一
与 x 轴有二 个交点
个极值为 0，图象与 x 轴有两个 交点
1。存在极值时即 b
2
− 3ac > 0 ,
且
f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) > 0 ，既两个
与 x 轴有一 个交点
极值同号， 图象与 x 轴有一个交点。 2。不存在极值，函数是单调函数 时图象也与 x 轴有一个交点。
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1. f ( x) = 0 根的个数
三次函数 f ( x) = ax + bx + cx + d
3 2
导函数为二次函数: f ( x) = 3ax + 2bx + c( a ≠ 0) ，
/ 2 2 2 二次函数的判别式化简为：△= 4b − 12ac = 4(b − 3ac) ，
(1) 若 b − 3ac ≤ 0 ，则 f ( x) = 0 恰有一个实根；
2
(2) 若 b − 3ac > 0 ,且 f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) > 0 ，则 f ( x) = 0 恰有一个实根；
2
(3) 若 b − 3ac > 0 ,且 f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) = 0 ，则 f ( x) = 0 有两个不相等的实根；
2
(4) 若 b − 3ac > 0 ,且 f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 )
2
即 （或 说明(1)(2) f ( x) = 0 含有一个实根的充要条件是曲线 y = f (x) 与 X 轴只相交一次， f (x) 在 R 上为单调函数 两极值同号） ，所以 b − 3ac ≤ 0 （或 b − 3ac > 0 ，且 f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) > 0 ）.
2 2
(3) f ( x) = 0 有两个相异实根的充要条件是曲线 y = f (x) 与 X 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以
b 2 − 3ac > 0 ，且 f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) = 0 .
(4) f ( x) = 0 有三个不相等的实根的充要条件是曲线 y = f (x) 与 X 轴有三个公共点，即 f (x) 有一个极大值，一 个极小值，且两极值异号.所以 b − 3ac > 0 且 f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 )
2
2.极值情况：
三次函数 f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d （a＞0）, 导函数为二次函数 f / ( x) = 3ax 2 + 2bx + c( a > 0) ， 二次函数的判别式化简为：△= 4b 2 − 12ac = 4(b 2 − 3ac) ， (1) 若 b − 3ac ≤ 0 ，则 f (x) 在 (−∞,+∞) 上为增函数；
2
(2) 若 b − 3ac > 0 ， 则 f (x) 在 ( −∞, x1 ) 和 ( x 2 ,+∞) 上 为 增 函 数 ， f (x) 在 ( x1 , x 2 ) 上 为 减 函 数 ， 其 中
2
x1 =
− b − b 2 − 3ac − b + b 2 − 3ac , x2 = . 3a 3a
△= 4b 2 − 12ac = 4(b 2 − 3ac) ，
证明： f ' ( x) = 3ax 2 + 2bx + c ,
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(1) 当 ∆ ≤ 0 (2) 当 ∆ > 0
即 b − 3ac ≤ 0 时， f ' ( x ) ≥ 0 在 R 上恒成立， 即 f (x ) 在 (−∞,+∞) 为增函数.
2
即 b − 3ac > 0 时，解方程 f ' ( x ) = 0 ，得
2
x1 =
− b − b 2 − 3ac − b + b 2 − 3ac , x2 = 3a 3a
由 f ' ( x) > 0 得 x x 2 ， f (x ) 在 ( −∞, x1 ) 和 ( x 2 ,+∞) 上为增函数. 由 f ' ( x ) 0) , (1) 若 b − 3ac ≤ 0 ，则 f (x) 在 R 上无极值；
2
(2) 若 b − 3ac > 0 ，则 f (x) 在 R 上有两个极值；且 f (x) 在 x = x1 处取得极大值，在 x = x 2 处取得极小值.
2
由此三次函数的极值要么一个也没有，要么有两个。 【例题 1】（2005 全国二卷）设 a 为实数，函数 f ( x) = x3 − x 2 − x + a ． ： （Ⅰ）求 f ( x) 的极值； （Ⅱ）当 a 在什么范围内取值时，曲线 y = f ( x) 与 x 轴仅有一个交点． 解： （I） f ' ( x) = 3x 2 − 2 x − 1 若 f ' ( x) = 0 ，则 x = −
1 ，1 3
当 x 变化时， f ' ( x), f ( x) 变化情况如下表： x
1 ( −∞， − ) 3
＋
−
1 3
1 ( − ，1) 3
－
1 0 极小值
(1， + ∞ )
＋
f ' ( x) f ( x)
0 极大值
↑ 1 3
↓
↑
所以 f(x)的极大值是 f ( − ) =
5 + a ，极小值是 f (1) = a − 1 27
（II）函数 f ( x) = x 3 − x 2 − x + a = ( x − 1) 2 ( x + 1) + a − 1 由此可知 x 取足够大的正数时，有 f ( x) > 0 ，x 取足够小的负数时有 f ( x)
5 5 + a
一个交点，它在 (1， + ∞) 上；
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当 f(x)的极小值 a − 1 > 0 ，即 a ∈ (1， + ∞) 时，它的极大值也大于 0，因此曲线 y = f ( x) 与 x 轴仅有一个
1 3 5 所以当 a ∈ ( −∞， − ) U(1， + ∞) 时，曲线 y = f ( x) 与 x 轴仅有一个交点。 27 1 ） （也可以直接用 f ( − ) ⋅ f (1) > 0 ， 3
交点，它在 ( −∞， − ) 上 [变式训练]：a 为何值时 f（x）的图象与直线 y=1 恰有一个交点 分析：令 极大值 f ( − ) =
1 3
5 + a 1 27
第二部分： 第二部分：在四次函数中的应用
由于四次函数的导函数为三次函数，所以四次函数的问题往往转化为三次函数问题 【例题 2】(2008 湖南文 已知函数 f ( x ) = 湖南文) （I）证明： −27
1 4 9 x + x 3 − x 2 + cx 有三个极值点。 4 2
（II）若存在实数 c，使函数 f (x ) 在区间 [ a, a + 2 ] 上单调递减，求 a 的取值范围。
1 4 9 x + x 3 − x 2 + cx 有三个极值点, 4 2 所以 f ′( x) = x3 + 3 x 2 − 9 x + c = 0 有三个互异的实根. 设 g ( x) = x3 + 3 x 2 − 9 x + c, 则 g ′( x) = 3 x 2 + 6 x − 9 = 3( x + 3)( x − 1), 当 x 0, g ( x) 在 ( −∞, −3) 上为增函数; 当 −3 1 时， g ′( x) > 0, g ( x) 在 (1, +∞) 上为增函数; 所以函数 g ( x) 在 x = −3 时取极大值,在 x = 1 时取极小值. 因为 g ( x) = 0 有三个不同实根, 所以 g (−3) > 0 且 g (1) 0 ,且 1 + 3 − 9 + c −27, 且 c
解： （I）因为函数 f ( x ) = 若 f ( x) 在区间 [ a, a + 2 ] 上单调递减， 所以 f ( x) 的单调递减区间是 ( −∞，x1 ] , [ x2 , x3 ]
若 [ a, a + 2] ⊂ ( −∞，x1 ] ,则 a + 2 ≤ x1 .由（I）知， x1 −3, 且 a + 2 ≤ 3. 即 −3
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则 [ a, a + 2] ⊂ ( −∞，x1 ] , 或 [ a, a + 2] ⊂ [ x2 , x3 ] ,
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总可找到 c ∈ ( −27,5), 使函数 f (x ) 在区间 [ a, a + 2 ] 上单调递减. 综上所述, a 的取值范围是 ( −∞， 5) U ( −3,1) . − 总结：四次函数的导数是三次函数，有三个极值点说明三次函数有三个相异的实数根。可以归结为三次函数图象 与 x 轴有三个交点问题，可以利用第一部分很好的解决 【例题 3】(2008 江西文 江西文)已知函数 f ( x ) =
（1）求函数 y = f ( x) 的单调区间；
1 4 1 3 x + ax − a 2 x 2 + a 4 (a > 0) 4 3
（2）若函数 y = f ( x) 的图像与直线 y = 1 恰有两个交点，求 a 的取值范围． 解： （1）因为 f ′( x) = x3 + ax 2 − 2a 2 x = x( x + 2a )( x − a ) 令 f ′( x) = 0 得 x1 = −2a, x2 = 0, x3 = a 由 a > 0 时， f ′( x ) 在 f ′( x ) = 0 根的左右的符号如下表所示
x
f ′( x) f ( x)
(−∞, −2a ) −
−2a 0
极小值
(−2a, 0)
0 0
极大值
+
(0, a ) −
a
0
极小值
(a, +∞ )
+
所以 f ( x ) 的递增区间为 ( −2a, 0)与( a, +∞)
f ( x) 的递减区间为 (−∞， 2a)与(0，a) −
（2）由（1）得到
5 f ( x)极小值 = f (−2a ) = − a 4 ， 3 7 f ( x)极小值 = f (a ) = a 4 12 f ( x)极大值 = f (0) = a 4
要使 f ( x ) 的图像与直线 y = 1 恰有两个交点，只要 − a
4
4
5 3
7 4 a 或 a4
即a >
12 或 0 ≤ a
只要我们掌握了三次函数的这些性质， 在高考中无论是主观题还是客观题， 都能找到明确的解 题思路，解题过程也简明扼要。四次函数问题,应该先求导，转化为三次函数问题，一般通过极值 等手段解决，这些对大家来讲都是很容易的。
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