应用时间序列分析习题答案

第二章习题答案 2.1

（1）非平稳

（2）0.0173 0.700 0.412 0.148 -0.079 -0.258 -0.376 （3）典型的具有单调趋势的时间序列样本自相关图

2.2

（1）非平稳，时序图如下

（2）-（3）样本自相关系数及自相关图如下：典型的同时具有周期和趋势序列的样本自相关图

2.3

（1）自相关系数为：0.2023 0.013 0.042 -0.043 -0.179 -0.251 -0.094 0.0248 -0.068 -0.072 0.014 0.109 0.217 0.316 0.0070 -0.025 0.075 -0.141 -0.204 -0.245 0.066 0.0062 -0.139 -0.034 0.206 -0.010 0.080 0.118

（2）平稳序列 （3）白噪声序列 2.4

LB=4.83，LB统计量对应的分位点为0.9634，P值为0.0363。显著性水平 =0.05，序列不能视为纯随机序列。 2.5

（1）时序图与样本自相关图如下

（2） 非平稳 （3）非纯随机 2.6

（1）平稳，非纯随机序列（拟合模型参考：ARMA(1,2)） （2）差分序列平稳，非纯随机

第三章习题答案

3.1 解：E(xt)0.7E(xt1)E(t)

(10.7)E(xt)0 E(xt)0 (10.7B）xtt

xt(10.7B)1t(10.7B0.72B2)t Var(xt)

1

21.96082

10.49

21200.49 220

3.2 解：对于AR（2）模型：

110211210.5



0.311201122

7/15解得：1

21/15

3.3 解：根据该AR(2)模型的形式，易得：E(xt)0

原模型可变为：xt0.8xt10.15xt2t

Var(xt)

12

2

(12)(112)(112)



(10.15)

2=1.98232

(10.15)(10.80.15)(10.80.15)

11/(12)0.69571110.6957

211200.4066 2220.15 0.220933012213

3.4 解：原模型可变形为：

2

(1BcB)xtt

由其平稳域判别条件知：当|2|1，211且211时，模型平稳。 由此可知c应满足：|c|1，c11且c11 即当－1

3.5证明：已知原模型可变形为：

(1BcBcB)xtt

其特征方程为：32cc(1)(2c)0 不论c取何值，都会有一特征根等于1，因此模型非平稳。

3.6 解：（1）错，0

23

Var(xt)2/(112)。

2

2

（2）错，E[(xt)(xt1)]1101/(11)。

ˆT(l)1xT。 （3）错，x

（4）错，eT(l)TlG1Tl1G2Tl2Gl1T1 Tl （5）错，limVar[xTl

l

l

1Tl112Tl21l1T1

1[112l]212

ˆT(l)]limVar[eT(l)]limx。 2ll12111

14121

11 3.7解：12

2111

MA(1)模型的表达式为：xttt1。

3.8解法1：由xt=+t1t12t2，得xt1=+t11t22t3，则

xt0.5xt1=0.5+t(10.5)t1(20.51)t2+0.52t3， 与xt=10+0.5xt1+t0.8t2+Ct3对照系数得

0.510,20,0.500.5,11

0.50.8，故0.55,。

122

C0.2750.52C

解法2：将xt100.5xt1t0.8t2Ct3等价表达为

10.8B2CB3

xt20t

10.5B 10.8B2CB3(10.5B0.52B20.53B3)t

展开等号右边的多项式，整理为

10.5B0.52B20.53B3

CB3

合并同类项，原模型等价表达为



0.54B40.5CB4



0.8B20.80.5B30.80.52B4

xt20[10.5B0.55B0.5k(0.530.4C)B3k]t

2

k0

3

当0.50.4C0时，该模型为MA(2)模型，解出C0.275。

3.9解：：E(xt)0

Var(xt)(11 1

2

2

2)21.652

1120.980.5939 1.6511222

20.40.2424 k0，k3。

112221.65

2

3.10解法1：（1）xttC(t1t2)

xt1t1C(t2t3)

xt1 xttCt1t1xt1t(C1)t1

C

即 (1B)xt[1(C1)B]t

显然模型的AR部分的特征根是1，模型非平稳。 （2） ytxtxt1t(C1)t1为MA(1)模型，平稳。 1

1C1

22

11C2C2

k

解法2：（1）因为Var(xt)lim(1kC2)2，所以该序列为非平稳序列。

（2）ytxtxt1t(C1)t1，该序列均值、方差为常数，

22E(yt)0,Var(yt)1(C1)

自相关系数只与时间间隔长度有关，与起始时间无关

1

C1

,k0,k2

1(C1)2

所以该差分序列为平稳序列。

3.11解：（1）|2|1.21，模型非平稳；

11.3738 2-0.8736

（2）|2|0.31，210.81，211.41，模型平稳。 10.6 20.5

（3）|2|0.31，210.61，211.21，模型可逆。 10.45＋0.2693i 20.45－0.2693i

（4）|2|0.41，210.91，211.71，模型不可逆。 10.2569 2-1.5569 （5）|1|0.71，模型平稳；10.7 |1|0.61，模型可逆；10.6

（6）|2|0.51，210.31，211.31，模型非平稳。 10.4124 2-1.2124

|1|1.11，模型不可逆；11.1。

3.12 解法1： G01，G11G010.60.30.3，

Gk1Gk11k1G10.30.6k1,k2

所以该模型可以等价表示为：xtt

0.30.6

k

k0



tk1。

解法2：(10.6B)xt(10.3B)t

xt(10.3B)(10.6B0.62B2)t (10.3B0.3*0.6B20.3*0.62B3)t t0.3*0.6j1tj

j1

G01，Gj0.3*0.6j1

3.13解：E[(B)xt]E[3(B)t](10.5)2E(xt)3

E(xt)12。

3.14 证明：已知1

11

，1，根据ARMA(1,1)模型Green函数的递推公式得：

42

G01，G11G010.50.2512，Gk1Gk11k1G11k1,k2

01

1

GG

j

j0



j1



2

1



2j31

G

j0

j

j0





2j

112(j1)

j1

j1

15



11212141570.27

1411214261

112

21

k

GGG

j0

jk

GG

j

1



jk1



2j

j0



1

GG

j

j0

j0



jk1

G

j0



2j

G

1k1,k2

2j

3.15 （1）成立 （2）成立 （3）成立 （4）不成立

3.16 解：（1）xt100.3*(xt110)t， xT9.6

ˆT(1)E(xt1)E[100.3*(xT10)T1]9.88 x

ˆT(2)E(xt2)E[100.3*(xT110)T2]9.964 x

ˆT(3)E(xt3)E[100.3*(xT210)T3]9.9892 x

已知AR(1)模型的Green函数为：Gj1j，j1，2， eT(3)G0t3G1t2G2t1t31t212t1 Var[eT(3)](10.320.092)*99.8829

％的置信区间： xt3的95[9.9892-1.96*.8829，9.9892＋1.96*.8829]

即[3.8275,16.1509]

ˆT(1)10.59.880.62 （2）T1xT1x

ˆT1(1)E(xt2)0.3*0.629.96410.15 x

ˆT1(2)E(xt3)0.09*0.629.989210.045 x

Var[eT2(2)](10.32)*99.81

％的置信区间： xt3的95[10.045-1.96×.81，10.045＋1.96*9.81]

即[3.9061,16.1839]。

3.17 （1）平稳非白噪声序列 （2）AR(1)

(3) 5年预测结果如下：

3.18 （1）平稳非白噪声序列 （2）AR(1)

(3) 5年预测结果如下：

3.19 （1）平稳非白噪声序列 （2）MA(1)

(3) 下一年95%的置信区间为（80.41,90.96）

3.20 （1）平稳非白噪声序列 （2）ARMA(1,3)序列

（3）拟合及5年期预测图如下：

第四章习题答案 4.1 解：

ˆT1x

ˆT2x

1

(xTxT1xT2xT3)4

15551ˆT1xTxT1xT2)xTxT1xT2xT3(x416161616

所

5ˆxxx以，在T2中T与T1前面的系数均为16。

4.2 解 由

txt(1)xt1x

t1xt1(1)xtx

代入数据得

t5.255(1)x

t

5.265.5(1)x

解得

t5.1x



0.4(舍去1的情况)



4.3 解：（1）

11

ˆ21(x20x19x18x17+x16)x13+11+10+10+12）=11.2

55

11ˆ22(xˆ21+x20x19x18x17)11.2+13+11+10+10）x=11.04

55

（2）利用

t0.4xt0.6xt1ˆxˆ21x20x1xxx且初始值0进行迭代计算即可。另外，22 该

题详见Excel。11.79277

（3）在移动平均法下:

19

11ˆXXX2120i55i16

19

111ˆXˆXXX222120i555i17

1116a

55525

在指数平滑法中:

ˆ22xˆ21x200.4x200.6x19x

b0.4

6

ba0.40.16。

25

4.4 解：根据指数平滑的定义有（1）式成立，（1）式等号两边同乘(1)有（2）式成立

tt(t1)(1)(t2)(1)2(t2)(1)3(1)xt(1)x

t(1)(t1)(1)(t2)(1)(2)

2

3

（1）-（2）得

tt(1)(1)2x

tt(1)(1)2x

t1 

1ttx则limlimtttt1。 

4.5 该序列为显著的线性递增序列，利用本章的知识点，可以使用线性方程或者holt两参数指数平滑法进行趋势拟合和预测，答案不唯一，具体结果略。

4.6 该序列为显著的非线性递增序列，可以拟合二次型曲线、指数型曲线或其他曲线，也能使用holt两参数指数平滑法进行趋势拟合和预测，答案不唯一，具体结果略。

4.7 本例在混合模型结构，季节指数求法，趋势拟合方法等处均有多种可选方案，如下做法仅是可选方法之一，结果仅供参考

（1）该序列有显著趋势和周期效应，时序图如下

（2）该序列周期振幅几乎不随着趋势递增而变化，所以尝试使用加法模型拟合该序列：xtTtStIt。（注：如果用乘法模型也可以）

首先求季节指数（没有消除趋势，并不是最精确的季节指数）

0.960722 0.912575 1.038169 1.064302 1.153627 1.116566

1.04292 0.984162 0.930947 0.938549 0.902281 0.955179

消除季节影响，得序列ytxtStx，使用线性模型拟合该序列趋势影响（方法不唯一）：

Tt97.701.79268t，t1,2,3,

（注：该趋势模型截距无意义，主要是斜率有意义，反映了长期递增速率）

得到残差序列ItxtStxytTt，残差序列基本无显著趋势和周期残留。

ˆ预测1971年奶牛的月度产量序列为xtTtSmodtx

得到 ,t109,110,,120

771.5021 739.517 829.4208 849.5468 914.0062 889.7989

839.9249 800.4953 764.9547 772.0807 748.4289 787.3327

（3）该序列使用x11方法得到的趋势拟合为

趋势拟合图为

4.8 这是一个有着曲线趋势,但是有没有固定周期效应的序列,所以可以在快速预测程序中用曲线拟合（stepar）或曲线指数平滑（expo）进行预测（trend=3）。具体预测值略。

第五章习题

5.1 拟合差分平稳序列,即随机游走模型 xt=xt-1+t,估计下一天的收盘价为289

5.2 拟合模型不唯一，答案仅供参考。

拟合ARIMA(1,1,0)模型，五年预测值为：

5.3 ARIMA(1,1,0)(1,1,0)12

5.4 (1)AR(1)， (2)有异方差性。最终拟合的模型为

xt=7.472+t=-0.5595+vt-1tt vtt

h=11.9719+0.4127v2

t-1t

5.5(1)非平稳

（2） 取对数消除方差非齐，对数序列一节差分后，拟合疏系数模型AR(1，3)所以拟合模型为

lnx~ARIMA((1,3),1,0)

（3）预测结果如下：

5.6 原序列方差非齐，差分序列方差非齐，对数变换后，差分序列方差齐性。

第六章习题

6.1 单位根检验原理略。

例2.1 原序列不平稳，一阶差分后平稳

例2.2 原序列不平稳，一阶与12步差分后平稳

例2.3 原序列带漂移项平稳

例2.4 原序列不带漂移项平稳

例2.5 原序列带漂移项平稳(=0.06)，或者显著的趋势平稳。

6.2 （1）两序列均为带漂移项平稳

（2）谷物产量为带常数均值的纯随机序列，降雨量可以拟合AR（2）疏系数模型。

（3）两者之间具有协整关系

（4）谷物产量t23.55210.775549降雨量t

6.3 （1）掠食者和被掠食者数量都呈现出显著的周期特征，两个序列均为非平稳序列。但是掠食者和被掠食者延迟2阶序列具有协整关系。即{yt-xt-2}为平稳序列。

（2）被掠食者拟合乘积模型：ARIMA(0,1,0)(1,1,0)5,模型口径为:

5xt=1 5t1+0.92874B

拟合掠食者的序列为： yt=2.9619+0.283994xt-2+t-0.47988t-1

未来一周的被掠食者预测序列为：

Forecasts for variable x

Obs Forecast Std Error 95% Confidence Limits

49 70.7924 49.4194 -26.0678 167.6526

50 123.8358 69.8895 -13.1452 260.8167

51 195.0984 85.5968 27.3317 362.8651

52 291.6376 98.8387 97.9173 485.3579

53 150.0496 110.5050 -66.5363 366.6355

54 63.5621 122.5322 -176.5965 303.7208

55 80.3352 133.4800 -181.2807 341.9511

56 55.5269 143.5955 -225.9151 336.9690

57 73.8673 153.0439 -226.0932 373.8279

58 75.2471 161.9420 -242.1534 392.6475

59 70.0053 189.8525 -302.0987 442.1094

60 120.4639 214.1559 -299.2739 540.2017

61 184.8801 235.9693 -277.6112 647.3714

62 275.8466 255.9302 -225.7674 777.4606

掠食者预测值为：

Forecasts for variable y

Obs Forecast Std Error 95% Confidence Limits

49 32.7697 14.7279 3.9036 61.6358

50 40.1790 16.3381 8.1570 72.2011

51 42.3346 21.8052 -0.4028 85.0721

52 58.2993 25.9832 7.3732 109.2254

53 78.9707 29.5421 21.0692 136.8722

54 106.5963 32.7090 42.4879 170.7047

55 66.4836 35.5936 -3.2787 136.2458

56 41.9681 38.6392 -33.7634 117.6996

57 46.7548 41.4617 -34.5085 128.0182

58 39.7201 44.1038 -46.7218 126.1619

59 44.9342 46.5964 -46.3930 136.2614

60 45.3286 48.9622 -50.6356 141.2928

61 43.8411 56.4739 -66.8456 154.5279

62 58.1725 63.0975 -65.4964 181.8413

6.4 （1）进出口总额序列均不平稳，但对数变换后的一阶差分后序列平稳。所以对这两个序列取对数后进行单个序列拟合和协整检验。

（2）出口序列拟合的模型为lnxt~ARIMA(1,1,0),具体口径为：

lnxt=0.14689+1t 1-0.38845B

进口序列拟合的模型为lnyt~ARIMA(1,1,0),具体口径为：

lnyt=0.14672+

（3）lnyt和lnxt具有协整关系 1t 1-0.36364B

（4）协整模型为：lnyt=0.99179lnxt+t-0.69938t-1

（5）误差修正模型为：lnyt=0.97861lnxt-0.22395ECMt-1

第二章习题答案 2.1

（1）非平稳

（2）0.0173 0.700 0.412 0.148 -0.079 -0.258 -0.376 （3）典型的具有单调趋势的时间序列样本自相关图

2.2

（1）非平稳，时序图如下

（2）-（3）样本自相关系数及自相关图如下：典型的同时具有周期和趋势序列的样本自相关图

2.3

（1）自相关系数为：0.2023 0.013 0.042 -0.043 -0.179 -0.251 -0.094 0.0248 -0.068 -0.072 0.014 0.109 0.217 0.316 0.0070 -0.025 0.075 -0.141 -0.204 -0.245 0.066 0.0062 -0.139 -0.034 0.206 -0.010 0.080 0.118

（2）平稳序列 （3）白噪声序列 2.4

LB=4.83，LB统计量对应的分位点为0.9634，P值为0.0363。显著性水平 =0.05，序列不能视为纯随机序列。 2.5

（1）时序图与样本自相关图如下

（2） 非平稳 （3）非纯随机 2.6

（1）平稳，非纯随机序列（拟合模型参考：ARMA(1,2)） （2）差分序列平稳，非纯随机

第三章习题答案

3.1 解：E(xt)0.7E(xt1)E(t)

(10.7)E(xt)0 E(xt)0 (10.7B）xtt

xt(10.7B)1t(10.7B0.72B2)t Var(xt)

1

21.96082

10.49

21200.49 220

3.2 解：对于AR（2）模型：

110211210.5



0.311201122

7/15解得：1

21/15

3.3 解：根据该AR(2)模型的形式，易得：E(xt)0

原模型可变为：xt0.8xt10.15xt2t

Var(xt)

12

2

(12)(112)(112)



(10.15)

2=1.98232

(10.15)(10.80.15)(10.80.15)

11/(12)0.69571110.6957

211200.4066 2220.15 0.220933012213

3.4 解：原模型可变形为：

2

(1BcB)xtt

由其平稳域判别条件知：当|2|1，211且211时，模型平稳。 由此可知c应满足：|c|1，c11且c11 即当－1

3.5证明：已知原模型可变形为：

(1BcBcB)xtt

其特征方程为：32cc(1)(2c)0 不论c取何值，都会有一特征根等于1，因此模型非平稳。

3.6 解：（1）错，0

23

Var(xt)2/(112)。

2

2

（2）错，E[(xt)(xt1)]1101/(11)。

ˆT(l)1xT。 （3）错，x

（4）错，eT(l)TlG1Tl1G2Tl2Gl1T1 Tl （5）错，limVar[xTl

l

l

1Tl112Tl21l1T1

1[112l]212

ˆT(l)]limVar[eT(l)]limx。 2ll12111

14121

11 3.7解：12

2111

MA(1)模型的表达式为：xttt1。

3.8解法1：由xt=+t1t12t2，得xt1=+t11t22t3，则

xt0.5xt1=0.5+t(10.5)t1(20.51)t2+0.52t3， 与xt=10+0.5xt1+t0.8t2+Ct3对照系数得

0.510,20,0.500.5,11

0.50.8，故0.55,。

122

C0.2750.52C

解法2：将xt100.5xt1t0.8t2Ct3等价表达为

10.8B2CB3

xt20t

10.5B 10.8B2CB3(10.5B0.52B20.53B3)t

展开等号右边的多项式，整理为

10.5B0.52B20.53B3

CB3

合并同类项，原模型等价表达为



0.54B40.5CB4



0.8B20.80.5B30.80.52B4

xt20[10.5B0.55B0.5k(0.530.4C)B3k]t

2

k0

3

当0.50.4C0时，该模型为MA(2)模型，解出C0.275。

3.9解：：E(xt)0

Var(xt)(11 1

2

2

2)21.652

1120.980.5939 1.6511222

20.40.2424 k0，k3。

112221.65

2

3.10解法1：（1）xttC(t1t2)

xt1t1C(t2t3)

xt1 xttCt1t1xt1t(C1)t1

C

即 (1B)xt[1(C1)B]t

显然模型的AR部分的特征根是1，模型非平稳。 （2） ytxtxt1t(C1)t1为MA(1)模型，平稳。 1

1C1

22

11C2C2

k

解法2：（1）因为Var(xt)lim(1kC2)2，所以该序列为非平稳序列。

（2）ytxtxt1t(C1)t1，该序列均值、方差为常数，

22E(yt)0,Var(yt)1(C1)

自相关系数只与时间间隔长度有关，与起始时间无关

1

C1

,k0,k2

1(C1)2

所以该差分序列为平稳序列。

3.11解：（1）|2|1.21，模型非平稳；

11.3738 2-0.8736

（2）|2|0.31，210.81，211.41，模型平稳。 10.6 20.5

（3）|2|0.31，210.61，211.21，模型可逆。 10.45＋0.2693i 20.45－0.2693i

（4）|2|0.41，210.91，211.71，模型不可逆。 10.2569 2-1.5569 （5）|1|0.71，模型平稳；10.7 |1|0.61，模型可逆；10.6

（6）|2|0.51，210.31，211.31，模型非平稳。 10.4124 2-1.2124

|1|1.11，模型不可逆；11.1。

3.12 解法1： G01，G11G010.60.30.3，

Gk1Gk11k1G10.30.6k1,k2

所以该模型可以等价表示为：xtt

0.30.6

k

k0



tk1。

解法2：(10.6B)xt(10.3B)t

xt(10.3B)(10.6B0.62B2)t (10.3B0.3*0.6B20.3*0.62B3)t t0.3*0.6j1tj

j1

G01，Gj0.3*0.6j1

3.13解：E[(B)xt]E[3(B)t](10.5)2E(xt)3

E(xt)12。

3.14 证明：已知1

11

，1，根据ARMA(1,1)模型Green函数的递推公式得：

42

G01，G11G010.50.2512，Gk1Gk11k1G11k1,k2

01

1

GG

j

j0



j1



2

1



2j31

G

j0

j

j0





2j

112(j1)

j1

j1

15



11212141570.27

1411214261

112

21

k

GGG

j0

jk

GG

j

1



jk1



2j

j0



1

GG

j

j0

j0



jk1

G

j0



2j

G

1k1,k2

2j

3.15 （1）成立 （2）成立 （3）成立 （4）不成立

3.16 解：（1）xt100.3*(xt110)t， xT9.6

ˆT(1)E(xt1)E[100.3*(xT10)T1]9.88 x

ˆT(2)E(xt2)E[100.3*(xT110)T2]9.964 x

ˆT(3)E(xt3)E[100.3*(xT210)T3]9.9892 x

已知AR(1)模型的Green函数为：Gj1j，j1，2， eT(3)G0t3G1t2G2t1t31t212t1 Var[eT(3)](10.320.092)*99.8829

％的置信区间： xt3的95[9.9892-1.96*.8829，9.9892＋1.96*.8829]

即[3.8275,16.1509]

ˆT(1)10.59.880.62 （2）T1xT1x

ˆT1(1)E(xt2)0.3*0.629.96410.15 x

ˆT1(2)E(xt3)0.09*0.629.989210.045 x

Var[eT2(2)](10.32)*99.81

％的置信区间： xt3的95[10.045-1.96×.81，10.045＋1.96*9.81]

即[3.9061,16.1839]。

3.17 （1）平稳非白噪声序列 （2）AR(1)

(3) 5年预测结果如下：

3.18 （1）平稳非白噪声序列 （2）AR(1)

(3) 5年预测结果如下：

3.19 （1）平稳非白噪声序列 （2）MA(1)

(3) 下一年95%的置信区间为（80.41,90.96）

3.20 （1）平稳非白噪声序列 （2）ARMA(1,3)序列

（3）拟合及5年期预测图如下：

第四章习题答案 4.1 解：

ˆT1x

ˆT2x

1

(xTxT1xT2xT3)4

15551ˆT1xTxT1xT2)xTxT1xT2xT3(x416161616

所

5ˆxxx以，在T2中T与T1前面的系数均为16。

4.2 解 由

txt(1)xt1x

t1xt1(1)xtx

代入数据得

t5.255(1)x

t

5.265.5(1)x

解得

t5.1x



0.4(舍去1的情况)



4.3 解：（1）

11

ˆ21(x20x19x18x17+x16)x13+11+10+10+12）=11.2

55

11ˆ22(xˆ21+x20x19x18x17)11.2+13+11+10+10）x=11.04

55

（2）利用

t0.4xt0.6xt1ˆxˆ21x20x1xxx且初始值0进行迭代计算即可。另外，22 该

题详见Excel。11.79277

（3）在移动平均法下:

19

11ˆXXX2120i55i16

19

111ˆXˆXXX222120i555i17

1116a

55525

在指数平滑法中:

ˆ22xˆ21x200.4x200.6x19x

b0.4

6

ba0.40.16。

25

4.4 解：根据指数平滑的定义有（1）式成立，（1）式等号两边同乘(1)有（2）式成立

tt(t1)(1)(t2)(1)2(t2)(1)3(1)xt(1)x

t(1)(t1)(1)(t2)(1)(2)

2

3

（1）-（2）得

tt(1)(1)2x

tt(1)(1)2x

t1 

1ttx则limlimtttt1。 

4.5 该序列为显著的线性递增序列，利用本章的知识点，可以使用线性方程或者holt两参数指数平滑法进行趋势拟合和预测，答案不唯一，具体结果略。

4.6 该序列为显著的非线性递增序列，可以拟合二次型曲线、指数型曲线或其他曲线，也能使用holt两参数指数平滑法进行趋势拟合和预测，答案不唯一，具体结果略。

4.7 本例在混合模型结构，季节指数求法，趋势拟合方法等处均有多种可选方案，如下做法仅是可选方法之一，结果仅供参考

（1）该序列有显著趋势和周期效应，时序图如下

（2）该序列周期振幅几乎不随着趋势递增而变化，所以尝试使用加法模型拟合该序列：xtTtStIt。（注：如果用乘法模型也可以）

首先求季节指数（没有消除趋势，并不是最精确的季节指数）

0.960722 0.912575 1.038169 1.064302 1.153627 1.116566

1.04292 0.984162 0.930947 0.938549 0.902281 0.955179

消除季节影响，得序列ytxtStx，使用线性模型拟合该序列趋势影响（方法不唯一）：

Tt97.701.79268t，t1,2,3,

（注：该趋势模型截距无意义，主要是斜率有意义，反映了长期递增速率）

得到残差序列ItxtStxytTt，残差序列基本无显著趋势和周期残留。

ˆ预测1971年奶牛的月度产量序列为xtTtSmodtx

得到 ,t109,110,,120

771.5021 739.517 829.4208 849.5468 914.0062 889.7989

839.9249 800.4953 764.9547 772.0807 748.4289 787.3327

（3）该序列使用x11方法得到的趋势拟合为

趋势拟合图为

4.8 这是一个有着曲线趋势,但是有没有固定周期效应的序列,所以可以在快速预测程序中用曲线拟合（stepar）或曲线指数平滑（expo）进行预测（trend=3）。具体预测值略。

第五章习题

5.1 拟合差分平稳序列,即随机游走模型 xt=xt-1+t,估计下一天的收盘价为289

5.2 拟合模型不唯一，答案仅供参考。

拟合ARIMA(1,1,0)模型，五年预测值为：

5.3 ARIMA(1,1,0)(1,1,0)12

5.4 (1)AR(1)， (2)有异方差性。最终拟合的模型为

xt=7.472+t=-0.5595+vt-1tt vtt

h=11.9719+0.4127v2

t-1t

5.5(1)非平稳

（2） 取对数消除方差非齐，对数序列一节差分后，拟合疏系数模型AR(1，3)所以拟合模型为

lnx~ARIMA((1,3),1,0)

（3）预测结果如下：

5.6 原序列方差非齐，差分序列方差非齐，对数变换后，差分序列方差齐性。

第六章习题

6.1 单位根检验原理略。

例2.1 原序列不平稳，一阶差分后平稳

例2.2 原序列不平稳，一阶与12步差分后平稳

例2.3 原序列带漂移项平稳

例2.4 原序列不带漂移项平稳

例2.5 原序列带漂移项平稳(=0.06)，或者显著的趋势平稳。

6.2 （1）两序列均为带漂移项平稳

（2）谷物产量为带常数均值的纯随机序列，降雨量可以拟合AR（2）疏系数模型。

（3）两者之间具有协整关系

（4）谷物产量t23.55210.775549降雨量t

6.3 （1）掠食者和被掠食者数量都呈现出显著的周期特征，两个序列均为非平稳序列。但是掠食者和被掠食者延迟2阶序列具有协整关系。即{yt-xt-2}为平稳序列。

（2）被掠食者拟合乘积模型：ARIMA(0,1,0)(1,1,0)5,模型口径为:

5xt=1 5t1+0.92874B

拟合掠食者的序列为： yt=2.9619+0.283994xt-2+t-0.47988t-1

未来一周的被掠食者预测序列为：

Forecasts for variable x

Obs Forecast Std Error 95% Confidence Limits

49 70.7924 49.4194 -26.0678 167.6526

50 123.8358 69.8895 -13.1452 260.8167

51 195.0984 85.5968 27.3317 362.8651

52 291.6376 98.8387 97.9173 485.3579

53 150.0496 110.5050 -66.5363 366.6355

54 63.5621 122.5322 -176.5965 303.7208

55 80.3352 133.4800 -181.2807 341.9511

56 55.5269 143.5955 -225.9151 336.9690

57 73.8673 153.0439 -226.0932 373.8279

58 75.2471 161.9420 -242.1534 392.6475

59 70.0053 189.8525 -302.0987 442.1094

60 120.4639 214.1559 -299.2739 540.2017

61 184.8801 235.9693 -277.6112 647.3714

62 275.8466 255.9302 -225.7674 777.4606

掠食者预测值为：

Forecasts for variable y

Obs Forecast Std Error 95% Confidence Limits

49 32.7697 14.7279 3.9036 61.6358

50 40.1790 16.3381 8.1570 72.2011

51 42.3346 21.8052 -0.4028 85.0721

52 58.2993 25.9832 7.3732 109.2254

53 78.9707 29.5421 21.0692 136.8722

54 106.5963 32.7090 42.4879 170.7047

55 66.4836 35.5936 -3.2787 136.2458

56 41.9681 38.6392 -33.7634 117.6996

57 46.7548 41.4617 -34.5085 128.0182

58 39.7201 44.1038 -46.7218 126.1619

59 44.9342 46.5964 -46.3930 136.2614

60 45.3286 48.9622 -50.6356 141.2928

61 43.8411 56.4739 -66.8456 154.5279

62 58.1725 63.0975 -65.4964 181.8413

6.4 （1）进出口总额序列均不平稳，但对数变换后的一阶差分后序列平稳。所以对这两个序列取对数后进行单个序列拟合和协整检验。

（2）出口序列拟合的模型为lnxt~ARIMA(1,1,0),具体口径为：

lnxt=0.14689+1t 1-0.38845B

进口序列拟合的模型为lnyt~ARIMA(1,1,0),具体口径为：

lnyt=0.14672+

（3）lnyt和lnxt具有协整关系 1t 1-0.36364B

（4）协整模型为：lnyt=0.99179lnxt+t-0.69938t-1

（5）误差修正模型为：lnyt=0.97861lnxt-0.22395ECMt-1