卓越联盟自主招生真题及答案
(2011-2013年)
目 录
2011年卓越联盟(同济大学等九校) 自主招生数学试题 ........................................... 2 2011年卓越联盟自主招生数学试题参考答案 .......................................................... 5 2012年卓越联盟自主招生数学试题 ........................................................................ 11 2012卓越联盟自主招生数学真题答案解析 ............................................................ 14 2013年卓越联盟自主招生数学试题 ........................................................................ 20 2013年卓越联盟自主招生数学试题参考答案 ........................................................ 22
2011年卓越联盟(同济大学等九校) 自主招生数学试题
数学试题
分值: 分 时量: 分钟
一、选择题, 1. 已知向量
为非零向量,
则
夹角为( )
A. B. C. D.
2. 已知则( )
A. 3. 在正方体则异面直线
B. C .
中,
D.为棱
是棱
上的点, 且
,
的中点,
与所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
4. 为虚数单位, 设复数满足 A.
B.
, 则的最大值为( )
D.
的重心
C.
轴上,
5. 已知抛物线的顶点在原点, 焦点在为抛物线的焦点, 若 A.. 6. 在三棱柱面
的距离为( )
B.
三个顶点都在抛物线上, 且
, 则抛物线方程为( )
D.
为
的中点, 则点
边所在的直线方程为
C.
中, 底面边长与侧棱长均不等于2, 且到平
A. B. C. D.
7. 若关于的方程有四个不同的实数解, 则的取值范围为( )
A. 8. 如图,
, 交
B.
内接于在
C., 过
中点, 若
D. 作平行于
的直线
, 则
交
于
, 交
于
点处的切线于的长为( )
A.
9. 数列
共有11项,
B.
且
C. D.
满足这种条件的不同数列的个数为( )
A. 100 B. 120 C. 140 D. 160
10. 设是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为
表示变换的复合, 先做
, 再做
的旋转, . 用
表示坐标平面关于
次
轴的
镜面反射. 用表示连续的变换, 则
是( )
A.
B.
C.
D.
二、解答题 11. 设数列(1)设(2)若 12. 在(1)求(2)若
中, 的取值范围;
, 问
为何值时,
最短? 是角
的平分线, 且
.
满足
, 证明:若
求, 则
.
是等比数列; 的值;
13. 已知椭圆的两个焦点为(1)求椭圆的方程; (2)过
作两条互相垂直的直线
, 与椭圆分别交于
及
, 求四边形
面积
, 且椭圆与直线
相切.
的最大值与最小值.
14. 一袋中有
个白球和
个黑球. 从中任取一球, 如果取出白球, 则把它放回袋中; 如果取出
次这样的操作后, 记袋中白球的个
黑球, 则该黑球不再放回, 另补一个白球放到袋中. 在重复数为(1)求(2)设
. ;
, 求
(3)证明: 15. 设(1)求
;
.
(2)设求常数, 使得
, 证明
.
取得最小值;
(3)记(2)中的最小值为
2011年卓越联盟自主招生数学试题参考答案
一. 选择题二. 解答题 11. 【解】(1)证:由
, 得
令则, 所以是以为首项, 以为公比的等比数列;
(2)由(1) 可知,
所以由累加法得即
也所以有时, 也适合该式;
所以
也所以
由于所以解得.
12. 【解】(1)过作直线, 交延长线于, 如图右.
所以,
也所以有在即
中, 有
, 即
所以, 即
所以.
(2)因为
在中, 有
记当
, 则时,
此时取最小值, 此时.
故当时, 取最小值.
13. 【解】设椭圆方程为, 因为它与直线只有一个公共点,
所以方程组所以又因为焦点为
只有一解, 整理得
得
, 所以
.
.
联立上式解得
所以椭圆方程为.
(2)若斜率不存在(或为0) 时, 则.
若斜率存在时, 设为
方程为
, 则. 设
为.
所以直线与椭圆交点坐标为
联立方程化简得.
则
所以
同理可得
所以
因为（当且仅当时取等号）
所以, 也所以
所以综上所述, 的面积的最小值为, 最大值为2.
14. 【解】(1)时, 袋中的白球的个数可能为个(即取出的是白球), 概率为; 也可能
为个(即取出的是黑球), 概率为, 故.
(2)首先, 种; 第
次袋中有
时, 第次取出来有个白球的可能性有两
个白球, 显然每次取出球后, 球的总数保持不变, 即个白球(故此
时黑球有第
个), 第次取出来的也是白球, 这种情况发生的概率为个白球, 第
个,
次袋中有次取出来的是黑球, 由于每次球的总数为
故此时黑球的个数为. 这种情况发生的概率为.
故(3)第
次白球的个数的数学期望分为两类:
第次白球个数的数学期望, 即. 由于白球和黑球的总个数为, 第次取出
来的是白球, 这种情况发生的概率是; 第次取出来的是黑球, 这种情况发生的概率
是, 此时白球的个数是
故
15.(1)(2)若若故
则
则
当
; 显然, 当
取最小.
取最小;
由(1)知
所以, 记
则令, 得
即时, 取最小值.
(3)将代入式右边,
等价于
由于时, 所以下面只须证明即可.
又令,
则, 注意到函数是单调递增的, 且
所以. 得证.
天津大学等九所高校“卓越联盟”自主招生 学业水平测试试卷分析
对于数理知识测试中数学部分，专家评论道：数学考题考察的是高中数学的基本
知识、基本概念和基本技能，但只是考察的侧重点与高考不同，试题重点考察了学生的空间想象能力，要求学生能将“数”与“形”相结合来分析和解决问题。该份试卷从工科院校的特点出发，考察了学生应用基础知识求解几何与分析方面的（最大值或最小值）优化问题, 能够延伸性地考察学生的数学能力。
对于数理知识测试中物理部分, 专家评论道:物理题目涉及了力学、热学、光学、电磁学、振动、近代物理知识, 体现了能力测试为主导, 特别是考核学生综合运用基础知识, 基本技能解决问题和分析问题的能力。选择题多数与高考题类型相似, 主要考核学生对物理基本概念、基本思想的理解掌握程度和基本原理的运用能力。计算题主要考察了电学、热学和力学知识的综合应用能力。
2012年卓越联盟自主招生数学试题
卓越人才培养合作高校2012年自主选拔学业能力测试
数 学
本卷共100分，考试用时90分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考点名称填写在答题卡上，并
在规定位置粘贴考试用条形码。
2．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上。答在试卷上的无
效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
2012卓越联盟自主招生数学真题答案解析
2013年卓越联盟自主招生数学试题
一、选择题：（本大题共4小题，每小题5分．每小题给出的4个结论中，只有一项是符合题目要求
（1）已知
（A ）
(C) 是定义在实数集上的偶函数，且在 (B) (D) 上递增，则
（2）已知函数的图象经过点，且的相邻两个零点的距离为，为得到的图象，可将图象上所有点
（A ）先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
(B) 先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
(C) 先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
(D) 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的
（3）如图，在
倍，纵坐标不变
五个区域中栽种3种植物，要求同
一区域中只种1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的栽种方法的总数为（ ）
（A ）21 (B)24 (C)30 ( D)48
(4)设函数
有若（A ）
(B)
，且在
上
在
上存在导数．
的取值范围为
(D)
，对任意的
，
，则实数
(C)
二、填空题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
（5）已知抛物线
近线方程为 ． （6）设点则
（7）设曲线入区域(8)如图，于
，且
是圆
的切线，
在
的内部，点
的焦点是双曲线的一个焦点，则双曲线的渐
，分别为边，的中点，且，
． 与
轴所围成的区域为
，向区域
内随机投一点，则该点落
内的概率为 ． 是切点，
，则
与
垂直，垂足是
，割线
交圆表示）．
（用
三、解答题（本大题共4小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （9）（本小题满分13分）在
中，三个内角已知
、
、
所对边分别为
．
、
、．
（1）求角的大小； （2）求的最大值．
（10）（本题满分13分）
设椭圆
两点．
的离心率为，斜率为的直线过点且与椭圆交于
（1）求椭圆方程； （2）若直线与（3）设有
为椭圆的下顶点，
．
、
轴相交于点分别为直线
，且、
，求的值；
恒
的斜率，证明对任意的
（11）（本题满分15分）设，（1）证明：；
（2）若，证明：
中，
．
，
．
（12）（本题满分15分）已知数列（1）若
对
都成立，求的取值范围；
（2）当
时，证明．
2013年卓越联盟自主招生数学试题参考答案
(1)A； （2）B ； （3）C ； （4）B ．
（5）； （6）2； （7）； （8）．
卓越联盟自主招生真题及答案
(2011-2013年)
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2011年卓越联盟(同济大学等九校) 自主招生数学试题 ........................................... 2 2011年卓越联盟自主招生数学试题参考答案 .......................................................... 5 2012年卓越联盟自主招生数学试题 ........................................................................ 11 2012卓越联盟自主招生数学真题答案解析 ............................................................ 14 2013年卓越联盟自主招生数学试题 ........................................................................ 20 2013年卓越联盟自主招生数学试题参考答案 ........................................................ 22
2011年卓越联盟(同济大学等九校) 自主招生数学试题
数学试题
分值: 分 时量: 分钟
一、选择题, 1. 已知向量
为非零向量,
则
夹角为( )
A. B. C. D.
2. 已知则( )
A. 3. 在正方体则异面直线
B. C .
中,
D.为棱
是棱
上的点, 且
,
的中点,
与所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
4. 为虚数单位, 设复数满足 A.
B.
, 则的最大值为( )
D.
的重心
C.
轴上,
5. 已知抛物线的顶点在原点, 焦点在为抛物线的焦点, 若 A.. 6. 在三棱柱面
的距离为( )
B.
三个顶点都在抛物线上, 且
, 则抛物线方程为( )
D.
为
的中点, 则点
边所在的直线方程为
C.
中, 底面边长与侧棱长均不等于2, 且到平
A. B. C. D.
7. 若关于的方程有四个不同的实数解, 则的取值范围为( )
A. 8. 如图,
, 交
B.
内接于在
C., 过
中点, 若
D. 作平行于
的直线
, 则
交
于
, 交
于
点处的切线于的长为( )
A.
9. 数列
共有11项,
B.
且
C. D.
满足这种条件的不同数列的个数为( )
A. 100 B. 120 C. 140 D. 160
10. 设是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为
表示变换的复合, 先做
, 再做
的旋转, . 用
表示坐标平面关于
次
轴的
镜面反射. 用表示连续的变换, 则
是( )
A.
B.
C.
D.
二、解答题 11. 设数列(1)设(2)若 12. 在(1)求(2)若
中, 的取值范围;
, 问
为何值时,
最短? 是角
的平分线, 且
.
满足
, 证明:若
求, 则
.
是等比数列; 的值;
13. 已知椭圆的两个焦点为(1)求椭圆的方程; (2)过
作两条互相垂直的直线
, 与椭圆分别交于
及
, 求四边形
面积
, 且椭圆与直线
相切.
的最大值与最小值.
14. 一袋中有
个白球和
个黑球. 从中任取一球, 如果取出白球, 则把它放回袋中; 如果取出
次这样的操作后, 记袋中白球的个
黑球, 则该黑球不再放回, 另补一个白球放到袋中. 在重复数为(1)求(2)设
. ;
, 求
(3)证明: 15. 设(1)求
;
.
(2)设求常数, 使得
, 证明
.
取得最小值;
(3)记(2)中的最小值为
2011年卓越联盟自主招生数学试题参考答案
一. 选择题二. 解答题 11. 【解】(1)证:由
, 得
令则, 所以是以为首项, 以为公比的等比数列;
(2)由(1) 可知,
所以由累加法得即
也所以有时, 也适合该式;
所以
也所以
由于所以解得.
12. 【解】(1)过作直线, 交延长线于, 如图右.
所以,
也所以有在即
中, 有
, 即
所以, 即
所以.
(2)因为
在中, 有
记当
, 则时,
此时取最小值, 此时.
故当时, 取最小值.
13. 【解】设椭圆方程为, 因为它与直线只有一个公共点,
所以方程组所以又因为焦点为
只有一解, 整理得
得
, 所以
.
.
联立上式解得
所以椭圆方程为.
(2)若斜率不存在(或为0) 时, 则.
若斜率存在时, 设为
方程为
, 则. 设
为.
所以直线与椭圆交点坐标为
联立方程化简得.
则
所以
同理可得
所以
因为（当且仅当时取等号）
所以, 也所以
所以综上所述, 的面积的最小值为, 最大值为2.
14. 【解】(1)时, 袋中的白球的个数可能为个(即取出的是白球), 概率为; 也可能
为个(即取出的是黑球), 概率为, 故.
(2)首先, 种; 第
次袋中有
时, 第次取出来有个白球的可能性有两
个白球, 显然每次取出球后, 球的总数保持不变, 即个白球(故此
时黑球有第
个), 第次取出来的也是白球, 这种情况发生的概率为个白球, 第
个,
次袋中有次取出来的是黑球, 由于每次球的总数为
故此时黑球的个数为. 这种情况发生的概率为.
故(3)第
次白球的个数的数学期望分为两类:
第次白球个数的数学期望, 即. 由于白球和黑球的总个数为, 第次取出
来的是白球, 这种情况发生的概率是; 第次取出来的是黑球, 这种情况发生的概率
是, 此时白球的个数是
故
15.(1)(2)若若故
则
则
当
; 显然, 当
取最小.
取最小;
由(1)知
所以, 记
则令, 得
即时, 取最小值.
(3)将代入式右边,
等价于
由于时, 所以下面只须证明即可.
又令,
则, 注意到函数是单调递增的, 且
所以. 得证.
天津大学等九所高校“卓越联盟”自主招生 学业水平测试试卷分析
对于数理知识测试中数学部分，专家评论道：数学考题考察的是高中数学的基本
知识、基本概念和基本技能，但只是考察的侧重点与高考不同，试题重点考察了学生的空间想象能力，要求学生能将“数”与“形”相结合来分析和解决问题。该份试卷从工科院校的特点出发，考察了学生应用基础知识求解几何与分析方面的（最大值或最小值）优化问题, 能够延伸性地考察学生的数学能力。
对于数理知识测试中物理部分, 专家评论道:物理题目涉及了力学、热学、光学、电磁学、振动、近代物理知识, 体现了能力测试为主导, 特别是考核学生综合运用基础知识, 基本技能解决问题和分析问题的能力。选择题多数与高考题类型相似, 主要考核学生对物理基本概念、基本思想的理解掌握程度和基本原理的运用能力。计算题主要考察了电学、热学和力学知识的综合应用能力。
2012年卓越联盟自主招生数学试题
卓越人才培养合作高校2012年自主选拔学业能力测试
数 学
本卷共100分，考试用时90分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考点名称填写在答题卡上，并
在规定位置粘贴考试用条形码。
2．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上。答在试卷上的无
效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
2012卓越联盟自主招生数学真题答案解析
2013年卓越联盟自主招生数学试题
一、选择题：（本大题共4小题，每小题5分．每小题给出的4个结论中，只有一项是符合题目要求
（1）已知
（A ）
(C) 是定义在实数集上的偶函数，且在 (B) (D) 上递增，则
（2）已知函数的图象经过点，且的相邻两个零点的距离为，为得到的图象，可将图象上所有点
（A ）先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
(B) 先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
(C) 先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
(D) 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的
（3）如图，在
倍，纵坐标不变
五个区域中栽种3种植物，要求同
一区域中只种1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的栽种方法的总数为（ ）
（A ）21 (B)24 (C)30 ( D)48
(4)设函数
有若（A ）
(B)
，且在
上
在
上存在导数．
的取值范围为
(D)
，对任意的
，
，则实数
(C)
二、填空题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
（5）已知抛物线
近线方程为 ． （6）设点则
（7）设曲线入区域(8)如图，于
，且
是圆
的切线，
在
的内部，点
的焦点是双曲线的一个焦点，则双曲线的渐
，分别为边，的中点，且，
． 与
轴所围成的区域为
，向区域
内随机投一点，则该点落
内的概率为 ． 是切点，
，则
与
垂直，垂足是
，割线
交圆表示）．
（用
三、解答题（本大题共4小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （9）（本小题满分13分）在
中，三个内角已知
、
、
所对边分别为
．
、
、．
（1）求角的大小； （2）求的最大值．
（10）（本题满分13分）
设椭圆
两点．
的离心率为，斜率为的直线过点且与椭圆交于
（1）求椭圆方程； （2）若直线与（3）设有
为椭圆的下顶点，
．
、
轴相交于点分别为直线
，且、
，求的值；
恒
的斜率，证明对任意的
（11）（本题满分15分）设，（1）证明：；
（2）若，证明：
中，
．
，
．
（12）（本题满分15分）已知数列（1）若
对
都成立，求的取值范围；
（2）当
时，证明．
2013年卓越联盟自主招生数学试题参考答案
(1)A； （2）B ； （3）C ； （4）B ．
（5）； （6）2； （7）； （8）．