高等数学中极限概念教学的思考_易松华

第26卷第8期

2007年8月 怀化学院学报 JOURN AL OF HUAIHUA U NIVERSITY Vol 26 No 8 Aug , 2007

高等数学中极限概念教学的思考

易松华, 李玉慧

(怀化学院教育系, 湖南怀化 418008)

摘 要:学生学习极限概念困难的表现主要为:对极限概念存在理解上的问题, 在极限概念使用中出现种种不

足甚至错误; 产生学习困难的原因主要有:极限概念本身的问题和学生的思维特点问题; 极限概念教学的主要对策有:在极限教学中融入极限发展的历史, 作好铺垫导入; 加强语言逻辑结构层次的分析与引导; 根据类比迁移原理, 适当调整教材中有关极限内容的结构顺序

关键词:极限; 困难; 教学

中图分类号:G642 文献标识码:A 文章编号:1671-9743(2007) 05-0099-03

极限概念是微积分学的奠基概念之一, 微积分中几乎所有的重要概念, 如连续、导数、定积分、重积分、级数等的定义都是建立在极限概念的基础上, 且极限方法揭示了常量与变量、有限与无限、直线与曲线、匀速运动与变速运动等一系列对立统一的矛盾辩证关系及其相互转化 极限思想方法是微积分教学的基础, 也是微积分解决问题贯穿始终的基本方法

高等数学中对 极限 定义的理解是学生学习高等数学的第一道关卡, 也是学生的思维实现由实无限到潜无限过渡的关键, 能否真正理解这一定义直接影响到学生的后续学习 而极限概念定量的定义语言又是高等数学教与学中的一大难点 本文拟就学生学习极限概念困难的表现、产生学习困难的原因作初步分析, 并有针对性的提出极限概念教学的对策

1 学生学习极限概念困难的表现

1 1 极限概念的理解

学生对极限概念的理解往往只停留在直观的、描述的层次上, 而对极限概念的定量刻画的学习感到困难重重, 对采用复杂的形式化语言来定义极限概念这种定义方式的意义等不理解, 因而造成学生对极限概念的学习往往停留在定义的表面以及机械的记忆和模仿上 在这里可以认为, 这也是由初等数学学习向高等数学学习过渡的关键 1 1 1 词义理解上的困惑 极限 一词在日常生活中经常指不可能或不应该超过的一些事物, 与数学中的极限涵义显然不同 趋近于 在函数极限概念中, 就自变量x 的变化状态来说, 趋近于a 意指x 充分接近于a 但永远不等于a ; 而函数值f (x ) 在这一变化过程中的 趋近于A , 却蕴涵着函数值f (x ) 可以小于或等于或大于A 同一词语, 前后两者却蕴涵着完全不同的含义, 给学生的概念学习带来理解上障碍

1 1 2 与 (N ) 的意义与关系不明确

极限的 - (N ) 定义中引进了两个新的量: 与 (N ) , 通过这两个量之间的两个不等式来定义极限, 这正是学生难以把握之所在

定义中的任给 >0是用来刻画函数f (x ) A 时f (x ) 趋近于A 的接近程度 极限概念中的 任意给定一个大于零的 , 既有确定性又有任意性, 它深刻反映了静与动、不变与变、有限与无限的对立统一 学生常把取 为任意小 , 理解为 是一个表达任意小的正数的符号, 即 比任何真实的正数小, 但不为零 感到 在定义中所充当的角色捉摸不透, 既然为任意小, 为何一旦取定又要暂时看成是固定的 而 是用来刻画自变量x x 0时, x 趋近x 0的接近程度, 且 是与 有关的, 一般地 >0越小, >0也越小

1 1 3 逻辑结构理不清

函数极限的定义为lim f (x ) =A >0, >0, x 当00, 若|f (x ) -A |0, 使00, >0当0

1 2 极限概念的使用

学生对极限概念存在理解上的问题, 因而在极限概念使用中出现种种不足甚至错误 学生使用极限概念的困惑主要表现为如下几个方面:第一, 定义的主要内容是0

收稿日期:2007-02-12

作者简介:易松华(1974-) , 女, 湖南洪江人, 怀化学院讲师, 主要研究高等数学教育; () , 男, , , 主要

100 怀化学院学报 2007年8月成的误会; 第二, 从不等式中找出相应的 , 对较复杂的不等式较为困难 若是正常极限, 常常借助 适当 的放大方法, 以便寻找相应的 , 但对非正常极限, 却要借助 适当 的缩小方法, 学生不易把握何时使用放大方法, 何时使用

1缩小方法; 第三, 极限概念的等价定义, 把 限制在如0

等) 视为定义中的 , 觉得这样的量和 所扮演的角色有些变幻莫测.

2 极限学习困难的原因初步分析

极限概念学习困难的原因主要来自以下两方面的矛盾:一是极限概念本身的特点; 一是学生的思维特点, 2 1 极限概念的特点

2 1 1 极限概念的历史分析

人类历史上极限概念从萌芽、产生、发展直到完善, 经历了漫长的年代, 可见极限确实是一个较难学习的概念, 尤其对刚刚从初等数学的学习转到高等数学的学习的学生来说, 难度更大 极限思想的萌芽产生于古代, 是直接建立在对无限可分性认识的基础上的, 如众所周知的我国魏晋时期的刘徽的 割圆术 而极限概念则形成于17、18世纪 实践推动着微积分理论的产生和发展, 而极限概念是为了阐明微积分理论而产生的 其间, 牛顿的极限思想还停留在朴素的物理经验上, 还没有从物理模型中抽象出清晰的数学概念; 同样, 18世纪的达朗贝尔的极限概念, 虽然体现了通过有限量之间的关系来认识无限、把握无限的正确途径, 但是, 其极限概念还是不完善的 达朗贝尔是这样表述的: 称一个量是另一个量的极限, 如果第二个量能够比任意给定的、无论怎样小的量都更加接近第一个量的话, 同时这个近似着的量永远也不能够超越它去近似的那个量 马克思批评这样的极限成了 能够不断接受, 但是永远不能达到, 因而更不能超过的值 ( 数学手稿 ) 直至19世纪, 哥西在前人的基础上才把极限概念说得更加明确: 当一个量相继地所取的数值趋近于某个确定的值, 以至它们的差比任意给定的量还要小的时候, 那个确定的值就叫做该变量的极限 由此可知, 对极限概念及其本质的理解确实是有一定的难度的

2 1 2 极限概念的逻辑分析

极限概念的定义, 逻辑结构显得相当复杂, 如果把 - 语言用数理逻辑的符号表示, 就是:

lim f (x ) =A ( A ) ( >0) ( >0) ( x :0

数学符号包含着 任意给定 存在 对所有 这些量词的堆积以及 当 时有 这一蕴涵词, 同时, 定义表面上说x a , 而从数学深层意义上应理解为x 并不变, 起作用的是 , 0才迫使f (x ) A , 定义的这一本质特征却被隐含起来, 因而给学生对概念的理解带来困难

2 1 3 极限概念的抽象分析

极限概念的形成, 经过的抽象层次比较高, 深刻性也比较高, 学习这一概念时, 需要从原有数学认知结构中同时激活6个相关概念, 进行正确的心理表征, 以备建立概念的逻辑运演, 信息量大, 整合难度大 因此, 极限概念的抽象度较高

2 2 学生思维的特点

恩格斯说: 初等数学, 即常数的数学, 至少就总体说来, 是在形式逻辑的范围内活动的, 而变数的数学 其中最主要的部分是微积分 按其本质来说也不是别的, 而是辩证法在数学方面的运用

极限的概念是微积分最基本的概念, 也是最能体现微积分的辩证法的概念 学习极限概念的学生, 正处于从初等数学向高等数学过渡的阶段, 辩证思维还没有完全建立起来, 所以也就很难抓住极限概念的本质, 难以从有限认识无限, 从近似认识精确, 从量变认识质变

同时, 由于极限的概念是采用概念形成方式学习的, 这就需要有较高的概括能力, 而极限概念的概括, 是一个从个别到一般的过程, 必须对几个例子经过分析、比较, 才能抽象出新的处于上位的极限概念, 而在这个过程中, 由于高等数学是变数的数学, 运动和辩证法充满其中 学生对所需的辩证思维欠缺, 使本来在上位学习过程中的困难进一步加重, 使学生误以为极限是一个能够不断接近, 但永远不能达到, 因而更不能超过的一个值

学生在形式逻辑方面尚未建立稳定的认知结构, 而以 - 语言定义的极限概念恰恰是纯形式化的逻辑关系, 因此对 形式化或符号化语言 的心理恐惧也是学生在学习极限理论时困难的原因之一

2 3 其他方面的原因

由教科书中有关极限概念形成的感性材料缺少引入 教科书提供给学生感知的材料太少, 学生对极限概念的感知就不充分 只从一个曲边三角形面积问题就引入极限概念、极限方法, 也缺乏变式、典型, 不能在由具体向抽象过渡的过程中, 使与具体对象紧密相连的那些非本质特征(如面积、速度、体积) 消失, 而显出极限的本质特征 3 极限概念教学的对策

3 1 在极限教学中融入极限发展的历史, 作好铺垫导入

从初等数学发展到微积分的过程, 充分体现了人类认识从有限量到无限量的变化过程, 这一转变又集中体现在极限的思想和理论中 从数学史的角度来阐述极限的萌芽、发展到完善的过程, 则不仅能让学生弄清极限定义的来龙去脉与必要性, 认识到极限理论在高数中的重要性, 更能让他们对数学的本质有更深刻的认识 3 2 加强语言逻辑结构层次的分析与引导针对学生形式逻辑性弱的特点, 在由描述性定义向精确定义过渡的时候, 遵循由粗到精的顺序层层剥开, 例如数列极限概念:

(1) n 当时, x n 无限趋近于a ; , a ;

第26卷第8期 易松华, 李玉慧:高等数学中极限概念教学的思考 101

(3) n 越大, |x n -a |越小; (x n 与a 的距离越小)

(4) 不论 >0有多小, 只要n 充分大, 就有|x n -a |

(5) 对每一 >0, 都存在相应的N , 使得对一切x n , 只要n >N , 就有|x n -a |

(6) >0, 存在N , 使得一切n >N 的项x n , |x n -a |

(7) >0, 存在N , 当n >N 时, |x n -a |

(8) ( a ) ( >0) ( N >0) ( n N ) (|x n -a |

(9) 注意: 针对 找N

这样, 把这一逻辑结构分层展示, 逻辑结构层次清楚明确, 分散了难点, 学生能较好地理解这一逻辑层次后, 就能较好地从整体上把握极限概念

3 3 明确定义的充要条件、基本性质, 并从多角度提出问题

定义都是充要命题, 明确充要条件、把它与基本性质结合起来考虑, 对思考、分析、解答与定义有关的问题显然是很有益处, 同时, 对定义还应从多方设问并思考, 有利于从多个角度抓住定义的本质, 培养思维的灵活性与深刻性 例如, 对于数列极限的概念可提出如下的几个问题, 让学生思考:

收敛数列是否一定有界? (一定) ; 有界数列是否一定收敛? (不一定) ;

单调有界数列是否一定收敛? (一定) ; 收敛数列是否一定单调有界? (不一定) ;

无界数列一定发散; 而发散数列是否一定无界? (不一定) (一定的加以证明, 不一定的举出反例)

3 4 适当调整教材中有关极限内容的结构顺序

关于极限的内容, 目前几乎所有的教材都是这样的顺序:先讲数列{x n }的极限, 然后讲函数f (x ) 当x x 0时的极限, 再讲f (x ) 当x 时的极限 数列{x n }的极限与函数f (x ) 当x x 0时的极限, 在概念的文字表述上与逻辑上都有很大差别, 直接引入容易引起学生认知上的困难, 也不利于知识的系统化 具体教学中, 为了使教学内容的引入合理与自然, 不妨改变这一顺序, 将函数f (x ) 当x 时的极限提前到函数f (x ) 当x x 0时的极限的前面

在学生对数列极限概念比较熟悉以后, 教师首先指出函数f (x ) 当x 时的极限与数列{x n }的极限相类似, 都是描述在自变量动点无限增大的过程中, 函数值无限接近一个定数的变化状态 然后启发引导学生利用函数概念作为中介, 将数列{x n }看作是自变量为n 的函数x n =f (n ) , n N +在此基础上用与数列极限相类比的方法, 建立一一对应关系, 自己给出函数f (x ) 当x 时的极限定义 数列{x n }的极限为a , 就是当自变量n 取正整数且无限增大时, 对应的函数值无限接近于确定的数a , 即: a , >0, N >0, 当n >N 时, 有|f (n ) -a |0) , 以上表述为: a , >0, X >0, 当x >X , 有|f (x ) -a |

在此基础上, 引入函数f (x ) 当x x 0时的极限时, 难点在于x x 0如何用数学语言描述, 可以将x x 0与f (x ) a 进行比较, 定义中f (x ) a 借助于 用|f (x ) -a |0, >0, 当0

根据类比迁移原理, 这种引入概念的方法具有启发性, 有利于学生对概念的理解和知识的迁移

3 5 螺旋巩固, 建立概念网络

对于极限这种在数学中具有全局性的重要概念, 学习一个阶段之后, 由于知识的局限性, 往往很难把概念理解透彻, 必须到一定的阶段, 借助于新概念的教学进行极限概念的巩固 同时, 学习了一些后续概念之后, 如连续、可导等, 要有意识地用比较的方法, 借助于定理、反例、公式等, 明确它们之间的区别与联系, 建立一个正确的概念网络, 以克服只见树木不见森林的弊病, 从而培养分析与综合能力, 训练辨析事物实质的思维能力

参考文献:

[1]张荣辉. 极限概念学习中困难及其教学对策[J]. 宁德师专学报, 2001, (3) .

[2]张顺燕. 数学的思想、方法和应用[M].北京:北京大学出版社, 2003, P133.

[3]韩振芳, 张青, 杨小姝. 数学概念的学习[J]. 河北北方学院学报, 2006, (2).

[4]梁英. 数列极限概念的抽象度分析[J]. 遵义师范学院学报, 2005, (6) .

[5]骆洪才. 关于极限教学的三点探讨[J]. 湖南科技学院学报, 2006, (11) .

The Thinking about the Teaching of the Limit Concept

in the Advanced Mathematics

YI Song-hua, LI Yu-hui

(The Educational De p a rtment of H uaihua University , H uaihua, Hunan 418008)

Abstract :The main difficult in studing limit c oncept e xits in the understanding of limit c oncept, the sec ond is a variety of deficienc y and wrong e xisting in the usage of limit concept. The main reasons for causing the diffic ulty of study are limit concept self problem and students thought c haracteristic problem. The re are many counte rmeasures in the limit concept teaching. For instance, leading-in teaching in the limit to be hit by history, good bedding of work melting to enter a li mit development, reinforcing language logic structure a rrangement of ideas analysis and guidance, according to re move principle, adjusting the struc ture orde r about limit c ontent in teaching ma terial.

Key words :limit; difficult; teac hing

第26卷第8期

2007年8月 怀化学院学报 JOURN AL OF HUAIHUA U NIVERSITY Vol 26 No 8 Aug , 2007

高等数学中极限概念教学的思考

易松华, 李玉慧

(怀化学院教育系, 湖南怀化 418008)

摘 要:学生学习极限概念困难的表现主要为:对极限概念存在理解上的问题, 在极限概念使用中出现种种不

足甚至错误; 产生学习困难的原因主要有:极限概念本身的问题和学生的思维特点问题; 极限概念教学的主要对策有:在极限教学中融入极限发展的历史, 作好铺垫导入; 加强语言逻辑结构层次的分析与引导; 根据类比迁移原理, 适当调整教材中有关极限内容的结构顺序

关键词:极限; 困难; 教学

中图分类号:G642 文献标识码:A 文章编号:1671-9743(2007) 05-0099-03

极限概念是微积分学的奠基概念之一, 微积分中几乎所有的重要概念, 如连续、导数、定积分、重积分、级数等的定义都是建立在极限概念的基础上, 且极限方法揭示了常量与变量、有限与无限、直线与曲线、匀速运动与变速运动等一系列对立统一的矛盾辩证关系及其相互转化 极限思想方法是微积分教学的基础, 也是微积分解决问题贯穿始终的基本方法

高等数学中对 极限 定义的理解是学生学习高等数学的第一道关卡, 也是学生的思维实现由实无限到潜无限过渡的关键, 能否真正理解这一定义直接影响到学生的后续学习 而极限概念定量的定义语言又是高等数学教与学中的一大难点 本文拟就学生学习极限概念困难的表现、产生学习困难的原因作初步分析, 并有针对性的提出极限概念教学的对策

1 学生学习极限概念困难的表现

1 1 极限概念的理解

学生对极限概念的理解往往只停留在直观的、描述的层次上, 而对极限概念的定量刻画的学习感到困难重重, 对采用复杂的形式化语言来定义极限概念这种定义方式的意义等不理解, 因而造成学生对极限概念的学习往往停留在定义的表面以及机械的记忆和模仿上 在这里可以认为, 这也是由初等数学学习向高等数学学习过渡的关键 1 1 1 词义理解上的困惑 极限 一词在日常生活中经常指不可能或不应该超过的一些事物, 与数学中的极限涵义显然不同 趋近于 在函数极限概念中, 就自变量x 的变化状态来说, 趋近于a 意指x 充分接近于a 但永远不等于a ; 而函数值f (x ) 在这一变化过程中的 趋近于A , 却蕴涵着函数值f (x ) 可以小于或等于或大于A 同一词语, 前后两者却蕴涵着完全不同的含义, 给学生的概念学习带来理解上障碍

1 1 2 与 (N ) 的意义与关系不明确

极限的 - (N ) 定义中引进了两个新的量: 与 (N ) , 通过这两个量之间的两个不等式来定义极限, 这正是学生难以把握之所在

定义中的任给 >0是用来刻画函数f (x ) A 时f (x ) 趋近于A 的接近程度 极限概念中的 任意给定一个大于零的 , 既有确定性又有任意性, 它深刻反映了静与动、不变与变、有限与无限的对立统一 学生常把取 为任意小 , 理解为 是一个表达任意小的正数的符号, 即 比任何真实的正数小, 但不为零 感到 在定义中所充当的角色捉摸不透, 既然为任意小, 为何一旦取定又要暂时看成是固定的 而 是用来刻画自变量x x 0时, x 趋近x 0的接近程度, 且 是与 有关的, 一般地 >0越小, >0也越小

1 1 3 逻辑结构理不清

函数极限的定义为lim f (x ) =A >0, >0, x 当00, 若|f (x ) -A |0, 使00, >0当0

1 2 极限概念的使用

学生对极限概念存在理解上的问题, 因而在极限概念使用中出现种种不足甚至错误 学生使用极限概念的困惑主要表现为如下几个方面:第一, 定义的主要内容是0

收稿日期:2007-02-12

作者简介:易松华(1974-) , 女, 湖南洪江人, 怀化学院讲师, 主要研究高等数学教育; () , 男, , , 主要

100 怀化学院学报 2007年8月成的误会; 第二, 从不等式中找出相应的 , 对较复杂的不等式较为困难 若是正常极限, 常常借助 适当 的放大方法, 以便寻找相应的 , 但对非正常极限, 却要借助 适当 的缩小方法, 学生不易把握何时使用放大方法, 何时使用

1缩小方法; 第三, 极限概念的等价定义, 把 限制在如0

等) 视为定义中的 , 觉得这样的量和 所扮演的角色有些变幻莫测.

2 极限学习困难的原因初步分析

极限概念学习困难的原因主要来自以下两方面的矛盾:一是极限概念本身的特点; 一是学生的思维特点, 2 1 极限概念的特点

2 1 1 极限概念的历史分析

人类历史上极限概念从萌芽、产生、发展直到完善, 经历了漫长的年代, 可见极限确实是一个较难学习的概念, 尤其对刚刚从初等数学的学习转到高等数学的学习的学生来说, 难度更大 极限思想的萌芽产生于古代, 是直接建立在对无限可分性认识的基础上的, 如众所周知的我国魏晋时期的刘徽的 割圆术 而极限概念则形成于17、18世纪 实践推动着微积分理论的产生和发展, 而极限概念是为了阐明微积分理论而产生的 其间, 牛顿的极限思想还停留在朴素的物理经验上, 还没有从物理模型中抽象出清晰的数学概念; 同样, 18世纪的达朗贝尔的极限概念, 虽然体现了通过有限量之间的关系来认识无限、把握无限的正确途径, 但是, 其极限概念还是不完善的 达朗贝尔是这样表述的: 称一个量是另一个量的极限, 如果第二个量能够比任意给定的、无论怎样小的量都更加接近第一个量的话, 同时这个近似着的量永远也不能够超越它去近似的那个量 马克思批评这样的极限成了 能够不断接受, 但是永远不能达到, 因而更不能超过的值 ( 数学手稿 ) 直至19世纪, 哥西在前人的基础上才把极限概念说得更加明确: 当一个量相继地所取的数值趋近于某个确定的值, 以至它们的差比任意给定的量还要小的时候, 那个确定的值就叫做该变量的极限 由此可知, 对极限概念及其本质的理解确实是有一定的难度的

2 1 2 极限概念的逻辑分析

极限概念的定义, 逻辑结构显得相当复杂, 如果把 - 语言用数理逻辑的符号表示, 就是:

lim f (x ) =A ( A ) ( >0) ( >0) ( x :0

数学符号包含着 任意给定 存在 对所有 这些量词的堆积以及 当 时有 这一蕴涵词, 同时, 定义表面上说x a , 而从数学深层意义上应理解为x 并不变, 起作用的是 , 0才迫使f (x ) A , 定义的这一本质特征却被隐含起来, 因而给学生对概念的理解带来困难

2 1 3 极限概念的抽象分析

极限概念的形成, 经过的抽象层次比较高, 深刻性也比较高, 学习这一概念时, 需要从原有数学认知结构中同时激活6个相关概念, 进行正确的心理表征, 以备建立概念的逻辑运演, 信息量大, 整合难度大 因此, 极限概念的抽象度较高

2 2 学生思维的特点

恩格斯说: 初等数学, 即常数的数学, 至少就总体说来, 是在形式逻辑的范围内活动的, 而变数的数学 其中最主要的部分是微积分 按其本质来说也不是别的, 而是辩证法在数学方面的运用

极限的概念是微积分最基本的概念, 也是最能体现微积分的辩证法的概念 学习极限概念的学生, 正处于从初等数学向高等数学过渡的阶段, 辩证思维还没有完全建立起来, 所以也就很难抓住极限概念的本质, 难以从有限认识无限, 从近似认识精确, 从量变认识质变

同时, 由于极限的概念是采用概念形成方式学习的, 这就需要有较高的概括能力, 而极限概念的概括, 是一个从个别到一般的过程, 必须对几个例子经过分析、比较, 才能抽象出新的处于上位的极限概念, 而在这个过程中, 由于高等数学是变数的数学, 运动和辩证法充满其中 学生对所需的辩证思维欠缺, 使本来在上位学习过程中的困难进一步加重, 使学生误以为极限是一个能够不断接近, 但永远不能达到, 因而更不能超过的一个值

学生在形式逻辑方面尚未建立稳定的认知结构, 而以 - 语言定义的极限概念恰恰是纯形式化的逻辑关系, 因此对 形式化或符号化语言 的心理恐惧也是学生在学习极限理论时困难的原因之一

2 3 其他方面的原因

由教科书中有关极限概念形成的感性材料缺少引入 教科书提供给学生感知的材料太少, 学生对极限概念的感知就不充分 只从一个曲边三角形面积问题就引入极限概念、极限方法, 也缺乏变式、典型, 不能在由具体向抽象过渡的过程中, 使与具体对象紧密相连的那些非本质特征(如面积、速度、体积) 消失, 而显出极限的本质特征 3 极限概念教学的对策

3 1 在极限教学中融入极限发展的历史, 作好铺垫导入

从初等数学发展到微积分的过程, 充分体现了人类认识从有限量到无限量的变化过程, 这一转变又集中体现在极限的思想和理论中 从数学史的角度来阐述极限的萌芽、发展到完善的过程, 则不仅能让学生弄清极限定义的来龙去脉与必要性, 认识到极限理论在高数中的重要性, 更能让他们对数学的本质有更深刻的认识 3 2 加强语言逻辑结构层次的分析与引导针对学生形式逻辑性弱的特点, 在由描述性定义向精确定义过渡的时候, 遵循由粗到精的顺序层层剥开, 例如数列极限概念:

(1) n 当时, x n 无限趋近于a ; , a ;

第26卷第8期 易松华, 李玉慧:高等数学中极限概念教学的思考 101

(3) n 越大, |x n -a |越小; (x n 与a 的距离越小)

(4) 不论 >0有多小, 只要n 充分大, 就有|x n -a |

(5) 对每一 >0, 都存在相应的N , 使得对一切x n , 只要n >N , 就有|x n -a |

(6) >0, 存在N , 使得一切n >N 的项x n , |x n -a |

(7) >0, 存在N , 当n >N 时, |x n -a |

(8) ( a ) ( >0) ( N >0) ( n N ) (|x n -a |

(9) 注意: 针对 找N

这样, 把这一逻辑结构分层展示, 逻辑结构层次清楚明确, 分散了难点, 学生能较好地理解这一逻辑层次后, 就能较好地从整体上把握极限概念

3 3 明确定义的充要条件、基本性质, 并从多角度提出问题

定义都是充要命题, 明确充要条件、把它与基本性质结合起来考虑, 对思考、分析、解答与定义有关的问题显然是很有益处, 同时, 对定义还应从多方设问并思考, 有利于从多个角度抓住定义的本质, 培养思维的灵活性与深刻性 例如, 对于数列极限的概念可提出如下的几个问题, 让学生思考:

收敛数列是否一定有界? (一定) ; 有界数列是否一定收敛? (不一定) ;

单调有界数列是否一定收敛? (一定) ; 收敛数列是否一定单调有界? (不一定) ;

无界数列一定发散; 而发散数列是否一定无界? (不一定) (一定的加以证明, 不一定的举出反例)

3 4 适当调整教材中有关极限内容的结构顺序

关于极限的内容, 目前几乎所有的教材都是这样的顺序:先讲数列{x n }的极限, 然后讲函数f (x ) 当x x 0时的极限, 再讲f (x ) 当x 时的极限 数列{x n }的极限与函数f (x ) 当x x 0时的极限, 在概念的文字表述上与逻辑上都有很大差别, 直接引入容易引起学生认知上的困难, 也不利于知识的系统化 具体教学中, 为了使教学内容的引入合理与自然, 不妨改变这一顺序, 将函数f (x ) 当x 时的极限提前到函数f (x ) 当x x 0时的极限的前面

在学生对数列极限概念比较熟悉以后, 教师首先指出函数f (x ) 当x 时的极限与数列{x n }的极限相类似, 都是描述在自变量动点无限增大的过程中, 函数值无限接近一个定数的变化状态 然后启发引导学生利用函数概念作为中介, 将数列{x n }看作是自变量为n 的函数x n =f (n ) , n N +在此基础上用与数列极限相类比的方法, 建立一一对应关系, 自己给出函数f (x ) 当x 时的极限定义 数列{x n }的极限为a , 就是当自变量n 取正整数且无限增大时, 对应的函数值无限接近于确定的数a , 即: a , >0, N >0, 当n >N 时, 有|f (n ) -a |0) , 以上表述为: a , >0, X >0, 当x >X , 有|f (x ) -a |

在此基础上, 引入函数f (x ) 当x x 0时的极限时, 难点在于x x 0如何用数学语言描述, 可以将x x 0与f (x ) a 进行比较, 定义中f (x ) a 借助于 用|f (x ) -a |0, >0, 当0

根据类比迁移原理, 这种引入概念的方法具有启发性, 有利于学生对概念的理解和知识的迁移

3 5 螺旋巩固, 建立概念网络

对于极限这种在数学中具有全局性的重要概念, 学习一个阶段之后, 由于知识的局限性, 往往很难把概念理解透彻, 必须到一定的阶段, 借助于新概念的教学进行极限概念的巩固 同时, 学习了一些后续概念之后, 如连续、可导等, 要有意识地用比较的方法, 借助于定理、反例、公式等, 明确它们之间的区别与联系, 建立一个正确的概念网络, 以克服只见树木不见森林的弊病, 从而培养分析与综合能力, 训练辨析事物实质的思维能力

参考文献:

[1]张荣辉. 极限概念学习中困难及其教学对策[J]. 宁德师专学报, 2001, (3) .

[2]张顺燕. 数学的思想、方法和应用[M].北京:北京大学出版社, 2003, P133.

[3]韩振芳, 张青, 杨小姝. 数学概念的学习[J]. 河北北方学院学报, 2006, (2).

[4]梁英. 数列极限概念的抽象度分析[J]. 遵义师范学院学报, 2005, (6) .

[5]骆洪才. 关于极限教学的三点探讨[J]. 湖南科技学院学报, 2006, (11) .

The Thinking about the Teaching of the Limit Concept

in the Advanced Mathematics

YI Song-hua, LI Yu-hui

(The Educational De p a rtment of H uaihua University , H uaihua, Hunan 418008)

Abstract :The main difficult in studing limit c oncept e xits in the understanding of limit c oncept, the sec ond is a variety of deficienc y and wrong e xisting in the usage of limit concept. The main reasons for causing the diffic ulty of study are limit concept self problem and students thought c haracteristic problem. The re are many counte rmeasures in the limit concept teaching. For instance, leading-in teaching in the limit to be hit by history, good bedding of work melting to enter a li mit development, reinforcing language logic structure a rrangement of ideas analysis and guidance, according to re move principle, adjusting the struc ture orde r about limit c ontent in teaching ma terial.

Key words :limit; difficult; teac hing