2017届高三上学期第一次月考
数学试卷(理）
（命题：郑明铿 审题：高三数学备课组 完卷时间：120分钟）
一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合A ={x |log 3x ≥0}，B ={x |x ≤1}，则（ ）
A ．A ⋂B =φ B．A ⋃B =R C．B ⊆A D．A ⊆B 2. 已知随机变量X 服从正态分布N 2, σ2, P (04)=（ ） A ．0.4 B．0.2 C．0.1 D．0.05()
x ≥5⎧⎪x -2,
3. 设函数f (x ) =⎨，则f (1)=（ ）
f f (x +6) , x
A ．0 B．1 C．2 D．3
4. 已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数x =3, y =2.7，则由该观测数据算得的线性回归方程
可能是（ ）
A ．y =-0.2x +3.3 B．y =0.4x +1.5 C．y =2x -3.2 D．y =-2x +8.6 5. 下列4个命题：
22
①命题“若x ﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x ﹣x≠0”； ②若“¬p或q”是假命题，则“p且¬q”是真命题；
③若p ：x （x ﹣2）≤0，q ：log 2x≤1，则p 是q 的充要条件；
x 2x 2
④若命题p ：存在x ∈R ，使得2＜x ，则¬p：任意x ∈R ，均有2≥x； 其中正确命题的个数是( )
A．1个 B ．2个 C．3个 D ．4个 6. 下列满足“∀x ∈R , f (x )+f (-x )=0且f '(x )≤0”的函数是（ ） A ．f (x )=-xe B．f (x )=x +sin x C．f (x )=⎨
x
^
^
^
^
⎧⎪lg (x +1), x ≥02
D．f (x )=x x
⎪⎩lg (1-x ), x
7. 已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X （单位：mm ）对工期延误天数Y 的影
A ．0.1 B．0.3 C．0.42 D．0.5
8. 如果执行如图所示的程序框图，那么输出的a =（ ）
A ．2 B ．
1
C ．-1 D ．以上都不正确 2
9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. 2π
43 B.π3 C. 3π3π4 D.2
10. 如图，棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为线段A 1B 上的动点，则下列结论正确的有（ ）
①三棱锥M -DCC 1的体积为定值; ②DC 1⊥D 1M ;
③∠AMD 1的最大值为90°;
④AM +MD 1的最小值为2.
A. ①② B. ①②③ C. ③④ D. ②③④
11. 如图，在长方形ABCD 中，AB =, BC =1，E 为线段DC 上一动点，现将AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为（ ） A ．
2 B．23
ππ3
C．2 D．3
12. 已知曲线C 1:y =e x 上一点A (x 1, y 1) ，曲线C 2:y =1+ln(x -m ) (m >0) 上一点B (x 2, y 2) ，当y 1=y 2时，对于任意x 1, x 2，都有AB ≥e 恒成立，则m 的最小值为（ ） A．e -1 B．
．1 D． e +1
二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分 13. 计算
⎰
1
-1
(sinx +1) dx = .
14.
若函数y =2x ) 为奇函数，则a = .
15. 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的球面上，E 为AB 的中点，CE =3，异面直线A 1C 1与CE 所成角的余弦值为
59
，且四边形ABB 1A 1为正方形，则球O 的直径为
.
32⎧⎪2x -ax -1, x
16. 已知函数f (x ) =⎨，恰有两个零点，则a 的取值范围是 .
⎪⎩x -3+a , x ≥0
三、解答题:本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
2
⎧x =1+cos αx
(α为参数） 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为C 1:⎨，曲线C 2:+y 2=1．
2⎩y =sin α
（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C 1, C 2的极坐标方程；
π
（Ⅱ）射线θ=(ρ≥0) 与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的交点为B ，求AB ．
6
18（本小题满分12分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f (x ) =|x -a |．
（Ⅰ）若不等式f (x ) ≤2的解集为[0,4]，求实数a 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若∃x 0∈R ，使得f (x 0) +f (x 0+5) -m
19. （本小题满分12分）
已知函数f (x ) =x -a ln x (a ∈R ) .
(Ⅰ) 当a =2时, 求曲线y =f (x ) 在点A (1,f (1))处的切线方程；
(Ⅱ) 求函数f (x ) 的极值.
2
20. （本小题满分12分）
2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度， 某市选取70后和80
（Ⅰ）以这10070后公民中 随机抽取3位，记其中生二胎的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）根据调查数据，是否有90%的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由．
n (ad -bc ) 2
参考公式：K =，其中n =a
+b +c +d .
(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )
2
参考数据：
21. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，PA ＝AB ＝BC ＝CD ＝2， PD ＝3，PA ⊥PD ，Q 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：CQ ∥平面PAB ；
（Ⅱ）若平面PAD ⊥底面ABCD ，求直线PD 与平面AQC 所成角的正弦值. P
A 22. （本小题满分12分）
B 12
已知函数f (x ) =a ln(x +1) +x -x ，其中a 为非零实数.
D
2
（Ⅰ）讨论f (x ) 的单调性；
（Ⅱ）若y =f (x ) 有两个极值点α, β，且α
f (β)
α
1
. （参考数据：ln 2≈0.693） 2
2017届高三上学期第一次月考
数学试卷(理）答案
一、选择题： BCDAC ADABA DA
二、填空题：13.2 14. 4 15. 4或51 16. (－3，0)
三、解答题:本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
⎧x =1+cos αC 1:⎨(α22
y =sin α(x -1) +y =1， ⎩解：（Ⅰ）曲线为参数）可化为普通方程:
⎧x =ρcos θ 由⎨可得曲线C 1的极坐标方程为ρ=2cos θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ2(1+sin 2θ) =2．
⎩y =ρsin θ
ππ
（Ⅱ）射线θ=(ρ≥0) 与曲线C 1的交点A
的极径为ρ1=2cos =
66
π22π) =2，解
得ρ2=，所
以 射线θ=(ρ≥0) 与曲线C 2的交点B 的极径满足ρ2(1+sin
665
AB =ρ1-ρ2=18（本小题满分12分）选修4-5：不等式选讲 解：（Ⅰ）∵|x -a |≤2，∴a -2≤x ≤a +2,
⎧a -2=0
，∴a =2．
a +2=4⎩
（Ⅱ）∵f (x ) +f (x +5) =|x -2|+|x +3|≥|(x -2) -(x +3) |=5,
∵f (x ) ≤2的解集为[0,4]，∴ ⎨
∵∃x 0∈R ，使得f (x 0) +f (x 0+5) -m
2
∴4m +m 2>f (x ) min ，即4m +m >5，解得m 1,
22
∴实数m 的取值范围是(-∞, -5) (1,+∞) ． 19. （本小题满分12分）
a . x 2
(Ⅰ)当a =2时, f (x ) =x -2ln x , f '(x ) =1-(x >0) ,
x
∴f (1)=1, f '(1)=-1,
∴y =f (x ) 在点A (1,f (1))处的切线方程为y -1=-(x -1) , 即x +y -2=0.
a x -a
, x >0可知: (Ⅱ)由f '(x ) =1-=
x x
①当a ≤0时, f '(x ) >0, 函数f (x ) 为(0,+∞) 上的增函数, 函数f (x ) 无极值; ②当a >0时, 由f '(x ) =0, 解得x =a ;
x ∈(0,a ) 时, f '(x ) 0
∴f (x ) 在x =a 处取得极小值, 且极小值为f (a ) =a -a ln a , 无极大值. 综上:当a ≤0时, 函数f (x ) 无极值
当a >0时, 函数f (x ) 在x =a 处取得极小值a -a ln a , 无极大值.
解:函数f (x ) 的定义域为(0,+∞) , f '(x ) =1-20. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知得70后“生二胎”的概率为
所以P (X =k ) =C 3() ()
k
22
，并且X ～B (3,) ，………1分 33
2
k
13-k
(k =0,1,2,3) ，其分布列如下
所以，EX =3⨯
=2． 3
n (ad -bc ) 2100⨯(30⨯10-45⨯15) 22
（Ⅱ）K = =
(a +b )(c +d )(a +c )(b +d ) 75⨯25⨯45⨯55100=≈3.030>2.706， 33
所以有90% 以上的把握认为“生二胎与年龄有关” ． 21. （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明 如图所示，取P A 的中点N ，连接QN ，BN . 在△P AD 中，PN ＝NA ，PQ ＝QD ，
1
所以QN ∥AD ，且QN AD .
2
在△APD 中，P A ＝2，PD ＝23，P A ⊥PD ，
1
所以AD P A ＋PD ＝4，而BC ＝2，所以BC AD .
2
又BC ∥AD ，所以QN ∥BC ，且QN ＝BC ， 故四边形BCQN 为平行四边形，所以BN ∥CQ .
又BN ⊂平面P AB ，且CQ ⊄平面P AB , 所以CQ ∥平面P AB .
（Ⅱ）如图，取AD 的中点M ，连接BM ；取BM 的中点O ，连接BO 、PO .
由(1)知P A ＝AM ＝PM ＝2, 所以△APM 为等边三角形， 所以PO ⊥AM . 同理BO ⊥AM.
因为平面P AD ⊥平面ABCD , 所以PO ⊥BO.
如图，以O 为坐标原点，分别以OB ，OD ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则O (0,0,0)，D (0,3,0)，A (0，－1,0) ，B (3，
P N
D
B
A A
0,0) ，P (0,0，C ，2,0) ， →
则AC ＝3，3,0).
3353→
因为Q 为DP 的中点，故Q ⎛0，，，所以AQ ＝⎛0，⎫.
⎝22⎝22⎭
设平面AQC 的法向量为m ＝(x ，y ，z ) ，
→⎧m ·→AC ＝3x ＋3y ＝0，⎧⎪⎪m ⊥AC ，
则⎨可得⎨ 3→5→⎪m ⊥AQ ，AQ ＝y ＋z ＝0，⎪⎩22⎩m ·
令y 3，则x ＝3，z ＝5. 故平面AQC 的一个法向量为m ＝(3，－3，5). 设直线PD 与平面AQC 所成角为θ.
PD ⋅
m
. 则sin θ= |cos〈PD ，m 〉|＝|PD ||m |
从而可知直线PD 与平面AQC
22. （本小题满分12分）
a x 2+(a -1)
解：（Ⅰ）f '(x ) =+x -1=, x >-1.
x +1x +1
当a -1≥0时，即a ≥1时，f '(x ) ≥0，f (x ) 在(-1, +∞)上单调递增；
当0
(x
) =0得，x 1=x 2
，故f (x ) 在-1,
上单调递
增，在
((
上单调递减，在
+∞上单调递增；
)
当a
由f '(x )=0得，x 0
，f (x ) 在-上单调递减，在
(
+∞上单调递增.
)
（Ⅱ）解法1：由（
1）知，0
1f (β) 1111⇔0⇔a ln(β+1) +β2-β>0
α2-β2222
11. ⇔(1-β2)ln(β+1) +β2-β>0221
⇔(1+β)ln(β+1) -β>0
2
1
构造函数g (x ) =(1+x )ln (x +1)-x , x ∈(0,1)，
2
1
g '(x ) =+ln (1+x )>0，
2
g (x ) 在(0,1)上单调递增，
又g (0)=0，所以g (x ) >0在x ∈(0,1)时恒成立，命题得证.
解法2：由（
1）知，0
f (β)
1
a ln (β+1)+β2-β(β2-1) ln (β+1)f (β) 1==-β+1. α-ββ2由0
x (构造函数g (x ) =
1
x +1, x ∈(0,1).
x 2
1⎫112(x 2+1)ln(x +1) -2x +x 2⎛， g '(x ) = 1+2⎪ln (x +1)-+=2x ⎭x 22x ⎝
设h (x ) =2(x 2+1)ln(x +1) -2x +x 2, x ∈(0,1)，
-
4x 2
则h '(x ) =+4x ln(x +1) ，因为00，故h (x ) 在(0,1)上单调递增，所以
x +1
h (x ) >h (0)=0，即g '(x )>0，所以g (x ) 在(0,1)上单调递增，
所以g (x )
2
-1)ln (x +1)
f (β) 111
2017届高三上学期第一次月考
数学试卷(理）
（命题：郑明铿 审题：高三数学备课组 完卷时间：120分钟）
一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合A ={x |log 3x ≥0}，B ={x |x ≤1}，则（ ）
A ．A ⋂B =φ B．A ⋃B =R C．B ⊆A D．A ⊆B 2. 已知随机变量X 服从正态分布N 2, σ2, P (04)=（ ） A ．0.4 B．0.2 C．0.1 D．0.05()
x ≥5⎧⎪x -2,
3. 设函数f (x ) =⎨，则f (1)=（ ）
f f (x +6) , x
A ．0 B．1 C．2 D．3
4. 已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数x =3, y =2.7，则由该观测数据算得的线性回归方程
可能是（ ）
A ．y =-0.2x +3.3 B．y =0.4x +1.5 C．y =2x -3.2 D．y =-2x +8.6 5. 下列4个命题：
22
①命题“若x ﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x ﹣x≠0”； ②若“¬p或q”是假命题，则“p且¬q”是真命题；
③若p ：x （x ﹣2）≤0，q ：log 2x≤1，则p 是q 的充要条件；
x 2x 2
④若命题p ：存在x ∈R ，使得2＜x ，则¬p：任意x ∈R ，均有2≥x； 其中正确命题的个数是( )
A．1个 B ．2个 C．3个 D ．4个 6. 下列满足“∀x ∈R , f (x )+f (-x )=0且f '(x )≤0”的函数是（ ） A ．f (x )=-xe B．f (x )=x +sin x C．f (x )=⎨
x
^
^
^
^
⎧⎪lg (x +1), x ≥02
D．f (x )=x x
⎪⎩lg (1-x ), x
7. 已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X （单位：mm ）对工期延误天数Y 的影
A ．0.1 B．0.3 C．0.42 D．0.5
8. 如果执行如图所示的程序框图，那么输出的a =（ ）
A ．2 B ．
1
C ．-1 D ．以上都不正确 2
9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. 2π
43 B.π3 C. 3π3π4 D.2
10. 如图，棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为线段A 1B 上的动点，则下列结论正确的有（ ）
①三棱锥M -DCC 1的体积为定值; ②DC 1⊥D 1M ;
③∠AMD 1的最大值为90°;
④AM +MD 1的最小值为2.
A. ①② B. ①②③ C. ③④ D. ②③④
11. 如图，在长方形ABCD 中，AB =, BC =1，E 为线段DC 上一动点，现将AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为（ ） A ．
2 B．23
ππ3
C．2 D．3
12. 已知曲线C 1:y =e x 上一点A (x 1, y 1) ，曲线C 2:y =1+ln(x -m ) (m >0) 上一点B (x 2, y 2) ，当y 1=y 2时，对于任意x 1, x 2，都有AB ≥e 恒成立，则m 的最小值为（ ） A．e -1 B．
．1 D． e +1
二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分 13. 计算
⎰
1
-1
(sinx +1) dx = .
14.
若函数y =2x ) 为奇函数，则a = .
15. 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的球面上，E 为AB 的中点，CE =3，异面直线A 1C 1与CE 所成角的余弦值为
59
，且四边形ABB 1A 1为正方形，则球O 的直径为
.
32⎧⎪2x -ax -1, x
16. 已知函数f (x ) =⎨，恰有两个零点，则a 的取值范围是 .
⎪⎩x -3+a , x ≥0
三、解答题:本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
2
⎧x =1+cos αx
(α为参数） 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为C 1:⎨，曲线C 2:+y 2=1．
2⎩y =sin α
（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C 1, C 2的极坐标方程；
π
（Ⅱ）射线θ=(ρ≥0) 与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的交点为B ，求AB ．
6
18（本小题满分12分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f (x ) =|x -a |．
（Ⅰ）若不等式f (x ) ≤2的解集为[0,4]，求实数a 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若∃x 0∈R ，使得f (x 0) +f (x 0+5) -m
19. （本小题满分12分）
已知函数f (x ) =x -a ln x (a ∈R ) .
(Ⅰ) 当a =2时, 求曲线y =f (x ) 在点A (1,f (1))处的切线方程；
(Ⅱ) 求函数f (x ) 的极值.
2
20. （本小题满分12分）
2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度， 某市选取70后和80
（Ⅰ）以这10070后公民中 随机抽取3位，记其中生二胎的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）根据调查数据，是否有90%的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由．
n (ad -bc ) 2
参考公式：K =，其中n =a
+b +c +d .
(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )
2
参考数据：
21. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，PA ＝AB ＝BC ＝CD ＝2， PD ＝3，PA ⊥PD ，Q 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：CQ ∥平面PAB ；
（Ⅱ）若平面PAD ⊥底面ABCD ，求直线PD 与平面AQC 所成角的正弦值. P
A 22. （本小题满分12分）
B 12
已知函数f (x ) =a ln(x +1) +x -x ，其中a 为非零实数.
D
2
（Ⅰ）讨论f (x ) 的单调性；
（Ⅱ）若y =f (x ) 有两个极值点α, β，且α
f (β)
α
1
. （参考数据：ln 2≈0.693） 2
2017届高三上学期第一次月考
数学试卷(理）答案
一、选择题： BCDAC ADABA DA
二、填空题：13.2 14. 4 15. 4或51 16. (－3，0)
三、解答题:本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
⎧x =1+cos αC 1:⎨(α22
y =sin α(x -1) +y =1， ⎩解：（Ⅰ）曲线为参数）可化为普通方程:
⎧x =ρcos θ 由⎨可得曲线C 1的极坐标方程为ρ=2cos θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ2(1+sin 2θ) =2．
⎩y =ρsin θ
ππ
（Ⅱ）射线θ=(ρ≥0) 与曲线C 1的交点A
的极径为ρ1=2cos =
66
π22π) =2，解
得ρ2=，所
以 射线θ=(ρ≥0) 与曲线C 2的交点B 的极径满足ρ2(1+sin
665
AB =ρ1-ρ2=18（本小题满分12分）选修4-5：不等式选讲 解：（Ⅰ）∵|x -a |≤2，∴a -2≤x ≤a +2,
⎧a -2=0
，∴a =2．
a +2=4⎩
（Ⅱ）∵f (x ) +f (x +5) =|x -2|+|x +3|≥|(x -2) -(x +3) |=5,
∵f (x ) ≤2的解集为[0,4]，∴ ⎨
∵∃x 0∈R ，使得f (x 0) +f (x 0+5) -m
2
∴4m +m 2>f (x ) min ，即4m +m >5，解得m 1,
22
∴实数m 的取值范围是(-∞, -5) (1,+∞) ． 19. （本小题满分12分）
a . x 2
(Ⅰ)当a =2时, f (x ) =x -2ln x , f '(x ) =1-(x >0) ,
x
∴f (1)=1, f '(1)=-1,
∴y =f (x ) 在点A (1,f (1))处的切线方程为y -1=-(x -1) , 即x +y -2=0.
a x -a
, x >0可知: (Ⅱ)由f '(x ) =1-=
x x
①当a ≤0时, f '(x ) >0, 函数f (x ) 为(0,+∞) 上的增函数, 函数f (x ) 无极值; ②当a >0时, 由f '(x ) =0, 解得x =a ;
x ∈(0,a ) 时, f '(x ) 0
∴f (x ) 在x =a 处取得极小值, 且极小值为f (a ) =a -a ln a , 无极大值. 综上:当a ≤0时, 函数f (x ) 无极值
当a >0时, 函数f (x ) 在x =a 处取得极小值a -a ln a , 无极大值.
解:函数f (x ) 的定义域为(0,+∞) , f '(x ) =1-20. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知得70后“生二胎”的概率为
所以P (X =k ) =C 3() ()
k
22
，并且X ～B (3,) ，………1分 33
2
k
13-k
(k =0,1,2,3) ，其分布列如下
所以，EX =3⨯
=2． 3
n (ad -bc ) 2100⨯(30⨯10-45⨯15) 22
（Ⅱ）K = =
(a +b )(c +d )(a +c )(b +d ) 75⨯25⨯45⨯55100=≈3.030>2.706， 33
所以有90% 以上的把握认为“生二胎与年龄有关” ． 21. （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明 如图所示，取P A 的中点N ，连接QN ，BN . 在△P AD 中，PN ＝NA ，PQ ＝QD ，
1
所以QN ∥AD ，且QN AD .
2
在△APD 中，P A ＝2，PD ＝23，P A ⊥PD ，
1
所以AD P A ＋PD ＝4，而BC ＝2，所以BC AD .
2
又BC ∥AD ，所以QN ∥BC ，且QN ＝BC ， 故四边形BCQN 为平行四边形，所以BN ∥CQ .
又BN ⊂平面P AB ，且CQ ⊄平面P AB , 所以CQ ∥平面P AB .
（Ⅱ）如图，取AD 的中点M ，连接BM ；取BM 的中点O ，连接BO 、PO .
由(1)知P A ＝AM ＝PM ＝2, 所以△APM 为等边三角形， 所以PO ⊥AM . 同理BO ⊥AM.
因为平面P AD ⊥平面ABCD , 所以PO ⊥BO.
如图，以O 为坐标原点，分别以OB ，OD ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则O (0,0,0)，D (0,3,0)，A (0，－1,0) ，B (3，
P N
D
B
A A
0,0) ，P (0,0，C ，2,0) ， →
则AC ＝3，3,0).
3353→
因为Q 为DP 的中点，故Q ⎛0，，，所以AQ ＝⎛0，⎫.
⎝22⎝22⎭
设平面AQC 的法向量为m ＝(x ，y ，z ) ，
→⎧m ·→AC ＝3x ＋3y ＝0，⎧⎪⎪m ⊥AC ，
则⎨可得⎨ 3→5→⎪m ⊥AQ ，AQ ＝y ＋z ＝0，⎪⎩22⎩m ·
令y 3，则x ＝3，z ＝5. 故平面AQC 的一个法向量为m ＝(3，－3，5). 设直线PD 与平面AQC 所成角为θ.
PD ⋅
m
. 则sin θ= |cos〈PD ，m 〉|＝|PD ||m |
从而可知直线PD 与平面AQC
22. （本小题满分12分）
a x 2+(a -1)
解：（Ⅰ）f '(x ) =+x -1=, x >-1.
x +1x +1
当a -1≥0时，即a ≥1时，f '(x ) ≥0，f (x ) 在(-1, +∞)上单调递增；
当0
(x
) =0得，x 1=x 2
，故f (x ) 在-1,
上单调递
增，在
((
上单调递减，在
+∞上单调递增；
)
当a
由f '(x )=0得，x 0
，f (x ) 在-上单调递减，在
(
+∞上单调递增.
)
（Ⅱ）解法1：由（
1）知，0
1f (β) 1111⇔0⇔a ln(β+1) +β2-β>0
α2-β2222
11. ⇔(1-β2)ln(β+1) +β2-β>0221
⇔(1+β)ln(β+1) -β>0
2
1
构造函数g (x ) =(1+x )ln (x +1)-x , x ∈(0,1)，
2
1
g '(x ) =+ln (1+x )>0，
2
g (x ) 在(0,1)上单调递增，
又g (0)=0，所以g (x ) >0在x ∈(0,1)时恒成立，命题得证.
解法2：由（
1）知，0
f (β)
1
a ln (β+1)+β2-β(β2-1) ln (β+1)f (β) 1==-β+1. α-ββ2由0
x (构造函数g (x ) =
1
x +1, x ∈(0,1).
x 2
1⎫112(x 2+1)ln(x +1) -2x +x 2⎛， g '(x ) = 1+2⎪ln (x +1)-+=2x ⎭x 22x ⎝
设h (x ) =2(x 2+1)ln(x +1) -2x +x 2, x ∈(0,1)，
-
4x 2
则h '(x ) =+4x ln(x +1) ，因为00，故h (x ) 在(0,1)上单调递增，所以
x +1
h (x ) >h (0)=0，即g '(x )>0，所以g (x ) 在(0,1)上单调递增，
所以g (x )
2
-1)ln (x +1)
f (β) 111