教学研究>教学技巧
数学教学通讯（教师版）
投稿邮箱：[email protected]
摆脱法则的枷锁
———“负负得正”的新教法及三种证明
陈绮云
何小亚
华南师范大学数学科学学院
摘
510631
￡
要：以崭新的厨师烹饪模型，帮助学生理解经典数学法则———“负负得正”，体现了构建数学模型，解决数
学问题的新课标思想. 灵活运用群、环等高等数学知识给出法则的三种证明，体现了运用高等数学指
教
导中学数学教学的思想. 师
关键词：数学；负负得正；教法；模型
问题提出
笔者对有理数的乘法法则的教法有新的理解. 课本（华东师范大学出版社初采用直接给出中一年级上第二章第九节）法则的做法，意在要求学生能运用法则准确熟练地进行运算. 但这可能使学生只停留在记住符号法则的层面，而非能达到理解知识的层面. 当我们试图回忆当时是如何学习“负负得正”时，相信大多数读者都无法想起它的现实意义，只是对“负负得正”这个法则牢记在心. 针对这个问题，笔者大胆采用了一个全新的案例，完全摆脱法则的枷锁，力求使学生通过情景来建构模型，理解“负负得正”. 此案例非真实情景，但对求知欲和创造欲极强的初中生是十分适合的. 一方面，它可激发学生寻求合理严谨证明的求知欲；另一方面，这使学生明白数学是有意义的，而不至于扼杀学生对数学创造和发明的欲望.
食物. 他们在一个巨大的锅里烹饪食物，工作极为细致和复杂. 烹饪中，他们频繁地改变锅里的温度来对食物调味，从而做出味道完美的食物. 改变温度的方法是热方块. 冷方块向锅里添加（取出）（冷）类似冰块，只是它们并不融化，而热方块类似烧红的炭块，只是它们并不失去热量. 每投入一块冷方块，锅里的温（取出）度下降（上升）1度. 教师接着提问学生：烹饪工序如此的精细，那他们是如何做到准确无误的呢？其中又有什么秘诀呢？
点评以神话故事作为课程导入旨在吸引学生的注意力，增强学生的探究兴趣，并使学生处于对知识的饥渴状态. 教师作为“导游”，应循循善诱，引导我们的“小游客们”逐步解开“神奇的烹饪之谜. 但教师不能为了引入课题而引入，应是为更好地教学而引入. 另外，该题材是学生不太熟悉的素材，教师应做适当的讲解，使之简化并更容易为学生接受，这是上好本课的前提.
通过几道例题一起来了解他们的记录方法吧！
（2）教师讲授例题：
例1厨师们想把锅中的温度降低
100度，他们就可以投入五组，每组20块的
冷方块. 他们用（+5）×（-20）=-100（*）表示他们的做法和最终结果.
教师分析（*）式：+5表示投入5组方块，-20表示每组为20块的冷方块. 5×20=
100，即共投入100块冷方块，锅里的温度
应下降100度，用-100表示. 故（*）式的记录是合理的.
例2（续例1厨师想把锅中的温度升）高100度，但又没有热方块，只有锅里的5组冷方块，厨师该怎么办呢？（每组20个）他们可以取出5组每组20个的冷方块，用：（-5）×（-20）=+100（**）表示他们的做法和最终结果.
教师分析（**）式：-5表示取出5组方块，-20表示每组为20块的冷方块. 由例1可知：投入100块冷方块可使温度下降100度. 那么，取出100块冷方块可使温度升高100度. 故（**）式的记录是合理的.
特别的，他们用0×a=0（a 代表锅中的表示不改变锅中的冷方块数，是任意数）冰块.
点评1. 教师应在学生能完全理解
襛新教法探讨
第一步，故事导入教学过程
教师给学生讲述神话故事：在一个非常偏远的地方，曾有一群令人惊奇的厨师，他们能够烹饪出令人难以想象的美味
第二步，秘诀揭晓教学过程
（1）教师揭示厨师的烹饪秘诀：原来他们是用我们这节课的知识———有理数的乘法来记录他们的烹饪工序的. 那么他们是怎样记录繁杂的工序呢？下面我们
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例1及其（*）式的基础上讲解例2. 教学重点应放在强化“烹饪模型”与“负负得正”的联系上，而不要求学生强记法则.
第四步，课后作业教学过程
你享誉“世界第一厨师”美名很长一段时间后，决定隐退，最后使命就是培训一位助理好让他接替你的位置. 这位助理厨师，对如何改变锅中的温度知之甚少，但他们知道如何对整数进行算术运算.
为你的助理准备一份手册，其中一定要包括各种升高和降低温度的不同方法的特殊例子.
点评此作业设计具有开放性，答案丰富多彩，为学生留有思维发展的余地，旨在培养学生创造性思维与独立自主学习的能力. 这也许是初中课堂中较为缺少的元素. 教师可视学生的接受程度对作业进行适当的说明，并耐心指导学生开展开放性学习，使之得以循序渐进的进行.
·）构成有单位元的环，且单位元数（Q ，+，
唯一. 记e. e 的负元记h ，则e+h=0，即h=
－e ，所以ha=（－e ）a. 由证明1，得：（－e ）a=－（ea ）=－a ，即ha=－a. 又因为h 在Q 中为-1，
所以有（－1）a=－a ，即一个数乘以-1等于这个数的相反数.
2. 教师应注意概念的同化，即有理
数的乘法仅是比整数的乘法多了确定积的符号这一步. 而积的符号则可根据最终温度的升降来确定. 至于积的绝对值和整数乘法一样，只要把因数的绝对值相乘即可.
第三步，小试牛刀教学过程
练习1计算每一种情况下温度变化的最终结果，并用等式表示每一次做法和最终结果（. 模型———算式）
②再证（－a ）（－b ）=ab.由证明1，得：a （－b ）=－ab. 又因为（－a ）（－b ）=［（－1）a ］·
（－b ），由①得（－1）a=－a ，所以（－a ）（－b ）=［（－1）a ］（－b ）=－a （－b ）=－（－ab ）=ab，即（－a ）·（－b ）=ab.
证明3（由整数环的知识《“三谈负）负得正”》的证明2仅证明了在Z 中“负负得正”是成立的，但尚未在有理数中证明该结论. 笔者补充后得到证明3（由分式：由抽象代数知识知整数域的相关知识）环Z 是有理数域Q 的子环.
不妨设F=
a. 投入4组每组7个的冷方块. b. 取出6组每组9个的冷方块. a. 分析：因为共投入4×7=28块冷方
块，故温度下降28度，即用（+4）×（-7）=
-28表示.
b. 分析：因为共取出6×9=54块冷方
块，故温度升高54度，即用（-6）×（-9）=
a
b
a ，b ∈Z ，b ≠0，且Q *=
≠
襛三种证明方法
证明1（由相反数的意义由抽象代）数知识：Z 是整环，Q 是Z 的分式域，故（Q ，·）构成环+，（其中Q 为所有有理数构成的对任意集合，Z 是所有整数构成的集合）的a ，c ∈Q ，且a ，c>0.因为（Q ，+）构成群，故存在b ∈Q ，使得a+b=0（0为Q 中的零
+54表示.
练习2把下面所列各小题用冷热方块语言加以解析（. 算式———模型）
a. （-3）×（+4）b. （-3）×（-4）a. 分析：因为取出3组，每组4块的热
方块，共取出3×4=12块，故温度下降12度. 即（-3）×（+4）=-12.
a a
∈F ≠Q b b a c ad+bca +·=b ···d bd b
c ac =·+Z d ·bd
，且在
*
中：
规定，·
，经检验，“”，“·”是上定义
合理的代数运算. 不妨设
a c
>0，>0，则b d
（
）（
），
元）. 又因为bc=（0－a ）c=［0+（－a ）］c=0·c+
（－a ）c=（－a ）c ，即bc=（－a ）c （*）. 两边同时加上ac ，得：ac+bc=ac+（－a ）c. 因为（Q ，+，·）构成环，由乘法对加法的右分配律：（－a ）c+ac=［（－a ）+a］c=0·c=0，即：ac+bc=0，也即bc=－ac ，联合（*）式得：bc=（－a ）c=－ac. 故：（－a ）c=－ac.
结论1：两个有理数a ，c 相乘，把a 换成－a 后，即（－a ）与c 相乘为原来积ac 的相反数－ac. 对a 与（－c ）相乘，可由结论1得结论2：两个有理数a ，（－c ）相乘，把a 换成－a 后，即－a 与－c 相乘为原来积（－ac ）的相反数ac.
证明2（由单位元及其负元的概念）
b. 分析：因为取出3组，每组4块的冷
方块，共取出3×4=12块，故温度升高12度. 即（-3）×（-4）=+12.
点评1. 这两组的练习能从模型到算式和从算式到模型双向地评价学生接受知识的程度，从而强化了学生脑海中法则与模型的联系，强调学生是通过模型来理解法则的. 这是本案例的一大特色.
由原文得（
（
互素，
a c -a -c -a -c
-·-·=·=··b d b d bd
a
－a －ac =ac-··b
c -a -c ac -·==·. *·d bd bd
a a
g Q →Q -·→-→g a b ·b b
a b ≠0g g b
·
·）（
）
，所以
·
）（
）
（）
令：
*
，即，
，，显然可得是一个环同
2. 教师在讲解练习1时，应重在培养
学生从积的绝对值及符号来理解有理数的运算. 练习2的目的在于使学生逆向思考模型. 这可能会对个别学生有点难度，教师可视学生的接受情况，适当使用附加练习题.
构，对（读者可验证环同构的三个条件）
a c
－·g g －·=g g g ·g b d
ac a c ac g －g －=. ·g bd b d bd
（*）式作用g ，得：g
·
，即
·
故“负负
得正”在有理数域Q 是成立的.
①先证一个数乘以-1等于这个数的相反
025
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摆脱法则的枷锁
———“负负得正”的新教法及三种证明
陈绮云
何小亚
华南师范大学数学科学学院
摘
510631
￡
要：以崭新的厨师烹饪模型，帮助学生理解经典数学法则———“负负得正”，体现了构建数学模型，解决数
学问题的新课标思想. 灵活运用群、环等高等数学知识给出法则的三种证明，体现了运用高等数学指
教
导中学数学教学的思想. 师
关键词：数学；负负得正；教法；模型
问题提出
笔者对有理数的乘法法则的教法有新的理解. 课本（华东师范大学出版社初采用直接给出中一年级上第二章第九节）法则的做法，意在要求学生能运用法则准确熟练地进行运算. 但这可能使学生只停留在记住符号法则的层面，而非能达到理解知识的层面. 当我们试图回忆当时是如何学习“负负得正”时，相信大多数读者都无法想起它的现实意义，只是对“负负得正”这个法则牢记在心. 针对这个问题，笔者大胆采用了一个全新的案例，完全摆脱法则的枷锁，力求使学生通过情景来建构模型，理解“负负得正”. 此案例非真实情景，但对求知欲和创造欲极强的初中生是十分适合的. 一方面，它可激发学生寻求合理严谨证明的求知欲；另一方面，这使学生明白数学是有意义的，而不至于扼杀学生对数学创造和发明的欲望.
食物. 他们在一个巨大的锅里烹饪食物，工作极为细致和复杂. 烹饪中，他们频繁地改变锅里的温度来对食物调味，从而做出味道完美的食物. 改变温度的方法是热方块. 冷方块向锅里添加（取出）（冷）类似冰块，只是它们并不融化，而热方块类似烧红的炭块，只是它们并不失去热量. 每投入一块冷方块，锅里的温（取出）度下降（上升）1度. 教师接着提问学生：烹饪工序如此的精细，那他们是如何做到准确无误的呢？其中又有什么秘诀呢？
点评以神话故事作为课程导入旨在吸引学生的注意力，增强学生的探究兴趣，并使学生处于对知识的饥渴状态. 教师作为“导游”，应循循善诱，引导我们的“小游客们”逐步解开“神奇的烹饪之谜. 但教师不能为了引入课题而引入，应是为更好地教学而引入. 另外，该题材是学生不太熟悉的素材，教师应做适当的讲解，使之简化并更容易为学生接受，这是上好本课的前提.
通过几道例题一起来了解他们的记录方法吧！
（2）教师讲授例题：
例1厨师们想把锅中的温度降低
100度，他们就可以投入五组，每组20块的
冷方块. 他们用（+5）×（-20）=-100（*）表示他们的做法和最终结果.
教师分析（*）式：+5表示投入5组方块，-20表示每组为20块的冷方块. 5×20=
100，即共投入100块冷方块，锅里的温度
应下降100度，用-100表示. 故（*）式的记录是合理的.
例2（续例1厨师想把锅中的温度升）高100度，但又没有热方块，只有锅里的5组冷方块，厨师该怎么办呢？（每组20个）他们可以取出5组每组20个的冷方块，用：（-5）×（-20）=+100（**）表示他们的做法和最终结果.
教师分析（**）式：-5表示取出5组方块，-20表示每组为20块的冷方块. 由例1可知：投入100块冷方块可使温度下降100度. 那么，取出100块冷方块可使温度升高100度. 故（**）式的记录是合理的.
特别的，他们用0×a=0（a 代表锅中的表示不改变锅中的冷方块数，是任意数）冰块.
点评1. 教师应在学生能完全理解
襛新教法探讨
第一步，故事导入教学过程
教师给学生讲述神话故事：在一个非常偏远的地方，曾有一群令人惊奇的厨师，他们能够烹饪出令人难以想象的美味
第二步，秘诀揭晓教学过程
（1）教师揭示厨师的烹饪秘诀：原来他们是用我们这节课的知识———有理数的乘法来记录他们的烹饪工序的. 那么他们是怎样记录繁杂的工序呢？下面我们
投稿邮箱：[email protected]
数学教学通讯（教师版）
教学研究>教学技巧
例1及其（*）式的基础上讲解例2. 教学重点应放在强化“烹饪模型”与“负负得正”的联系上，而不要求学生强记法则.
第四步，课后作业教学过程
你享誉“世界第一厨师”美名很长一段时间后，决定隐退，最后使命就是培训一位助理好让他接替你的位置. 这位助理厨师，对如何改变锅中的温度知之甚少，但他们知道如何对整数进行算术运算.
为你的助理准备一份手册，其中一定要包括各种升高和降低温度的不同方法的特殊例子.
点评此作业设计具有开放性，答案丰富多彩，为学生留有思维发展的余地，旨在培养学生创造性思维与独立自主学习的能力. 这也许是初中课堂中较为缺少的元素. 教师可视学生的接受程度对作业进行适当的说明，并耐心指导学生开展开放性学习，使之得以循序渐进的进行.
·）构成有单位元的环，且单位元数（Q ，+，
唯一. 记e. e 的负元记h ，则e+h=0，即h=
－e ，所以ha=（－e ）a. 由证明1，得：（－e ）a=－（ea ）=－a ，即ha=－a. 又因为h 在Q 中为-1，
所以有（－1）a=－a ，即一个数乘以-1等于这个数的相反数.
2. 教师应注意概念的同化，即有理
数的乘法仅是比整数的乘法多了确定积的符号这一步. 而积的符号则可根据最终温度的升降来确定. 至于积的绝对值和整数乘法一样，只要把因数的绝对值相乘即可.
第三步，小试牛刀教学过程
练习1计算每一种情况下温度变化的最终结果，并用等式表示每一次做法和最终结果（. 模型———算式）
②再证（－a ）（－b ）=ab.由证明1，得：a （－b ）=－ab. 又因为（－a ）（－b ）=［（－1）a ］·
（－b ），由①得（－1）a=－a ，所以（－a ）（－b ）=［（－1）a ］（－b ）=－a （－b ）=－（－ab ）=ab，即（－a ）·（－b ）=ab.
证明3（由整数环的知识《“三谈负）负得正”》的证明2仅证明了在Z 中“负负得正”是成立的，但尚未在有理数中证明该结论. 笔者补充后得到证明3（由分式：由抽象代数知识知整数域的相关知识）环Z 是有理数域Q 的子环.
不妨设F=
a. 投入4组每组7个的冷方块. b. 取出6组每组9个的冷方块. a. 分析：因为共投入4×7=28块冷方
块，故温度下降28度，即用（+4）×（-7）=
-28表示.
b. 分析：因为共取出6×9=54块冷方
块，故温度升高54度，即用（-6）×（-9）=
a
b
a ，b ∈Z ，b ≠0，且Q *=
≠
襛三种证明方法
证明1（由相反数的意义由抽象代）数知识：Z 是整环，Q 是Z 的分式域，故（Q ，·）构成环+，（其中Q 为所有有理数构成的对任意集合，Z 是所有整数构成的集合）的a ，c ∈Q ，且a ，c>0.因为（Q ，+）构成群，故存在b ∈Q ，使得a+b=0（0为Q 中的零
+54表示.
练习2把下面所列各小题用冷热方块语言加以解析（. 算式———模型）
a. （-3）×（+4）b. （-3）×（-4）a. 分析：因为取出3组，每组4块的热
方块，共取出3×4=12块，故温度下降12度. 即（-3）×（+4）=-12.
a a
∈F ≠Q b b a c ad+bca +·=b ···d bd b
c ac =·+Z d ·bd
，且在
*
中：
规定，·
，经检验，“”，“·”是上定义
合理的代数运算. 不妨设
a c
>0，>0，则b d
（
）（
），
元）. 又因为bc=（0－a ）c=［0+（－a ）］c=0·c+
（－a ）c=（－a ）c ，即bc=（－a ）c （*）. 两边同时加上ac ，得：ac+bc=ac+（－a ）c. 因为（Q ，+，·）构成环，由乘法对加法的右分配律：（－a ）c+ac=［（－a ）+a］c=0·c=0，即：ac+bc=0，也即bc=－ac ，联合（*）式得：bc=（－a ）c=－ac. 故：（－a ）c=－ac.
结论1：两个有理数a ，c 相乘，把a 换成－a 后，即（－a ）与c 相乘为原来积ac 的相反数－ac. 对a 与（－c ）相乘，可由结论1得结论2：两个有理数a ，（－c ）相乘，把a 换成－a 后，即－a 与－c 相乘为原来积（－ac ）的相反数ac.
证明2（由单位元及其负元的概念）
b. 分析：因为取出3组，每组4块的冷
方块，共取出3×4=12块，故温度升高12度. 即（-3）×（-4）=+12.
点评1. 这两组的练习能从模型到算式和从算式到模型双向地评价学生接受知识的程度，从而强化了学生脑海中法则与模型的联系，强调学生是通过模型来理解法则的. 这是本案例的一大特色.
由原文得（
（
互素，
a c -a -c -a -c
-·-·=·=··b d b d bd
a
－a －ac =ac-··b
c -a -c ac -·==·. *·d bd bd
a a
g Q →Q -·→-→g a b ·b b
a b ≠0g g b
·
·）（
）
，所以
·
）（
）
（）
令：
*
，即，
，，显然可得是一个环同
2. 教师在讲解练习1时，应重在培养
学生从积的绝对值及符号来理解有理数的运算. 练习2的目的在于使学生逆向思考模型. 这可能会对个别学生有点难度，教师可视学生的接受情况，适当使用附加练习题.
构，对（读者可验证环同构的三个条件）
a c
－·g g －·=g g g ·g b d
ac a c ac g －g －=. ·g bd b d bd
（*）式作用g ，得：g
·
，即
·
故“负负
得正”在有理数域Q 是成立的.
①先证一个数乘以-1等于这个数的相反
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