椭圆的第二定义(含解析)

课题：椭圆的第二定义

【学习目标】

1、掌握椭圆的第二定义；

2、能应用椭圆的第二定义解决相关问题；

一、椭圆中的基本元素

（1）.基本量: a、b、c、e

几何意义： a-半长轴、b-半短轴、c-半焦距，e-离心率；

相互关系： cab,e

（2）.基本点：顶点、焦点、中心

（3）.基本线: 对称轴

二．椭圆的第二定义的推导 222c a

ca2

0)的距离和它到定直线l:x问题：点M(x，y)与定点F(c，的距离的比是常数(ac0)，求点M的轨迹． ac

MFcc解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合PM|

． ada将上式两边平方，并化简得(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)．

x2y2

设acb，就可化成221(ab0)． ab222

这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆．

c由此可知，当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0e1)时，这个点的a

轨迹是椭圆，一般称为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率． x2y2a2

0)0)的准线方程是x对于椭圆221(ab0)，相应于焦点F(c，．根据椭圆的对称性，相应于焦点F(c，abc

的准线方程是x，所以椭圆有两条准线． c

可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比，这就是离心率的几何意义．

【注意】:椭圆的几何性质中,有些是依赖坐标系的性质(如:点的坐标\线的方程),有些是不依赖坐标系、图形本身固有的性质(如:距离\角),要注意区别。

a2a2a2

中心到准线的距离：d= 焦点到准线的距离：d=-c 两准线间的距离：d=2 ccc

三．第二定义的应用

1、求下列椭圆的焦点坐标和准线

x2y2

1 （1）10036

（2）2xy8 22

x2y2

1上一点P到右准线的距离为10,则:点P到左焦点的距离为( ) 2、椭圆 10036

A.14 B.12 C.10 D.8

3、若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分,则:离心率e=______；

4、离心率e=

5、若椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则:中心到准线的距离为____________；

6、求中心在原点,一条准线方程是x=3，离心率为

2,且两准线间的距离为4的椭圆的标准方程为________________________； 25 的椭圆标准方程. 3

x2y2

1,其上有一点P,它到右焦点的距离为14,求P点到左准线的距离. 7、椭圆方程为10064

x2y2

，1)，F是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M，使MP2F的值最小，求M的8、已知椭圆1内有一点P(143

坐标．（如图）

分析：若设M(x，y)，求出MP2MF，再计算最小值是很繁的．由于MF圆上一点到焦点的距离，由此联想到椭圆的第二定义，它与到相应准线的距离故有如下解法．

解：设M在右准线l上的射影为M1．

由椭圆方程可知a2，bc1，e

MM1是椭有关，1． 2根据椭圆的第二定义，有11，即MEMM1．∴MP2MFMPMM1． 22

显然，当P，M，M1三点共线时，MPMM1有最小值．过P作准线的垂线y1．

3x24y212，由方程组解得M．即M

的坐标为． 11y1，



课题：椭圆的第二定义

【学习目标】

1、掌握椭圆的第二定义；

2、能应用椭圆的第二定义解决相关问题；

一、椭圆中的基本元素

（1）.基本量: a、b、c、e

几何意义： a-半长轴、b-半短轴、c-半焦距，e-离心率；

相互关系： cab,e

（2）.基本点：顶点、焦点、中心

（3）.基本线: 对称轴

二．椭圆的第二定义的推导 222c a

ca2

0)的距离和它到定直线l:x问题：点M(x，y)与定点F(c，的距离的比是常数(ac0)，求点M的轨迹． ac

MFcc解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合PM|

． ada将上式两边平方，并化简得(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)．

x2y2

设acb，就可化成221(ab0)． ab222

这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆．

c由此可知，当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0e1)时，这个点的a

轨迹是椭圆，一般称为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率． x2y2a2

0)0)的准线方程是x对于椭圆221(ab0)，相应于焦点F(c，．根据椭圆的对称性，相应于焦点F(c，abc

的准线方程是x，所以椭圆有两条准线． c

可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比，这就是离心率的几何意义．

【注意】:椭圆的几何性质中,有些是依赖坐标系的性质(如:点的坐标\线的方程),有些是不依赖坐标系、图形本身固有的性质(如:距离\角),要注意区别。

a2a2a2

中心到准线的距离：d= 焦点到准线的距离：d=-c 两准线间的距离：d=2 ccc

三．第二定义的应用

1、求下列椭圆的焦点坐标和准线

x2y2

1 （1）10036

（2）2xy8 22

x2y2

1上一点P到右准线的距离为10,则:点P到左焦点的距离为( ) 2、椭圆 10036

A.14 B.12 C.10 D.8

3、若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分,则:离心率e=______；

4、离心率e=

5、若椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则:中心到准线的距离为____________；

6、求中心在原点,一条准线方程是x=3，离心率为

2,且两准线间的距离为4的椭圆的标准方程为________________________； 25 的椭圆标准方程. 3

x2y2

1,其上有一点P,它到右焦点的距离为14,求P点到左准线的距离. 7、椭圆方程为10064

x2y2

，1)，F是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M，使MP2F的值最小，求M的8、已知椭圆1内有一点P(143

坐标．（如图）

解：设M在右准线l上的射影为M1．

由椭圆方程可知a2，bc1，e

MM1是椭有关，1． 2根据椭圆的第二定义，有11，即MEMM1．∴MP2MFMPMM1． 22

显然，当P，M，M1三点共线时，MPMM1有最小值．过P作准线的垂线y1．

3x24y212，由方程组解得M．即M

的坐标为． 11y1，



椭圆的第二定义(含解析)

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