1推证渐开线齿轮法向齿距p n 、基圆齿距p b 和分度圆齿距p 之间的关系为式为
p n =p b =p cos α=πm cos α。
证明：根据渐开线的性质：即渐开线的发生线沿基圆滚过的长度，等于基圆上被滚过的圆弧长度有
p n =p b
设齿轮的齿数为z ，模数为m ，基圆半径为r b ，分度圆半径为r ，压力角为α 因为 zp b =2πr b ，zp =2πr 又因为 r b =r cos α 所以 p b =p cos α 因为 p =πm
所以 p n =p b =p cos α=πm cos α 证毕。
=
2mm ，α=
m 2. 用范成法加工渐开线直齿圆柱齿轮，刀具为标准齿条型刀具，其基本参数为：20 ，
正常齿制。
（1） 齿坯的角速度ω=
122. 5
rad
s
时，欲切制齿数z =90的标准齿轮，确定齿坯中心与刀具分
度线之间的距离a 和刀具移动的线速度v ；
（2） 在保持上面的a 和v 不变的情况下，将齿坯的角速度改为ω=
123
rad
s
。这样所切制出来的
齿轮的齿数z 和变位系数x 各是多少？齿轮是正变位齿轮还是负变位齿轮？ （3） 同样，保持a 和v 不变的情况下，将齿坯的角速度改为ω=
的齿数z 和变位系数x 各是多少？最后加工的结果如何？
解：（1）、由于是加工标准齿轮，齿坯中心与刀具分度线之间的距离为
a =
mz 2=2⨯902
=90mm
122. 1
rad
s
，所切制出来的齿轮
刀具移动的线速度为
v =
mz 2⋅ω=
2⨯902
⋅122. 5
=4mm s
（2）、齿轮的齿数z 为
z =
2v m ω
=2⨯42⨯
123
=92
变位系数x 为
a -x =
mz =
90-
2⨯922
=-1
m
因为变位系数小于零，所以齿轮是负变位齿轮。 （3）、齿轮的齿数z 为
z =
2v m ω
=
2⨯42⨯
122. 1
=88. 4
变位系数x 为
a -x =
mz 2=
90-
2⨯88. 422
=0. 8
m
因为变位系数为正，所以齿轮是正变位齿轮。但由于齿数不是整数，最后加工的结果将产生乱齿
现象，得不到一个完整的齿轮。
3一个渐开线标准正常直齿圆柱齿轮，齿轮的齿数Z=17，压力角α=20 ，模数m=3㎜。试求在齿轮分度圆和齿顶圆上齿廓的曲率半径和压力角。
解：如题34图所示，由已知条件得
r =
mz 2=3⨯172
=25. 5mm
r b =r cos α=25. 5cos 20︒=23. 96mm r a =r +h a m =25. 5+1⨯3=28. 5mm
*
h 其中，
*
a
=1是由齿轮为正常齿制齿轮确定
的。
根据渐开线的几何尺寸关系，可以得到在齿轮分度圆上齿廓的压力角和曲率半径分别为
α=arccos
r b r
=arccos
23. 9625. 5
=20︒
ρ=r b tan α=23. 96tan 20︒=8. 72mm
在齿轮齿顶圆上齿廓的压力角和曲率半径分别为
O
解题3图
αa =arccos
r b r a
=arccos
23. 9628. 5
=32. 79︒
ρa =r b tan αa =23. 96tan 32. 79︒=15. 44mm
4. 一对渐开线外啮合标准斜齿圆柱齿轮传动，已知z 1=21，z 2=51，m n =4mm ，αn
*
*
=20 ，
h an =1，c n =0. 25，β=15，轮齿宽度B =30mm 。试计算这对齿轮传动的中心距a 和重合度ε。
解：齿轮传动的中心距a 为
a
=
m n (z 1+z 2) 2cos β
=
4⨯(21+51) 2cos 15︒
=149. 08mm
tan αt =
tan αn cos β
=
tan 20︒cos 15︒
=0. 3768
所以αt =arctan 0. 3768=20. 65︒ r bt 1=
m n 2cos βm n 2cos β
z 1cos αt =
42cos 15︒
42cos 15︒
40. 6947. 48
⨯21cos 20. 65︒=40. 69mm
r at 1=z 1+m n h an =
*
⨯21+4⨯1=47. 48mm
αat 1=arccos
r bt 1r at 1
=arccos =31. 02︒
r bt 2=
m n 2cos βm n 2cos β
z 2cos αt =
42cos 15︒
4
⨯51cos 20. 65︒=98. 81mm
r at 2=z 2+m n h an =
*
2cos 15︒
98. 81109. 60
⨯51+4⨯1=109. 60mm
αat 2=arccos
r bt 2r at 2
=arccos =25. 64︒
εt ==12π
12π
[z 1(tanαat 1-tan αt ' ) +z 2(tanαat 2-tan αt ' )]
[21(tan31. 02︒-tan 20. 65︒) +51(tan25. 64︒-tan 20. 65︒)]
=1. 5871
εβ=
B tan βb
P bt
=
B sin β
πm n
=
30⨯sin 15︒
4π
=0. 6179
最后得重合度ε为
ε=εt +εβ=1. 5871+0. 6179=2. 205
1推证渐开线齿轮法向齿距p n 、基圆齿距p b 和分度圆齿距p 之间的关系为式为
p n =p b =p cos α=πm cos α。
证明：根据渐开线的性质：即渐开线的发生线沿基圆滚过的长度，等于基圆上被滚过的圆弧长度有
p n =p b
设齿轮的齿数为z ，模数为m ，基圆半径为r b ，分度圆半径为r ，压力角为α 因为 zp b =2πr b ，zp =2πr 又因为 r b =r cos α 所以 p b =p cos α 因为 p =πm
所以 p n =p b =p cos α=πm cos α 证毕。
=
2mm ，α=
m 2. 用范成法加工渐开线直齿圆柱齿轮，刀具为标准齿条型刀具，其基本参数为：20 ，
正常齿制。
（1） 齿坯的角速度ω=
122. 5
rad
s
时，欲切制齿数z =90的标准齿轮，确定齿坯中心与刀具分
度线之间的距离a 和刀具移动的线速度v ；
（2） 在保持上面的a 和v 不变的情况下，将齿坯的角速度改为ω=
123
rad
s
。这样所切制出来的
齿轮的齿数z 和变位系数x 各是多少？齿轮是正变位齿轮还是负变位齿轮？ （3） 同样，保持a 和v 不变的情况下，将齿坯的角速度改为ω=
的齿数z 和变位系数x 各是多少？最后加工的结果如何？
解：（1）、由于是加工标准齿轮，齿坯中心与刀具分度线之间的距离为
a =
mz 2=2⨯902
=90mm
122. 1
rad
s
，所切制出来的齿轮
刀具移动的线速度为
v =
mz 2⋅ω=
2⨯902
⋅122. 5
=4mm s
（2）、齿轮的齿数z 为
z =
2v m ω
=2⨯42⨯
123
=92
变位系数x 为
a -x =
mz =
90-
2⨯922
=-1
m
因为变位系数小于零，所以齿轮是负变位齿轮。 （3）、齿轮的齿数z 为
z =
2v m ω
=
2⨯42⨯
122. 1
=88. 4
变位系数x 为
a -x =
mz 2=
90-
2⨯88. 422
=0. 8
m
因为变位系数为正，所以齿轮是正变位齿轮。但由于齿数不是整数，最后加工的结果将产生乱齿
现象，得不到一个完整的齿轮。
3一个渐开线标准正常直齿圆柱齿轮，齿轮的齿数Z=17，压力角α=20 ，模数m=3㎜。试求在齿轮分度圆和齿顶圆上齿廓的曲率半径和压力角。
解：如题34图所示，由已知条件得
r =
mz 2=3⨯172
=25. 5mm
r b =r cos α=25. 5cos 20︒=23. 96mm r a =r +h a m =25. 5+1⨯3=28. 5mm
*
h 其中，
*
a
=1是由齿轮为正常齿制齿轮确定
的。
根据渐开线的几何尺寸关系，可以得到在齿轮分度圆上齿廓的压力角和曲率半径分别为
α=arccos
r b r
=arccos
23. 9625. 5
=20︒
ρ=r b tan α=23. 96tan 20︒=8. 72mm
在齿轮齿顶圆上齿廓的压力角和曲率半径分别为
O
解题3图
αa =arccos
r b r a
=arccos
23. 9628. 5
=32. 79︒
ρa =r b tan αa =23. 96tan 32. 79︒=15. 44mm
4. 一对渐开线外啮合标准斜齿圆柱齿轮传动，已知z 1=21，z 2=51，m n =4mm ，αn
*
*
=20 ，
h an =1，c n =0. 25，β=15，轮齿宽度B =30mm 。试计算这对齿轮传动的中心距a 和重合度ε。
解：齿轮传动的中心距a 为
a
=
m n (z 1+z 2) 2cos β
=
4⨯(21+51) 2cos 15︒
=149. 08mm
tan αt =
tan αn cos β
=
tan 20︒cos 15︒
=0. 3768
所以αt =arctan 0. 3768=20. 65︒ r bt 1=
m n 2cos βm n 2cos β
z 1cos αt =
42cos 15︒
42cos 15︒
40. 6947. 48
⨯21cos 20. 65︒=40. 69mm
r at 1=z 1+m n h an =
*
⨯21+4⨯1=47. 48mm
αat 1=arccos
r bt 1r at 1
=arccos =31. 02︒
r bt 2=
m n 2cos βm n 2cos β
z 2cos αt =
42cos 15︒
4
⨯51cos 20. 65︒=98. 81mm
r at 2=z 2+m n h an =
*
2cos 15︒
98. 81109. 60
⨯51+4⨯1=109. 60mm
αat 2=arccos
r bt 2r at 2
=arccos =25. 64︒
εt ==12π
12π
[z 1(tanαat 1-tan αt ' ) +z 2(tanαat 2-tan αt ' )]
[21(tan31. 02︒-tan 20. 65︒) +51(tan25. 64︒-tan 20. 65︒)]
=1. 5871
εβ=
B tan βb
P bt
=
B sin β
πm n
=
30⨯sin 15︒
4π
=0. 6179
最后得重合度ε为
ε=εt +εβ=1. 5871+0. 6179=2. 205