[微积分]综合复习资料3

《 微积分》综合复习资料

一、填空题

1lnx,x0,

1

1、设f(x)1，则f(x)的定义域 ,f()

e,x0x

2、曲线yx2ex在点（0，1）处的切线方程是3、设产量为Q时的成本为CQ210,则产量Q2时的平均成本边际成本为

x21,

4、设f(x)

x1,

1x1,1x3,

，则f(1) .f(0) f(2)

5、曲线yxlnx在点（1，0）处的法线方程是:6、f(x)dxx3C,则f(x)dx

1

x1，则f(x)的定义域f(x1)x1x

8、曲线y的水平渐近线为 ，铅直渐近线为 。

1x

7、设f(x)

9、设需求函数为Q505P,P2时的边际收益为 10

、设f(x)

1

，则f(x)的定义域 ,f(x2)2

1x

4

11、曲线yx1在点(1,2)处的切线方程是 12、设需求函数P10

Q

,则销售量Q2时的边际收益为2

二、选择题

1、 下列函数中的奇函数是（ ）

(a)f(x)x2sinx,x[0,1] (b)f(x)x2,x(,) (c)f(x)xcosx,x(1,1) (d) f(x)tan(1x2),x(,) 2、下列级数中绝对收敛的是（ ）

1

(a)2 (b) n1n4

(c)()n (d) n1





(1)n

nn1



1n

n1



n

3、下列算式中不正确的是（ ）

(a)(xsinx)sinxxcosx (b)(e2x)e2x (c)d(x2)2xdx (d)

d1ln(1x) dx1x

4、下列函数中函数是非奇非偶的函数是（ ）

(a)f(x)x2sinx,x[1,1] (b)f(x)x2,x(,) (c)f(x)xcosx,x(1,1) (d) f(x)log4(1x2),x(,)

1

5、若(4x3k)dx0，则k=（ ）

(a) -1 (b) 1 (c) 0 (d) 2

6、下列算式中不正确的是（ ）

(a)(xlnx)2xlnxx (b)(sin2x)2cos2x (c)d(x2)xdx (d)

d2xln(1x2) 2dx1x

7、下列函数对中是偶函数的是（ ）

5

3

2

x4x2

cosx (a)f(x)x (b)f(x)2

1x

(c)f(x)xsinx (d)f(x)xx2

2x21

8、f(x)

kx2

x1x1

,在x1点连续，则k=( )

(a) 4 (b) 3 (c) 2 (d) 1

9、下列极限中能用罗必达法则计算得出结果的是（ ） (a)lim

x1x1

(b) lim

x1x2x1sin(x1)

exexxsinx(c) lim (d) limx

xxsinxxeex

10、下列函数中既是偶函数又是有界函数的是（ ） (a)f(x)x2,x[0,1] (b)f(x)x2,x(,) (c)f(x)xcosx,x(1,1) (d) f(x)

1

,x(,) 1x2

3xk

11、f(x)

xk

x1

,在x1处连续，则k=( ) x1

(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3

12、下列算式中不正确的是（ ）

dtxdedte(a) (b)f(x)dxf(x) dx0dx

1dd22

(c)(sinx)dxsinxC (d)costdtcosx

dxdxx

x

三、判断题

1、已知f(x1)x21,则f(x)x22x2（ ） 2、如果极限limf(x)存在，则函数f(x)在点a连续 ( )

xa

3、已知边际收益函数为R(p)2p，则总收益函数为R(p)p2( ) 4、函数f(x)sin(2x1)是周期函数，也是有界函数( )

5、如果函数f(x)在点a的导数存在，则f(x)在点a连续。反过来也成立( ) 6、广义积分





11

是收敛的，无穷级数也是收敛的( ) 2

1x21nn1



7、设LQ()RQ()C(Q)

产量水平（ ）

是某种产品的利润函数，则保本产量是使得利润为零的

8、设f(x)x3，则对任意的实数a，f(ah)f(a)3a2o(h)( )

9、如果在区间(a,b)上函数f(t)0，则函数f(t)在(a,b)上是下凸函数，但是导函数f(t)的单调性不能确定( ) 10、曲线y

x

既有水平渐近线，也有垂直渐近线( ) 1x

11、设f(x)(x2a2)g(x)，并且g(x)在点a的连续，则f(x)在点a可导（ ）

1

12、设f(ex)1e2x,f(0)1,则f(x)xe2x(

2

四、计算下列各题

dy

1、 yx2cos(x2x)ln,求,dy。

dx

2、把函数f(x)x2ex展开成x的幂级数。

e

2

2、 计算xlnxdx。

1

d3y

4、y2xx3x,求3。

dx

3

2

5、把函数f(x)5、 函数z1e

1

展开成(x1)的幂级数。 2x

xy

z2z

xy，求,2.

yy

2

2

x21dy

,求,dy。 7、yxln(1x)

1xdx

2

8、求函数x2cos2x的幂级数展开式。

x

9、设g(x)xtetdt,求g(x)的极值。

2

10、yxsinxecos11、求幂级数

2x

1x



3

,求

dy

,dy。 dx

1

(x1)n的收敛区间。 2

n1n

2

2

12、设g(x)eg(x)dx,求g(x)dx.

五、解下列各题

1、已知曲线yf(x)上任意一点的切线的斜率为ex2008x2007，且曲线过点（0，1），求这条曲线的方程。

1

2、求由曲线y2，直线x1和x轴所围成的在x1的范围内的平面图形的面

x

积和该平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积。

3、 知曲线yf(x)上任意一点的切线的斜率为4x3sinx，且曲线过点（0，1），求这条曲线的方程。

4、 求由直线yx2,yx,所围成的平面有界图形D的面积和D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

5、已知某公司生产某种产品的总利润L（单位：元）与每天产量Q（单位：t）的函数关系为L250Q5Q2,求每天生产多少才能使利润最大？最大利润是多少？在最大利润生产规模生产量基础上再多生产一个单位，利润改变多少？ 6、 求由直线y0和曲线ysinx,x[0,2]所围成的平面图形的面积及该图形

绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

参考答案： 一、填空题

1lnx,x0,

1

1、设f(x)1，则f(x)的定义域(,0)(0,),f()

e,x0x

2、曲线yx2ex在点（0，1）处的切线方程是yx1.

3、设产量为Q时的成本为CQ210,则产量Q2时的平均成本

边际成本为

C7

dC

4 dQ

1x1,1x3,

，则f(1)2.f(0)1f(2)1

x21,

4、设f(x)

x1,

5、曲线yxlnx在点（1，0）处的法线方程是:y1x.

6、f(x)dxx3C,则f(x)dx3x2C

7、设f(x)

11

x1，则f(x)的定义域[1,1)(1,),f(x

1).

xx1

8、曲线y

x

的水平渐近线为y1，铅直渐近线为x1。 1x

dR

20 dP

9、设需求函数为Q505P,P2时的边际收益为

10、

设f(x)

112

，则的定义域,f(x)[,)x. f(x)1x21(x2)2

4

11、曲线yx1在点(1,2)处的切线方程是y4x2。 12、设需求函数P10

QdR

,则销售量Q2时的边际收益为8. 2dQ

二、 选择题

1、c 2、a 3、b 4、a 5、b 6、c7、b 8、 b 9、b 10、d 11、b 12、d

三、判断题

1、√；2、×；3、√；4、√；5、×；6、√；7、√；8、√；9、×；10、√；11、√；12、×。 四、计算下列各题

dy

1、yx2cos(x2x)ln,求,dy。

dx解：y(x2cos(x2x)ln)2x(2x1)sin(x2x)；

dy[2x(2x1)sin(x2x)]dx

2、把函数f(x)x2ex展开成x的幂级数。 解：f(x)xe

e

2

2x2



(x2)n(1)nx2n

x(),x(,)

n!n!n0n0

2



3、计算xlnxdx。

1

x2x2xe21

解：xlnxdxlnxd()lnxdx

222441111

ee

e

e

d3y

4、y2xx3x,求3。

dx

3

2

y(2x3x23x)6x22x32

解：y(6x22x3)12x24

y125'5、 把函数f(x)

1

展开成(x1)的幂级数。 2x



11

f(x)(x1)n5解： 2x1(x1)n0

1x11,0x25'

6、函数z1e

xy

z2z

xy，求,2.

yy

2

2

解、

z

exy2x2y3y

zxy2

e2x5'2

y

2

2

x21dy

,求,dy。 7、yxln(1x)

1xdx

2x2

yln(1x)152

1x

解： 2

2x

dy(ln(1x2)1)dx62

1x

2

8、 求函数x2cos2x的幂级数展开式。

(1)n2n(1)n2n2

xcos2xxxx5解： n0(2n)!n0(2n)!

x6

2

2x

9、设g(x)xtetdt,求g(x)的极值。

2

解：g(x)x(2ex)0,得x10,x2ln23

x(,0),g(x)0,g(x)是递减函数，x(0,ln2),g(x)0,g(x)是递增函数，x(ln2,),g(x)0,g(x)是递减函数。 所以，x0是函数的极小值点，极小

值为g(0)0;xln2是函数的极大值。5 极大值为g(ln2)ln210、yxsinxecos

1

x

2

ln2

tedtln2(tee)

dy

,dy。 dx

t2tt

ln20

ln222ln236



3

,求

11

ysinxxcosx2ex5

x

解： 1

1

dy(sinxxcosx2ex)6

x11、求幂级数

1

(x1)n的收敛区间。 2

n1n

1n

t的收敛区间。 2

n1n





解：令tx1，考察级数

1

n2(n1)2

llimlim1,R13 nn(n1)21

n2

(1)n1

t1,t1处级数分别是收敛的级数2,24

n1nn1n





1n1

因此，级数2t的收敛区间为[1,1]，原级数2(x1)n的收敛区间为

n1nn1n



 [2,0]6

2

2

12、设g(x)e2xg(x)dx,求g(x)dx.

22x

2

2

2x

22

解：对等式g(x)eg(x)dx两边积分得g(x)dxedx[g(x)dx]dx，

00

e41

即g(x)dx2g(x)dx4

200e41

g(x)dx6 60

五、解下列各题

1、已知曲线yf(x)上任意一点的切线的斜率为ex2008x2007，且曲线过点（0，1），求这条曲线的方程。

解：f(x)ex2008x20071

2

22

f(x)(ex2008x2007)dxexx2008C3'1=f(0)1CC04'

f(x)exx20085'

1

2、求由曲线y2，直线x1和x轴所围成的在x1的范围内的平面图形的面

x

积和该平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积。 解：面积A

1

1113 2xx1x43x3



体积A







1



1



3

5'

3、 已知曲线yf(x)上任意一点的切线的斜率为4x3sinx，且曲线过点（0，1），求这条曲线的方程。

f(x)4x3sinx1f(x)(4x3sinx)dx2

xcosxC4

1f(0)C2,f(x)x4cosx26*

4

解、

4、 求由直线yx2,yx,所围成的平面有界图形D的面积和D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

2

5'

015

5、已知某公司生产某种产品的总利润L（单位：元）与每天产量Q（单位：t）

1

解、体积V(x2x4)dx

的函数关系为L250Q5Q2,求每天生产多少才能使利润最大？最大利润是多少？在最大利润生产规模生产量基础上再多生产一个单位，利润改变多少？ 解：L25010Q0Q25,L1003

因此，产量规模为每天生产Q25（t）时获利最大，最大利润为L(25)3125（元）。

在最大利润生产规模生产量基础上再多生产一个单位，利润改变

LL(26)L(25)55

6、 求由直线y0和曲线ysinx,x[0,2]所围成的平面图形的面积及该图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。 解：面积A

20

sinsinxdxsinxdxcosx0cosx43

2

2



体积V(sinx)2dx

22

1cos2xsin2x

226 240

2

《 微积分》综合复习资料

一、填空题

1lnx,x0,

1

1、设f(x)1，则f(x)的定义域 ,f()

e,x0x

2、曲线yx2ex在点（0，1）处的切线方程是3、设产量为Q时的成本为CQ210,则产量Q2时的平均成本边际成本为

x21,

4、设f(x)

x1,

1x1,1x3,

，则f(1) .f(0) f(2)

5、曲线yxlnx在点（1，0）处的法线方程是:6、f(x)dxx3C,则f(x)dx

1

x1，则f(x)的定义域f(x1)x1x

8、曲线y的水平渐近线为 ，铅直渐近线为 。

1x

7、设f(x)

9、设需求函数为Q505P,P2时的边际收益为 10

、设f(x)

1

，则f(x)的定义域 ,f(x2)2

1x

4

11、曲线yx1在点(1,2)处的切线方程是 12、设需求函数P10

Q

,则销售量Q2时的边际收益为2

二、选择题

1、 下列函数中的奇函数是（ ）

(a)f(x)x2sinx,x[0,1] (b)f(x)x2,x(,) (c)f(x)xcosx,x(1,1) (d) f(x)tan(1x2),x(,) 2、下列级数中绝对收敛的是（ ）

1

(a)2 (b) n1n4

(c)()n (d) n1





(1)n

nn1



1n

n1



n

3、下列算式中不正确的是（ ）

(a)(xsinx)sinxxcosx (b)(e2x)e2x (c)d(x2)2xdx (d)

d1ln(1x) dx1x

4、下列函数中函数是非奇非偶的函数是（ ）

(a)f(x)x2sinx,x[1,1] (b)f(x)x2,x(,) (c)f(x)xcosx,x(1,1) (d) f(x)log4(1x2),x(,)

1

5、若(4x3k)dx0，则k=（ ）

(a) -1 (b) 1 (c) 0 (d) 2

6、下列算式中不正确的是（ ）

(a)(xlnx)2xlnxx (b)(sin2x)2cos2x (c)d(x2)xdx (d)

d2xln(1x2) 2dx1x

7、下列函数对中是偶函数的是（ ）

5

3

2

x4x2

cosx (a)f(x)x (b)f(x)2

1x

(c)f(x)xsinx (d)f(x)xx2

2x21

8、f(x)

kx2

x1x1

,在x1点连续，则k=( )

(a) 4 (b) 3 (c) 2 (d) 1

9、下列极限中能用罗必达法则计算得出结果的是（ ） (a)lim

x1x1

(b) lim

x1x2x1sin(x1)

exexxsinx(c) lim (d) limx

xxsinxxeex

10、下列函数中既是偶函数又是有界函数的是（ ） (a)f(x)x2,x[0,1] (b)f(x)x2,x(,) (c)f(x)xcosx,x(1,1) (d) f(x)

1

,x(,) 1x2

3xk

11、f(x)

xk

x1

,在x1处连续，则k=( ) x1

(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3

12、下列算式中不正确的是（ ）

dtxdedte(a) (b)f(x)dxf(x) dx0dx

1dd22

(c)(sinx)dxsinxC (d)costdtcosx

dxdxx

x

三、判断题

1、已知f(x1)x21,则f(x)x22x2（ ） 2、如果极限limf(x)存在，则函数f(x)在点a连续 ( )

xa

3、已知边际收益函数为R(p)2p，则总收益函数为R(p)p2( ) 4、函数f(x)sin(2x1)是周期函数，也是有界函数( )

5、如果函数f(x)在点a的导数存在，则f(x)在点a连续。反过来也成立( ) 6、广义积分





11

是收敛的，无穷级数也是收敛的( ) 2

1x21nn1



7、设LQ()RQ()C(Q)

产量水平（ ）

是某种产品的利润函数，则保本产量是使得利润为零的

8、设f(x)x3，则对任意的实数a，f(ah)f(a)3a2o(h)( )

9、如果在区间(a,b)上函数f(t)0，则函数f(t)在(a,b)上是下凸函数，但是导函数f(t)的单调性不能确定( ) 10、曲线y

x

既有水平渐近线，也有垂直渐近线( ) 1x

11、设f(x)(x2a2)g(x)，并且g(x)在点a的连续，则f(x)在点a可导（ ）

1

12、设f(ex)1e2x,f(0)1,则f(x)xe2x(

2

四、计算下列各题

dy

1、 yx2cos(x2x)ln,求,dy。

dx

2、把函数f(x)x2ex展开成x的幂级数。

e

2

2、 计算xlnxdx。

1

d3y

4、y2xx3x,求3。

dx

3

2

5、把函数f(x)5、 函数z1e

1

展开成(x1)的幂级数。 2x

xy

z2z

xy，求,2.

yy

2

2

x21dy

,求,dy。 7、yxln(1x)

1xdx

2

8、求函数x2cos2x的幂级数展开式。

x

9、设g(x)xtetdt,求g(x)的极值。

2

10、yxsinxecos11、求幂级数

2x

1x



3

,求

dy

,dy。 dx

1

(x1)n的收敛区间。 2

n1n

2

2

12、设g(x)eg(x)dx,求g(x)dx.

五、解下列各题

1、已知曲线yf(x)上任意一点的切线的斜率为ex2008x2007，且曲线过点（0，1），求这条曲线的方程。

1

2、求由曲线y2，直线x1和x轴所围成的在x1的范围内的平面图形的面

x

积和该平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积。

3、 知曲线yf(x)上任意一点的切线的斜率为4x3sinx，且曲线过点（0，1），求这条曲线的方程。

4、 求由直线yx2,yx,所围成的平面有界图形D的面积和D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

5、已知某公司生产某种产品的总利润L（单位：元）与每天产量Q（单位：t）的函数关系为L250Q5Q2,求每天生产多少才能使利润最大？最大利润是多少？在最大利润生产规模生产量基础上再多生产一个单位，利润改变多少？ 6、 求由直线y0和曲线ysinx,x[0,2]所围成的平面图形的面积及该图形

绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

参考答案： 一、填空题

1lnx,x0,

1

1、设f(x)1，则f(x)的定义域(,0)(0,),f()

e,x0x

2、曲线yx2ex在点（0，1）处的切线方程是yx1.

3、设产量为Q时的成本为CQ210,则产量Q2时的平均成本

边际成本为

C7

dC

4 dQ

1x1,1x3,

，则f(1)2.f(0)1f(2)1

x21,

4、设f(x)

x1,

5、曲线yxlnx在点（1，0）处的法线方程是:y1x.

6、f(x)dxx3C,则f(x)dx3x2C

7、设f(x)

11

x1，则f(x)的定义域[1,1)(1,),f(x

1).

xx1

8、曲线y

x

的水平渐近线为y1，铅直渐近线为x1。 1x

dR

20 dP

9、设需求函数为Q505P,P2时的边际收益为

10、

设f(x)

112

，则的定义域,f(x)[,)x. f(x)1x21(x2)2

4

11、曲线yx1在点(1,2)处的切线方程是y4x2。 12、设需求函数P10

QdR

,则销售量Q2时的边际收益为8. 2dQ

二、 选择题

1、c 2、a 3、b 4、a 5、b 6、c7、b 8、 b 9、b 10、d 11、b 12、d

三、判断题

1、√；2、×；3、√；4、√；5、×；6、√；7、√；8、√；9、×；10、√；11、√；12、×。 四、计算下列各题

dy

1、yx2cos(x2x)ln,求,dy。

dx解：y(x2cos(x2x)ln)2x(2x1)sin(x2x)；

dy[2x(2x1)sin(x2x)]dx

2、把函数f(x)x2ex展开成x的幂级数。 解：f(x)xe

e

2

2x2



(x2)n(1)nx2n

x(),x(,)

n!n!n0n0

2



3、计算xlnxdx。

1

x2x2xe21

解：xlnxdxlnxd()lnxdx

222441111

ee

e

e

d3y

4、y2xx3x,求3。

dx

3

2

y(2x3x23x)6x22x32

解：y(6x22x3)12x24

y125'5、 把函数f(x)

1

展开成(x1)的幂级数。 2x



11

f(x)(x1)n5解： 2x1(x1)n0

1x11,0x25'

6、函数z1e

xy

z2z

xy，求,2.

yy

2

2

解、

z

exy2x2y3y

zxy2

e2x5'2

y

2

2

x21dy

,求,dy。 7、yxln(1x)

1xdx

2x2

yln(1x)152

1x

解： 2

2x

dy(ln(1x2)1)dx62

1x

2

8、 求函数x2cos2x的幂级数展开式。

(1)n2n(1)n2n2

xcos2xxxx5解： n0(2n)!n0(2n)!

x6

2

2x

9、设g(x)xtetdt,求g(x)的极值。

2

解：g(x)x(2ex)0,得x10,x2ln23

x(,0),g(x)0,g(x)是递减函数，x(0,ln2),g(x)0,g(x)是递增函数，x(ln2,),g(x)0,g(x)是递减函数。 所以，x0是函数的极小值点，极小

值为g(0)0;xln2是函数的极大值。5 极大值为g(ln2)ln210、yxsinxecos

1

x

2

ln2

tedtln2(tee)

dy

,dy。 dx

t2tt

ln20

ln222ln236



3

,求

11

ysinxxcosx2ex5

x

解： 1

1

dy(sinxxcosx2ex)6

x11、求幂级数

1

(x1)n的收敛区间。 2

n1n

1n

t的收敛区间。 2

n1n





解：令tx1，考察级数

1

n2(n1)2

llimlim1,R13 nn(n1)21

n2

(1)n1

t1,t1处级数分别是收敛的级数2,24

n1nn1n





1n1

因此，级数2t的收敛区间为[1,1]，原级数2(x1)n的收敛区间为

n1nn1n



 [2,0]6

2

2

12、设g(x)e2xg(x)dx,求g(x)dx.

22x

2

2

2x

22

解：对等式g(x)eg(x)dx两边积分得g(x)dxedx[g(x)dx]dx，

00

e41

即g(x)dx2g(x)dx4

200e41

g(x)dx6 60

五、解下列各题

1、已知曲线yf(x)上任意一点的切线的斜率为ex2008x2007，且曲线过点（0，1），求这条曲线的方程。

解：f(x)ex2008x20071

2

22

f(x)(ex2008x2007)dxexx2008C3'1=f(0)1CC04'

f(x)exx20085'

1

2、求由曲线y2，直线x1和x轴所围成的在x1的范围内的平面图形的面

x

积和该平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积。 解：面积A

1

1113 2xx1x43x3



体积A







1



1



3

5'

3、 已知曲线yf(x)上任意一点的切线的斜率为4x3sinx，且曲线过点（0，1），求这条曲线的方程。

f(x)4x3sinx1f(x)(4x3sinx)dx2

xcosxC4

1f(0)C2,f(x)x4cosx26*

4

解、

4、 求由直线yx2,yx,所围成的平面有界图形D的面积和D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

2

5'

015

5、已知某公司生产某种产品的总利润L（单位：元）与每天产量Q（单位：t）

1

解、体积V(x2x4)dx

的函数关系为L250Q5Q2,求每天生产多少才能使利润最大？最大利润是多少？在最大利润生产规模生产量基础上再多生产一个单位，利润改变多少？ 解：L25010Q0Q25,L1003

因此，产量规模为每天生产Q25（t）时获利最大，最大利润为L(25)3125（元）。

在最大利润生产规模生产量基础上再多生产一个单位，利润改变

LL(26)L(25)55

6、 求由直线y0和曲线ysinx,x[0,2]所围成的平面图形的面积及该图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。 解：面积A

20

sinsinxdxsinxdxcosx0cosx43

2

2



体积V(sinx)2dx

22

1cos2xsin2x

226 240

2