条件概率例题解析
解. 设事件A 表示“甲取到的数比乙大”,
设事件B 表示“甲取到的数是5的倍数”.
则显然所要求的概率为P (A |B ) .
根据公式
1. 从1, 2, 3,…, 15中, 甲、乙两人各任取一数(不重复), 已知甲取到的数是5的倍数, 求甲
而P (B )=3/15=1/5 , 数大于乙数的概率.
,
∴ P (A |B )=9/14.
解. 设事件A 表示“掷出含有1的点数”,
设事件B 表示“掷出的三个点
数都不一样”.
则显然所要求的概率为P (A |B ) .
根据公式
2. 掷三颗骰子, 已知所得三个数都不一样, 求
含有1点的概率.
,
,
∴ P (A |B )=1/2.
1解. 设事件A i 表示“第i 次取到白球”. (i =1,2,„, N )
则根据题意P (A 1)=1/2 , P (A 2|A 1)=2/3,
3. 袋中有一个白球和一个黑球, 一次次地从袋中摸球, 如果取出白球, 则除把白球放回外再加进一个白球, 直至取出黑球为止, 求取了N 次都没有取到黑球的概率.
由乘法公式可知:
P (A 1A 2)=P (A 2|A 1) P (A 1)=1/3. 而 P (A 3|A 1A 2)=3/4 ,
P (A 1A 2A 3)=P (A 3|A 1A 2) P (A 1A 2)=1/4 . 由数学归纳法可以知道
P (A 1A 2„A N )=1/(N +1).
解. 设事件A 表示“取到的是甲袋”, 则“取到的是乙袋”,
表示
事件B 表示“最后取到的是白球”. 根据题意 : P (B |A )=5/12 ,
4. 甲袋中有5只白球, 7 只红球; 乙袋中有4只白球, 2只红球. 从两个袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取一球, 求取到的球是白球的概率.
P (A )=1/2. ∴
,
.
解. 设事件A i 表示“从甲袋取的2个球中有i 个白球”,
5. 有甲、乙两袋, 甲袋中有3只其中i =0,1,2 . 白球,2只黑球; 乙袋中有4只白事件B 表示“从乙袋中取到的是白球”. 球,4只黑球. 现从甲袋中任取2
个球放入乙袋, 然后再从乙袋中 显然A 0, A 1, A 2构成一完备事件组, 且根据题意 任取一球, 求此球为白球的概率. P(A 0)=1/10 , P (A 1)=3/5 ,
P (A 2)=3/10 ;
P(B |A 0)=2/5 , P (B |A 1)=1/2 , P (B |A 2)=3/5 ; 由全概率公式
P (B )=P (B |A 0) P (A 0)+P (B |A 1) P (A 1)+P (B |A 2) P (A 2)
=2/5×1/10+1/2×3/5+3/5×3/10=13/25.
解. 设事件A 表示“第一次取到的是1号球”,则
表示“第一次取
到的是非1号球”;
事件B 表示“最后取到的是2号球”.
显
然 P (A )=1/N ,
6. 袋中装有编号为1, 2,…, N 的N 个球, 先从袋中任取一球, 如该球不是1号球就放回袋中, 是1号球就不放回, 然后再摸一次, 求取到2号球的概率.
,
且 P (B |A )=1/(N -1),
;
∴
=1/(N -1) ×1/N +1/N
×(N -1)/N
=(N 2-N +1)/N 2(N -1).
7. 袋中装有8只红球 , 2只黑球, 每次从中任取一球, 不放回地连续取两次, 求下列事件的概率.
(1)取出的两只球都
解. 设事件A 1表示“第一次取到的是红球”,
设事件A 2表示“第二次取到的是红球”. (1)要求的是事件A 1A 2的概率. 根据题意 P (A 1)=4/5,
是红球;
(2)取出的两只球都是黑球;
(3)取出的两只球一只是红球, 一只是黑球;
(4)第二次取出的是红球.
,
P (A 2|A 1)=7/9,
∴P (A 1A 2)=P (A 1) P (A 2|A 1)=4/5×7/9=28/45. (2)
要求的是事件根据题意:
∴
的概率.
,
,
.
(3)要求的是取出一只红球一只黑球, 它包括两种情形, 即求事件
∴
.
(4)要求第二次取出红球, 即求事件A 2的概率. 由全概率公式 :
=7/9×4/5+8/9×1/5=4/5.
8. 某射击小组
解. 设事件A 表示“射手能通过选拔进入比赛”,
共有20名射手, 其中一级射手4设事件B i 表示“射手是第i 级射手”.(i =1,2,3,4) 人, 二级射手8
显然, B1、B 2、B 3、B 4构成一完备事件组, 且
人, 三级射手7人, 四级射手1P (B 1)=4/20, P (B 2)=8/20, P (B 3)=7/20, P (B 4)=1/20; 人. 一、二、三、
P (A |B 1)=0.9, P (A |B 2)=0.7, P (A |B 3)=0.5, P (A |B 4)=0.2.
四级射手能通过
的概率.
,
,
,
,
选拔进入比赛的由全概率公式得到 概率分别是0.9、
P (A )=P (A |B 1) P (B 1)+P (A |B 2) P (B 2)+P (A |B 3) P (B 3)+P (A |B 4) P (B 4) 0.7、0.5、0.2 . 求
任选一名射手能=0.9×4/20+0.7×8/20+0.5×7/20+0.2×1/20=0.645. 通过选拔进入比
赛的概率.
解. 设事件A 1表示“飞机能飞到距目标400米处”,
设事件A 2表示“飞机能飞到距目标200
米处”,
设事件A 3表示“飞机能飞到距目标100
9. 轰炸机轰炸某目标, 它能飞到距目标400、200、100(米) 的概用事件B 表示“目标被击中”. 率分别是0.5、0.3、0.2, 又设它
由题意, P (A 1)=0.5, P (A 2)=0.3, P (A 3)=0.2,
在距目标400、200、100(米) 时的命中率分别是0.01、0.02、0.1 . 且A 1、A 2、A 3构成一完备事件组. 求目标被命中的概率为多少?
米处”,
又已知 P (B |A 1)=0.01, P (B |A 2)=0.02,
P (B |A 3)=0.1. 由全概率公式得到 :
P (B )=P (B |A 1) P (A 1)+P (B |A 2) P (A 2)+P (B |A 3) P (A 3)
=0.01×0.5+0.02×0.3+0.1×0.2=0.031.
条件概率例题解析
解. 设事件A 表示“甲取到的数比乙大”,
设事件B 表示“甲取到的数是5的倍数”.
则显然所要求的概率为P (A |B ) .
根据公式
1. 从1, 2, 3,…, 15中, 甲、乙两人各任取一数(不重复), 已知甲取到的数是5的倍数, 求甲
而P (B )=3/15=1/5 , 数大于乙数的概率.
,
∴ P (A |B )=9/14.
解. 设事件A 表示“掷出含有1的点数”,
设事件B 表示“掷出的三个点
数都不一样”.
则显然所要求的概率为P (A |B ) .
根据公式
2. 掷三颗骰子, 已知所得三个数都不一样, 求
含有1点的概率.
,
,
∴ P (A |B )=1/2.
1解. 设事件A i 表示“第i 次取到白球”. (i =1,2,„, N )
则根据题意P (A 1)=1/2 , P (A 2|A 1)=2/3,
3. 袋中有一个白球和一个黑球, 一次次地从袋中摸球, 如果取出白球, 则除把白球放回外再加进一个白球, 直至取出黑球为止, 求取了N 次都没有取到黑球的概率.
由乘法公式可知:
P (A 1A 2)=P (A 2|A 1) P (A 1)=1/3. 而 P (A 3|A 1A 2)=3/4 ,
P (A 1A 2A 3)=P (A 3|A 1A 2) P (A 1A 2)=1/4 . 由数学归纳法可以知道
P (A 1A 2„A N )=1/(N +1).
解. 设事件A 表示“取到的是甲袋”, 则“取到的是乙袋”,
表示
事件B 表示“最后取到的是白球”. 根据题意 : P (B |A )=5/12 ,
4. 甲袋中有5只白球, 7 只红球; 乙袋中有4只白球, 2只红球. 从两个袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取一球, 求取到的球是白球的概率.
P (A )=1/2. ∴
,
.
解. 设事件A i 表示“从甲袋取的2个球中有i 个白球”,
5. 有甲、乙两袋, 甲袋中有3只其中i =0,1,2 . 白球,2只黑球; 乙袋中有4只白事件B 表示“从乙袋中取到的是白球”. 球,4只黑球. 现从甲袋中任取2
个球放入乙袋, 然后再从乙袋中 显然A 0, A 1, A 2构成一完备事件组, 且根据题意 任取一球, 求此球为白球的概率. P(A 0)=1/10 , P (A 1)=3/5 ,
P (A 2)=3/10 ;
P(B |A 0)=2/5 , P (B |A 1)=1/2 , P (B |A 2)=3/5 ; 由全概率公式
P (B )=P (B |A 0) P (A 0)+P (B |A 1) P (A 1)+P (B |A 2) P (A 2)
=2/5×1/10+1/2×3/5+3/5×3/10=13/25.
解. 设事件A 表示“第一次取到的是1号球”,则
表示“第一次取
到的是非1号球”;
事件B 表示“最后取到的是2号球”.
显
然 P (A )=1/N ,
6. 袋中装有编号为1, 2,…, N 的N 个球, 先从袋中任取一球, 如该球不是1号球就放回袋中, 是1号球就不放回, 然后再摸一次, 求取到2号球的概率.
,
且 P (B |A )=1/(N -1),
;
∴
=1/(N -1) ×1/N +1/N
×(N -1)/N
=(N 2-N +1)/N 2(N -1).
7. 袋中装有8只红球 , 2只黑球, 每次从中任取一球, 不放回地连续取两次, 求下列事件的概率.
(1)取出的两只球都
解. 设事件A 1表示“第一次取到的是红球”,
设事件A 2表示“第二次取到的是红球”. (1)要求的是事件A 1A 2的概率. 根据题意 P (A 1)=4/5,
是红球;
(2)取出的两只球都是黑球;
(3)取出的两只球一只是红球, 一只是黑球;
(4)第二次取出的是红球.
,
P (A 2|A 1)=7/9,
∴P (A 1A 2)=P (A 1) P (A 2|A 1)=4/5×7/9=28/45. (2)
要求的是事件根据题意:
∴
的概率.
,
,
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(3)要求的是取出一只红球一只黑球, 它包括两种情形, 即求事件
∴
.
(4)要求第二次取出红球, 即求事件A 2的概率. 由全概率公式 :
=7/9×4/5+8/9×1/5=4/5.
8. 某射击小组
解. 设事件A 表示“射手能通过选拔进入比赛”,
共有20名射手, 其中一级射手4设事件B i 表示“射手是第i 级射手”.(i =1,2,3,4) 人, 二级射手8
显然, B1、B 2、B 3、B 4构成一完备事件组, 且
人, 三级射手7人, 四级射手1P (B 1)=4/20, P (B 2)=8/20, P (B 3)=7/20, P (B 4)=1/20; 人. 一、二、三、
P (A |B 1)=0.9, P (A |B 2)=0.7, P (A |B 3)=0.5, P (A |B 4)=0.2.
四级射手能通过
的概率.
,
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,
选拔进入比赛的由全概率公式得到 概率分别是0.9、
P (A )=P (A |B 1) P (B 1)+P (A |B 2) P (B 2)+P (A |B 3) P (B 3)+P (A |B 4) P (B 4) 0.7、0.5、0.2 . 求
任选一名射手能=0.9×4/20+0.7×8/20+0.5×7/20+0.2×1/20=0.645. 通过选拔进入比
赛的概率.
解. 设事件A 1表示“飞机能飞到距目标400米处”,
设事件A 2表示“飞机能飞到距目标200
米处”,
设事件A 3表示“飞机能飞到距目标100
9. 轰炸机轰炸某目标, 它能飞到距目标400、200、100(米) 的概用事件B 表示“目标被击中”. 率分别是0.5、0.3、0.2, 又设它
由题意, P (A 1)=0.5, P (A 2)=0.3, P (A 3)=0.2,
在距目标400、200、100(米) 时的命中率分别是0.01、0.02、0.1 . 且A 1、A 2、A 3构成一完备事件组. 求目标被命中的概率为多少?
米处”,
又已知 P (B |A 1)=0.01, P (B |A 2)=0.02,
P (B |A 3)=0.1. 由全概率公式得到 :
P (B )=P (B |A 1) P (A 1)+P (B |A 2) P (A 2)+P (B |A 3) P (A 3)
=0.01×0.5+0.02×0.3+0.1×0.2=0.031.