拉格朗日中值定理的证明与应用

拉格朗日中值定理的证明与应用

屈俊1，张锦花2

摘要:本文首先用辅助函数法,区间套法,参数变异法,巴拿赫不动点定理法,行列式法,旋转坐标法，面积法证明了拉格朗日中值定理。然后用具体的例子,说明了如何应用拉格朗日中值定理求极限,证明不等式,恒等式,求函数的解析性,证明级数的收敛性,解决估值问题。

关键字:拉格朗日中值定理 证明 应用

三大微分中值定理（其中包括罗尔中值定理，拉格朗日中值定理和柯西中值）是《数学分析》中的一个重要章节。微分中值定理建立了函数与导数之间的联系，他们使微积分建立在严密而坚实的基础上，构成了微积分优美的基本理论，而且是利用导数研究函数的性质与状态的重要理论基础。拉格朗日中值定理是几个微分中值定理中最重要的一个，是微分学应用的桥梁。由于罗尔中值定理条件的限制，他的用途没有拉格朗日中值定理广泛，在证明拉格朗日中值定理时方法多样，下面介绍证明拉格朗日中值定理时常常采用的方法以及用具体的例子说明拉格朗日中值定理的应用。

(一)拉格朗日中值定理的证明

拉格朗日(Lagrange)中值定理:若函数f(x) 满足如下条件： (1)在闭区间[a,b]上连续；

(2)在开区间(a,b)内可导；则在(a,b)内至少存在一点，使得

f'()

f(b)f(a)

b

a

拉格朗日中值定理的几何意义：函数yf(x) 在区间[a,b]上的图形是连续光滑曲线弧

AB 上至少有一点C，曲线在C点的切线平行于弦AB.

从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若f(x)在闭区间a,b,两端点的函数值相等，即f(a)f(b) ，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数f(x) 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理.

证明：

1.1：辅助函数法

目前教材的常见证明方法如下： 作辅助函数

f(b)f(a)

(ba),x[a,b],

ba

(x)f(x)f(a)

1

由于函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)上可导，并且有

(a)(b)0,

于是由Rolle定理，至少存在一点(a,b) ，使得'()0. 对(x) 的表达式求导并令'()0.整理后便得到

f'()

f(b)f(a)

ba

1.2行列式

令

f(a)a1F(x)f(b)b1.

f(x)x1

根据拉格朗日中值定理的条件知，函数F(x) 在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，并且有

f(a)a1F'(x)f(b)b1

f'(x)10



由于F(b)F(a)

0, 所以根据罗尔中值定理知，在(a,b)内至少有一点 ，使得F'()0 ，即 f(a)a1f(b)b10 f'()10

根据行列式的性质不难得到

f(a)a1f(b)f(a)ba00, f'()10

在按照第三列展开该行列式得

[f(b)f(a)]f'()(ba)0,

即

f'()

f(b)f(a)

ba

1.3旋转坐标法

分析：做辅助函数F(x)y'

xsinf(x)cos, 因为

证毕

2

F(b)bsinf(b)cos,

F(a)asinf(a)cos,

sinf(b)f(a)

. cosba

可得F(a)F(b).

由tg

经此坐标轴的旋转变换，使旋转角 满足tg

f(b)f(a)

. 由此，构造辅助函数为

ba

F(x)xsinf(x)cos

f(b)f(a)

.有坐标轴的旋转公式：

ba

即可把问题转化为符合罗尔定理的条件。

证明：作坐标轴的旋转变换，使旋转角 满足tg

x'xcosysin'

yxsinycos

得

 

y'xsinf(x)cos

作辅助函数F(x)y'xsinf(x)cos, 则

F(b)bsinf(b)cos, F(a)asinf(a)cos,

因为tg

sinf(b)f(a)

.经检验可得F(a)F(b).且F(x) 满足罗尔中值定理的另外两个条件，故至少cosba

'

'

存在一点(a,b), 使得F()sinf()cos0, 即得f()

'

sinf(b)f()a

 cosba

1.4区间套法

引理1 若f(x) 满足：（1）在[a,b] 上连续，则存在属于[a,b] 的, 使得 (1)证明：

baf(b)f(a)f()f()

;(2) 2ba

ba1

)f(x)[f(b)f(a)] 22ab

] 上连续，且 有条件可知F(x) 在[a,2

设 F(x)f(x

3

ab1ab1

)[f(b)f(a)]f()[f(b)f(a)] 2222

ababbaab11abF()f()f()[f(b)f(a)][f(b)f(a)]f()F(a)

F(a)f(a

2222222

①若 F(a)0, 则 f(ab2)1

2

[f(b)f(a)] 令a,ab2, 显然有2ba

2 f()f()f(ab2)f(a)12[f(b)f(a)]f(a)1

2

[f(b)f(a)]

∴

f()f()f(b)f(a)



ba

此时， a,

ab

2 即为引理1要求的, ； 同理可证，ab

2

,b也为引理1要求的, 。 ②F(a)0, 则由闭区间上连续函数的性质可知，存在a(a,

ab

2

), 使得F(a)0 。 即f(a

ba2)f(a)1

2[f(b)f(a)] 亦即f(aba2f(a)1

2

f(b)(f)]a0,

1

f()f()[f(b)f(a)]

f(b)f(a)

1

b 2

(ba)a综合①②引理1得证。

引理2 若f(x) 在(a,b) 内一点x0 可导，n,bn 为任意两个数列，且nx0nlimn

nlimn

nx0,

则 lim

f(n)f(x0)

n

xf'(x0)

n0

证明：∵f(x) 在点x0 可导且nlim

nx0

lim

f(n)f(x0)n

∴

nx0

f(

limn)f(x0)nf'(x0)f'(x0)nx0

且

，

4

∴对于0,N1, 当nN1 时，恒有

f(n)f(x0)

f'(x0)

nx02

同理，对于0,N2, 当nN2 时，恒有

f(n)f(x0)

f'(x0)

nx02

所以对于0,Nmax{N1,N2}, 当nN 时，有

f(n)f(0)xf(n)f(x0)nx0f(n)f(x0)

f'(x0)n0f'(x0)

n0nnnx0nnnx0

nx0f(n)f(x0)nx0'xf(n)f(x0)nx0'

f(x0)[n0f(x0)]

nnnx0nnnnnx0nnnx0f(n)f(x0)xf(n)f(x0)

[f'(x0)]n0[f'(x0)]

nnnx0nnnx0

f(n)f(x0)f(n)f(x0)

f'(x0)f'(x0)

nx0nx0



2





2



(0

f(n)f(x0)'

f(x)0

nx0

nx0nx0

,1)

n0n0

所以lim

n

拉格朗日中值定理证明：

f(x) 在[a,b] 上连续，有引理1可知，存在[1,1][a,b],

使得

11

ba

,2

f(1)f(1)f(b)f(a)



11ba

同理，存在[2,2][1,1],

5

22

ba

,

24

f(2)f(2)f(1)f(1)



2211



11

以此类推，可得[a,b] 上的一系列闭区间

[,](n0,1,2,3,;

n

n

b,0a)

ba

(n1,2,3,)2n

满足(ⅱ)[n1,n1][n,n](n1,2,3,)（ⅰ）nn( ⅲ

f(n)f(n)f(b)f(a)

n

nnba

n

n

)

有区间套定理可知，在(a,b) 内存在一点 ，有limnlimn

'

应用引理2，有f()lim

n

f(n)f(0)f(b)f(a)f(b)(f)a

lim

nn0baba

即f(b)f(a)f'()(ba)

证毕

1.5参数变易法

设

k

则有

f(b)f(a)

ba

f(a)f(b)k(ba)

所以

f(b)kbf(a)ka

令

(x)f(x)kx

由于f(x) 闭区间[a,b] 上连续，开区间(a,b) 内可导，所以(x) 满足罗尔定理的三个条件闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且(a)(b) ，因此在(a,b)内至少有一点 ，使得

'()f'()k0,

即在(a,b)内至少有一点，使得

f(b)f(a)f'()(ba).

证毕

1.6巴拿赫不动点定理法

6

因为任意闭区间在通常的欧几里得度量下是完备的，针对[a,b]上凸（凹）函数f(x)可以先证明拉格朗日中值定理成立，对任意小的0 成立，在闭区间[a,b] 上构造自映射

A(x)xf(x)

假设x1,x2[a,b], 且x1x2 ，则有

'

f(b)f(a)

ba

Ax1Ax2(x1x2)(f'(x1)f'(x2))

假设f(x)在闭区间[a,b]上是凸函数，由凸函数的导数性质，可知f'(x) 在区间[a,b]内单调递减，所以有

f'(x1)f'(x2)0

从而存在一个数(0,1) ，使得

0(x1x2)f'(x1)f'(x2)

因此

Ax1Ax2(1)x1x2.

所以A(x) 是[a,b]上的压缩映射。由巴拿赫不动点定理知必存在唯一的不动点(a,b) ，使得

A().

于是有

f'()

f(b)f(a)

ba

证毕

1.7面积法

利用直观的几何关系，构造出辅助函数，再利用罗尔中值定理，便可得到定理结果，分析如下：

假设曲线L的方程yf(x) 。在曲线L上任意取一点P(x,f(x)) 与弦AB组成的 ABP, 则 ABP的面积

a

11S(x)ABAPb

22

xf(a)1



f(b)1. f(x)1

S(x) 在区间[a,b]上满足罗尔中值定理的三个条件。故由罗尔中值定理，在(a,b) 内至少有一点, 使得

f(b)f(a)f'()(ba).

证毕

7

y

(二)拉格朗日中值定理的应用

ab

在高等数学中我们应用拉格朗日中值定理，以求极限,证明不等式,恒等式,求函数的解析性,证明级数的收敛性,解决估值问题

2.1应用拉格朗日中值定理证明不等式

证明不等式的方法很多，但是对于某些不等式，用初等解法不一定解的出来，这是如果考虑拉格朗日中值定理，会比较简单。 其思想是：假设函数f(x) 在闭区间[a,b] 上连续且在开区间(a,b) 内可导，由拉格朗日中值定理得，在(a,b)内至少存在一点 ，使得

f'(x)

我们可以作以下变形

f(b)f(a)

.

ba

f(b)f(a)f'()(ba)(ab)，

'

f(ah)f(a)f(ah)h(01）.

'

不难看出，h 有限，f(ah)h 是ff(ah)f(a) 的准确表达式，且当 在(0,1)内变动时，

f'(ah) 有最大值M和最小值m ，从而有

mhf(ah)f(a)Mh.

这就是拉格朗日中值定理证明不等式的理论基础.

2.11直接用拉格朗日中值定理证明不等式

例1,设f(x) 在[a,b] 上二阶可导.f(a)f(b)0 ，且存在一点c(a,b) 使得f(c)0 .

8

证明：至少存在一点(a,b) 使得f''()0 .

证明：对于f(x)在[a,c] 上利用拉格朗日中值定理，存在1(a,c), 使得f(c)f(a)f(')(ca) 1

0,ca0,由于f(a)0,f(c)

故f'(1)0

对于f(x)在[c,b] 上利用拉格朗日中值定理，存在2(c,b) ，使得f(b)f(c)f'(2)(bc) 又f(b)0,f(c)0,bc0, 故f'(2)0 .

因为a1c2b,f'( 在根据拉格朗日中值定理，存在（1，2）（a,b), x)在[1,2]上可导，使得f'(2)f'(1)f

由此得出f

2.12先构造函数，在利用拉格朗日中值定理证明不等式

方法是根据所要证明的不等式和拉格朗日中值公式的形式构造一个函数，并取定一个区间，然后对构造的函数在取定区间上利用拉格朗日中值定理.

例2：证明：

h

arctanhh ，其中 h0. 2

1h

分析：求解这类题的思路是构造一个函数，然后对其求导。

证明：设f(x)arctanx, 在[0,h] 上运用拉格朗日中值定理得，

arctanh1

((0,h) h12

经过变形整理得arctanh

h

，由于0h 2

1

h

h从而arctanh,

所以

h

arctan1h2

h

arctanhh 1h2

2.2应用拉格朗日中值定理证明恒等式

要点： 根据拉格朗日公式

f(x)f(x0)f'()(xx0),

由此导数f(x)0 时，f(x) 恒等于某常数，利用这一原理，可以证明恒等式。 例3：求证：当x1 时，有2arctanxarctansin证明：当x1 时，结论显然成立。

''

2x

. 1x2

9

当x1 时，令f(x)2arctanxarctansin

2x

1

x

2

, f'

(x)2



22

1x2

0 有拉格朗日中值定理推论，得

f(x)2arctanxarcsin

2x

1x

2

c

令x，代入上式得c

所以2arctanxarcsin

2x

1x2

. 例4：证明对于任何实数恒有arctanxarccotx

2

.

证明：设

f(x)arctanxarccotx

在区间(,) 上恒有f'(x)0. 有拉格朗日定理可知f(x)0 .因为f(1)



4





4





2

,f(x)c



2

. 即对于任意的实数x 恒有

arctanxarccotx



2

.

例5：(x)

x

ln(1t)

otdt 在1x1 有意义，

证明：(x)(x)122

(x). （北京航空航天大学）

证明：问题等价于要证明函数

f(x)(x)(x)1

2

(x2)0

事实上f'(x)'(x)('x)x('x2

). 而'

(x)

ln(1x)

x

，故 f'

(x)ln(1x)xln(1x)xln(1x2)

x2

x0

'

由此f'

(x)c 。但是 (0)0 知f(0)0，所以c0,f(x)

0. 2.3应用拉格朗日中值定理证明根的存在性

所以

证毕

10

有的方程，特别是超越方程特别难直接求解，有时我们没有必要知道方程的根的确定值，而只要知道方程解的存在性或者近似值就可以了。证明方程根的存在性，根据所给根的范围就是区间[a,b] ，把所给方程设为函数f(x) ，然后用拉格朗日中值定理证明根的存在性（一般用反证法）。

例6：设f(x) 在[0,1] 上可导，且0f(x)1 ，又对于(0,1 内所有的点有f'(x)1, 证明方程）

f(x)x10 在(0,1) 内有唯一的实根。

证明：先正存在性。

令g(x)f(x)x1, 则g(x) 在[0,1] 上可导， 故 0f(x)1,g(0)f(0)10,g(1)f(1)0

所以，有零点定理知g(x) 在(0,1) 内至少有一个实根，即 f(x)x10 再证唯一性（用反证法）。

假设方程f(x)x10 在(0,1) 内有两个实根x1,x2, 不妨设0x1x21, 则

f(x2)1x2,f(x1)1x1

对f(x) 在[x1,x2] 上运用拉格朗日中值定理，有

f(x2)f(x1)f'()(x2x1)((x1,x2))

由此f()

'

f(x2)f(x1)1x2(1x)1

1

x2x1x2x1

这与已知条件f'(x)1 矛盾。唯一性得证。

2.4应用拉格朗日中值定理判断级数的敛散性

例7 ：判断2解：设

222357



2

2n1

是发散的。

f(x)lnx

是定义在闭区间[2n1,2n1] 的函数。有拉格朗日中值定理知：

12

ln(2n1)ln(2n1)[(2n1)(2n1)]



因为

2





2

，可得 2n1

11

2

,2n1222

ln(2n1)ln12

357ln(2n1)ln(2n1)

而



2

Sn

2n1

limln(2n1)ln1,

n

所以

limSn.

n

即2

222357



2

2n1

是发散的。

2.5利用拉格朗日中值定理解决估值问题

证明估值问题，一般情况下选用泰勒公式比较简单，特别是二阶以及二阶以上的导函数估值时，但对于某些积分估值，可以采用拉格朗日中值定理来证明。拉格朗日中值定理可以定量对泰勒公式中的余项的大小进项定量的估计，而泰勒公式有了拉格朗日余项形式才能估计计算误差的范围。

'

例8：设f(x) 在[a,b] 上连续，且f(a)f(b)0, 试证：

b



a

f'(x)

4

maxf(x), baaxb

证明：若f(x)0 ，不等式显然成立

（a,b) ，使得maxf(x)f(c), 若f(x) 不恒等于0，c

axb

在(a,c), 及[c,b] 上分别用拉格朗日中值定理，有

f'(1)

从而有：

f(c)'f(c)

,f(2), cacb

2



b

a

f'(x)dx

1

f



2

1

f

f'(2)f'(1)f(c)

在利用

ba(bc)(ca)

(ba)2

(ca)(bc)

4

即得所证.

2.6利用拉格朗日中值定理求极限

12

exesinx

. 例9:求极限lim

x0xsinx

f(b)f(a)exesinx

解题思路：由联想到拉格朗日中值定理的一般形式 ，从而构造函数f(t) ，再运用拉

baxsinx

格朗日中值定理求极限.

解：函数f(t)et 在[x,sinx]或者[sinx,x]上运用拉格朗日中值定理得：

exesinx

e （ 介于x与sinx之间）当x0 时，sinx0 ，由介值定理可知0 xsinx

则

exesinx

lime1 原式= lim

0xsinx0

证毕

例10：若f(x)在(x0,) 内可导，且limf(x)0,

x

求证：lim

x

f(x)

0. x

分析：在f(x)没有具体表达式的情况下，只能从已知条件中想办法，因为题设中涉及到f'(x) ，于是应该想到拉格朗日中值定理，f(x)可以用下式表示：

f(x)f(x0)+f'()(xx0),

(x0,).

证得

f(x)

''

证明：因为limf(x）=0, 所以0 ，存在M>0，设x0M, 则对任意的Mx, 有f(x)

x



2

.

在区间(x0,)的闭子区间[M,X] 上，函数f(x)满足拉格朗日中值定理的条件，即存在 ，使得

f'()

f(x)f(M)

xM

则f(x)f(M)



2(xM)

M

1 x

f(x)f(M)(M)

 所以有

Mxxx22(1）x

因为x0,01

13

又因为lim

x

f(x)

0,0,X0, x

当xXM 时，有

f(M)

 x2

f(x)

. x22

综上，对任意的0, 存在X0 ，当xX 时

致谢

光阴似箭，大学的学习生活也即将结束，感慨万千，可更多的是感动。

首先，对于论文指导老师屈俊老师，在这里我要发自肺腑的说一声谢谢。从论文题目的选定，论文的设计与修改，到最后论文的定稿光，都付出了很多。

其次，我要感谢太原师范学院数学系的各位领导与老师。谢谢他们对我学习和成长的帮助。

参考文献

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]

华东师范大学数学,数学分析 [M](第三版),高等教育出版社，2001. 陈纪俢 於崇华 金路，数学分析[M],高等教育出版社，2000 裴礼文，数学分析中的典型问题与方法[M]，高等教育出版社，2006 王振林，浅谈微分中值定理的应用[J],太原科技，2001 冯秀芹，拉格朗日中值定理的几种证法[J],科技资讯，2006 周焕芹，浅谈中值定理在解题中的应用[J],高等数学研究，1999 钱吉林，数学分析解题精粹（第二版）武汉：崇文书局，2009 林源渠，方企勤等，数学分许习题集[M]，高等教育出版社，1986 华东师范大学数学系，数学分析习题解析[M],陕西师范大学出版社，2004 陆子芬，高等数学解析大全[M],辽宁科技出版社，1991

14

拉格朗日中值定理的证明与应用

屈俊1，张锦花2

摘要:本文首先用辅助函数法,区间套法,参数变异法,巴拿赫不动点定理法,行列式法,旋转坐标法，面积法证明了拉格朗日中值定理。然后用具体的例子,说明了如何应用拉格朗日中值定理求极限,证明不等式,恒等式,求函数的解析性,证明级数的收敛性,解决估值问题。

关键字:拉格朗日中值定理 证明 应用

三大微分中值定理（其中包括罗尔中值定理，拉格朗日中值定理和柯西中值）是《数学分析》中的一个重要章节。微分中值定理建立了函数与导数之间的联系，他们使微积分建立在严密而坚实的基础上，构成了微积分优美的基本理论，而且是利用导数研究函数的性质与状态的重要理论基础。拉格朗日中值定理是几个微分中值定理中最重要的一个，是微分学应用的桥梁。由于罗尔中值定理条件的限制，他的用途没有拉格朗日中值定理广泛，在证明拉格朗日中值定理时方法多样，下面介绍证明拉格朗日中值定理时常常采用的方法以及用具体的例子说明拉格朗日中值定理的应用。

(一)拉格朗日中值定理的证明

拉格朗日(Lagrange)中值定理:若函数f(x) 满足如下条件： (1)在闭区间[a,b]上连续；

(2)在开区间(a,b)内可导；则在(a,b)内至少存在一点，使得

f'()

f(b)f(a)

b

a

拉格朗日中值定理的几何意义：函数yf(x) 在区间[a,b]上的图形是连续光滑曲线弧

AB 上至少有一点C，曲线在C点的切线平行于弦AB.

从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若f(x)在闭区间a,b,两端点的函数值相等，即f(a)f(b) ，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数f(x) 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理.

证明：

1.1：辅助函数法

目前教材的常见证明方法如下： 作辅助函数

f(b)f(a)

(ba),x[a,b],

ba

(x)f(x)f(a)

1

由于函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)上可导，并且有

(a)(b)0,

于是由Rolle定理，至少存在一点(a,b) ，使得'()0. 对(x) 的表达式求导并令'()0.整理后便得到

f'()

f(b)f(a)

ba

1.2行列式

令

f(a)a1F(x)f(b)b1.

f(x)x1

根据拉格朗日中值定理的条件知，函数F(x) 在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，并且有

f(a)a1F'(x)f(b)b1

f'(x)10



由于F(b)F(a)

0, 所以根据罗尔中值定理知，在(a,b)内至少有一点 ，使得F'()0 ，即 f(a)a1f(b)b10 f'()10

根据行列式的性质不难得到

f(a)a1f(b)f(a)ba00, f'()10

在按照第三列展开该行列式得

[f(b)f(a)]f'()(ba)0,

即

f'()

f(b)f(a)

ba

1.3旋转坐标法

分析：做辅助函数F(x)y'

xsinf(x)cos, 因为

证毕

2

F(b)bsinf(b)cos,

F(a)asinf(a)cos,

sinf(b)f(a)

. cosba

可得F(a)F(b).

由tg

经此坐标轴的旋转变换，使旋转角 满足tg

f(b)f(a)

. 由此，构造辅助函数为

ba

F(x)xsinf(x)cos

f(b)f(a)

.有坐标轴的旋转公式：

ba

即可把问题转化为符合罗尔定理的条件。

证明：作坐标轴的旋转变换，使旋转角 满足tg

x'xcosysin'

yxsinycos

得

 

y'xsinf(x)cos

作辅助函数F(x)y'xsinf(x)cos, 则

F(b)bsinf(b)cos, F(a)asinf(a)cos,

因为tg

sinf(b)f(a)

.经检验可得F(a)F(b).且F(x) 满足罗尔中值定理的另外两个条件，故至少cosba

'

'

存在一点(a,b), 使得F()sinf()cos0, 即得f()

'

sinf(b)f()a

 cosba

1.4区间套法

引理1 若f(x) 满足：（1）在[a,b] 上连续，则存在属于[a,b] 的, 使得 (1)证明：

baf(b)f(a)f()f()

;(2) 2ba

ba1

)f(x)[f(b)f(a)] 22ab

] 上连续，且 有条件可知F(x) 在[a,2

设 F(x)f(x

3

ab1ab1

)[f(b)f(a)]f()[f(b)f(a)] 2222

ababbaab11abF()f()f()[f(b)f(a)][f(b)f(a)]f()F(a)

F(a)f(a

2222222

①若 F(a)0, 则 f(ab2)1

2

[f(b)f(a)] 令a,ab2, 显然有2ba

2 f()f()f(ab2)f(a)12[f(b)f(a)]f(a)1

2

[f(b)f(a)]

∴

f()f()f(b)f(a)



ba

此时， a,

ab

2 即为引理1要求的, ； 同理可证，ab

2

,b也为引理1要求的, 。 ②F(a)0, 则由闭区间上连续函数的性质可知，存在a(a,

ab

2

), 使得F(a)0 。 即f(a

ba2)f(a)1

2[f(b)f(a)] 亦即f(aba2f(a)1

2

f(b)(f)]a0,

1

f()f()[f(b)f(a)]

f(b)f(a)

1

b 2

(ba)a综合①②引理1得证。

引理2 若f(x) 在(a,b) 内一点x0 可导，n,bn 为任意两个数列，且nx0nlimn

nlimn

nx0,

则 lim

f(n)f(x0)

n

xf'(x0)

n0

证明：∵f(x) 在点x0 可导且nlim

nx0

lim

f(n)f(x0)n

∴

nx0

f(

limn)f(x0)nf'(x0)f'(x0)nx0

且

，

4

∴对于0,N1, 当nN1 时，恒有

f(n)f(x0)

f'(x0)

nx02

同理，对于0,N2, 当nN2 时，恒有

f(n)f(x0)

f'(x0)

nx02

所以对于0,Nmax{N1,N2}, 当nN 时，有

f(n)f(0)xf(n)f(x0)nx0f(n)f(x0)

f'(x0)n0f'(x0)

n0nnnx0nnnx0

nx0f(n)f(x0)nx0'xf(n)f(x0)nx0'

f(x0)[n0f(x0)]

nnnx0nnnnnx0nnnx0f(n)f(x0)xf(n)f(x0)

[f'(x0)]n0[f'(x0)]

nnnx0nnnx0

f(n)f(x0)f(n)f(x0)

f'(x0)f'(x0)

nx0nx0



2





2



(0

f(n)f(x0)'

f(x)0

nx0

nx0nx0

,1)

n0n0

所以lim

n

拉格朗日中值定理证明：

f(x) 在[a,b] 上连续，有引理1可知，存在[1,1][a,b],

使得

11

ba

,2

f(1)f(1)f(b)f(a)



11ba

同理，存在[2,2][1,1],

5

22

ba

,

24

f(2)f(2)f(1)f(1)



2211



11

以此类推，可得[a,b] 上的一系列闭区间

[,](n0,1,2,3,;

n

n

b,0a)

ba

(n1,2,3,)2n

满足(ⅱ)[n1,n1][n,n](n1,2,3,)（ⅰ）nn( ⅲ

f(n)f(n)f(b)f(a)

n

nnba

n

n

)

有区间套定理可知，在(a,b) 内存在一点 ，有limnlimn

'

应用引理2，有f()lim

n

f(n)f(0)f(b)f(a)f(b)(f)a

lim

nn0baba

即f(b)f(a)f'()(ba)

证毕

1.5参数变易法

设

k

则有

f(b)f(a)

ba

f(a)f(b)k(ba)

所以

f(b)kbf(a)ka

令

(x)f(x)kx

由于f(x) 闭区间[a,b] 上连续，开区间(a,b) 内可导，所以(x) 满足罗尔定理的三个条件闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且(a)(b) ，因此在(a,b)内至少有一点 ，使得

'()f'()k0,

即在(a,b)内至少有一点，使得

f(b)f(a)f'()(ba).

证毕

1.6巴拿赫不动点定理法

6

因为任意闭区间在通常的欧几里得度量下是完备的，针对[a,b]上凸（凹）函数f(x)可以先证明拉格朗日中值定理成立，对任意小的0 成立，在闭区间[a,b] 上构造自映射

A(x)xf(x)

假设x1,x2[a,b], 且x1x2 ，则有

'

f(b)f(a)

ba

Ax1Ax2(x1x2)(f'(x1)f'(x2))

假设f(x)在闭区间[a,b]上是凸函数，由凸函数的导数性质，可知f'(x) 在区间[a,b]内单调递减，所以有

f'(x1)f'(x2)0

从而存在一个数(0,1) ，使得

0(x1x2)f'(x1)f'(x2)

因此

Ax1Ax2(1)x1x2.

所以A(x) 是[a,b]上的压缩映射。由巴拿赫不动点定理知必存在唯一的不动点(a,b) ，使得

A().

于是有

f'()

f(b)f(a)

ba

证毕

1.7面积法

利用直观的几何关系，构造出辅助函数，再利用罗尔中值定理，便可得到定理结果，分析如下：

假设曲线L的方程yf(x) 。在曲线L上任意取一点P(x,f(x)) 与弦AB组成的 ABP, 则 ABP的面积

a

11S(x)ABAPb

22

xf(a)1



f(b)1. f(x)1

S(x) 在区间[a,b]上满足罗尔中值定理的三个条件。故由罗尔中值定理，在(a,b) 内至少有一点, 使得

f(b)f(a)f'()(ba).

证毕

7

y

(二)拉格朗日中值定理的应用

ab

在高等数学中我们应用拉格朗日中值定理，以求极限,证明不等式,恒等式,求函数的解析性,证明级数的收敛性,解决估值问题

2.1应用拉格朗日中值定理证明不等式

证明不等式的方法很多，但是对于某些不等式，用初等解法不一定解的出来，这是如果考虑拉格朗日中值定理，会比较简单。 其思想是：假设函数f(x) 在闭区间[a,b] 上连续且在开区间(a,b) 内可导，由拉格朗日中值定理得，在(a,b)内至少存在一点 ，使得

f'(x)

我们可以作以下变形

f(b)f(a)

.

ba

f(b)f(a)f'()(ba)(ab)，

'

f(ah)f(a)f(ah)h(01）.

'

不难看出，h 有限，f(ah)h 是ff(ah)f(a) 的准确表达式，且当 在(0,1)内变动时，

f'(ah) 有最大值M和最小值m ，从而有

mhf(ah)f(a)Mh.

这就是拉格朗日中值定理证明不等式的理论基础.

2.11直接用拉格朗日中值定理证明不等式

例1,设f(x) 在[a,b] 上二阶可导.f(a)f(b)0 ，且存在一点c(a,b) 使得f(c)0 .

8

证明：至少存在一点(a,b) 使得f''()0 .

证明：对于f(x)在[a,c] 上利用拉格朗日中值定理，存在1(a,c), 使得f(c)f(a)f(')(ca) 1

0,ca0,由于f(a)0,f(c)

故f'(1)0

对于f(x)在[c,b] 上利用拉格朗日中值定理，存在2(c,b) ，使得f(b)f(c)f'(2)(bc) 又f(b)0,f(c)0,bc0, 故f'(2)0 .

因为a1c2b,f'( 在根据拉格朗日中值定理，存在（1，2）（a,b), x)在[1,2]上可导，使得f'(2)f'(1)f

由此得出f

2.12先构造函数，在利用拉格朗日中值定理证明不等式

方法是根据所要证明的不等式和拉格朗日中值公式的形式构造一个函数，并取定一个区间，然后对构造的函数在取定区间上利用拉格朗日中值定理.

例2：证明：

h

arctanhh ，其中 h0. 2

1h

分析：求解这类题的思路是构造一个函数，然后对其求导。

证明：设f(x)arctanx, 在[0,h] 上运用拉格朗日中值定理得，

arctanh1

((0,h) h12

经过变形整理得arctanh

h

，由于0h 2

1

h

h从而arctanh,

所以

h

arctan1h2

h

arctanhh 1h2

2.2应用拉格朗日中值定理证明恒等式

要点： 根据拉格朗日公式

f(x)f(x0)f'()(xx0),

由此导数f(x)0 时，f(x) 恒等于某常数，利用这一原理，可以证明恒等式。 例3：求证：当x1 时，有2arctanxarctansin证明：当x1 时，结论显然成立。

''

2x

. 1x2

9

当x1 时，令f(x)2arctanxarctansin

2x

1

x

2

, f'

(x)2



22

1x2

0 有拉格朗日中值定理推论，得

f(x)2arctanxarcsin

2x

1x

2

c

令x，代入上式得c

所以2arctanxarcsin

2x

1x2

. 例4：证明对于任何实数恒有arctanxarccotx

2

.

证明：设

f(x)arctanxarccotx

在区间(,) 上恒有f'(x)0. 有拉格朗日定理可知f(x)0 .因为f(1)



4





4





2

,f(x)c



2

. 即对于任意的实数x 恒有

arctanxarccotx



2

.

例5：(x)

x

ln(1t)

otdt 在1x1 有意义，

证明：(x)(x)122

(x). （北京航空航天大学）

证明：问题等价于要证明函数

f(x)(x)(x)1

2

(x2)0

事实上f'(x)'(x)('x)x('x2

). 而'

(x)

ln(1x)

x

，故 f'

(x)ln(1x)xln(1x)xln(1x2)

x2

x0

'

由此f'

(x)c 。但是 (0)0 知f(0)0，所以c0,f(x)

0. 2.3应用拉格朗日中值定理证明根的存在性

所以

证毕

10

有的方程，特别是超越方程特别难直接求解，有时我们没有必要知道方程的根的确定值，而只要知道方程解的存在性或者近似值就可以了。证明方程根的存在性，根据所给根的范围就是区间[a,b] ，把所给方程设为函数f(x) ，然后用拉格朗日中值定理证明根的存在性（一般用反证法）。

例6：设f(x) 在[0,1] 上可导，且0f(x)1 ，又对于(0,1 内所有的点有f'(x)1, 证明方程）

f(x)x10 在(0,1) 内有唯一的实根。

证明：先正存在性。

令g(x)f(x)x1, 则g(x) 在[0,1] 上可导， 故 0f(x)1,g(0)f(0)10,g(1)f(1)0

所以，有零点定理知g(x) 在(0,1) 内至少有一个实根，即 f(x)x10 再证唯一性（用反证法）。

假设方程f(x)x10 在(0,1) 内有两个实根x1,x2, 不妨设0x1x21, 则

f(x2)1x2,f(x1)1x1

对f(x) 在[x1,x2] 上运用拉格朗日中值定理，有

f(x2)f(x1)f'()(x2x1)((x1,x2))

由此f()

'

f(x2)f(x1)1x2(1x)1

1

x2x1x2x1

这与已知条件f'(x)1 矛盾。唯一性得证。

2.4应用拉格朗日中值定理判断级数的敛散性

例7 ：判断2解：设

222357



2

2n1

是发散的。

f(x)lnx

是定义在闭区间[2n1,2n1] 的函数。有拉格朗日中值定理知：

12

ln(2n1)ln(2n1)[(2n1)(2n1)]



因为

2





2

，可得 2n1

11

2

,2n1222

ln(2n1)ln12

357ln(2n1)ln(2n1)

而



2

Sn

2n1

limln(2n1)ln1,

n

所以

limSn.

n

即2

222357



2

2n1

是发散的。

2.5利用拉格朗日中值定理解决估值问题

证明估值问题，一般情况下选用泰勒公式比较简单，特别是二阶以及二阶以上的导函数估值时，但对于某些积分估值，可以采用拉格朗日中值定理来证明。拉格朗日中值定理可以定量对泰勒公式中的余项的大小进项定量的估计，而泰勒公式有了拉格朗日余项形式才能估计计算误差的范围。

'

例8：设f(x) 在[a,b] 上连续，且f(a)f(b)0, 试证：

b



a

f'(x)

4

maxf(x), baaxb

证明：若f(x)0 ，不等式显然成立

（a,b) ，使得maxf(x)f(c), 若f(x) 不恒等于0，c

axb

在(a,c), 及[c,b] 上分别用拉格朗日中值定理，有

f'(1)

从而有：

f(c)'f(c)

,f(2), cacb

2



b

a

f'(x)dx

1

f



2

1

f

f'(2)f'(1)f(c)

在利用

ba(bc)(ca)

(ba)2

(ca)(bc)

4

即得所证.

2.6利用拉格朗日中值定理求极限

12

exesinx

. 例9:求极限lim

x0xsinx

f(b)f(a)exesinx

解题思路：由联想到拉格朗日中值定理的一般形式 ，从而构造函数f(t) ，再运用拉

baxsinx

格朗日中值定理求极限.

解：函数f(t)et 在[x,sinx]或者[sinx,x]上运用拉格朗日中值定理得：

exesinx

e （ 介于x与sinx之间）当x0 时，sinx0 ，由介值定理可知0 xsinx

则

exesinx

lime1 原式= lim

0xsinx0

证毕

例10：若f(x)在(x0,) 内可导，且limf(x)0,

x

求证：lim

x

f(x)

0. x

分析：在f(x)没有具体表达式的情况下，只能从已知条件中想办法，因为题设中涉及到f'(x) ，于是应该想到拉格朗日中值定理，f(x)可以用下式表示：

f(x)f(x0)+f'()(xx0),

(x0,).

证得

f(x)

''

证明：因为limf(x）=0, 所以0 ，存在M>0，设x0M, 则对任意的Mx, 有f(x)

x



2

.

在区间(x0,)的闭子区间[M,X] 上，函数f(x)满足拉格朗日中值定理的条件，即存在 ，使得

f'()

f(x)f(M)

xM

则f(x)f(M)



2(xM)

M

1 x

f(x)f(M)(M)

 所以有

Mxxx22(1）x

因为x0,01

13

又因为lim

x

f(x)

0,0,X0, x

当xXM 时，有

f(M)

 x2

f(x)

. x22

综上，对任意的0, 存在X0 ，当xX 时

致谢

光阴似箭，大学的学习生活也即将结束，感慨万千，可更多的是感动。

首先，对于论文指导老师屈俊老师，在这里我要发自肺腑的说一声谢谢。从论文题目的选定，论文的设计与修改，到最后论文的定稿光，都付出了很多。

其次，我要感谢太原师范学院数学系的各位领导与老师。谢谢他们对我学习和成长的帮助。

参考文献

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]

华东师范大学数学,数学分析 [M](第三版),高等教育出版社，2001. 陈纪俢 於崇华 金路，数学分析[M],高等教育出版社，2000 裴礼文，数学分析中的典型问题与方法[M]，高等教育出版社，2006 王振林，浅谈微分中值定理的应用[J],太原科技，2001 冯秀芹，拉格朗日中值定理的几种证法[J],科技资讯，2006 周焕芹，浅谈中值定理在解题中的应用[J],高等数学研究，1999 钱吉林，数学分析解题精粹（第二版）武汉：崇文书局，2009 林源渠，方企勤等，数学分许习题集[M]，高等教育出版社，1986 华东师范大学数学系，数学分析习题解析[M],陕西师范大学出版社，2004 陆子芬，高等数学解析大全[M],辽宁科技出版社，1991

14