摘要
本文针对测量山崖高度这一问题，利用物理、数学等知识建立了三个数学模型，得到精确度较高的结果。
模型一，只考虑有重力作用下的自由落体运动，得到高度为78.4m.
模型二，在模型一的基础上，考虑的空气的阻力的影响，利用牛顿第二定律，建立的微分方程模型，得到的高度为73.6m 。同时分析了模型一与模型二的关系。
模型三，在模型二的基础上，再考虑了回声时间这一因素，得到了更为精确的结果为：63.2m.
最后，在对模型改进时，考虑了反应时间对高度的影响，发现反应时间对高度有很大的影响，求解后得到了山崖的高度为60.567m 。
关键词：微分方程 积分 牛顿第二定律
一、问题的重述
不用测量工具，只借助于秒表、石块、计算机，尽可能准确地测量出山崖的高度。
二、问题分析
根据题意，该实际问题不能使用卷尺之类的长度测量工具，通过数学模型来得到尽可能精确的结果。借助石块和秒表来测量山崖的高度，受俩个方面的影响：石块受力和时间。 首先，只考虑地球引力作用下的高度，可以通过自由落体公式得到。但是这个结果显然很粗糙，为了进一步提高精度，再考虑上空气阻力的影响，得到比上一个精确的结果。其次在时间方面，回声所用的时间也会造成测量结果的误差，所以，在第二模型的基础上，在考虑回声所有的时间，可以得到一个更为精确的结果。除了回声所用时间，在听到回声，按下计时器的时候，人会有一个反应时间，最后，在第三个模型的基础上，在考虑计时的反应时间，得到最终的结果。
三、符号说明和假设
1、符号说明
表示山崖的高度（）
表示听到石块落地的时间 （）
表示声音传播速度，取值为340 （ 重力加速度，取值为9.8（）
空气阻力系数 石块下落的速度（
）
）
石块质量（） 2、模型假设
（1）不计测量者的反应时间，即计时反应时间为0； （2）山崖的近乎垂直； （3）石块的初始速度为0。
四、模型建立 模型求解 模型结果分析
模型一
在不计空气阻力和回声，只考虑地球引力的作用，直接利用自由落体运动公式[1]：
就可以得到结果，如果时间
（1） ，那么，得到
这个结果是很粗糙的，出了地球引力之外，对石块下落影响最大的就是空气阻力，为了使结果进一步的精确，考虑空气阻力的作用，建立第二个模型。
模型二
根据流体力学知识，此时可设空气的阻力正比于石块下落的速度，设阻力系数为常数，石块下落的即时速度为，因而，有牛顿第二定律可得[2]：
两边同时除以，并令
，两边积分，得到
（3）
（2）
考虑到石块的初始速度为
所以，石块的下落速度为：
，得到
（4）
两边同时在积分一次，就可以得打了山崖的高度，
考虑当时间
所以，山崖的高度为：
如果仍然设高度
这个结果显然比第一个模型中的要精确，同时也可以看到，在式（6）中，考虑到泰勒展开式
将式（7）代式（6）中，得到
的
（6）
网上搜索空气阻力系数[3]
，并结合本问题，设
，则山崖的
时，
，得到：
（5）
（7）
并
，得到：
（8）
（10）
这是模型一，即模型一是模型二的特殊情况。
影响山崖高度的另外一个因素就是时间：石块落地声音回传的时间和记时的反应时间。下面在模型二的基础上考虑声音回传时间的模型。
模型三
在模型二的基础上，设石块下落的真正时间为
，声音传回来的时间为，得到模型如下：
（11）
模型三是一个非线性方程组，一共有三个未知数，三个方程，应该有唯一解，下面对其求解方法进行说明。
现对于石块的下落速度，声音的传播速度要快得多，所以，先用模型二计算出山崖的高度，令，校正
，石块的下落时间为，再来计算山崖的高度
直到保持不变。具体算法步骤如下
Step 1
初始变量：，利用模型二式（6），计算 Step 2 计算声音传播时间：利用step 1 中的，计算出声音的近似传播时间
Step 3
计算石块的下落时间：下落时间的近似值为：Step 4
计算山崖的高度：山崖的近似高度为：
；
；
Step 5 如果step 1中的与step 4中的有变化，重复step 1、step 2、step 3、step4，
直到没有变化为止。
利用Matlab 编写程序[4]（见附录A ）求得迭代次数与的关系如下表1. 和图1.
表 1 迭代次数与山崖高度的关系
山崖高度（m ）
1
2
3
4
5
6迭代次数
7
8
9
10
11
图 1 迭代次数与山崖高度的关系
从表1. 和图1. 中可以看出，当迭代次数为7次时，山崖的高度不再发生变化，故而山崖的高度。
五、模型优缺点、改进方向
5.1 模型的改进一
对于该问题，还有一个改进山崖高度的方面，那就是考虑测量人的反应时间，这个时间可以从多次测量去平均值的方法得到，也可以通过网上搜索得到，这里采用网上的结果[5]，反应时间为：，从新考虑模型三，那么从石块开始下落，到秒表停止，仍然设秒表显示的时间为4秒，那么得到新的模型为：
求解方法与模型三相同，Matlab 程序见附录B ，这时得到的结果：
表 2 考虑反应时间的山崖高度与迭代次数的关系
山崖的高度H （m ）
1
2
3
4
5
67
迭代次数N
8
9
10
11
图 2考虑反应时间的山崖高度与迭代次数的关系
对比模型三和此处的结果可以看出，反应时间对山崖的高度影响还是很大的。
5.2 模型的改进二
对于反应时间问题，由于引人而异，且受人的当时状态的影响，所以准确的反应时间对于能否准确测量出山崖的高度有很大的影响，为此，还是不要借助网上的结果，而是对测量者多次测其反应时间，取平均值的方法更为合理。
六、参考文献
[1] 邓法金. 大学物理（第二版）[M].北京:科学出版社,2004 [2] 吴赣昌. 高等数学[M]. 北京：中国人民大学出版社, 2008 [3] http://baike.baidu.com/view/95279.htm
[4] 周建兴, 岂兴明, 矫津毅. matlab 教程[M]. 北京:北京航空航天大学出版社, 2010 [5] http://zhidao.baidu.com/question/47970217.html
七、附录
附录A ： 模型三程序
t=4; k=0.05; g=9.8; N=10; h(1)=73.8; for i=1:N t2=h(i)/340; t1=t-t2;
h(i+1)=g/k*t1+g/k^2*exp(-k*t1)-g/k^2; end
plot([1:N+1],h,'k-*') h
附录B 模型优缺点、改进方向的程序
t=4; t0=0.2 k=0.05; g=9.8; N=10; h(1)=73.8; for i=1:N t2=h(i)/340; t1=t-t0-t2;
h(i+1)=g/k*t1+g/k^2*exp(-k*t1)-g/k^2; end
plot([1:N+1],h,'k-*') h
摘要
本文针对测量山崖高度这一问题，利用物理、数学等知识建立了三个数学模型，得到精确度较高的结果。
模型一，只考虑有重力作用下的自由落体运动，得到高度为78.4m.
模型二，在模型一的基础上，考虑的空气的阻力的影响，利用牛顿第二定律，建立的微分方程模型，得到的高度为73.6m 。同时分析了模型一与模型二的关系。
模型三，在模型二的基础上，再考虑了回声时间这一因素，得到了更为精确的结果为：63.2m.
最后，在对模型改进时，考虑了反应时间对高度的影响，发现反应时间对高度有很大的影响，求解后得到了山崖的高度为60.567m 。
关键词：微分方程 积分 牛顿第二定律
一、问题的重述
不用测量工具，只借助于秒表、石块、计算机，尽可能准确地测量出山崖的高度。
二、问题分析
根据题意，该实际问题不能使用卷尺之类的长度测量工具，通过数学模型来得到尽可能精确的结果。借助石块和秒表来测量山崖的高度，受俩个方面的影响：石块受力和时间。 首先，只考虑地球引力作用下的高度，可以通过自由落体公式得到。但是这个结果显然很粗糙，为了进一步提高精度，再考虑上空气阻力的影响，得到比上一个精确的结果。其次在时间方面，回声所用的时间也会造成测量结果的误差，所以，在第二模型的基础上，在考虑回声所有的时间，可以得到一个更为精确的结果。除了回声所用时间，在听到回声，按下计时器的时候，人会有一个反应时间，最后，在第三个模型的基础上，在考虑计时的反应时间，得到最终的结果。
三、符号说明和假设
1、符号说明
表示山崖的高度（）
表示听到石块落地的时间 （）
表示声音传播速度，取值为340 （ 重力加速度，取值为9.8（）
空气阻力系数 石块下落的速度（
）
）
石块质量（） 2、模型假设
（1）不计测量者的反应时间，即计时反应时间为0； （2）山崖的近乎垂直； （3）石块的初始速度为0。
四、模型建立 模型求解 模型结果分析
模型一
在不计空气阻力和回声，只考虑地球引力的作用，直接利用自由落体运动公式[1]：
就可以得到结果，如果时间
（1） ，那么，得到
这个结果是很粗糙的，出了地球引力之外，对石块下落影响最大的就是空气阻力，为了使结果进一步的精确，考虑空气阻力的作用，建立第二个模型。
模型二
根据流体力学知识，此时可设空气的阻力正比于石块下落的速度，设阻力系数为常数，石块下落的即时速度为，因而，有牛顿第二定律可得[2]：
两边同时除以，并令
，两边积分，得到
（3）
（2）
考虑到石块的初始速度为
所以，石块的下落速度为：
，得到
（4）
两边同时在积分一次，就可以得打了山崖的高度，
考虑当时间
所以，山崖的高度为：
如果仍然设高度
这个结果显然比第一个模型中的要精确，同时也可以看到，在式（6）中，考虑到泰勒展开式
将式（7）代式（6）中，得到
的
（6）
网上搜索空气阻力系数[3]
，并结合本问题，设
，则山崖的
时，
，得到：
（5）
（7）
并
，得到：
（8）
（10）
这是模型一，即模型一是模型二的特殊情况。
影响山崖高度的另外一个因素就是时间：石块落地声音回传的时间和记时的反应时间。下面在模型二的基础上考虑声音回传时间的模型。
模型三
在模型二的基础上，设石块下落的真正时间为
，声音传回来的时间为，得到模型如下：
（11）
模型三是一个非线性方程组，一共有三个未知数，三个方程，应该有唯一解，下面对其求解方法进行说明。
现对于石块的下落速度，声音的传播速度要快得多，所以，先用模型二计算出山崖的高度，令，校正
，石块的下落时间为，再来计算山崖的高度
直到保持不变。具体算法步骤如下
Step 1
初始变量：，利用模型二式（6），计算 Step 2 计算声音传播时间：利用step 1 中的，计算出声音的近似传播时间
Step 3
计算石块的下落时间：下落时间的近似值为：Step 4
计算山崖的高度：山崖的近似高度为：
；
；
Step 5 如果step 1中的与step 4中的有变化，重复step 1、step 2、step 3、step4，
直到没有变化为止。
利用Matlab 编写程序[4]（见附录A ）求得迭代次数与的关系如下表1. 和图1.
表 1 迭代次数与山崖高度的关系
山崖高度（m ）
1
2
3
4
5
6迭代次数
7
8
9
10
11
图 1 迭代次数与山崖高度的关系
从表1. 和图1. 中可以看出，当迭代次数为7次时，山崖的高度不再发生变化，故而山崖的高度。
五、模型优缺点、改进方向
5.1 模型的改进一
对于该问题，还有一个改进山崖高度的方面，那就是考虑测量人的反应时间，这个时间可以从多次测量去平均值的方法得到，也可以通过网上搜索得到，这里采用网上的结果[5]，反应时间为：，从新考虑模型三，那么从石块开始下落，到秒表停止，仍然设秒表显示的时间为4秒，那么得到新的模型为：
求解方法与模型三相同，Matlab 程序见附录B ，这时得到的结果：
表 2 考虑反应时间的山崖高度与迭代次数的关系
山崖的高度H （m ）
1
2
3
4
5
67
迭代次数N
8
9
10
11
图 2考虑反应时间的山崖高度与迭代次数的关系
对比模型三和此处的结果可以看出，反应时间对山崖的高度影响还是很大的。
5.2 模型的改进二
对于反应时间问题，由于引人而异，且受人的当时状态的影响，所以准确的反应时间对于能否准确测量出山崖的高度有很大的影响，为此，还是不要借助网上的结果，而是对测量者多次测其反应时间，取平均值的方法更为合理。
六、参考文献
[1] 邓法金. 大学物理（第二版）[M].北京:科学出版社,2004 [2] 吴赣昌. 高等数学[M]. 北京：中国人民大学出版社, 2008 [3] http://baike.baidu.com/view/95279.htm
[4] 周建兴, 岂兴明, 矫津毅. matlab 教程[M]. 北京:北京航空航天大学出版社, 2010 [5] http://zhidao.baidu.com/question/47970217.html
七、附录
附录A ： 模型三程序
t=4; k=0.05; g=9.8; N=10; h(1)=73.8; for i=1:N t2=h(i)/340; t1=t-t2;
h(i+1)=g/k*t1+g/k^2*exp(-k*t1)-g/k^2; end
plot([1:N+1],h,'k-*') h
附录B 模型优缺点、改进方向的程序
t=4; t0=0.2 k=0.05; g=9.8; N=10; h(1)=73.8; for i=1:N t2=h(i)/340; t1=t-t0-t2;
h(i+1)=g/k*t1+g/k^2*exp(-k*t1)-g/k^2; end
plot([1:N+1],h,'k-*') h