绝对值不等式解法指导
带绝对值符号的不等式叫绝对值不等式。解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，等价转化为不含绝对值符号的不等式，用已有方法求解。去绝对值符号的方法就是解不等式的方法，有下列四种。
一. 注意绝对值的定义，用公式法
即若a >0，|x |0，|x |>a ，则x >a 或x
例1. 解不等式|2x -3|
解：由题意知3x +1>0，原不等式转化为-(3x +1)
2⎧x >, ⎪52x -3>-3x -1, ⎧⎪2⎪⎪⇔⎨2x -3-4, ⇔x > 5⎪3x +1>0⎪⎩1⎪x >-⎪3⎩
二. 注意绝对值的非负性，用平方法
题目中两边都是非负值才能用平方法，否则不能用平方法，在操作过程中用到|x |2=x 2。 例2. 解不等式|x +1|
两边都含绝对值符号，所以都是非负，故可用平方法。
解：原不等式⇔|x +1|0 解得x -4
3222222 4故原不等式的解集为{x |x - 3
三. 注意分类讨论，用零点分段法
不等式的一侧是两个或两个以上的绝对值符号，常用零点法去绝对值并求解。
例3. 解不等式|x +2|+|x -1|>3
解：利用绝对值的定义，分段讨论去绝对值符号，令x -1=0和x +2=0得分界点x =1、x =-2 于是，可分区间(-∞，-2),[-2，1]，[1, +∞) 讨论原不等式⇒
⎧x 3x +2-(x -1) >3x +2+(x -1) >3⎩⎩⎩
解得x >1或x
综上不等式的解为x ∈(-∞，-2) ⋃(1，+∞)
四. 平方法+定义法
有些题目平方之后仍有一个绝对值号，需要用定义去绝对值符号求解，这种方法叫“平方法+定义法”。 例4. 解关于x 的不等式|loga ax 2|
解：化为|1+2log a x |
2≤log a x
况去绝对值符号，再分a >1或0
再由定义去绝对值号，有：
⎧log a x ≥0, ⇒0≤log a x
⎧log a x
综上知-3
故当a >1时，解为a -3
练一练
1. 已知a >0，且a ≠1，解不等式|loga (1-x )|>|loga (1+x )|。
2. 解不等式||x +1|-|x -1||
x x x 2+1 3. 解不等式|3-1|+|9-3|>2
答案：1. 0
2. 解集为(-22, ) ⋃(2, +∞) 53
3. 解集为{x |x log 32}
绝对值不等式解法指导
带绝对值符号的不等式叫绝对值不等式。解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，等价转化为不含绝对值符号的不等式，用已有方法求解。去绝对值符号的方法就是解不等式的方法，有下列四种。
一. 注意绝对值的定义，用公式法
即若a >0，|x |0，|x |>a ，则x >a 或x
例1. 解不等式|2x -3|
解：由题意知3x +1>0，原不等式转化为-(3x +1)
2⎧x >, ⎪52x -3>-3x -1, ⎧⎪2⎪⎪⇔⎨2x -3-4, ⇔x > 5⎪3x +1>0⎪⎩1⎪x >-⎪3⎩
二. 注意绝对值的非负性，用平方法
题目中两边都是非负值才能用平方法，否则不能用平方法，在操作过程中用到|x |2=x 2。 例2. 解不等式|x +1|
两边都含绝对值符号，所以都是非负，故可用平方法。
解：原不等式⇔|x +1|0 解得x -4
3222222 4故原不等式的解集为{x |x - 3
三. 注意分类讨论，用零点分段法
不等式的一侧是两个或两个以上的绝对值符号，常用零点法去绝对值并求解。
例3. 解不等式|x +2|+|x -1|>3
解：利用绝对值的定义，分段讨论去绝对值符号，令x -1=0和x +2=0得分界点x =1、x =-2 于是，可分区间(-∞，-2),[-2，1]，[1, +∞) 讨论原不等式⇒
⎧x 3x +2-(x -1) >3x +2+(x -1) >3⎩⎩⎩
解得x >1或x
综上不等式的解为x ∈(-∞，-2) ⋃(1，+∞)
四. 平方法+定义法
有些题目平方之后仍有一个绝对值号，需要用定义去绝对值符号求解，这种方法叫“平方法+定义法”。 例4. 解关于x 的不等式|loga ax 2|
解：化为|1+2log a x |
2≤log a x
况去绝对值符号，再分a >1或0
再由定义去绝对值号，有：
⎧log a x ≥0, ⇒0≤log a x
⎧log a x
综上知-3
故当a >1时，解为a -3
练一练
1. 已知a >0，且a ≠1，解不等式|loga (1-x )|>|loga (1+x )|。
2. 解不等式||x +1|-|x -1||
x x x 2+1 3. 解不等式|3-1|+|9-3|>2
答案：1. 0
2. 解集为(-22, ) ⋃(2, +∞) 53
3. 解集为{x |x log 32}