万有引力与天体运动
方法一、“T、r”计算法
在知道“T、r”或“v、r”或“ω、r”的情况下，根据思路一可计算出中心天体的质量，这种方法统称为“T、r”计算法。在知道中心天体半径的情况下利用密度公式还可以计算出中心天体的密度。 方法二、“g、R”计算法
利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
MMMmgR2
=由于G2=mg,故天体质量M=,天体密度=
4GRV
=
3
26．1798年英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人，若已知万有引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1（地球自转周期），一年的时间T2（地球公转的周期），地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离为L2．你估算出（ ）
πR3
3g
.4πGR
gR2
①地球的质量m地=
G
3
4π2L1
③月球的质量m月=
GT12
4π2L32
②太阳的质量m太= 2
GT2
④可求月球、地球及太阳的密度
A ①② B ①②③ C ①②④ D ①②③④
27.飞船以加速度a=
（g为地球表面的重力加速度）匀加速上升，测得在地面上10kg的物体重为75N，2
3
由此可求出此时飞船离地的高度为多少？（地球半径R=6.4⨯10km）h=6.4⨯103km
变式：设地球表面的重力加速度为g，物体在距地心4R（R是地球半径）处，由于地球的引力作用而产生的
，
重力加速度g，则g'/g为（ ）
A. 1 B. 1/9 C. 1/4 D. 1/16
说明：(1)航天器在发射过程中有一个向上加速运动阶段，在返回地球时有一个向下减速阶段，这两个过程
中航天器及内部的物体都处于超重状态；
(2)航天器进入轨道作匀速圆周运动时，由于万有引力（重力）全部提供向心力，此时航天器及内部的所有物体都处于完全失重状态。
(3)在航天器上不能正常使用的仪器如：天平、测重力的弹簧秤（测拉力可以）、摆钟、水银气
压计 1、 关键点
利用抛体运动求出该地的重力加速度
28、宇航员在月球上做自由落体实验,将某物体由距月球表面高h处释放,经时间t后落到月球表面（设月球半径为R）.据上述信息推断,飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为 （ ）
A.
2Rh
t
B.
2Rh
t
C.
Rh t
D.
Rh 2
t
变式：从上题提供的条件能否求出月球的质量？
1
29.三颗人造地球卫星A、B、C绕地球作匀速圆周运动，如图所示，已知MA=MB
A. 运行线速度关系为 υA>υB=υC B. 运行周期关系为 TA
D. 半径与周期关系为
RATA
3
2
=
RBTB
3
2
=
RCTC
32
小结：轨道模型：
在中心天体相同的情况下卫星的r越大v、ω、a越小，T越大，r相同，则卫星的v、ω、a、T也相同，r、 v、ω、a、T中任一发生变化其它各量也会变化。 变式： 第一宇宙速度的计算
第一宇宙速度=最小发射速度=最大环绕速度
1、第一宇宙速度的计算特点：r（卫星环绕天体的轨道半径）=R(天体本身的半径) 方法1、根据 GMm/R=mv/R计算
方法2、根据v＝Rg，特别注意g可以和有关抛体运动的知识联系在一起
30.我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站．如图所示，关闭动力的航天飞机在月球引力作用下向月球靠近，并将与空间站在B处对接，已知空间站绕月轨道半径为r，周期为T，万有引力常量为G，下列说法中错误的是（ ） A．图中航天飞机正加速飞向B处
B．航天飞机在B处由椭圆轨道进入空间站轨道必须点火减速 C．根据题中条件可以算出月球质量
D．根据题中条件可以算出空间站受到月球引力的大小
31某人造卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变。每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动，某次测量卫星的轨道半径为，后来变为小，
、
，以
、
表示卫星在这两个轨道上的线速度大
2
2
表示卫星在这两个轨道上绕地球运动的周期，则（ ） ，，
，，
B． D．
，，
，，
A． C．
32．2008年9月25日至28日我国成功实施了“神舟”七号载入航天飞行并实现了航天员首次出舱。飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟。下列判断正确的是（ ）
A．飞船变轨前后的机械能相等 B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态
C．飞船在此圆轨道上运动的角度速度小于同步卫星运动的角速度
D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度
1、问题突破口
卫星的追及问题关键找到两卫星追及过程中所转过的角度关系。
2
33．假设有一载人宇宙飞船在距地面高度为4200 km的赤道上空绕地球做匀速圆周运动，地球半径约为6400 km，地球同步卫星距地面高为36000 km，宇宙飞船和一地球同步卫星绕地球同向运动，每当两者相距最近时．宇宙飞船就向同步卫星发射信号，然后再由同步卫星将信号发送到地面接收站，某时刻两者相距最远，从此刻开始，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号的次数为( )
A．4次 B．6次 C．7次 D．8次 34．经长期观测发现，A行星运行的轨道半径为R0，周期为T0但其实际运行的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离．如图所示，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知行星B，则行星B运动轨道半径为（ ） A．
R=R B．R=R0
2t0t0t0
C． R=R0 D．R=R0
2
t-T(t-T)t0-T0000
某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在
相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由天文观察测得其运动周期为T。S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G。由此可求出S2的质量为 （ ）
4πrr1A．
GT
22
4πr1B．
GT
23
4πr4πr（r－r1）C． D． GTGT
2322
总结：处理双星问题必须注意两点
（1）两颗星球运行的角速度、周期相等；
（2）轨道半径不等于引力距离（这一点务必理解）。
弄清每个表达式中各字母的含义，在示意图中相应位置标出相关量，可以最大限度减少错误。
1、关键点
（1）在赤道上的物体和同步卫星具有相同的ω和T
（2）近地卫星和同步卫星均由各自受到的万有引力提供向心力，往往根据F万=F向建立方程分析 36. 地球赤道上有一物体随地球自转而做圆周运动，所受到的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)所受到的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球同步卫星所受到的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3；地球表面的重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则()
A.F1＝F2>F3 B.a1＝a2＝g>a3 C.v1＝v2＝v>v3 D.ω1＝ω3
37．设一卫星在离地面高h处绕地球做匀速圆周运动，其动能为EK1，重力势能为EP1。与该卫星等质量的另一卫星在离地面高2h处绕地球做匀速圆周运动，其动能为EK2，重力势能为EP2。则下列关系式中正确的是（ ）
A．EK1 ＞EK2 B．EP1 ＞EP2 C．EK1+EP1=EK2+EP2 D．EK1+EP1＜ EK2+EP2 答案： 26A D B C D C 32B C A A D A
3
万有引力与天体运动
方法一、“T、r”计算法
在知道“T、r”或“v、r”或“ω、r”的情况下，根据思路一可计算出中心天体的质量，这种方法统称为“T、r”计算法。在知道中心天体半径的情况下利用密度公式还可以计算出中心天体的密度。 方法二、“g、R”计算法
利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
MMMmgR2
=由于G2=mg,故天体质量M=,天体密度=
4GRV
=
3
26．1798年英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人，若已知万有引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1（地球自转周期），一年的时间T2（地球公转的周期），地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离为L2．你估算出（ ）
πR3
3g
.4πGR
gR2
①地球的质量m地=
G
3
4π2L1
③月球的质量m月=
GT12
4π2L32
②太阳的质量m太= 2
GT2
④可求月球、地球及太阳的密度
A ①② B ①②③ C ①②④ D ①②③④
27.飞船以加速度a=
（g为地球表面的重力加速度）匀加速上升，测得在地面上10kg的物体重为75N，2
3
由此可求出此时飞船离地的高度为多少？（地球半径R=6.4⨯10km）h=6.4⨯103km
变式：设地球表面的重力加速度为g，物体在距地心4R（R是地球半径）处，由于地球的引力作用而产生的
，
重力加速度g，则g'/g为（ ）
A. 1 B. 1/9 C. 1/4 D. 1/16
说明：(1)航天器在发射过程中有一个向上加速运动阶段，在返回地球时有一个向下减速阶段，这两个过程
中航天器及内部的物体都处于超重状态；
(2)航天器进入轨道作匀速圆周运动时，由于万有引力（重力）全部提供向心力，此时航天器及内部的所有物体都处于完全失重状态。
(3)在航天器上不能正常使用的仪器如：天平、测重力的弹簧秤（测拉力可以）、摆钟、水银气
压计 1、 关键点
利用抛体运动求出该地的重力加速度
28、宇航员在月球上做自由落体实验,将某物体由距月球表面高h处释放,经时间t后落到月球表面（设月球半径为R）.据上述信息推断,飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为 （ ）
A.
2Rh
t
B.
2Rh
t
C.
Rh t
D.
Rh 2
t
变式：从上题提供的条件能否求出月球的质量？
1
29.三颗人造地球卫星A、B、C绕地球作匀速圆周运动，如图所示，已知MA=MB
A. 运行线速度关系为 υA>υB=υC B. 运行周期关系为 TA
D. 半径与周期关系为
RATA
3
2
=
RBTB
3
2
=
RCTC
32
小结：轨道模型：
在中心天体相同的情况下卫星的r越大v、ω、a越小，T越大，r相同，则卫星的v、ω、a、T也相同，r、 v、ω、a、T中任一发生变化其它各量也会变化。 变式： 第一宇宙速度的计算
第一宇宙速度=最小发射速度=最大环绕速度
1、第一宇宙速度的计算特点：r（卫星环绕天体的轨道半径）=R(天体本身的半径) 方法1、根据 GMm/R=mv/R计算
方法2、根据v＝Rg，特别注意g可以和有关抛体运动的知识联系在一起
30.我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站．如图所示，关闭动力的航天飞机在月球引力作用下向月球靠近，并将与空间站在B处对接，已知空间站绕月轨道半径为r，周期为T，万有引力常量为G，下列说法中错误的是（ ） A．图中航天飞机正加速飞向B处
B．航天飞机在B处由椭圆轨道进入空间站轨道必须点火减速 C．根据题中条件可以算出月球质量
D．根据题中条件可以算出空间站受到月球引力的大小
31某人造卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变。每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动，某次测量卫星的轨道半径为，后来变为小，
、
，以
、
表示卫星在这两个轨道上的线速度大
2
2
表示卫星在这两个轨道上绕地球运动的周期，则（ ） ，，
，，
B． D．
，，
，，
A． C．
32．2008年9月25日至28日我国成功实施了“神舟”七号载入航天飞行并实现了航天员首次出舱。飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟。下列判断正确的是（ ）
A．飞船变轨前后的机械能相等 B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态
C．飞船在此圆轨道上运动的角度速度小于同步卫星运动的角速度
D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度
1、问题突破口
卫星的追及问题关键找到两卫星追及过程中所转过的角度关系。
2
33．假设有一载人宇宙飞船在距地面高度为4200 km的赤道上空绕地球做匀速圆周运动，地球半径约为6400 km，地球同步卫星距地面高为36000 km，宇宙飞船和一地球同步卫星绕地球同向运动，每当两者相距最近时．宇宙飞船就向同步卫星发射信号，然后再由同步卫星将信号发送到地面接收站，某时刻两者相距最远，从此刻开始，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号的次数为( )
A．4次 B．6次 C．7次 D．8次 34．经长期观测发现，A行星运行的轨道半径为R0，周期为T0但其实际运行的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离．如图所示，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知行星B，则行星B运动轨道半径为（ ） A．
R=R B．R=R0
2t0t0t0
C． R=R0 D．R=R0
2
t-T(t-T)t0-T0000
某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在
相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由天文观察测得其运动周期为T。S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G。由此可求出S2的质量为 （ ）
4πrr1A．
GT
22
4πr1B．
GT
23
4πr4πr（r－r1）C． D． GTGT
2322
总结：处理双星问题必须注意两点
（1）两颗星球运行的角速度、周期相等；
（2）轨道半径不等于引力距离（这一点务必理解）。
弄清每个表达式中各字母的含义，在示意图中相应位置标出相关量，可以最大限度减少错误。
1、关键点
（1）在赤道上的物体和同步卫星具有相同的ω和T
（2）近地卫星和同步卫星均由各自受到的万有引力提供向心力，往往根据F万=F向建立方程分析 36. 地球赤道上有一物体随地球自转而做圆周运动，所受到的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)所受到的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球同步卫星所受到的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3；地球表面的重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则()
A.F1＝F2>F3 B.a1＝a2＝g>a3 C.v1＝v2＝v>v3 D.ω1＝ω3
37．设一卫星在离地面高h处绕地球做匀速圆周运动，其动能为EK1，重力势能为EP1。与该卫星等质量的另一卫星在离地面高2h处绕地球做匀速圆周运动，其动能为EK2，重力势能为EP2。则下列关系式中正确的是（ ）
A．EK1 ＞EK2 B．EP1 ＞EP2 C．EK1+EP1=EK2+EP2 D．EK1+EP1＜ EK2+EP2 答案： 26A D B C D C 32B C A A D A
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