赢在课堂2.1

1.设集合A和B都是自然数集合,映射f:AB把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2nn则在映射f下,象20的原象是( )

A.2 B.3 C.4 D.5

【答案】 C

【解析】由已知2nn20检验可知n=4.

2.下列四组函数中,表示同一函数的是( )

B.y

y 2C.y=4lgx与y=2lgx

D.y=lgx-2与y=lg A.y=x-1

与y

【答案】 D

【解析】 ∵y=x-1

与y|x-1|的对应关系不同,故不是同一函数

;yx

1)与

yx>1)的定义域不同,∴它们不是同一函数;又y=4lgx(x>0)与y=2lgx2(x0)的定义域不同,因此它们也不是同一函数,而y=lgx-2(x>0)与y=lglgx-2(x>0)有相同的定100

义域、值域与对应关系,故它们是同一函数.

1x2x13.设函数f(x)= 2 则f[]的值为…… ( ) f(2)xx2x1

A. B. C. 【答案】 A

【解析】 ∵f(2)2224 ∴f[]f()1()2. 2D.18 lg(4x)4.函数f(x)的定义域为 . x3

【答案】 {x|x

4x0【解析】由题意得  解得x

即函数f(x)的定义域为{x|x

5.若f(x-1)=2x+5,则f(x2).

【答案】 2x7

【解析】令x-1=t,则x=t+1,f(t)=2(t+1)+5=2t+7,∴f(x)2x7. 222

1.下列函数中,与函数y=x相同的函数是( )

xC.y=lg10 A.y【答案】 C B.y2 D.y2log2x

2x(x

0);y2x(x0); 【解析】因yy=lg10xx(xR);

y2log2xx(x0).故选C项.

2.设M={x|2x2},N={y|0y2},函数f(x)的定义域为M,值域为N,则f(x)的图象可以是图中的 ( )

【答案】 B

【解析】 A中函数的定义域不是{x|2x2},D中函数的值域不是{y|0y2};C中对M中的任一元素,N中的对应元素不一定唯一.

3.(2012山东泗水段考)

函数y ( ) A.{x|x

B.{x|x>0}

C.{x|x

D.{x|x0且x1xR}

【答案】 C

x10【解析】依题意有  解得x

4.若f(x)= f(x3)x6 则f(-1)的值为( ) log2xx6

C.3 D.4 A.1 B.2

【答案】 C

【解析】 f(-1)=f(2)=f(5)=f(8)=log283.

5.定义两种运算

:ab

(

ab则函数f(x)的解析式为A.f(x)x

[20)[02) B.f(x

)x(2][2) C.f(x)x

(2][2) D.f(x)x

[20)(02] 【答案】 D

【解析】

∵2x

x2

|x-2|,

∴f(x) 又其定义域为{x|2x

0或0x2},

∴f(x)x[20)(02]. 26.已知f(x)x则函数. xx2

【答案】 11

22【解析】 ∵f(x)x(x)2 xx2

∴f(x)x22.∴f(3)32211.

7.设f:AB是从集合A到集合B的映射,其中A=B={(x,y)|xRyR},f:(xy)(xyxy).那么A中元素(1,3)的象是;B中元素(1,3)的原象是 .

【答案】 (4,-2) (2,-1)

【解析】当x=1,y=3时,x+y=4,x-y=-2,

∴A中元素(1,3)的象是(4,-2). x

xy1令  由此解得 xy3

8.函数f(x)x2 y1

∴B中元素(1,3)的原象是(2,-1). . 【答案】 {x|x4且x5}

x40x4【解析】要使f(x)有意义,则  ∴  x50x5

∴f(x)的定义域为{x|x4且x5}.

9.已知f(1)lgx,则. x

【答案】 lg(x1) x1

【解析】令1t(t1),则x xt1

∴f(t)=lgf(x)lg(x1). x1t1

10.设函数f(x)(xN)表示x除以2的余数,函数g(x)(xN)表示x除以3的余数,则对任意的xN,给出以下式子:

①f(x)g(x);②g(2x)=2g(x);③f(2x)=0;④f(x)+f(x+3)=1.

其中正确的式子编号是 .(写出所有符合要求的式子的编号)

【答案】 ③④

【解析】当x是6的倍数时,可知f(x)=g(x)=0,所以①不正确;容易得到当x=2时,g(2x)=g(4)=1,而2g(x)=2g(2)=4,所以g(2x)2g(x)故②错误;当xN时,2x一定是偶数,所以f(2x)=0正确;当xN时,x和x+3中必有一个为奇数、一个为偶数,所以f(x)和f(x+3)中有一个为0、一个为1,所以f(x)+f(x+3)=1正确.

(a0)f(2)1又方程f(x)=x有唯一解,求f(x)的解析式. axb

【解】由f(2)=1得1即2a+b=2; 2ab

由f(x)=x得x变形得x(1)0 解此方程得x=0或x a

又∵方程有唯一解,∴0 a

解得b=1,代入2a+b=2得a. ∴f(x). x211.若函数f(x)

12.求下列函数的定义域:

(1)ylgcosx;

(2)y=log2(x22x).

25x20【解】 (1)由  cosx0

5x5得 x2k(kZ) 2k借助于数轴,解这个不等式组,得函数的定义域为

[5)()(5]. 2222

22(2)由题意得x2x0即x2x0.

∴0

13.(1)已知f(x-2)=3x-5,求f(x);

(2)已知f(1-cosx)=sinx求f(x);

(3)若f{f[f(x)]}=27x+26,求一次函数f(x)的解析式.

【解】 (1)令t=x-2,则xt2tR,

由已知有:f(t)=3(t+2)-5=3t+1,

故f(x)=3x+1. 2

(2)∵f(1-cosx)=sinx1cos2x

令1-cosx=t,cosx=1-t,

∵1cosx1

∴01cosx2.∴0t2.

∴f(t)=1(1t)2t22t(0t2).

故f(x)x22x(0x2).

(3)设f(x)axb(a0)f[f(x)]a2xabb

f{f[f(x)]}a(a2xabb)ba3xa2bab+b, 2

a327∴ 2 ababb26

解得a=3,b=2.

则f(x)=3x+2.

x1x014.(1)已知f(x)x1g(x)  求f[g(x)]和g[f(x)]的表达式. 2xx0

(2)已知函数f(x)的定义域为(0)且

f(x)=2f(1,求f(x)的表达式. 2

【解】 (1)当x>0时,g(x)=x-1,

故f[g(x)](x1)21x22x.

当x

故f[g(x)](2x)21x24x3.

x22xx0∴f[g(x)]= 2 当x>1或x0, x4x3x0

故g[f(x)]f(x)1x22.

当-1

故g[f(x)]2f(x)3x. 2

x22x1或x1∴g[f(x)]=  23x1x1

(2)

在f(x)2f(1中, x

用代替x,

得f()2f(x1.

1代入f(x)2f(1中,

将f()xx可求得f(x).

1.设集合A和B都是自然数集合,映射f:AB把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2nn则在映射f下,象20的原象是( )

A.2 B.3 C.4 D.5

【答案】 C

【解析】由已知2nn20检验可知n=4.

2.下列四组函数中,表示同一函数的是( )

B.y

y 2C.y=4lgx与y=2lgx

D.y=lgx-2与y=lg A.y=x-1

与y

【答案】 D

【解析】 ∵y=x-1

与y|x-1|的对应关系不同,故不是同一函数

;yx

1)与

yx>1)的定义域不同,∴它们不是同一函数;又y=4lgx(x>0)与y=2lgx2(x0)的定义域不同,因此它们也不是同一函数,而y=lgx-2(x>0)与y=lglgx-2(x>0)有相同的定100

义域、值域与对应关系,故它们是同一函数.

1x2x13.设函数f(x)= 2 则f[]的值为…… ( ) f(2)xx2x1

A. B. C. 【答案】 A

【解析】 ∵f(2)2224 ∴f[]f()1()2. 2D.18 lg(4x)4.函数f(x)的定义域为 . x3

【答案】 {x|x

4x0【解析】由题意得  解得x

即函数f(x)的定义域为{x|x

5.若f(x-1)=2x+5,则f(x2).

【答案】 2x7

【解析】令x-1=t,则x=t+1,f(t)=2(t+1)+5=2t+7,∴f(x)2x7. 222

1.下列函数中,与函数y=x相同的函数是( )

xC.y=lg10 A.y【答案】 C B.y2 D.y2log2x

2x(x

0);y2x(x0); 【解析】因yy=lg10xx(xR);

y2log2xx(x0).故选C项.

2.设M={x|2x2},N={y|0y2},函数f(x)的定义域为M,值域为N,则f(x)的图象可以是图中的 ( )

【答案】 B

【解析】 A中函数的定义域不是{x|2x2},D中函数的值域不是{y|0y2};C中对M中的任一元素,N中的对应元素不一定唯一.

3.(2012山东泗水段考)

函数y ( ) A.{x|x

B.{x|x>0}

C.{x|x

D.{x|x0且x1xR}

【答案】 C

x10【解析】依题意有  解得x

4.若f(x)= f(x3)x6 则f(-1)的值为( ) log2xx6

C.3 D.4 A.1 B.2

【答案】 C

【解析】 f(-1)=f(2)=f(5)=f(8)=log283.

5.定义两种运算

:ab

(

ab则函数f(x)的解析式为A.f(x)x

[20)[02) B.f(x

)x(2][2) C.f(x)x

(2][2) D.f(x)x

[20)(02] 【答案】 D

【解析】

∵2x

x2

|x-2|,

∴f(x) 又其定义域为{x|2x

0或0x2},

∴f(x)x[20)(02]. 26.已知f(x)x则函数. xx2

【答案】 11

22【解析】 ∵f(x)x(x)2 xx2

∴f(x)x22.∴f(3)32211.

7.设f:AB是从集合A到集合B的映射,其中A=B={(x,y)|xRyR},f:(xy)(xyxy).那么A中元素(1,3)的象是;B中元素(1,3)的原象是 .

【答案】 (4,-2) (2,-1)

【解析】当x=1,y=3时,x+y=4,x-y=-2,

∴A中元素(1,3)的象是(4,-2). x

xy1令  由此解得 xy3

8.函数f(x)x2 y1

∴B中元素(1,3)的原象是(2,-1). . 【答案】 {x|x4且x5}

x40x4【解析】要使f(x)有意义,则  ∴  x50x5

∴f(x)的定义域为{x|x4且x5}.

9.已知f(1)lgx,则. x

【答案】 lg(x1) x1

【解析】令1t(t1),则x xt1

∴f(t)=lgf(x)lg(x1). x1t1

10.设函数f(x)(xN)表示x除以2的余数,函数g(x)(xN)表示x除以3的余数,则对任意的xN,给出以下式子:

①f(x)g(x);②g(2x)=2g(x);③f(2x)=0;④f(x)+f(x+3)=1.

其中正确的式子编号是 .(写出所有符合要求的式子的编号)

【答案】 ③④

(a0)f(2)1又方程f(x)=x有唯一解,求f(x)的解析式. axb

【解】由f(2)=1得1即2a+b=2; 2ab

由f(x)=x得x变形得x(1)0 解此方程得x=0或x a

又∵方程有唯一解,∴0 a

解得b=1,代入2a+b=2得a. ∴f(x). x211.若函数f(x)

12.求下列函数的定义域:

(1)ylgcosx;

(2)y=log2(x22x).

25x20【解】 (1)由  cosx0

5x5得 x2k(kZ) 2k借助于数轴,解这个不等式组,得函数的定义域为

[5)()(5]. 2222

22(2)由题意得x2x0即x2x0.

∴0

13.(1)已知f(x-2)=3x-5,求f(x);

(2)已知f(1-cosx)=sinx求f(x);

(3)若f{f[f(x)]}=27x+26,求一次函数f(x)的解析式.

【解】 (1)令t=x-2,则xt2tR,

由已知有:f(t)=3(t+2)-5=3t+1,

故f(x)=3x+1. 2

(2)∵f(1-cosx)=sinx1cos2x

令1-cosx=t,cosx=1-t,

∵1cosx1

∴01cosx2.∴0t2.

∴f(t)=1(1t)2t22t(0t2).

故f(x)x22x(0x2).

(3)设f(x)axb(a0)f[f(x)]a2xabb

f{f[f(x)]}a(a2xabb)ba3xa2bab+b, 2

a327∴ 2 ababb26

解得a=3,b=2.

则f(x)=3x+2.

x1x014.(1)已知f(x)x1g(x)  求f[g(x)]和g[f(x)]的表达式. 2xx0

(2)已知函数f(x)的定义域为(0)且

f(x)=2f(1,求f(x)的表达式. 2

【解】 (1)当x>0时,g(x)=x-1,

故f[g(x)](x1)21x22x.

当x

故f[g(x)](2x)21x24x3.

x22xx0∴f[g(x)]= 2 当x>1或x0, x4x3x0

故g[f(x)]f(x)1x22.

当-1

故g[f(x)]2f(x)3x. 2

x22x1或x1∴g[f(x)]=  23x1x1

(2)

在f(x)2f(1中, x

用代替x,

得f()2f(x1.

1代入f(x)2f(1中,

将f()xx可求得f(x).

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