传感器非线性误差的修正
摘 要：
传感器在采集数据时存在一定的非线性误差。要使系统的性能达到最佳，必须对传感器的非线性误差进行分析和处理。本文讨论了传感器非线性误差的几种处理方法，并对各种方法作了比较。
关键词：
非线性误差，硬件电路校正，查表法，插值法，最小二乘法，频域修正法
一、 引言
在工业过程控制中，由于传感器的非线性输出特性和同种传感器的输出存在一定的分散性，测量结果会产生一定的误差。为此，我们需要对传感器的特性进行校正和补偿，以提高测量的精度，并且使传感器输出线性化和标准化。对非线性误差的矫正和补偿可以采用硬件电路或者软件的方法来实现。
二、 采用电路进行非线性误差的矫正
采用硬件电路对非线性误差进行矫正，优点是速度快；缺点是价格高，拟合程度不好。
通常我们采用以下几种电路进行校正：
1、 算术平均法
算术平均法的基本原理是通过测量上下限的平均值，找到一条是原传感器输出非线性特性得以改善的拟合曲线。
对电阻传感器基本电路如作图所
示。设温度变化范围为a~c，平均温度：
b=(a+c)/2，传感器对应的输出阻值分别
为Ra，Rb，Rc，由于传感器的非线性，
Rb≠(Ra+Rc)/2。为了使三个点的电路
输出为线性，则应满足并联电阻
Rpb=(Rpa+Rpc)/2。其中Rpa，Rpb，Rpc分别
为温度在a,b,c时的并联电阻。通过计 算可得：
R=Rb(Ra+Rc)-2RaRc
Ra+Rc-2Rb
2、 桥路补偿法
该方法的基本原理是利用测量桥路的非线性来校正传感器的非线性。 电路如右图所示。取R1=R2，桥路设于三个不同的温度点a,b,c相适
应的Rt与V分别为Ra、Va、Rb、Vb、R31输出V=ε(-) Rc、Vc，代如上式得到方程组： 2R3+RB//Rt
R31Va=ε(-) 2R3+Rb//Ra
R31Vb=ε(-) 2R3+Rb//Rb
R31Vc=ε(-)
2R3+Rb//Rc
解此方程组可得到满足要求的R3、RB、ε。
小结：
以上两种方法，原理和电路非常简单，但线性关系只是在三个特定的点严格成立，其他各点仅得到不同程度的改善，因此适用于非线性度不严重，或测量范围小的情况。
三、 采用查表法修正
在高速数据采集及处理系统中, 为满足实时控制的要求, 一般采用查表法进行传感器的非线性补偿。即预先将一张表明频率值f 与距离值h 的关系表格写入微机的ROM中,单片微机在每次采集到频率信号后,查表得到对应的距离值h , 以实现传感器特性线性化的目的。
与传统的方法相比，查表校正法更注重单个传感器的实际测量转换特性，而不再采取理想测量转换特性简单近似的代替实际测量转换特性的做法。具体方法分3步进行：
1、 校正、制造标准表格
用标准信号源作被测对象，对传感器进行校正测量。将测量值与标准信号源的准确值按一定方法制成表格，并给出相应的查表方法。
2、 表格存储
将表格内容写入ROM区域内，形成固化的测量转换特性表。
3、 测量、查表
测量实际被测量对象，将实际测量值作为查表参数，按给定的查表方法查表，到对应的ROM单元中取出预先存入的准确值作为测量转换值。
由于采取传感器与表格一一对应形成，可以消除因传感器测量转换特性的离散性带来的误差。
在查表校正方法中，实际测量值做查表参数时，可由两种不同的方案。
一种是以实际测量值做ROM表格地址参数，按地址查表。在这种方法中，ROM表格内容与实际测量值无关，而与左脚征用的标准信号源有关，将信号源的准确值按递增关系直接写入ROM内。ROM表格的地址形成则与实际测量值有关，有实际测量值经相应运转后，形成查表地址，按地址查ROM表格内容，作测量输出值。
另一种是以实际测量值做ROM表格内容参数，按内容查表。在这种方法中，ROM表格内容为实际测量校准值，ROM地址与实际测量值无关，为标准信号源的准确值的递增运算表达式。按ROM内容查表，当实际测量值与ROM区域中某单元内容一致时，将其对应单元地址单元经运算后，作测量输出值。
对应两种不同的ROM表格，查表校正法在硬件结构上没有差别，但在软件实现查
表时，有很大不同。
这两种方案均可有效消除因传感器测量转换特性的离散性及非线性行所带来的测量误差，但从执行效果看，两种方案各有特色。
按地址查表法属直接查表法，对应不同传感器，ROM的内容是一致的，且与具体传感器无关，实时性好。
按内容查表法属间接查表法，对应不同传感器，ROM的内容各不相同，且与具体传感器有关，但精度高。
小结：在工业化的批量生产中，查表校正法与其他校正法相比，具有以下特点：
1) 校正方法简单，适合于非专用芯片构成的仪器、仪表的批量生产。
2) 校正精度高。校正精度仅与ROM容量有关，当校正精度提高时，只需相应增加
ROM容量即可。
3) 校正速度快，实时性好。由于采用构造硬件校正标的方法进行硬件查表操作，与软
件校正方法相比较，校正速度快，适合于应用在对实时性要求较高的仪器、仪表中。
4) 电路简单，通用性好。采用ROM做校正表，与CPU的接口简单，且造表方法与
传感器种类无关，只要配以适当的传感器接口，即可方便的于各种传感器杰在一起，具有极强的通用性。实际工作中，亦可用EPROM,E2PROM做校正表。
四、 采用插值法进行曲线拟合
前述的几种方法只是对有限的离散点修正较好，但是对其它的各点，修正度不能令人满意。由此，必须得出一个连续的曲线，使曲线上的点尽量符合实际。采用插值法可以较好的解决这个问题。所谓插值法就是由测量的几个点得到一个函数，使这几个点都在函数上。插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法、样条插值法等。
有些传感器的特性，在整个测量范围内，可以用一个借此不太高的多项式来拟合。 假定已知函数f(x)在n+1个点：
x0
处的函数值为：
f(x0)=y0，f(x1)=y1，……，f(xn)=yn
我们如果用一个次数不超过n的函数：
Pn(x)=anxn+an-1xn-1+……+a1x1+a0
在以后的计算时，我们可以近似的用P(x)在区间[x0,x]代替f(x)。
由于多项式Pn(x)中的未知系数有n+1个，而他做应满足的条件也有n+1个，因此系数an,……，a1，a0应满足的方程组为：
nn-1⎧anx0+an-1x0+......+a1x0+a0=y0⎪nn-1⎪anx1+an-1x1+......+a1x1+a0=y1 ⎨⎪......
⎪axn+axn-1+......+ax+a=yn-1n1n0n⎩nn
这是一个含n+1个未知数an、an-1、……a1、a0的线性方程组，我们只要对已知的xi和yi(i=0~n)求解方程组，就可以求出ai(i=0~n)，从而可以得到Pn(x)，也就可以近似的实时计算f(x)≈Pn(x)。
在拟合n次多项式时，值得提出的是：
1. 根据所需要的逼近精度来决定多项式的次数。决定多项式次数N后，应选择N+1
个自变量x和函数值y，然后计算机经运行后，输出N+1个多项式系数，最后进入
校验程序，输入其他各个点的值，比较计算出来的值和实际值的误差。
2. 插值节点的选择和多项式的误差大小有很大关系。在非线性度大处应加大取值密
度，直到通过校验，误差满足要求为止。
小结：插值修正在节点处能做到与实际完全吻合，但在其它点处会有误差。对于非线性度较高的曲线，可以适当加大多项式的次数。但是次数过高会导致震荡加剧，精度反而下降。
五、 分段插值修正
应用插值多项式能逼近各种函数，增多插值节点和多项式次数，能提高逼近精度，但是它是有局限的。自变量的允许取值范围越少，达到同样精度时所需的插值多项式的次数也越低，所以我们把自变量的取值范围分成若干段来进行插值，这样每段的次数比整体一起插值的次数可大大降低。它适于难以进行一次性插值的函数，特别是对于分段函数，更要用分段插值的方法。这是可以把非线性段用一个N此多项式来逼近，而线性段用一次多项式来逼近，有些函数如果进行一次性插值时，需要使用高次多项式也应该用分段插值，不然会使计算时间延长，误差增大。
六、 采用最小二乘法进行曲线拟合
最小二乘法与插值法不同之处在于：插值法在各个样本点处是吻合的，而最小二乘法却不一定；插值法在其它各点处的误差可能会比较大，但是最小二乘法的宗旨就是使各个点处的误差的绝对值的平方和最小，从而使总的误差降低。
设校正多项式为
a0+a1x+……+amxm=y
令φ=∑R=∑[Yi
i=0i=0nni-P(xi)]=∑[Yi-∑ajxij]2 2i=0j=0nm (1)
由于xi、yi为已知的实验值，故φ可以看作aj(j=0,1…,m)的函数，对于不同的多项是有不同的系数aj，也既有不同的φ值，φ=φ(a0,a1,…,am)，要使φ为极小值的系数，必须满足方程：
∂φ=0 (k=0,1,2,…,m) ∂ak
通过(1)、(2)变换可得: (2)
m∂φ=2(∑ajsj+k-dk) ∂akj=0
nn (3)
式(3)中：sj+k=∑X
i=0j+ki;dk=∑Xik i=0
由式(2),(3)可得方程组：
⎧s0a0+s1a1+s2a2+...smam=d0⎪sa+sa+sa+...sa=d⎪102132m+1m1 ⎨⎪...
⎪⎩sma0+sm+1a1+sm+2a2+...s2mam=dm
解出此线性方程组, 即可得P(X)的系数aj，由此求传感器的拟合曲线问题就变成求解线性方程组的问题, 这样采用计算机解决是较方便的。
七、 频域修正法
在传感器动态特性研究中, 大多是将其近似为线性系统, 利用线性方法进行研究. 这在传感器非线性特性不明显或分析精度要求不高时是可行的. 但是, 如果传感器的非线性作用比较明显或对其有较高分析精度的要求时, 用线性分析方法就会带来不容忽视的误差。由此产生了频域修正法。
1. 频域判定
依据线性系统的频率保持性. 对传感器的输出信号作频谱分析, 其功率谱的频率分布应在输入信号频率分布以内. 若发现输出信号中含有输入频率分布以外的明显频率分布, 则系统可能存在非线性. 当输出信号的频谱中含有不明显的输入频率以外的频率分布, 采用频谱分析方法较难进行判断. 但是, 可以利用多组输入输出信号求得传感器的频率响应函数, 若其幅频特性曲线在输入频谱以外存在明显峰值, 且此处相干系数大于0.85, 相位发生突变, 表明此峰值不是由噪声引起, 则可判定传感器中存在非线性。
2. 二次非线性的频域估计方法
在频域估计非参数形式的非线性动态模型归结为线性传递函数和非线性传递函数的辨识问题。一般来说, 在传感器动态非线性中, 二次非线性占主要成分。在二次传递函数的求解中, 通常限定输入信号为高斯白噪声。这样, 其输入各频率之间不存在相关关系, 所有非线性关系均由非线性谐波引起, 求解方便。
传感器二次非线性动态模型为
Y(f)=H1(f)X(f)+∑∑H2(f1,f2)X(f1)X(f2),f1+f2=f,f2≥f1(1) f1f2
其中：
H1(f)=Pyx(f)
xx(f),Pyx(f)=Y(f)*X(f),*
Pyxx(f1,f2)=Y(f)X*(f1)*X(f2),Pxx(f1)=X(f1)X*(f1),Pxx(f2)=X(f2)X*(f2)。式中Y(f)是输出信号Y(t)的傅里叶变换，X(f)式输入信号X(t)的傅里叶变换，H1(f)是一次传递函数，H2(f)是二次传递函数，P(f)是功率谱。
所以，非线性系统的真实响应为
Y(t)=F-1[Y(f)]
在高斯白噪声输入下，二次传递函数计算公式为
H2(f1,f2)=Pyxx(f1,f2)/[2Pxx(f1)Pxx(f2)]
3.
1)
2)
3)
4) 计算步骤： 根据多个输入信号分别求得系统的原始输出信号; 对信号进行非线性分离(或滤波) , 求得系统线性输出; 根据多组输入信号和对应的线性输出信号, 求得系统线性传递函数; 对线性传递函数和输入信号傅里叶变换的乘积, 进行反傅里叶变换, 求得输出信号
线性估计;
5) 利用多组系统输入信号及相应原始输出信号, 求出系统二次传递函数;
6) 求得输出信号的非线性估计.
总结：
对非线性误差处理，在花费很小的情况下可以大大提高传感器的精度。
对传感器的非线性误差要做仔细的分析，对不同的场合，不同的需求使用不同的方案进行处理，从而使整个系统达到最佳状态。
传感器非线性误差的修正
摘 要：
传感器在采集数据时存在一定的非线性误差。要使系统的性能达到最佳，必须对传感器的非线性误差进行分析和处理。本文讨论了传感器非线性误差的几种处理方法，并对各种方法作了比较。
关键词：
非线性误差，硬件电路校正，查表法，插值法，最小二乘法，频域修正法
一、 引言
在工业过程控制中，由于传感器的非线性输出特性和同种传感器的输出存在一定的分散性，测量结果会产生一定的误差。为此，我们需要对传感器的特性进行校正和补偿，以提高测量的精度，并且使传感器输出线性化和标准化。对非线性误差的矫正和补偿可以采用硬件电路或者软件的方法来实现。
二、 采用电路进行非线性误差的矫正
采用硬件电路对非线性误差进行矫正，优点是速度快；缺点是价格高，拟合程度不好。
通常我们采用以下几种电路进行校正：
1、 算术平均法
算术平均法的基本原理是通过测量上下限的平均值，找到一条是原传感器输出非线性特性得以改善的拟合曲线。
对电阻传感器基本电路如作图所
示。设温度变化范围为a~c，平均温度：
b=(a+c)/2，传感器对应的输出阻值分别
为Ra，Rb，Rc，由于传感器的非线性，
Rb≠(Ra+Rc)/2。为了使三个点的电路
输出为线性，则应满足并联电阻
Rpb=(Rpa+Rpc)/2。其中Rpa，Rpb，Rpc分别
为温度在a,b,c时的并联电阻。通过计 算可得：
R=Rb(Ra+Rc)-2RaRc
Ra+Rc-2Rb
2、 桥路补偿法
该方法的基本原理是利用测量桥路的非线性来校正传感器的非线性。 电路如右图所示。取R1=R2，桥路设于三个不同的温度点a,b,c相适
应的Rt与V分别为Ra、Va、Rb、Vb、R31输出V=ε(-) Rc、Vc，代如上式得到方程组： 2R3+RB//Rt
R31Va=ε(-) 2R3+Rb//Ra
R31Vb=ε(-) 2R3+Rb//Rb
R31Vc=ε(-)
2R3+Rb//Rc
解此方程组可得到满足要求的R3、RB、ε。
小结：
以上两种方法，原理和电路非常简单，但线性关系只是在三个特定的点严格成立，其他各点仅得到不同程度的改善，因此适用于非线性度不严重，或测量范围小的情况。
三、 采用查表法修正
在高速数据采集及处理系统中, 为满足实时控制的要求, 一般采用查表法进行传感器的非线性补偿。即预先将一张表明频率值f 与距离值h 的关系表格写入微机的ROM中,单片微机在每次采集到频率信号后,查表得到对应的距离值h , 以实现传感器特性线性化的目的。
与传统的方法相比，查表校正法更注重单个传感器的实际测量转换特性，而不再采取理想测量转换特性简单近似的代替实际测量转换特性的做法。具体方法分3步进行：
1、 校正、制造标准表格
用标准信号源作被测对象，对传感器进行校正测量。将测量值与标准信号源的准确值按一定方法制成表格，并给出相应的查表方法。
2、 表格存储
将表格内容写入ROM区域内，形成固化的测量转换特性表。
3、 测量、查表
测量实际被测量对象，将实际测量值作为查表参数，按给定的查表方法查表，到对应的ROM单元中取出预先存入的准确值作为测量转换值。
由于采取传感器与表格一一对应形成，可以消除因传感器测量转换特性的离散性带来的误差。
在查表校正方法中，实际测量值做查表参数时，可由两种不同的方案。
一种是以实际测量值做ROM表格地址参数，按地址查表。在这种方法中，ROM表格内容与实际测量值无关，而与左脚征用的标准信号源有关，将信号源的准确值按递增关系直接写入ROM内。ROM表格的地址形成则与实际测量值有关，有实际测量值经相应运转后，形成查表地址，按地址查ROM表格内容，作测量输出值。
另一种是以实际测量值做ROM表格内容参数，按内容查表。在这种方法中，ROM表格内容为实际测量校准值，ROM地址与实际测量值无关，为标准信号源的准确值的递增运算表达式。按ROM内容查表，当实际测量值与ROM区域中某单元内容一致时，将其对应单元地址单元经运算后，作测量输出值。
对应两种不同的ROM表格，查表校正法在硬件结构上没有差别，但在软件实现查
表时，有很大不同。
这两种方案均可有效消除因传感器测量转换特性的离散性及非线性行所带来的测量误差，但从执行效果看，两种方案各有特色。
按地址查表法属直接查表法，对应不同传感器，ROM的内容是一致的，且与具体传感器无关，实时性好。
按内容查表法属间接查表法，对应不同传感器，ROM的内容各不相同，且与具体传感器有关，但精度高。
小结：在工业化的批量生产中，查表校正法与其他校正法相比，具有以下特点：
1) 校正方法简单，适合于非专用芯片构成的仪器、仪表的批量生产。
2) 校正精度高。校正精度仅与ROM容量有关，当校正精度提高时，只需相应增加
ROM容量即可。
3) 校正速度快，实时性好。由于采用构造硬件校正标的方法进行硬件查表操作，与软
件校正方法相比较，校正速度快，适合于应用在对实时性要求较高的仪器、仪表中。
4) 电路简单，通用性好。采用ROM做校正表，与CPU的接口简单，且造表方法与
传感器种类无关，只要配以适当的传感器接口，即可方便的于各种传感器杰在一起，具有极强的通用性。实际工作中，亦可用EPROM,E2PROM做校正表。
四、 采用插值法进行曲线拟合
前述的几种方法只是对有限的离散点修正较好，但是对其它的各点，修正度不能令人满意。由此，必须得出一个连续的曲线，使曲线上的点尽量符合实际。采用插值法可以较好的解决这个问题。所谓插值法就是由测量的几个点得到一个函数，使这几个点都在函数上。插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法、样条插值法等。
有些传感器的特性，在整个测量范围内，可以用一个借此不太高的多项式来拟合。 假定已知函数f(x)在n+1个点：
x0
处的函数值为：
f(x0)=y0，f(x1)=y1，……，f(xn)=yn
我们如果用一个次数不超过n的函数：
Pn(x)=anxn+an-1xn-1+……+a1x1+a0
在以后的计算时，我们可以近似的用P(x)在区间[x0,x]代替f(x)。
由于多项式Pn(x)中的未知系数有n+1个，而他做应满足的条件也有n+1个，因此系数an,……，a1，a0应满足的方程组为：
nn-1⎧anx0+an-1x0+......+a1x0+a0=y0⎪nn-1⎪anx1+an-1x1+......+a1x1+a0=y1 ⎨⎪......
⎪axn+axn-1+......+ax+a=yn-1n1n0n⎩nn
这是一个含n+1个未知数an、an-1、……a1、a0的线性方程组，我们只要对已知的xi和yi(i=0~n)求解方程组，就可以求出ai(i=0~n)，从而可以得到Pn(x)，也就可以近似的实时计算f(x)≈Pn(x)。
在拟合n次多项式时，值得提出的是：
1. 根据所需要的逼近精度来决定多项式的次数。决定多项式次数N后，应选择N+1
个自变量x和函数值y，然后计算机经运行后，输出N+1个多项式系数，最后进入
校验程序，输入其他各个点的值，比较计算出来的值和实际值的误差。
2. 插值节点的选择和多项式的误差大小有很大关系。在非线性度大处应加大取值密
度，直到通过校验，误差满足要求为止。
小结：插值修正在节点处能做到与实际完全吻合，但在其它点处会有误差。对于非线性度较高的曲线，可以适当加大多项式的次数。但是次数过高会导致震荡加剧，精度反而下降。
五、 分段插值修正
应用插值多项式能逼近各种函数，增多插值节点和多项式次数，能提高逼近精度，但是它是有局限的。自变量的允许取值范围越少，达到同样精度时所需的插值多项式的次数也越低，所以我们把自变量的取值范围分成若干段来进行插值，这样每段的次数比整体一起插值的次数可大大降低。它适于难以进行一次性插值的函数，特别是对于分段函数，更要用分段插值的方法。这是可以把非线性段用一个N此多项式来逼近，而线性段用一次多项式来逼近，有些函数如果进行一次性插值时，需要使用高次多项式也应该用分段插值，不然会使计算时间延长，误差增大。
六、 采用最小二乘法进行曲线拟合
最小二乘法与插值法不同之处在于：插值法在各个样本点处是吻合的，而最小二乘法却不一定；插值法在其它各点处的误差可能会比较大，但是最小二乘法的宗旨就是使各个点处的误差的绝对值的平方和最小，从而使总的误差降低。
设校正多项式为
a0+a1x+……+amxm=y
令φ=∑R=∑[Yi
i=0i=0nni-P(xi)]=∑[Yi-∑ajxij]2 2i=0j=0nm (1)
由于xi、yi为已知的实验值，故φ可以看作aj(j=0,1…,m)的函数，对于不同的多项是有不同的系数aj，也既有不同的φ值，φ=φ(a0,a1,…,am)，要使φ为极小值的系数，必须满足方程：
∂φ=0 (k=0,1,2,…,m) ∂ak
通过(1)、(2)变换可得: (2)
m∂φ=2(∑ajsj+k-dk) ∂akj=0
nn (3)
式(3)中：sj+k=∑X
i=0j+ki;dk=∑Xik i=0
由式(2),(3)可得方程组：
⎧s0a0+s1a1+s2a2+...smam=d0⎪sa+sa+sa+...sa=d⎪102132m+1m1 ⎨⎪...
⎪⎩sma0+sm+1a1+sm+2a2+...s2mam=dm
解出此线性方程组, 即可得P(X)的系数aj，由此求传感器的拟合曲线问题就变成求解线性方程组的问题, 这样采用计算机解决是较方便的。
七、 频域修正法
在传感器动态特性研究中, 大多是将其近似为线性系统, 利用线性方法进行研究. 这在传感器非线性特性不明显或分析精度要求不高时是可行的. 但是, 如果传感器的非线性作用比较明显或对其有较高分析精度的要求时, 用线性分析方法就会带来不容忽视的误差。由此产生了频域修正法。
1. 频域判定
依据线性系统的频率保持性. 对传感器的输出信号作频谱分析, 其功率谱的频率分布应在输入信号频率分布以内. 若发现输出信号中含有输入频率分布以外的明显频率分布, 则系统可能存在非线性. 当输出信号的频谱中含有不明显的输入频率以外的频率分布, 采用频谱分析方法较难进行判断. 但是, 可以利用多组输入输出信号求得传感器的频率响应函数, 若其幅频特性曲线在输入频谱以外存在明显峰值, 且此处相干系数大于0.85, 相位发生突变, 表明此峰值不是由噪声引起, 则可判定传感器中存在非线性。
2. 二次非线性的频域估计方法
在频域估计非参数形式的非线性动态模型归结为线性传递函数和非线性传递函数的辨识问题。一般来说, 在传感器动态非线性中, 二次非线性占主要成分。在二次传递函数的求解中, 通常限定输入信号为高斯白噪声。这样, 其输入各频率之间不存在相关关系, 所有非线性关系均由非线性谐波引起, 求解方便。
传感器二次非线性动态模型为
Y(f)=H1(f)X(f)+∑∑H2(f1,f2)X(f1)X(f2),f1+f2=f,f2≥f1(1) f1f2
其中：
H1(f)=Pyx(f)
xx(f),Pyx(f)=Y(f)*X(f),*
Pyxx(f1,f2)=Y(f)X*(f1)*X(f2),Pxx(f1)=X(f1)X*(f1),Pxx(f2)=X(f2)X*(f2)。式中Y(f)是输出信号Y(t)的傅里叶变换，X(f)式输入信号X(t)的傅里叶变换，H1(f)是一次传递函数，H2(f)是二次传递函数，P(f)是功率谱。
所以，非线性系统的真实响应为
Y(t)=F-1[Y(f)]
在高斯白噪声输入下，二次传递函数计算公式为
H2(f1,f2)=Pyxx(f1,f2)/[2Pxx(f1)Pxx(f2)]
3.
1)
2)
3)
4) 计算步骤： 根据多个输入信号分别求得系统的原始输出信号; 对信号进行非线性分离(或滤波) , 求得系统线性输出; 根据多组输入信号和对应的线性输出信号, 求得系统线性传递函数; 对线性传递函数和输入信号傅里叶变换的乘积, 进行反傅里叶变换, 求得输出信号
线性估计;
5) 利用多组系统输入信号及相应原始输出信号, 求出系统二次传递函数;
6) 求得输出信号的非线性估计.
总结：
对非线性误差处理，在花费很小的情况下可以大大提高传感器的精度。
对传感器的非线性误差要做仔细的分析，对不同的场合，不同的需求使用不同的方案进行处理，从而使整个系统达到最佳状态。