华东理工大学
概率论与数理统计
作业簿（第四册）
学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________
第九次作业
一． 填空题
1. 设X 服从泊松分布，若EX 2=6，则P (X >1) -2
222
解 X 故 ~P () , 6=E X =+D X (E X ) =+
P (1X >) =1-P (1X ≤) =1-P (0X =) -P (1X =)
-2-2-2
. =1-e -2e =1-3e
2. 设随机变量ξ~B (n , p ) ，已知E ξ=2.4, D ξ=1.44，则参数n=，
λλλ
p
⎧E ξ=n p =2. 4, ⎧n =6,
解 ⎨ ⇒⎨
=1. 44, ⎩=p 0. 4. ⎩D ξ=n p q
3. 某保险公司的某人寿保险险种有1000人投保，每个人在一年内死亡的概率
为0.005，且每个人在一年内是否死亡是相互独立的，欲求在未来一年内这1000个投保人死亡人数不超过10人的概率。用Excel 的BINOMDIST 函数计算。BINOMDIST （10 , 1000, 0.005, TRUE）= 0.986531_。
4. 运载火箭运行中进入其仪器仓的粒子数服从参数为4的泊松分布，用Excel 的POISSON 函数求进入仪器舱的粒子数大于10的概率。 POISSON （所求概率p 。
5. ξ~P (4)，由切比雪夫不等式有P (|ξ-4|
二． 选择题
2
，则至3
少击中一次的概率为 （ D ）
4121926A. B. C. D.
27272727
三．计算题
1. 在相同条件下独立的进行3次射击，每次射击击中目标的概率为
1. 设随机变量ξ的密度函数是
x ⎧1cos , 0≤x ≤π⎪
p (x ) =⎨2 2
⎪其它⎩0,
对ξ独立的随机观察4次，η表示观察值大于（1）η的概率分布（分布律）， （2）E η和D η。 解 η~B (4, p )。 （1）设A=“观察值大于
π
的次数，求 3
π1πx 1π
”，则 p =P (A ) =P (ξ≥) =πcos dx =, 332232
⎛4⎫1k 1
(1-) 4-k , (k =0,1,2,3,4) 。 所以η的概率分布为：P (η=k ) = ⎪
2⎝k ⎭2或
（2） E η=4⨯
111=2, D η=4⨯⨯=1 222
2. 随机变量ξ服从参数为p 的几何分布，即
P (ξ=k ) =p (1-p ) k -1, k =1,2,
（1） 求 P (ξ>s ) ，其中s 是一个非负整数；
（2） 试证P (ξ>s +t |ξ>s ) =P (ξ>t ) ，其中s ，t 是非负整数。（几何分布具有无记忆性）。
解 （1）P (ξ>s ) =
k =s +1∞
∑P (ξ=k ) =∑p (1-p )
k =s +1
∞∞
k -1
=p (1-p )
s
∑(1-p ) k =p (1-p ) s
k =0
1
=(1-p ) s p
或者：P (ξ>s ) =1-P (ξ≤s ) =1-∑p (1-p )
k =1
s
k -1
1-(1-p ) s
=1-p ⋅=(1-p ) s
1-(1-p )
（2） P (ξ>s +t |ξ>s ) =
P ({ξ>s +t } {ξ>s })P (ξ>s +t )
=
P (ξ>s ) P (ξ>s )
(1-p ) s +t
==(1-p ) t =P (ξ>t ) 。 s
(1-p )
3. 设随机变量X 服从泊松分布，且P ，求P (X =3) 。 (X ≤1) =4P (X =2)
λ-λ-λ解：P (X ≤1) =P (X =0) +P (X =1) =e +e , P (X e
-
λ
λ
2
2
-λ-λ2-
+λe =2λe λ 由 P 知 e (X ≤1) =4P (X =2)
2
即 2 解得 λ=1，故 λ-λ-1=0
1
P (X =3) =e -1.
6
4. 设在时间t (单位：min) 内，通过某路口的汽车服从参数与t 成正比的泊松
分布。已知在1分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内至少有2
辆车通过的概率。（提示：设ξt =“t 时间内汽车数”, 则ξt ~P (λt ) ） 解: 设ξt =“t 时间内汽车数”, 则ξt ~P (λt ) ,
(λt ) k e -λt
(k =0,1, 2, ) , 那么P (ξt =k ) =
k ! (λ) 0e -λ
=0.2⇒λ=ln 5, 由已知, 得P (ξ1=0) =
0! =-1P ξ(所以 P (ξ2≥2) 2=
-0P ) ξ2=(
λ1-λ2
(2λ0) e -2(λ2e ) =1--
0! 1!
=1-e -2λ-(2λ) e -2λ=
24-2ln 5. 25
5. 在一次试验中事件A 发生的概率为p ，把这个试验独立重复做两次。在下
列两种情况下分别求p 的值：
（1） 已知事件A 至多发生一次的概率与事件A 至少发生一次的概率相等；
1
（2）已知事件A 至多发生一次的条件下事件A 至少发生一次的概率为。
2解 设ξ为两次试验中事件A 发生的次数，则ξ~B (2,p ) 。
（1）由题意知，P (ξ≥1) =P (ξ≤1) ，即
P (ξ=1) +P (ξ=2) =P (ξ=0) +P (ξ=1)
=P ξ(=得 P (ξ=2)
220
0) ，亦即 C 2p =C 2(1-p ) 2，解得 p =
1
。 2
（2）由条件概率公式 P (ξ≥1ξ|≤1=)
P ({ξ≥1} ξ{≤
P (ξ≤1)
1}P ) ξ=(21p ) (1-p ) p 2
， ===2
P ξ(≤1) 1-p 1+p
根据题意，
12p 1
=，解出，p =。
31+p 2
第十次作业
一． 填空题：
1．若ξ在[0,5]上服从均匀分布，则方程x 2+ξx +ξ2-3ξ=0有实根的概率
2．设随机变量X 在区间[2，6]上服从均匀分布，现对X 进行了3次独立试验，则正好有2次观测值大于4的概率为
3
。 8
3．设每人每次打电话的时间（单位：min ）服从E (1)，则在808人次的电话中有3次或以上超过6分钟的概率为二． 选择题：
1．设X 服从正态分布N (μ, σ2) ，则随着σ的增大，概率P {|X -μ|
2．若灯管的寿命ξ~e (λ) ，则该灯管已使用了a (a >0) 小时, 能再使用b 小时的概率（ A ）。
A. 与a 无关 B. 与a 有关 C. 无法确定 D. 以上答案都不对
3．随机变量 X 的概率密度函数为p (x ) ，且p (x ) =p (-x ) ，F (x ) 是X 的分布函数，则对任意实数a ，有（ B ）。 A. F (-a ) =1-⎰
a 0
a 1
-⎰p (x ) dx 20
1
2
p (x ) dx B. F (-a ) =
C. F (-a ) =F (a ) D. F (-a ) =2F (a ) -1
三． 计算题：
1．某地区18岁的女青年的血压服从N (110,121)。在该地区任选一18岁的女青年，测量她的血压，
（1） 求P (X ≤100), P (105.5≤X ≤121) （2） 确定最小的x ，使P (X >x ) ≤0.05 解：设女青年的血压为ξ，则ξ~N (110,121)，
P (X
ξ-110
11
~N (0,1)
（1）
X -110105.5-110
1111
=1-Φ(0.5)=1-0.6915=0.3085
P (99≤X ≤12=1Φ)
121-110-99110
-Φ) =Φ) -Φ(-1) (1)
1111
=2Φ(1-) =1⨯20. 8-4=1310. 6826
（3） 要使P (X >x ) ≤0.05，只须P (X ≤x ) >0.95
x -110∴>1.65⇒x >128.15 0.
11
1
2．修理某机器所需时间（单位：小时）服从参数为的指数分布。试问：
2
（1） 修理时间超过2小时的概率是多少？
（2） 若已持续修理了9小时，总共需要至少10小时才能修好的条件概
率是多少？
x -⎧12⎪x >0 。 解：设ξ是修理时间，ξ~E () ，ξ的分布函数为F (x ) =⎨1-e
2⎪x ≤0⎩0
=) Φ(1. 65
（1）P {ξ>2}=1-P {ξ≤2}=1-F (2) =1-(1-e
-10
2
-
22
) =e -1 ≈ 0. 367879 ；
-102
1
-P {ξ>10}1-(1-e ) e 2
（2）P {ξ>10>9}= ≈ 0. 606531 。 ===e 99
--P {ξ>9}
1-(1-e 2) e 2
2
ξ~N (0, 10) ，试求在100次独立重复测量中，至少有3．假设测量的随机误差
二次测量误差的绝对值大于19.6的概率α。
解：P (|ξ|>19.6) =P (ξ>19.6) +P (ξ
19.6
)]=0.05 10
令η为100次独立重复测量中，误差的绝对值大于19.6的次数，
则η~b (100,0.05)
100199
P (η≥2) =1-P (η=0) -P (η=1) =1-(0.95)-C (0.05)(0.95)=0.9629 100
4. 若ξ~N (μ, σ2) 且P (ξ
0. 90=P (ξ
89-μ
σ
94-μ
) ，
和
σ
利用随机变量分布函数的单调性，有 89-μ
=1. 2816， σ和 94-μ
=1. 6449， σ
解得μ=71. 3617，σ=13. 7627，即σ2=189. 4128
0. 95=P (ξ
华东理工大学
概率论与数理统计
作业簿（第四册）
学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________
第九次作业
一． 填空题
1. 设X 服从泊松分布，若EX 2=6，则P (X >1) -2
222
解 X 故 ~P () , 6=E X =+D X (E X ) =+
P (1X >) =1-P (1X ≤) =1-P (0X =) -P (1X =)
-2-2-2
. =1-e -2e =1-3e
2. 设随机变量ξ~B (n , p ) ，已知E ξ=2.4, D ξ=1.44，则参数n=，
λλλ
p
⎧E ξ=n p =2. 4, ⎧n =6,
解 ⎨ ⇒⎨
=1. 44, ⎩=p 0. 4. ⎩D ξ=n p q
3. 某保险公司的某人寿保险险种有1000人投保，每个人在一年内死亡的概率
为0.005，且每个人在一年内是否死亡是相互独立的，欲求在未来一年内这1000个投保人死亡人数不超过10人的概率。用Excel 的BINOMDIST 函数计算。BINOMDIST （10 , 1000, 0.005, TRUE）= 0.986531_。
4. 运载火箭运行中进入其仪器仓的粒子数服从参数为4的泊松分布，用Excel 的POISSON 函数求进入仪器舱的粒子数大于10的概率。 POISSON （所求概率p 。
5. ξ~P (4)，由切比雪夫不等式有P (|ξ-4|
二． 选择题
2
，则至3
少击中一次的概率为 （ D ）
4121926A. B. C. D.
27272727
三．计算题
1. 在相同条件下独立的进行3次射击，每次射击击中目标的概率为
1. 设随机变量ξ的密度函数是
x ⎧1cos , 0≤x ≤π⎪
p (x ) =⎨2 2
⎪其它⎩0,
对ξ独立的随机观察4次，η表示观察值大于（1）η的概率分布（分布律）， （2）E η和D η。 解 η~B (4, p )。 （1）设A=“观察值大于
π
的次数，求 3
π1πx 1π
”，则 p =P (A ) =P (ξ≥) =πcos dx =, 332232
⎛4⎫1k 1
(1-) 4-k , (k =0,1,2,3,4) 。 所以η的概率分布为：P (η=k ) = ⎪
2⎝k ⎭2或
（2） E η=4⨯
111=2, D η=4⨯⨯=1 222
2. 随机变量ξ服从参数为p 的几何分布，即
P (ξ=k ) =p (1-p ) k -1, k =1,2,
（1） 求 P (ξ>s ) ，其中s 是一个非负整数；
（2） 试证P (ξ>s +t |ξ>s ) =P (ξ>t ) ，其中s ，t 是非负整数。（几何分布具有无记忆性）。
解 （1）P (ξ>s ) =
k =s +1∞
∑P (ξ=k ) =∑p (1-p )
k =s +1
∞∞
k -1
=p (1-p )
s
∑(1-p ) k =p (1-p ) s
k =0
1
=(1-p ) s p
或者：P (ξ>s ) =1-P (ξ≤s ) =1-∑p (1-p )
k =1
s
k -1
1-(1-p ) s
=1-p ⋅=(1-p ) s
1-(1-p )
（2） P (ξ>s +t |ξ>s ) =
P ({ξ>s +t } {ξ>s })P (ξ>s +t )
=
P (ξ>s ) P (ξ>s )
(1-p ) s +t
==(1-p ) t =P (ξ>t ) 。 s
(1-p )
3. 设随机变量X 服从泊松分布，且P ，求P (X =3) 。 (X ≤1) =4P (X =2)
λ-λ-λ解：P (X ≤1) =P (X =0) +P (X =1) =e +e , P (X e
-
λ
λ
2
2
-λ-λ2-
+λe =2λe λ 由 P 知 e (X ≤1) =4P (X =2)
2
即 2 解得 λ=1，故 λ-λ-1=0
1
P (X =3) =e -1.
6
4. 设在时间t (单位：min) 内，通过某路口的汽车服从参数与t 成正比的泊松
分布。已知在1分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内至少有2
辆车通过的概率。（提示：设ξt =“t 时间内汽车数”, 则ξt ~P (λt ) ） 解: 设ξt =“t 时间内汽车数”, 则ξt ~P (λt ) ,
(λt ) k e -λt
(k =0,1, 2, ) , 那么P (ξt =k ) =
k ! (λ) 0e -λ
=0.2⇒λ=ln 5, 由已知, 得P (ξ1=0) =
0! =-1P ξ(所以 P (ξ2≥2) 2=
-0P ) ξ2=(
λ1-λ2
(2λ0) e -2(λ2e ) =1--
0! 1!
=1-e -2λ-(2λ) e -2λ=
24-2ln 5. 25
5. 在一次试验中事件A 发生的概率为p ，把这个试验独立重复做两次。在下
列两种情况下分别求p 的值：
（1） 已知事件A 至多发生一次的概率与事件A 至少发生一次的概率相等；
1
（2）已知事件A 至多发生一次的条件下事件A 至少发生一次的概率为。
2解 设ξ为两次试验中事件A 发生的次数，则ξ~B (2,p ) 。
（1）由题意知，P (ξ≥1) =P (ξ≤1) ，即
P (ξ=1) +P (ξ=2) =P (ξ=0) +P (ξ=1)
=P ξ(=得 P (ξ=2)
220
0) ，亦即 C 2p =C 2(1-p ) 2，解得 p =
1
。 2
（2）由条件概率公式 P (ξ≥1ξ|≤1=)
P ({ξ≥1} ξ{≤
P (ξ≤1)
1}P ) ξ=(21p ) (1-p ) p 2
， ===2
P ξ(≤1) 1-p 1+p
根据题意，
12p 1
=，解出，p =。
31+p 2
第十次作业
一． 填空题：
1．若ξ在[0,5]上服从均匀分布，则方程x 2+ξx +ξ2-3ξ=0有实根的概率
2．设随机变量X 在区间[2，6]上服从均匀分布，现对X 进行了3次独立试验，则正好有2次观测值大于4的概率为
3
。 8
3．设每人每次打电话的时间（单位：min ）服从E (1)，则在808人次的电话中有3次或以上超过6分钟的概率为二． 选择题：
1．设X 服从正态分布N (μ, σ2) ，则随着σ的增大，概率P {|X -μ|
2．若灯管的寿命ξ~e (λ) ，则该灯管已使用了a (a >0) 小时, 能再使用b 小时的概率（ A ）。
A. 与a 无关 B. 与a 有关 C. 无法确定 D. 以上答案都不对
3．随机变量 X 的概率密度函数为p (x ) ，且p (x ) =p (-x ) ，F (x ) 是X 的分布函数，则对任意实数a ，有（ B ）。 A. F (-a ) =1-⎰
a 0
a 1
-⎰p (x ) dx 20
1
2
p (x ) dx B. F (-a ) =
C. F (-a ) =F (a ) D. F (-a ) =2F (a ) -1
三． 计算题：
1．某地区18岁的女青年的血压服从N (110,121)。在该地区任选一18岁的女青年，测量她的血压，
（1） 求P (X ≤100), P (105.5≤X ≤121) （2） 确定最小的x ，使P (X >x ) ≤0.05 解：设女青年的血压为ξ，则ξ~N (110,121)，
P (X
ξ-110
11
~N (0,1)
（1）
X -110105.5-110
1111
=1-Φ(0.5)=1-0.6915=0.3085
P (99≤X ≤12=1Φ)
121-110-99110
-Φ) =Φ) -Φ(-1) (1)
1111
=2Φ(1-) =1⨯20. 8-4=1310. 6826
（3） 要使P (X >x ) ≤0.05，只须P (X ≤x ) >0.95
x -110∴>1.65⇒x >128.15 0.
11
1
2．修理某机器所需时间（单位：小时）服从参数为的指数分布。试问：
2
（1） 修理时间超过2小时的概率是多少？
（2） 若已持续修理了9小时，总共需要至少10小时才能修好的条件概
率是多少？
x -⎧12⎪x >0 。 解：设ξ是修理时间，ξ~E () ，ξ的分布函数为F (x ) =⎨1-e
2⎪x ≤0⎩0
=) Φ(1. 65
（1）P {ξ>2}=1-P {ξ≤2}=1-F (2) =1-(1-e
-10
2
-
22
) =e -1 ≈ 0. 367879 ；
-102
1
-P {ξ>10}1-(1-e ) e 2
（2）P {ξ>10>9}= ≈ 0. 606531 。 ===e 99
--P {ξ>9}
1-(1-e 2) e 2
2
ξ~N (0, 10) ，试求在100次独立重复测量中，至少有3．假设测量的随机误差
二次测量误差的绝对值大于19.6的概率α。
解：P (|ξ|>19.6) =P (ξ>19.6) +P (ξ
19.6
)]=0.05 10
令η为100次独立重复测量中，误差的绝对值大于19.6的次数，
则η~b (100,0.05)
100199
P (η≥2) =1-P (η=0) -P (η=1) =1-(0.95)-C (0.05)(0.95)=0.9629 100
4. 若ξ~N (μ, σ2) 且P (ξ
0. 90=P (ξ
89-μ
σ
94-μ
) ，
和
σ
利用随机变量分布函数的单调性，有 89-μ
=1. 2816， σ和 94-μ
=1. 6449， σ
解得μ=71. 3617，σ=13. 7627，即σ2=189. 4128
0. 95=P (ξ