期末作业考核
《中小学数学解题研究》
满分100分
一、回答下列各问题（每小题6分，共18分）
1、数学习题有哪些功能？
答：（1）知识功能：通过数学习题，使学生获得系统的数学知识，形成必要的技能、技巧，这是数学习题的知识功能。
①通过数学习题引入新知识
②通过数学习题巩固知识
③通过数学习题运用知识
（2）教育功能：通过数学教育对学生智力和非智力因素的培养
①培养学生的数学观念及良好的数感，形成学生科学的思维方式和合理的思维习惯，激发学生强烈的应用意识及创造能力，以及运用数学语言进行人际交流的能力。
②数学课程对形成学生的性格和道德个性方面有巨大作用。
③数学习题的教育功能还在于它能给学生美的陶冶，
④通过数学习题中的辩证思想，数学习题反映着客观现实的各种现象，可以向学生进行辩证唯物主义世界观的教育；
（3）评价功能：学业成绩的检查与评定是整个教学过程的有机部分。
2、数学开放题可分为几类？
从构成数学题系统的四要素（条件、依据、方法、结论）出发，定性地可分成四类；如果寻求的答案是数学题的条件，则称为条件开放题；如果寻求的答案是依据或方法，则称为策略开放题；如果寻求的答案是结论，则称为结论开放题；如果数学题的条件、解题策略或结论都要求解题者在给定的情景中自行设定与寻找，则称为综合开放题。
3、一个良好的解题策略的形成取决于哪三个因素？
答：一个良好的解题策略的形成取决于三个因素：
（1）知识结构
（2）信息加工方式
（3）非智力因素
二、用两种方法求解下面问题（每小题6分，共12分）
1、若x 1, x 2, y 1, y 2均为实数，求证(x 1+x 2) +(y 1+y 2) ≤
方法一：不妨设点A (-x 1, -y 1), B (x 2, y 2), O (0, 0) 22x 1+y 1+x 2+y 2 2222
)
A
x
如图，在∆ABO +〉
而AO =x 1+y 1BO =x 2+y 2
222222（y 1+y 2） AB =x 1+x 2）+
所以，不等式成立。
方法二：设z 1=x 1+y 1i ，z 2=x 2+y 2i
则z 1=x 1+y 1z 2=x 2+y 2 2222
22z 1+z 2=x 1+x 2）+（y 1+y 2）
又因为，对于任意复数z 1，z 2z 1+z 2≤z 1+z 2
所以，不等式成立。
三、下面这道题，是某学生给出的解法，你认为对吗？认为正确说明理由；认为不对，请给出正确的解法。（共8分）
1、相交两圆的公共弦的长为24，两圆的半径分别为15和20，则此两圆的圆心距等于( ) 。
A.7 B.9 C.25 D.25或7
B 同学的解答：选C
答：：此题解法不对，此解法只考虑了下图1的情况，没有考虑图2的概况。正确的解答应选D 。
图1 图2
四、试分析下列数学题作为封闭性数学习题，是否满足数学习题的科学性标准？满足请说明理由；不满
足请修改成正确的数学题，并求解（共12分）
用油漆涂100个圆柱形水桶，桶口的直径为35cm ，高为27.5cm ，已知每平方米需要油漆150g ，共需油漆多少？
答：本题有两处叙述不清楚（1）水桶有没有盖？（2）是只有外面涂油漆，还是内外两面涂油漆？纠正的办法是在已知条件中阐明上述两条。
五、求解下列数学题（每题10分，共30分）
1、若一个首位数字是1的六位数1abcde 乘3所得的积是一个末位数字为1的六为数abcde1，求原来的六位数。
解；设abcde=X，于是有：(106+x ) ⨯3=10x +1
解得abcde=42857
1abcde=142857
2、在直径为AB=10的半圆内划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB ，顶点C 在半圆上，现要建造一个内接于△ABC 的矩形水池DEFN ，其中DE 在AB 上, 如图的设计方案是AC=8，BC=6。
⑴求△ABC 中AB 边上的高h ；
⑵设DN=x，当x 取何值时, 水池DEFN 的面积最大?
⑶实际施工时，发现在AB 上距点B ， 1.85的M 处
有一棵大树。问:这棵大树是否位于最大矩形水池的边上?
如果在，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中的最大矩形水池能避开大树。 (若有另外的设计方案，请将设计图画在空白的图形上)
答：（1）h=4.8 (2)S 四边形DEFN =-A N C D E B 102(x -4. 8x ) 当x=2.4时,S 最大. 4. 8
（3）想一想答案:大树位于欲建水池的边上, 其方案为:将最大面积的水池建在使AC ' =6, BC ' =8, 且C ' 点在△ABC 内。
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) 3、 232-1
解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）/（232—1）=
(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
232-1
(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) =232-1
(24-1)(24+1)(28+1)(216+1) = 322-1
(28-1)(28+1)(216+1) =223-1
(216-1)(216+1) ==1322-1
六、证明下列各题（每题10分，共20分）
1、求证存在一个质数, 当它分别加上10和14时仍为质数。
证明：首先用归纳法进行试验:
2+10=12,2+14=16,质数2不合要求；
3+10=13,3+14主17, 质数3符合要求；
5+10=15,5+14=19,质数5不合要求；
7+10=17,7+14=21,质数7不合要求；
11+10=21,11+14=25,质数11不合要求；
17+10=27,17+14=31,质数17不合要求；
53+10=63,53+14=67,质数53不合要求；
归纳上述试验, 可以建立猜想:符合要求的质数只有3, 即除了3以外的其他质数分别加上10和14不能都是质数。
为此, 可把自然数分成三类:3n,3n+1,3n+2(n∈N) 。
因为(3n+1)+14=3(n+5)是合数；
(3n+2)+10=3(n+4)是合数；
所以3n+1和3n+2这两类自然数中的质数都不符合要求, 而在3n 这类自然数中, 只有当“n=1时,3n 才是质数, 其余都是合数。因此, 符合要求的质数只有3。
222、已知a ，b ，c ，d 都是正有理数，求证a 2+d 2，b 2+c 2，(a -b ) +(c +d ) 中任何两个数
之和都大于第三个数。
解：作图1，如图1所示矩形ABCD ，
则AE=a 2+d 2，EF=b 2+c 2， 22AF=(a -b ) +(c +d ) 。
由△AEF 中任何两边之和都大于第三边知结论成立。
图1
期末作业考核
《中小学数学解题研究》
满分100分
一、回答下列各问题（每小题6分，共18分）
1、数学习题有哪些功能？
答：（1）知识功能：通过数学习题，使学生获得系统的数学知识，形成必要的技能、技巧，这是数学习题的知识功能。
①通过数学习题引入新知识
②通过数学习题巩固知识
③通过数学习题运用知识
（2）教育功能：通过数学教育对学生智力和非智力因素的培养
①培养学生的数学观念及良好的数感，形成学生科学的思维方式和合理的思维习惯，激发学生强烈的应用意识及创造能力，以及运用数学语言进行人际交流的能力。
②数学课程对形成学生的性格和道德个性方面有巨大作用。
③数学习题的教育功能还在于它能给学生美的陶冶，
④通过数学习题中的辩证思想，数学习题反映着客观现实的各种现象，可以向学生进行辩证唯物主义世界观的教育；
（3）评价功能：学业成绩的检查与评定是整个教学过程的有机部分。
2、数学开放题可分为几类？
从构成数学题系统的四要素（条件、依据、方法、结论）出发，定性地可分成四类；如果寻求的答案是数学题的条件，则称为条件开放题；如果寻求的答案是依据或方法，则称为策略开放题；如果寻求的答案是结论，则称为结论开放题；如果数学题的条件、解题策略或结论都要求解题者在给定的情景中自行设定与寻找，则称为综合开放题。
3、一个良好的解题策略的形成取决于哪三个因素？
答：一个良好的解题策略的形成取决于三个因素：
（1）知识结构
（2）信息加工方式
（3）非智力因素
二、用两种方法求解下面问题（每小题6分，共12分）
1、若x 1, x 2, y 1, y 2均为实数，求证(x 1+x 2) +(y 1+y 2) ≤
方法一：不妨设点A (-x 1, -y 1), B (x 2, y 2), O (0, 0) 22x 1+y 1+x 2+y 2 2222
)
A
x
如图，在∆ABO +〉
而AO =x 1+y 1BO =x 2+y 2
222222（y 1+y 2） AB =x 1+x 2）+
所以，不等式成立。
方法二：设z 1=x 1+y 1i ，z 2=x 2+y 2i
则z 1=x 1+y 1z 2=x 2+y 2 2222
22z 1+z 2=x 1+x 2）+（y 1+y 2）
又因为，对于任意复数z 1，z 2z 1+z 2≤z 1+z 2
所以，不等式成立。
三、下面这道题，是某学生给出的解法，你认为对吗？认为正确说明理由；认为不对，请给出正确的解法。（共8分）
1、相交两圆的公共弦的长为24，两圆的半径分别为15和20，则此两圆的圆心距等于( ) 。
A.7 B.9 C.25 D.25或7
B 同学的解答：选C
答：：此题解法不对，此解法只考虑了下图1的情况，没有考虑图2的概况。正确的解答应选D 。
图1 图2
四、试分析下列数学题作为封闭性数学习题，是否满足数学习题的科学性标准？满足请说明理由；不满
足请修改成正确的数学题，并求解（共12分）
用油漆涂100个圆柱形水桶，桶口的直径为35cm ，高为27.5cm ，已知每平方米需要油漆150g ，共需油漆多少？
答：本题有两处叙述不清楚（1）水桶有没有盖？（2）是只有外面涂油漆，还是内外两面涂油漆？纠正的办法是在已知条件中阐明上述两条。
五、求解下列数学题（每题10分，共30分）
1、若一个首位数字是1的六位数1abcde 乘3所得的积是一个末位数字为1的六为数abcde1，求原来的六位数。
解；设abcde=X，于是有：(106+x ) ⨯3=10x +1
解得abcde=42857
1abcde=142857
2、在直径为AB=10的半圆内划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB ，顶点C 在半圆上，现要建造一个内接于△ABC 的矩形水池DEFN ，其中DE 在AB 上, 如图的设计方案是AC=8，BC=6。
⑴求△ABC 中AB 边上的高h ；
⑵设DN=x，当x 取何值时, 水池DEFN 的面积最大?
⑶实际施工时，发现在AB 上距点B ， 1.85的M 处
有一棵大树。问:这棵大树是否位于最大矩形水池的边上?
如果在，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中的最大矩形水池能避开大树。 (若有另外的设计方案，请将设计图画在空白的图形上)
答：（1）h=4.8 (2)S 四边形DEFN =-A N C D E B 102(x -4. 8x ) 当x=2.4时,S 最大. 4. 8
（3）想一想答案:大树位于欲建水池的边上, 其方案为:将最大面积的水池建在使AC ' =6, BC ' =8, 且C ' 点在△ABC 内。
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) 3、 232-1
解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）/（232—1）=
(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
232-1
(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) =232-1
(24-1)(24+1)(28+1)(216+1) = 322-1
(28-1)(28+1)(216+1) =223-1
(216-1)(216+1) ==1322-1
六、证明下列各题（每题10分，共20分）
1、求证存在一个质数, 当它分别加上10和14时仍为质数。
证明：首先用归纳法进行试验:
2+10=12,2+14=16,质数2不合要求；
3+10=13,3+14主17, 质数3符合要求；
5+10=15,5+14=19,质数5不合要求；
7+10=17,7+14=21,质数7不合要求；
11+10=21,11+14=25,质数11不合要求；
17+10=27,17+14=31,质数17不合要求；
53+10=63,53+14=67,质数53不合要求；
归纳上述试验, 可以建立猜想:符合要求的质数只有3, 即除了3以外的其他质数分别加上10和14不能都是质数。
为此, 可把自然数分成三类:3n,3n+1,3n+2(n∈N) 。
因为(3n+1)+14=3(n+5)是合数；
(3n+2)+10=3(n+4)是合数；
所以3n+1和3n+2这两类自然数中的质数都不符合要求, 而在3n 这类自然数中, 只有当“n=1时,3n 才是质数, 其余都是合数。因此, 符合要求的质数只有3。
222、已知a ，b ，c ，d 都是正有理数，求证a 2+d 2，b 2+c 2，(a -b ) +(c +d ) 中任何两个数
之和都大于第三个数。
解：作图1，如图1所示矩形ABCD ，
则AE=a 2+d 2，EF=b 2+c 2， 22AF=(a -b ) +(c +d ) 。
由△AEF 中任何两边之和都大于第三边知结论成立。
图1