绝对值不等式
绝对值不等式|a +b |≤|a |+|b |，|a -b |≤|a |+|b | 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y ≤5
即函数的最小值是-5，最大值是5
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x ≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x ≤-2时，取最小值-5，当x ≥3时，取最大值5
［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|x －2x －
2
6|
［思路］利用｜f(x)｜
f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)
解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1
11
解得x >或无解，所以原不等式的解集是{x |x >}
22
2
x x (2)原不等式等价于－3
即
22
⎧⎧x -2x -6>-3x x ⎧(x +3)(x -2) >0⎧x 2⎪⎪+x -6>0
⇒⎨2⇒⎨⇒⎨⎨2
⎪⎪⎩-1
2
所以原不等式的解集是{x |2
3x 1．解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x2-3x-4；（2）x 2-4≤
1
解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于： x-x 2-2>x2-3x-4
① ②
或x-x 2-2
解①得：1-2-3
故原不等式解集为｛x ｜x>-3｝ 分析二 ∵｜x-x 2-2｜＝｜x 2-x+2｜
71
而x 2-x+2＝(x-) 2+>0
44
所以｜x-x 2-2｜中的绝对值符号可直接去掉.
故原不等式等价于x 2-x+2>x2-3x-4 解得：x>-3
∴ 原不等式解集为｛x>-3｝
3x
（2）分析 不等式可转化为-1≤2≤1求解，但过程
x -4
3x
较繁，由于不等式x 2-4≤1两边均为正，所以可平方后求解.
3x 原不等式等价于2≤1
x -4
2
⇒9x 2≤(x2-4) 2 (x≠±2) ⇒x 4-17x 2+16≥0 ⇒x 2≤1
或x 2≥16 或x ≥4或x ≤-4
⇒-1≤x ≤1
注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正) ，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程.
第2变 含两个绝对值的不等式
［变题2］解不等式（1）|x －1|5.
［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜
f(x)｜〈｜g(x)｜⇒f 2(x)〈g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。 （2）题可采用零点分段法去绝对值求解。
［解题］（1）由于|x －1|≥0，|x +a |≥0，所以两边平方后有：
|x －1|
2
2
222
x 即有－2x +11－
a 2
1当2a +2>0即a >－1时，不等式的解为x >(1－a ) ；
2
当2a +2=0即a =－1时，不等式无解；
1
当2a +2
2
（2）解不等式｜x-2｜+｜x+3｜>5. 解：当
x ≤-3
时，原不等式化为
(2-x)-(x+3)>5⇒-2x>6⇒x
当-35⇒5>5无解. 当x ≥2时，原不等式为(x-2)+(x+3)>5⇒2x>4⇒x>2. 综合得：原不等式解集为｛x ｜x>2或x
［请你试试4—2］
1 解关于x 的不等式|log a (1-x ) |>|log a (1+x ) |(a >0且a ≠1)
解析：易知－1
lg(1-x ) lg(1+x ) ||>|| lg a lg a
∴|lg(1-x ) |
2
>|lg(1+x ) |
2
22
lg (1-x ) -lg (1+x ) >0 于是
∴
[lg(1-x ) +lg(1+x )][lg(1-x ) -lg(1+x )]>0
1-x
∴lg(1-x ) lg 1+x >0
2
∵－1
2x ∴0
∴lg (1－x )
2
1-x
∴lg
1+x
1-x ∴0
x
2．不等式|x+3|-|2x-1|
解：
1⎧
⎪4-x (x ≥2) ⎪
1⎪
⎨4x +2(-3
2 |x+3|-|2x-1|=⎪
⎪x -4(x ≤-3) ⎪⎩
x 1
∴当x ≥2时4-x 2
1x 2
-3
27
当x ≤-3时x -4
2
综上x 2
7
x
+1∴2
x ≤-3
2
故填(-∞, -) ⋃(2, +∞) 。
7
1
3．求不等式log 1x +log 33-x ≥1的解集.
3
解：因为对数必须有意义，即解不等式组
⎧x >0⎪⎨1，解得00⎪⎩3-x
又原不等式可化为(1)
当
log 3x +log 3(3-x )≥1
时
，
不
等
式
化
为即
0
-log 3x +log 3(3-x )≥1
log 3(3-x )≥log 33x
33∴ 3-x ≥3x ∴ x ≤ 综合前提得：0
4
(2)当1
∴
x -3x +3≤0 ∴x ∈∅。
x
2
(1) 当2
99x ≥(2) ∴x ≥3(3-x ) ∴，结合前提得：≤x
44
⎛3⎤⎡9⎫
综合得原不等式的解集为 0, 4⎥ ⎢4,3⎪
⎝⎦⎣⎭
第3变 解含参绝对值不等式 ［变题3］解关于x 的不等式
x 2-4mx +4m 2>m +3
［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。若化简成|x -2m |>m +3，则解题过程更简单。在解题过程中需根据绝对值定义对m +3的正负进行讨论。
［解题］原不等式等价于 当
|x -2m |>m +3
m >-3
时
，
m +3>0
即
x -2m >m +3或x -2m
∴x >3m +3或x
=-3时， |x +6|>0 ∴x ≠-6
［请你试试4—3］
当m +3
2a 2
1．解关于x 的不等式：x x -a ≤9(a >0)
分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思
想。本题的关键不是对参数a 进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。 解
：
当
⎧x ≥a ⎧x ≥a
x ≥a 时，不等式可转化为即⎨2⎨22
()9x x -a ≤2a 9x -9ax -2a ≤0⎩⎩
3+∴a ≤x ≤a
b
⎧x
当x
ax (a -x ) ≤2a 9x -9ax +2a ≥0⎩⎩
a 2a
∴x ≤或≤x
33a 故不等式的解集为(-∞,
3
⎡2a 3+⎤]⋃⎢, a ⎥
6⎣3⎦。
2．关于x 的不等式|kx －1|≤5的解集为{x |－3≤x ≤2}，求k 的值。
按绝对值定义直接去掉绝对值符号后，由于k 值的不确定，要以k 的不同取值分类处理。
解：原不等式可化为－4≤kx ≤6
当
k
46
>0时，进一步化为-k ≤x ≤k ，依题意有
⎧4
4-=-3⎧⎪k =⎪k ⎪
⇒3，此时无解。 ⎨⎨
⎪6=2⎪k =3⎩⎪⎩k
当k =0时，显然不满足题意。
⎧4
-=2⎪⎪k
64⇒k =-2⎨≤x ≤-当k
⎪⎩k
综上，k =－2。
第4变 含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题
［变题4］若不等式|x －4|+|3－x |
［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|a +b |≤|a |+|b |，便把问题简化。
［解题］解法一 (1)当a ≤0时，不等式的解集是空集。 (2)当
a >0时，先求不等式|x －4|+|3－x |
a 的取值范围。
令x －4=0得x =4，令3－x =0得① 当x ≥4时，原不等式化为7
⎧x ≥47+a
解不等式组⎨2x -71
2⎩
x =3
x －4+x －3
② 当3x +x －31
③ 当x ≤3时，原不等式化为4－x +3－x
⎧x ≤37-a 7-a
解不等式⎨7-2x
⎩
a >1
综合①②③可知，当
a >1时，原不等式有解，从而当
0
解法二由|x －4|+|3－x |的最小值为1得当a >1时，|x －4|+|3－x |
a ≤1时，原不等式解集为空集。
解法三： ∵a >|x －4|+|3－x |≥|x －4+3－x |=1
从而当
∴当a >1时，|x －4|+|3－x |
从而当a ≤1时，原不等式解集为空集。
［请你试试4—4］
1．对任意实数x ，若不等式|x +1|－|x －2|>求k 的取值范围。 思维点拨：要使|x +1|－|
k 恒成立，
x －2|>k 对任意实数x 恒成
立，只要|x +1|－|x －2|的最小值大于k 。因|
x +1|的几何
意义为数轴上点x 到－1的距离，|x －2|的几何意义为数轴上点x 到2的距离，|x +1|－|x －2|的几何意义为数轴上点x 到－1与2的距离的差，其最小值可求。
此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出图象，观察k 的取值范围。
解法一 根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P 、A 、B ，则原不等式即求|PA|－|PB|>k 成立
∵|AB|=3，即|x +1|－|x －2|≥－3 故当k
⎧-3, x ≤-1
⎪
y =⎨2x -1, -1
解法二 令y =|x +1|－|x －2|，则
⎪3, x ≥2⎩
要使|
x +1|－|x －2|>k 恒成立，从图象中可以看出，
只要k
故
k
2．对任意实数x ，不等式|x+1|+|x-2|>a恒成立，求实数a 的取值范围。
分析：经过分析转化，实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a 应比最小值小。
解： 由绝对值不等式：|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3，当且仅当(x+1)(x-2)≤0, 即
-1≤x ≤2时取等号。故a
说明：转化思想在解中有很重要的作用，比如：恒成立问题、定义域为R 等问题都可转化为求最大、最小值问题。（在这些问题里我们要给自己提问题，怎样把一般性的问题转化到某个特殊的值的问题，常问的问题是：要使……，只要……）
3．已知a>0,不等式|x-4|+|x-3|
分析（一） |x-4|+|x-3|≥|x-4—(x-3)|=1
当|x-4|+|x-3|1
（二）如图，实数x 、3、4在数轴上的对应点分别为P 、A 、B 则有：
y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB| |PA|+|PB|≥1 恒有y ≥1
数按题意只须a>1 A B P
x
（四）考虑|z-4|+|z-3|
（五） 可利用零点分段法讨论.
以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a>1.
变题：
1、若不等式|x-4|+|x-3|>a对于一切实数x 恒成立，求a 的取值范围
2、若不等式|x-4|-|x-3|
的取值范围
3、若不等式|x-4|-|x-3|>a在R 上恒成立，求a 的取值范围
第5变 绝对值三角不等式问题 ［
变
题
2
5］已知函数
f (x ) =ax +bx +c (a , b , c ∈R ) ，当x ∈[-1,1]
时|f (x ) |≤1，求证： (1)|b |≤1；
(2)若
g (x ) =bx +ax +c (a , b , c ∈R ) ，则当x ∈[-1,1]时，
2
求证：|g (x ) |≤2。
［思路］本题中所给条件并不足以确定参数a , b ，c 的值，但应该注意到：所要求的结论不是b 或g (x ) 的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用f (-1) 、f (0)、
f (1)来表示a , b , c 。因为由已知条件得|f (-1) |≤1，
|f (0)|≤1，|f (1)|≤1。
［
解
题
］
证
明
：
(1)
由
1
f (1)=a +b +c , f (-1)=a -b +c ⇒b =[f (1)-f (-1)]
2
，从而有
11
|b |=[f (1)-f (-1)]≤(|f (1)|+|f (-1) |), |f (1)|≤1,|f (-1) |≤1,
221
∴|b |≤(|f (1)|+|f (-1) |)≤1.
2
(2)
由
1
f (1)=a +b +c , f (-1)=a -b +c ⇒b =[f (1)-f (-1)],a
2
1a =[f (1)+f (-1)]-f (0) 从而
2
将以
2
上三式代入
g (x ) =bx +ax +c (a , b , c ∈R ) ，并整理得
2
11
|g (x ) |=|f (0)(x -1) +f (1)(x +1) +f (-1)(1-x ) |
22112
≤|f (0)(x -1) |+|f (1)(x +1) |+|f (-1)(1-x ) |
22112
=|f (0)|x -1|+|f (1)||x +1|+|f (-1) ||1-x |
22111122
≤|x -1|+|x +1|+|1-x |=1-x +(x +1) +(1-x ) =2-x
2222
≤2
［请你试试4—5］
1．已知函数f(x)=
+x
2
，a,b ∈R ，且a ≠b ，求证
|f(a)-f(b)|
22
|+a -+b |
是否能产生|a-b|。 证|f(a)-f(b)|=
明
：
|a +b |⋅|a -b |
|+a -+b |=
2
2
|a 2-b 2|
|a |+|b |
≤⋅|a -b |=|a -b | |a |+|b |
（其中
+a >a =|a |，同理+b 2>|b |,
22
∴
1
22|a |+|b |）
+a ++b
1
高中不等式习题精选精解
一、求取值范围
2、已知a >b >c ，且a +b +c =0，求c /a 的取值范围。 解：由已知条件，显然a >0, c
b >c , ∴a +2c 0, ∴c /a
a >b , ∴2a +c >a +b +c =0, c >-2a , a >0, ∴c /a >-2
综上所述c /a 的取值范围是(-2, -1/2)
3、正数x , y 满足x +2y =1，求1/x +1/y 的最小值。 解
：
1/x +1/y =1*(1/x +1/y ) =(x +2y )(1/x +1/y ) =1+x /y +2y /x +2
≥3+2(x /y )(2y /x ) =3+22（ x , y 为正数）
2
f (x ) =ax +bx (a ≠0) 满足1≤f (-1) ≤2，5、已知函数
2≤f (1)≤5，求f (-3) 的取值范围。
解：由习已知得：1≤a -b ≤2, 2≤a +b ≤5 设
：
⎧m +n =9⎧m =3
f (-3) =9a -3b =m (a +b ) +n (a -b ) ⇒⎨⇒⎨
⎩m -n =-3⎩n =6
∴f (-3) =6*f (-1) +3*f (1), ∴12≤f (-3) ≤27
所以f (-3) 的取值范围是12, 27
x x
x 4+a ⋅2+a +1=0有实数解，求实数8、若关于的方程
[]
a 的取值范围。
解一：设t =2，
2
x
x
>0, ∴t t 2+at +a +1=0在(0, +∞) 有一个根（如图所示）2
t 性质，得方程+at +a +1=0在(0, +∞)上
有实数解的充要条件为：
⎧∆=a 2-4(a +1) ≥0
⎪2
⎧∆=a -4(a +1) >0⎪a
或⎨⎨->0
⎩f (0) =a +1≤0⎪2
f (0) =a +1>0⎪⎩
注：两组不等式分别对应两个图
解得
-1
所以a 的取值范围是
(-∞, 2-22]
2
1+t
2a =-(t >0)
解二：由方程t +at +a +1=0得1+t
1+t 2
函数f (t ) =-1+t (t >0) 的值域就是a 的取值范
围。
1+t 2-(t 2-1) -22⎤2⎡⎡⎤a =-==-⎢(t -1) +=-⎢(t +1) +-2⎥⎥1+t 1+t t +1⎦t +1⎦⎣⎣≤-(22-2) =2-22
所以
二、解不等式 1、(x -2) 解：不等式
a 的取值范围是(-∞, 2-22]
x -2x -3≥0
2
⎧f (x ) ≥0
f (x ) ⋅g (x ) ≥0与⎨g (x ) >0或g (x ) =0
⎩
同解，也可以这样理解： 符号“
≥”是由符号“>”“=”合成的，故不等式
可转化为f (x ) ⋅g (x ) >0 或
f (x ) ⋅g (x ) ≥0
f (x ) ⋅g (x ) =0。
解得：原不等式的解集为
{x |x ≥3或x =-1}
x -3x +2
≤0
2、x 2-2x -3.
解
：
2
x 2-3x +2
≤02
x -2x -3
22⎧⎪(x -3x +2)(x -2x -3) ≤0⎨2
⇔ ⎪x -2x -3≠0⎩
⇔
⎧(x -1)(x -2)(x -3)(x +1) ≤0
⎨，用根轴法（零点分(x -3)(x +1) ≠0⎩+
段法）画图如下：
∴原不等式的解集为
{x |-1
3、
x +1-ax ≤1, (a >0)
x +1≤1+ax
2
2
解：原式等价于
2
x +1≥1, ∴1+ax ≥1，即ax ≥0 注：此
为关键
a >0, ∴x ≥0
∴
原不等式等价于不等式组
⎧x +1≤(1+ax ) ⎨
⎩x ≥0
22
解得：
⎧2a ⎫⎧
⎨x |0≤x ≤⎪当0
⎪当a ≥1时，原不等式解集为{x |x ≥0}⎩
4、
(x -2)(ax -2) >0
=0时，原不等式化为x -2
解：当a
2
当a
2
当0
a
2
(x -2)(x -) >0，得
a
2
x ；
a
当
a =1时，原不等式化为(x -2) >0
2
，得
x ≠2；
当
a
2
>1时，原不等式化为(x -2)(x -a ) >0，得
2
x 2
a
⎧ ⎪⎨
综合上面各式，得原不等式的解集为：⎪
⎩
5、关于
x
的不等式
ax -b >0的解集为(1, +∞)，求
ax +b
>0的解集。 x -2
解：由题意得：a
>0，且a =b
⎧(ax +b )(x -2) >0ax +b
则不等式x -2>0与不等式组⎨x -2≠0
⎩
同解 得所求解集为
x
x 6、已知a >0且a ≠1，关于的不等式a >1的解集
{x |x 2}
1
log (x -) 0a x {}是，解关于的不等式x
的解集。
解： 关于
∴
x
的不等式
a >1的解集是{x x >0}，
x
a >1，
1
x ->0⎧11-x
log a (x -)
x -
x
1+1
1-1+∴
原不等式的解集是(-1, 2 (1, 2。
三、证明题
2、设a +b
n -1
>0, n 为偶数, 证明
n -1
b a
+n ≥n a b
n
n
n -1
n -1n -1
11
+ a b
11(a -b )(a -b b a
+n --=n 证： a n
a b (ab ) b
a >0, b >0 ①当时
(ab ) >0, (a
n
n -1
)
. ,
n
-b )(a n -1-b n -1) ≥0 ,
n
∴
(a n -b n )(a n -1-b n -1) (ab ) n
n -1
≥
0 , 故
b a
+n n a b
②当
n -1
11
+≥a b ;
a , b 有一个负值时, 不妨设a >0, b
a +b >0, 即a >|b | .
∵n
为偶数时, ∴
(a n -b n
)(a n -1-b n -1)
≥0 , 且
(ab ) n >0
∴
n -1
(a -b )(a -b ) n (ab )
n -1
n n n -1n -1
≥
0 , 故
b a
+n n a b
≥
11
+ . a b
综合①②可知, 原不等式成立 注：必须要考虑到已知条件a +b
则不能直接得出(a
3
、求证：证
n
>0，分类讨论，否
-b )(a
n n -1
-b ) ≥0
n -1
+
≥
：设向量p =(a ,4), q =(4-a ,6) , 由 |p |+|q |≥|p +q |, 得
+=|p |+|q |≥|p +q |
=|(a ,4) +(4-a ,6) |=|(4,10)|==
注意：当
p
4) ，∥q 时，即a =-8，p =(-8，
=(-12, 6) ，p 、q 方向相同，取等号。
当利用公式||+||≥|-|证明时，会得
：
+
=|p |+|q |
≥|p -q |=|(a ,4) -(a -4,6) |=|(4,-2) |==的错误结论，因为这里取等号
∥q 时，方向相同，故取不到等号，
的条件是p ∥q ，且p 、方向相反，根据题设条件，p
计算的结果也使不等式范围缩小了。
1111
4、求证：1+22+32+ +n 2
1111
1111111111∴1+2+2+ +2
23n 1223n -1n n
∴原不等式成立，证毕。
11证二：当n =2时，原不等式为：1+22
假设当
n
取
k -1时，原不等式成立，即
11111+2+2+ +
23(k -1) k -1成立，则
111111k 2-k +11+2+2+ ++2
23(k -1) k k -1k (k -1) k 2
k (k -1) 1111=2--=2--
(k -1) k (k -1) k k (k -1) k k
k 时原不等式也成立。
综上，对于任意n （n ≥2）原不等式成立，证毕。 注意：此类证明方法称为数学归纳法 5、设
f (x )=x -x +13，实数a 满足x -a
2
f (x )-f (a )
证
：
|f (x ) -f (a ) |=|x 2-x +13-a 2+a -13|=|x 2-a 2-(x -a ) |
=|(x -a )(x +a -1) |
当
x -a >0x -a =0
x -a
，
|f (x ) -f (a ) |=|(x -a ) +2a -1|
②
当
，
|f (x ) -f (a ) |=|(x -a ) +2a -1|
③
当
，
|f (x ) -f (a ) |
综合①②③式情况，原不等式成立。证毕
注：②③式的最后一步省略了对a >0, a =0, a
同
号
⇔|a +b |=|a |+|b |≥||a |-|b ||=|a -b |;
a , b
异
号
⇔|a -b |=|a |+|b |≥||a |-|b ||=|a +b |
22
x >0, y >0, x ≠y , 且x +y =x +y +xy ，6、已知：求证：
4
1
3
2
x +y =(x +y ) -xy ，即证：由已知得：
xy =(x +y ) 2-(x +y ) ①
⎛x +y ⎫
⎪，代入式①得： x ≠y ，及基本不等式∴xy
⎝2⎭
2
⎛x +y ⎫2 ⎪=(x +y ) -(x +y ) ⎝2⎭
4
解得x +y
x >0, y >0, ∴xy >0，由式①得
2
(x +y ) -(x +y ) >0，∴x +y
综上得：1
2
7
、
已
知
a , b , c >0, abc =1
, 证明：
1111111
+3+3≥(++) 3
a (b +c ) b (c +a ) c (a +b ) 2a b c
1abc bc 11
=3=2=2⋅3
证： a (b +c ) a (b +c ) a (b +c ) a 11，
+b c
11⎛11⎫111⎛11⎫1
+ +⎪=2⋅+ +⎪≥, 3
a (b +c ) 4⎝b c ⎭a 1+14⎝b c ⎭a
b c
①，（ a , b , c >0）同理得：
11111
+(+) ≥ ②，3
b (c +a ) 4a c b
11111
+(+) ≥3
c (a +b ) 4a b c ③
①②③式两边相加，得
1111111111
+3+3+(++) ≥++3
a (b +c ) b (c +a ) c (a +b ) 2a b c a b c
⇒
1111111
+3+3≥(++) 3
a (b +c ) b (c +a ) c (a +b ) 2a b c
所以原不等式成立，证毕。
1111k ⎛⎫1⋅+k +⎪≥22
注：“4
”的来由：不等式a 1+1⎝b b c
a =b =c 1
且仅当时取等号，得k =4
。
c ⎭a 当
绝对值不等式
绝对值不等式|a +b |≤|a |+|b |，|a -b |≤|a |+|b | 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y ≤5
即函数的最小值是-5，最大值是5
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x ≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x ≤-2时，取最小值-5，当x ≥3时，取最大值5
［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|x －2x －
2
6|
［思路］利用｜f(x)｜
f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)
解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1
11
解得x >或无解，所以原不等式的解集是{x |x >}
22
2
x x (2)原不等式等价于－3
即
22
⎧⎧x -2x -6>-3x x ⎧(x +3)(x -2) >0⎧x 2⎪⎪+x -6>0
⇒⎨2⇒⎨⇒⎨⎨2
⎪⎪⎩-1
2
所以原不等式的解集是{x |2
3x 1．解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x2-3x-4；（2）x 2-4≤
1
解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于： x-x 2-2>x2-3x-4
① ②
或x-x 2-2
解①得：1-2-3
故原不等式解集为｛x ｜x>-3｝ 分析二 ∵｜x-x 2-2｜＝｜x 2-x+2｜
71
而x 2-x+2＝(x-) 2+>0
44
所以｜x-x 2-2｜中的绝对值符号可直接去掉.
故原不等式等价于x 2-x+2>x2-3x-4 解得：x>-3
∴ 原不等式解集为｛x>-3｝
3x
（2）分析 不等式可转化为-1≤2≤1求解，但过程
x -4
3x
较繁，由于不等式x 2-4≤1两边均为正，所以可平方后求解.
3x 原不等式等价于2≤1
x -4
2
⇒9x 2≤(x2-4) 2 (x≠±2) ⇒x 4-17x 2+16≥0 ⇒x 2≤1
或x 2≥16 或x ≥4或x ≤-4
⇒-1≤x ≤1
注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正) ，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程.
第2变 含两个绝对值的不等式
［变题2］解不等式（1）|x －1|5.
［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜
f(x)｜〈｜g(x)｜⇒f 2(x)〈g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。 （2）题可采用零点分段法去绝对值求解。
［解题］（1）由于|x －1|≥0，|x +a |≥0，所以两边平方后有：
|x －1|
2
2
222
x 即有－2x +11－
a 2
1当2a +2>0即a >－1时，不等式的解为x >(1－a ) ；
2
当2a +2=0即a =－1时，不等式无解；
1
当2a +2
2
（2）解不等式｜x-2｜+｜x+3｜>5. 解：当
x ≤-3
时，原不等式化为
(2-x)-(x+3)>5⇒-2x>6⇒x
当-35⇒5>5无解. 当x ≥2时，原不等式为(x-2)+(x+3)>5⇒2x>4⇒x>2. 综合得：原不等式解集为｛x ｜x>2或x
［请你试试4—2］
1 解关于x 的不等式|log a (1-x ) |>|log a (1+x ) |(a >0且a ≠1)
解析：易知－1
lg(1-x ) lg(1+x ) ||>|| lg a lg a
∴|lg(1-x ) |
2
>|lg(1+x ) |
2
22
lg (1-x ) -lg (1+x ) >0 于是
∴
[lg(1-x ) +lg(1+x )][lg(1-x ) -lg(1+x )]>0
1-x
∴lg(1-x ) lg 1+x >0
2
∵－1
2x ∴0
∴lg (1－x )
2
1-x
∴lg
1+x
1-x ∴0
x
2．不等式|x+3|-|2x-1|
解：
1⎧
⎪4-x (x ≥2) ⎪
1⎪
⎨4x +2(-3
2 |x+3|-|2x-1|=⎪
⎪x -4(x ≤-3) ⎪⎩
x 1
∴当x ≥2时4-x 2
1x 2
-3
27
当x ≤-3时x -4
2
综上x 2
7
x
+1∴2
x ≤-3
2
故填(-∞, -) ⋃(2, +∞) 。
7
1
3．求不等式log 1x +log 33-x ≥1的解集.
3
解：因为对数必须有意义，即解不等式组
⎧x >0⎪⎨1，解得00⎪⎩3-x
又原不等式可化为(1)
当
log 3x +log 3(3-x )≥1
时
，
不
等
式
化
为即
0
-log 3x +log 3(3-x )≥1
log 3(3-x )≥log 33x
33∴ 3-x ≥3x ∴ x ≤ 综合前提得：0
4
(2)当1
∴
x -3x +3≤0 ∴x ∈∅。
x
2
(1) 当2
99x ≥(2) ∴x ≥3(3-x ) ∴，结合前提得：≤x
44
⎛3⎤⎡9⎫
综合得原不等式的解集为 0, 4⎥ ⎢4,3⎪
⎝⎦⎣⎭
第3变 解含参绝对值不等式 ［变题3］解关于x 的不等式
x 2-4mx +4m 2>m +3
［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。若化简成|x -2m |>m +3，则解题过程更简单。在解题过程中需根据绝对值定义对m +3的正负进行讨论。
［解题］原不等式等价于 当
|x -2m |>m +3
m >-3
时
，
m +3>0
即
x -2m >m +3或x -2m
∴x >3m +3或x
=-3时， |x +6|>0 ∴x ≠-6
［请你试试4—3］
当m +3
2a 2
1．解关于x 的不等式：x x -a ≤9(a >0)
分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思
想。本题的关键不是对参数a 进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。 解
：
当
⎧x ≥a ⎧x ≥a
x ≥a 时，不等式可转化为即⎨2⎨22
()9x x -a ≤2a 9x -9ax -2a ≤0⎩⎩
3+∴a ≤x ≤a
b
⎧x
当x
ax (a -x ) ≤2a 9x -9ax +2a ≥0⎩⎩
a 2a
∴x ≤或≤x
33a 故不等式的解集为(-∞,
3
⎡2a 3+⎤]⋃⎢, a ⎥
6⎣3⎦。
2．关于x 的不等式|kx －1|≤5的解集为{x |－3≤x ≤2}，求k 的值。
按绝对值定义直接去掉绝对值符号后，由于k 值的不确定，要以k 的不同取值分类处理。
解：原不等式可化为－4≤kx ≤6
当
k
46
>0时，进一步化为-k ≤x ≤k ，依题意有
⎧4
4-=-3⎧⎪k =⎪k ⎪
⇒3，此时无解。 ⎨⎨
⎪6=2⎪k =3⎩⎪⎩k
当k =0时，显然不满足题意。
⎧4
-=2⎪⎪k
64⇒k =-2⎨≤x ≤-当k
⎪⎩k
综上，k =－2。
第4变 含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题
［变题4］若不等式|x －4|+|3－x |
［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|a +b |≤|a |+|b |，便把问题简化。
［解题］解法一 (1)当a ≤0时，不等式的解集是空集。 (2)当
a >0时，先求不等式|x －4|+|3－x |
a 的取值范围。
令x －4=0得x =4，令3－x =0得① 当x ≥4时，原不等式化为7
⎧x ≥47+a
解不等式组⎨2x -71
2⎩
x =3
x －4+x －3
② 当3x +x －31
③ 当x ≤3时，原不等式化为4－x +3－x
⎧x ≤37-a 7-a
解不等式⎨7-2x
⎩
a >1
综合①②③可知，当
a >1时，原不等式有解，从而当
0
解法二由|x －4|+|3－x |的最小值为1得当a >1时，|x －4|+|3－x |
a ≤1时，原不等式解集为空集。
解法三： ∵a >|x －4|+|3－x |≥|x －4+3－x |=1
从而当
∴当a >1时，|x －4|+|3－x |
从而当a ≤1时，原不等式解集为空集。
［请你试试4—4］
1．对任意实数x ，若不等式|x +1|－|x －2|>求k 的取值范围。 思维点拨：要使|x +1|－|
k 恒成立，
x －2|>k 对任意实数x 恒成
立，只要|x +1|－|x －2|的最小值大于k 。因|
x +1|的几何
意义为数轴上点x 到－1的距离，|x －2|的几何意义为数轴上点x 到2的距离，|x +1|－|x －2|的几何意义为数轴上点x 到－1与2的距离的差，其最小值可求。
此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出图象，观察k 的取值范围。
解法一 根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P 、A 、B ，则原不等式即求|PA|－|PB|>k 成立
∵|AB|=3，即|x +1|－|x －2|≥－3 故当k
⎧-3, x ≤-1
⎪
y =⎨2x -1, -1
解法二 令y =|x +1|－|x －2|，则
⎪3, x ≥2⎩
要使|
x +1|－|x －2|>k 恒成立，从图象中可以看出，
只要k
故
k
2．对任意实数x ，不等式|x+1|+|x-2|>a恒成立，求实数a 的取值范围。
分析：经过分析转化，实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a 应比最小值小。
解： 由绝对值不等式：|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3，当且仅当(x+1)(x-2)≤0, 即
-1≤x ≤2时取等号。故a
说明：转化思想在解中有很重要的作用，比如：恒成立问题、定义域为R 等问题都可转化为求最大、最小值问题。（在这些问题里我们要给自己提问题，怎样把一般性的问题转化到某个特殊的值的问题，常问的问题是：要使……，只要……）
3．已知a>0,不等式|x-4|+|x-3|
分析（一） |x-4|+|x-3|≥|x-4—(x-3)|=1
当|x-4|+|x-3|1
（二）如图，实数x 、3、4在数轴上的对应点分别为P 、A 、B 则有：
y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB| |PA|+|PB|≥1 恒有y ≥1
数按题意只须a>1 A B P
x
（四）考虑|z-4|+|z-3|
（五） 可利用零点分段法讨论.
以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a>1.
变题：
1、若不等式|x-4|+|x-3|>a对于一切实数x 恒成立，求a 的取值范围
2、若不等式|x-4|-|x-3|
的取值范围
3、若不等式|x-4|-|x-3|>a在R 上恒成立，求a 的取值范围
第5变 绝对值三角不等式问题 ［
变
题
2
5］已知函数
f (x ) =ax +bx +c (a , b , c ∈R ) ，当x ∈[-1,1]
时|f (x ) |≤1，求证： (1)|b |≤1；
(2)若
g (x ) =bx +ax +c (a , b , c ∈R ) ，则当x ∈[-1,1]时，
2
求证：|g (x ) |≤2。
［思路］本题中所给条件并不足以确定参数a , b ，c 的值，但应该注意到：所要求的结论不是b 或g (x ) 的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用f (-1) 、f (0)、
f (1)来表示a , b , c 。因为由已知条件得|f (-1) |≤1，
|f (0)|≤1，|f (1)|≤1。
［
解
题
］
证
明
：
(1)
由
1
f (1)=a +b +c , f (-1)=a -b +c ⇒b =[f (1)-f (-1)]
2
，从而有
11
|b |=[f (1)-f (-1)]≤(|f (1)|+|f (-1) |), |f (1)|≤1,|f (-1) |≤1,
221
∴|b |≤(|f (1)|+|f (-1) |)≤1.
2
(2)
由
1
f (1)=a +b +c , f (-1)=a -b +c ⇒b =[f (1)-f (-1)],a
2
1a =[f (1)+f (-1)]-f (0) 从而
2
将以
2
上三式代入
g (x ) =bx +ax +c (a , b , c ∈R ) ，并整理得
2
11
|g (x ) |=|f (0)(x -1) +f (1)(x +1) +f (-1)(1-x ) |
22112
≤|f (0)(x -1) |+|f (1)(x +1) |+|f (-1)(1-x ) |
22112
=|f (0)|x -1|+|f (1)||x +1|+|f (-1) ||1-x |
22111122
≤|x -1|+|x +1|+|1-x |=1-x +(x +1) +(1-x ) =2-x
2222
≤2
［请你试试4—5］
1．已知函数f(x)=
+x
2
，a,b ∈R ，且a ≠b ，求证
|f(a)-f(b)|
22
|+a -+b |
是否能产生|a-b|。 证|f(a)-f(b)|=
明
：
|a +b |⋅|a -b |
|+a -+b |=
2
2
|a 2-b 2|
|a |+|b |
≤⋅|a -b |=|a -b | |a |+|b |
（其中
+a >a =|a |，同理+b 2>|b |,
22
∴
1
22|a |+|b |）
+a ++b
1
高中不等式习题精选精解
一、求取值范围
2、已知a >b >c ，且a +b +c =0，求c /a 的取值范围。 解：由已知条件，显然a >0, c
b >c , ∴a +2c 0, ∴c /a
a >b , ∴2a +c >a +b +c =0, c >-2a , a >0, ∴c /a >-2
综上所述c /a 的取值范围是(-2, -1/2)
3、正数x , y 满足x +2y =1，求1/x +1/y 的最小值。 解
：
1/x +1/y =1*(1/x +1/y ) =(x +2y )(1/x +1/y ) =1+x /y +2y /x +2
≥3+2(x /y )(2y /x ) =3+22（ x , y 为正数）
2
f (x ) =ax +bx (a ≠0) 满足1≤f (-1) ≤2，5、已知函数
2≤f (1)≤5，求f (-3) 的取值范围。
解：由习已知得：1≤a -b ≤2, 2≤a +b ≤5 设
：
⎧m +n =9⎧m =3
f (-3) =9a -3b =m (a +b ) +n (a -b ) ⇒⎨⇒⎨
⎩m -n =-3⎩n =6
∴f (-3) =6*f (-1) +3*f (1), ∴12≤f (-3) ≤27
所以f (-3) 的取值范围是12, 27
x x
x 4+a ⋅2+a +1=0有实数解，求实数8、若关于的方程
[]
a 的取值范围。
解一：设t =2，
2
x
x
>0, ∴t t 2+at +a +1=0在(0, +∞) 有一个根（如图所示）2
t 性质，得方程+at +a +1=0在(0, +∞)上
有实数解的充要条件为：
⎧∆=a 2-4(a +1) ≥0
⎪2
⎧∆=a -4(a +1) >0⎪a
或⎨⎨->0
⎩f (0) =a +1≤0⎪2
f (0) =a +1>0⎪⎩
注：两组不等式分别对应两个图
解得
-1
所以a 的取值范围是
(-∞, 2-22]
2
1+t
2a =-(t >0)
解二：由方程t +at +a +1=0得1+t
1+t 2
函数f (t ) =-1+t (t >0) 的值域就是a 的取值范
围。
1+t 2-(t 2-1) -22⎤2⎡⎡⎤a =-==-⎢(t -1) +=-⎢(t +1) +-2⎥⎥1+t 1+t t +1⎦t +1⎦⎣⎣≤-(22-2) =2-22
所以
二、解不等式 1、(x -2) 解：不等式
a 的取值范围是(-∞, 2-22]
x -2x -3≥0
2
⎧f (x ) ≥0
f (x ) ⋅g (x ) ≥0与⎨g (x ) >0或g (x ) =0
⎩
同解，也可以这样理解： 符号“
≥”是由符号“>”“=”合成的，故不等式
可转化为f (x ) ⋅g (x ) >0 或
f (x ) ⋅g (x ) ≥0
f (x ) ⋅g (x ) =0。
解得：原不等式的解集为
{x |x ≥3或x =-1}
x -3x +2
≤0
2、x 2-2x -3.
解
：
2
x 2-3x +2
≤02
x -2x -3
22⎧⎪(x -3x +2)(x -2x -3) ≤0⎨2
⇔ ⎪x -2x -3≠0⎩
⇔
⎧(x -1)(x -2)(x -3)(x +1) ≤0
⎨，用根轴法（零点分(x -3)(x +1) ≠0⎩+
段法）画图如下：
∴原不等式的解集为
{x |-1
3、
x +1-ax ≤1, (a >0)
x +1≤1+ax
2
2
解：原式等价于
2
x +1≥1, ∴1+ax ≥1，即ax ≥0 注：此
为关键
a >0, ∴x ≥0
∴
原不等式等价于不等式组
⎧x +1≤(1+ax ) ⎨
⎩x ≥0
22
解得：
⎧2a ⎫⎧
⎨x |0≤x ≤⎪当0
⎪当a ≥1时，原不等式解集为{x |x ≥0}⎩
4、
(x -2)(ax -2) >0
=0时，原不等式化为x -2
解：当a
2
当a
2
当0
a
2
(x -2)(x -) >0，得
a
2
x ；
a
当
a =1时，原不等式化为(x -2) >0
2
，得
x ≠2；
当
a
2
>1时，原不等式化为(x -2)(x -a ) >0，得
2
x 2
a
⎧ ⎪⎨
综合上面各式，得原不等式的解集为：⎪
⎩
5、关于
x
的不等式
ax -b >0的解集为(1, +∞)，求
ax +b
>0的解集。 x -2
解：由题意得：a
>0，且a =b
⎧(ax +b )(x -2) >0ax +b
则不等式x -2>0与不等式组⎨x -2≠0
⎩
同解 得所求解集为
x
x 6、已知a >0且a ≠1，关于的不等式a >1的解集
{x |x 2}
1
log (x -) 0a x {}是，解关于的不等式x
的解集。
解： 关于
∴
x
的不等式
a >1的解集是{x x >0}，
x
a >1，
1
x ->0⎧11-x
log a (x -)
x -
x
1+1
1-1+∴
原不等式的解集是(-1, 2 (1, 2。
三、证明题
2、设a +b
n -1
>0, n 为偶数, 证明
n -1
b a
+n ≥n a b
n
n
n -1
n -1n -1
11
+ a b
11(a -b )(a -b b a
+n --=n 证： a n
a b (ab ) b
a >0, b >0 ①当时
(ab ) >0, (a
n
n -1
)
. ,
n
-b )(a n -1-b n -1) ≥0 ,
n
∴
(a n -b n )(a n -1-b n -1) (ab ) n
n -1
≥
0 , 故
b a
+n n a b
②当
n -1
11
+≥a b ;
a , b 有一个负值时, 不妨设a >0, b
a +b >0, 即a >|b | .
∵n
为偶数时, ∴
(a n -b n
)(a n -1-b n -1)
≥0 , 且
(ab ) n >0
∴
n -1
(a -b )(a -b ) n (ab )
n -1
n n n -1n -1
≥
0 , 故
b a
+n n a b
≥
11
+ . a b
综合①②可知, 原不等式成立 注：必须要考虑到已知条件a +b
则不能直接得出(a
3
、求证：证
n
>0，分类讨论，否
-b )(a
n n -1
-b ) ≥0
n -1
+
≥
：设向量p =(a ,4), q =(4-a ,6) , 由 |p |+|q |≥|p +q |, 得
+=|p |+|q |≥|p +q |
=|(a ,4) +(4-a ,6) |=|(4,10)|==
注意：当
p
4) ，∥q 时，即a =-8，p =(-8，
=(-12, 6) ，p 、q 方向相同，取等号。
当利用公式||+||≥|-|证明时，会得
：
+
=|p |+|q |
≥|p -q |=|(a ,4) -(a -4,6) |=|(4,-2) |==的错误结论，因为这里取等号
∥q 时，方向相同，故取不到等号，
的条件是p ∥q ，且p 、方向相反，根据题设条件，p
计算的结果也使不等式范围缩小了。
1111
4、求证：1+22+32+ +n 2
1111
1111111111∴1+2+2+ +2
23n 1223n -1n n
∴原不等式成立，证毕。
11证二：当n =2时，原不等式为：1+22
假设当
n
取
k -1时，原不等式成立，即
11111+2+2+ +
23(k -1) k -1成立，则
111111k 2-k +11+2+2+ ++2
23(k -1) k k -1k (k -1) k 2
k (k -1) 1111=2--=2--
(k -1) k (k -1) k k (k -1) k k
k 时原不等式也成立。
综上，对于任意n （n ≥2）原不等式成立，证毕。 注意：此类证明方法称为数学归纳法 5、设
f (x )=x -x +13，实数a 满足x -a
2
f (x )-f (a )
证
：
|f (x ) -f (a ) |=|x 2-x +13-a 2+a -13|=|x 2-a 2-(x -a ) |
=|(x -a )(x +a -1) |
当
x -a >0x -a =0
x -a
，
|f (x ) -f (a ) |=|(x -a ) +2a -1|
②
当
，
|f (x ) -f (a ) |=|(x -a ) +2a -1|
③
当
，
|f (x ) -f (a ) |
综合①②③式情况，原不等式成立。证毕
注：②③式的最后一步省略了对a >0, a =0, a
同
号
⇔|a +b |=|a |+|b |≥||a |-|b ||=|a -b |;
a , b
异
号
⇔|a -b |=|a |+|b |≥||a |-|b ||=|a +b |
22
x >0, y >0, x ≠y , 且x +y =x +y +xy ，6、已知：求证：
4
1
3
2
x +y =(x +y ) -xy ，即证：由已知得：
xy =(x +y ) 2-(x +y ) ①
⎛x +y ⎫
⎪，代入式①得： x ≠y ，及基本不等式∴xy
⎝2⎭
2
⎛x +y ⎫2 ⎪=(x +y ) -(x +y ) ⎝2⎭
4
解得x +y
x >0, y >0, ∴xy >0，由式①得
2
(x +y ) -(x +y ) >0，∴x +y
综上得：1
2
7
、
已
知
a , b , c >0, abc =1
, 证明：
1111111
+3+3≥(++) 3
a (b +c ) b (c +a ) c (a +b ) 2a b c
1abc bc 11
=3=2=2⋅3
证： a (b +c ) a (b +c ) a (b +c ) a 11，
+b c
11⎛11⎫111⎛11⎫1
+ +⎪=2⋅+ +⎪≥, 3
a (b +c ) 4⎝b c ⎭a 1+14⎝b c ⎭a
b c
①，（ a , b , c >0）同理得：
11111
+(+) ≥ ②，3
b (c +a ) 4a c b
11111
+(+) ≥3
c (a +b ) 4a b c ③
①②③式两边相加，得
1111111111
+3+3+(++) ≥++3
a (b +c ) b (c +a ) c (a +b ) 2a b c a b c
⇒
1111111
+3+3≥(++) 3
a (b +c ) b (c +a ) c (a +b ) 2a b c
所以原不等式成立，证毕。
1111k ⎛⎫1⋅+k +⎪≥22
注：“4
”的来由：不等式a 1+1⎝b b c
a =b =c 1
且仅当时取等号，得k =4
。
c ⎭a 当