过程装备力学基础复习题
第一章 弹性力学的内容和基本概念
1.
2.弹性力学除了研究杆件外，在研究这些问题时，并不采用变形或应力分布之类的假设，-力学问题求解。
3.弹性力学基本方程（空间问题） ①平衡微分方程 3个
∂σx∂x+∂τyx∂τzx
∂y+∂z+X=0 ∂τxy∂x
+∂σyτzy∂y
+∂∂z
+Y=0
∂τxz∂τyz∂σ∂x+∂y+z
∂z+Z=0 ②几何方程 6个
ξ∂ux=∂x,γ∂v∂u
xy=∂x+∂y ξ∂v∂w∂vy=∂y,γyz=∂y+∂z ξ∂w∂u∂z=
∂z,γ=∂z+wzx∂x
③物理方程 6个
ξ1
x=
E⎡⎣σx-μ(σy+σz)⎤⎦ ξ=1yE⎡⎣
σy-μ(σx+σz)⎤⎦ ξ1z=E
⎡⎣σz-μ(σx+σy)⎤⎦ γ1
xy=Gτxy
γ1
yz=Gτyz
γ1zx=G
τzx
这15个基本方程式中包含15个未知数：6个应力分量σx、σy、变分量ξx、ξy、ξz、γxy、γyz、γzx；3个位移分量μ、ν、ω。
z、τxy、τyz、τzx；6个应σ
4.
（1）当弹性体的一个方向尺寸很小，例如薄板，在板的边缘有平行于板面并沿板厚均匀分布的力作用。
六个应力分量只剩下平行于xOy面的三个应力分量，即σx、σy、τxy，而且它们只是坐标x，y的函数，与z无关。这类问题称作平面应力问题。
（2）当弹性体的一个方向尺寸很大，例如很长的柱形体。在柱形体的表面上，有平行于横截面而不沿长度变化的外力。
六个应力分量只剩下四个，即σx、σy、σz、τxy，这类问题称作平面应变问题。
5.在平面问题中，如果它的几何形状、约束情况以及所承受的外载都对称于某一轴z，则所有的应力分量、应变分量和位移分量也必然对称于z轴，也就是这些分量仅是径向坐标r的函数，而与θ
6.若受力的弹性体具有小孔，则孔边的应力远大于无孔时的应力，也远大于距孔稍远处的应力，这种现象称作孔边应力集中。
7.孔边应力增大的倍数与孔的形状有关，在各种形状的开孔中，圆孔孔边的应力集中程度最低。 8.壳体开孔时孔边的最大周向应力与壳体无孔时的最大应力相比，应力增大，增大的倍数称做应力集中系数。工程常用应力集中系数来表示孔边应力集中的程度。
9.（1）中心有小孔的矩形薄板，只有左右两边受有均布拉力q,在孔边最大拉应力为所施加外载荷的3倍。
（2）中心有小孔的矩形薄板，两对边受有不同数值的均布拉力，q1沿x轴方向，q2沿y轴方向，在孔边最大拉应力为所施加外载荷的2倍。
当θ=0，σθ=-q1+3q2 当θ=
π
2
，σθ=3q1-q2
当q1>q2，最大周向应力发生在θ=
π
2
处。
当q1
（3）受均匀内压的圆筒上开小孔，孔边的最大周向应力发生在θ=0的截面上，其值为
σθ=3q2-q1=3σ1-σ2=3σ1-0.5σ1=2.5σ1
10.沿径向承受均布压力的环板 环板的应力、应变和位移分量为
22
Ri2pi-RopoRi2Ro(po-pi)
σr=+22222
Ro-Rir(Ro-Ri)
22
Ri2pi-RopoRi2Ro(po-pi)
σθ=-22222
Ro-Rir(Ro-Ri)
第二章 厚壁圆筒的弹塑性应力分析
1.（理解）拉美方程
22
Ri2pi-RopoRi2Ro(pi-po)
σr=-22
Ro-Ri2r2(Ro-Ri2)22Ri2pi-RopoRi2Ro(pi-po)σθ=+22
Ro-Ri2r2(Ro-Ri2)
由此式可以看出，σr和σθ与材料的物理性能无关，与E、μ无关，与R、P、r有关。 2.（简答）厚壁圆筒多数场合只受内压作用，分析表2-1仅受内压时筒壁的应力表达式及图2-4所示应力分布，可以得出下列结论。
（1）在厚壁圆筒中，筒体处于三向应力状态，其中环（周）向应力σθ为拉应力，径向应力σr
为压应力，且沿壁厚非均匀分布；而轴向应力σz介于σθ和σr之间，即σz=匀分布。
（2）在筒体内壁面处，环（周）向应力σθ、径向应力σr的绝对值比外壁面处为大，其中环（周）向应力σθ具有最大值，且恒大于内压力pi，其危险点将首先在内壁面上产生。
（3）环（周）向应力σθ沿壁厚分布随径比K值的增加趋向更不均匀，不均匀度为内、外壁周向应力之比，即
σθ+σr
2
，且沿壁厚均
(σθ)r=Ri(σθ)r=Ro
K2+1
。显然，不均匀度随K2成比例，可见K值愈大，应力分布愈不均=2
匀。当内壁材料开始屈服时，外壁材料远小于屈服限，因此筒体材料的强度不能得到充分的利用。由此可知，用增加筒体壁厚（即增加K值）的方法来降低厚壁圆筒的内壁应力，只在一定范围内有效，而内压力接近或超过材料的许用应力时，增加厚度是完全无效的。
（a）仅受内压pi
为了提高筒壁材料的利用率，有效的办法是改变应力沿壁厚分布的不均匀性，使其趋于均化。
3.温差应力是怎么形成的？
厚壁圆筒的厚壁可能从内表面或外表面被加热，由于筒壁较厚，并有一定的热阻，在筒体的内、外壁之间存在温度差，温度较高部分因受热而引起膨胀变形，同时受到温度较低部分的约束，从而使前者受压缩，而后者受拉伸，出现了温差应力或称热应力。
4. （简答）温差应沿筒壁厚度的分布如图2-6所示
图2-6厚壁圆筒温差应力沿壁厚分布
内压+内热
结论：①内加热情况下内壁压力叠加后得到改善，但外壁有所恶化。
②外加热则相反。 由图2-6可见
（1）厚壁圆筒中，温差应力与温度差∆t成正比，而与温度本身的绝对值无关，因此在圆筒内壁或外壁进行保温以减小内、外壁的温度差，可以降低厚壁圆筒的温差应力。
（2）温差应力的分布规律为三向应力沿壁厚均为非均匀分布，其中，轴向应力是环（周）向
tt
应力与径向应力之和，即σz=σθ+σrt ；在内、外壁面处，径向应力为零，轴向应力和环（周）向
应力分别相等，且最大应力发生在内壁面处。
（3）温差应力是由于各部分变形相互约束而产生的，因此应力达到屈服极限而屈服时，温差应力不但不会继续增加，而且在很大程度上会得到缓和，这就是温差应力的自限性，它属于二次应力。
5.寸，加热使它们彼此套合在一起，冷却后各层圆筒将产生预压力，从而在各层套筒上产生预应力，6.（理解）其压力超过内壁发生屈服的压力（初始屈服压力）于弹性状态，形成外层弹性区。
7.这种利用筒体自身外层材料的弹性收缩力来产生预应力，以提高筒体的弹性承载能力的方法称为自增强。
8.承受均匀内压时厚壁圆筒，由外加热引起的温差应力，会使筒体内壁的应力水平提高。（ √ ） 9.承受均匀内压的厚壁圆筒形高压容器如果是内加热，则温差应会使内壁的应力水平升高。（ × ）
10.承受均匀内压的高压厚壁圆筒，在内加热情况下，内壁可以不考虑温差应力的影响。（ √ ）
第三章 薄板理论
1.研究平板时，当小的平板，其定义范围一般为0.01
2.薄板理论主要研究薄板在横向载荷作用下的应力、应变和位移问题。在横向载荷作用下，平3.如果挠度w远小于板厚S，可以认为弹性曲面内任意线段长度无变化，弹性曲面内薄膜力远小于弯曲力，故忽略不计，这类弯曲问题可用薄板小挠度理论求解。
4.中性面假设：板弯曲时，中面保持中性，即板中面内各点只有垂直位移w，无平行于中面的位移。
直线法假设：弯曲变形前垂直于薄板中面的直线段，变形后仍为直线，且长度不变，仍垂直于弹性曲面。
zz5.周边固支实心圆板（焊接连接） 边界条件为 r=R，ϕ=0 r=R，ω=0 最大挠度发生在板中心r=0处
ωmax=(ω)r=0
qR4
= 64D
最大弯矩为板边缘处的径向弯矩，相应的最大应力为板边缘上、下表面处的径向应力，即
Mmax=(Mr)r=R
r=Rz=
s2
qR2=-
8
σmax=(σr)
6.周边简支实心圆板（法兰连接）
3qR2
=±2
4S
边界条件为 r=R，ω=0 r=R，Mr=0 最大挠度仍发生在板中心r=0处
ωmax=(ω)r=0
5+μqR4
=
1+μ64D
最大弯矩及相应的最大应力发生在板中心处，即
Mmax=(Mr)r=0=(Mθ)r=0
r=0z=
s2
r=0z=
s2
qR2=(3+μ) 16
σmax=(σr)=(σθ)
3qR2= (3+μ) 2
8S
7.（简答）受轴对称均布载荷的圆平板有如下的应力和变形特点：
（1）板内为二向应力状态，且沿板厚呈线性分布，均为弯曲应力；应力沿半径方向的分布与周边支承方式有关；板内最大弯曲应力σmax与(R/S)2成正比。
（2）两种支撑板，最大挠度均在板中心处，若取μ=0.3，周边简支板的最大挠度约为固支板的4倍。
（3）周边固支圆平板的最大应力为板边缘表面处的径向弯曲应力；周边简支圆平板的最大应力为板中心表面处的两向弯曲应力。若取μ=0.3，周边简支板的最大弯曲应力约为固支板的1.65倍。
由此可见，周边固支板无论从强度还是从刚度，均比周边简支板为好。
8.（简答）试比较受横向均布载荷作用的圆板，在周边固支和周边简支情况下最大弯曲应力和最大挠度的大小与位置。
（1）在周边固支情况下
最大弯曲应力为板边缘上、下表面处的径向应力，即σmax=(σr)
qR4= 64D
r=Rz=
s2
3qR2
=±
4S2
最大挠度发生在板中心r=0处，ωmax=(ω)r=0（2）在周边简支情况下
最大弯曲应力发生在板中心处，即σmax=(σr)
r=0z=
s2
=(σθ)
r=0z=
s2
3qR2= (3+μ) 2
8S
最大挠度仍发生在板中心r=0处，ωmax=(ω)r=0
5+μqR4
=
1+μ64D
9.（简答）提高受横向均布载荷作用的圆板承载能力的有效措施有哪些？
（1）通常最大挠度和最大应力与圆板的材料、半径、厚度有关，因此，若构成板材料和载荷已确定，则减小半径和增大厚度，都可以减小挠度和降低最大正应力。
（2）当圆板的几何尺寸和载荷一定时，则选用E、μ较大的材料，可减小最大挠度，然而在
工程实际中由于E、 的变化范围较小，故采用此法，不能获得需要挠度和应力状态。
（3）较多的采用改变其周边支撑结构，更接近于固支结构。
（4）增加圆板厚度或用正交格栅法，圆环肋加圆平板等方法来提高圆平板的刚度和强度。 10.（简答）哪一种情况，平面封盖应力水平更高，为什么？
由受对称均布载荷的圆平板的应力和变形特点来看，周边固支无论从强度还是从刚度，均比周边简支好，所以固支平面封头比较好。
11.（简答）承受均匀内压压力容器封头，比较平底端部焊接与法兰连接，那一种中心处变形更大。
法兰连接中心处的变形更大，因为焊接圆平板的最大应力为板边缘表面处的径向弯曲应力，而法兰连接最大应力为板中心表面处的两向弯曲应力。
12.（简答）当其他条件相同时，平盖封头的承载能力远小于凸形风头的承载能力，为什么？提高平盖封头的承载能力途径是什么？
壳体和平板相比，在同样的横向载荷作用下弯曲时，平板以弯矩为主，而壳体以面力为主，因此平盖封头的承载能力远小于凸形封头的承载能力。平盖封头以采用固支、焊接以提高承载能力。
13.在相同材料和相同径后比情况下，圆薄板的承载能力要小于旋转薄壳的承载能力。（√）
第四章 旋转薄壳理论
1.中面上任一点B处经线的曲率半径为该点的“第一曲率半径” r1，即r1=BK1。通过经线上一点B的发现作垂直于经线的平面与中面相割形成的曲线BE，此曲线在B点处的曲率半径称为该店的第二曲率半径 r2 。第二曲率半径的中心K2落在回转轴上，其长度等于法线段BK2，即
r2=BK2。
圆柱：r1=∞ 球：r1=
R1 r2=R r2=R r2=2.对求解承受轴对称载荷的旋转薄壳一般有两种理论。
（1）无力矩理论，也称薄膜理论：它假设与直径相比很小，薄壳像薄膜一样只能承受拉应力和压应力，完全不能承受弯矩和弯曲应力。即在薄壳的内力素中忽略弯矩，这种按无力矩理论所得到的应力称为薄膜应力。
（2）有力矩理论，也称弯曲理论：认为壳体虽然很薄，但仍有一定的厚度，有一定的刚度，因而壳体中除拉应力和压应力外，还存在弯矩和弯曲应力。
3.（简答）无力矩理论的基本方程 2个 微元平衡方程：
r
cosα
Nϕr1
+
Nθ
=Pz r2
Nϕ：垂直于旋转法截面沿θ方向单位长度上的径向力，拉为正，压为负。 Nθ：垂直于经线平面沿ϕ方向单位长度上的周向力，拉为正，压为负。 r1：第一曲率半径。 r2：第二曲率半径。
Pz：沿法线方向单位面积上的轴对称分布外力。
区域平衡方程：2πNϕsinϕ=-2π⎰rr1(pϕsinϕ-pzcosϕ)dϕ+2πC
等式左边为作用在相当于ϕ角的纬线圆上的全部沿旋转轴方向的内力合力。
等式右边第一项为作用在壳体ϕ角以上的全部外载荷沿旋转轴方向的分量；第二项是集中载荷沿旋转轴方向的分量。
4.无力矩理论的适用范围除满足轴对称薄壁条件外，还需满足：
（1）壳体的厚度无突变，曲率半径是连续变化的。
（2）壳体上不能有集中载荷或突变的分布载荷。
（3）壳体边界不受法向力和力矩的作用。
（4）壳体边界上的法向位移和转角不受限制。
5.（简答）以筒体与平板封头连接为例，若平板盖具有足够的刚度，在受内压作用时沿径向变形很小，而壳壁较薄，变形量较大，两者连接在一起，在连接处附近筒体的变形收到平板盖地约束，因此就会产生附加的弯曲变形。由于这种局部弯曲变形，筒壁内必然存在弯矩。因为薄壁容器抗弯能力弱，因而在某些局部地区将产生较大的弯曲应力，这种应力有时要比较由于内压而产生的薄膜应力大得多。由于这种现象只发生在连接边缘，因此称为边缘效应或边缘问题。旋转薄壳的边缘问题主要是分析连接边缘区的应力和变形。
6.平板封头与圆筒壳连接时的应力集中系数低得多，这说明边缘效应主要决定于连接边缘的性质。不同的连接边缘，最大应力相差很大，因此合理设计连接边缘的结构，将有利于降低连接边缘的最大应力。
7.边缘应力的特点与设计中的处理
（1）边缘应力具有两个特点
①局限性
不同性质的连接边缘产生不同的边缘应力，但它们都有一个明显的衰减波特性，在离连接边缘
不远的地方就衰减完了。对于钢制圆筒，边缘应力的作用范围为x=。
②自限性
从根本上说，发生边缘弯曲的原因是由于薄膜变形不连续，以及由此产生的对弹性变形的互相约束作用引起的。一旦材料发生了局部的塑性变形，这种弹性约束便开始缓解，边缘应力也就自动限制，这就是边缘应力的自限性。
（2）工程设计中的处理
①改变连接边缘的结构 ②边缘区局部加强（加热片）③保证边缘焊缝质量
④降低边缘区的残余应力 ⑤壁面在边缘区开孔
8.碟形壳由两部分构成：以R为半径的球面，以r0为半径的折边区。
9.受气体压力作用的壳体
（1）球形壳体
球壳的r1=r2=R，代入式得：σϕ=σθ=
（2）圆筒形壳体
圆筒壳的第一曲率半径r1=∞，第二曲率半径r2=R代入式得： pR 2S
σϕ=PRPR σθ= 2SS
圆筒壳的周向应力是经向应力的两倍，在直径与内压相同的情况下，球壳内的应力仅是圆筒形壳体环向应力的一半，即球形壳体的壁厚仅需圆筒容器壁厚的一半。当容器容积相同时，球表面积最小，故大型贮罐制成球形较为经济。
（3）圆锥形壳体
r1=∞， r2=r代入式得： cosα
prprσϕ= σθ= 2ScosαScosα
圆锥形壳体的环向应力是经向应力的两倍。
10受液体压力作用
R2Hρg
NϕρgHR σϕ===SRS2
NρghRσθ=θ= SS
无论经向应力或周向应力在支座处都发生突变。薄膜应力发生突变，变形也必然突变，但实际上变形总是连续而互相协调的，因此在支座附近采用忽略内力矩的无力矩理论是不相宜的。
11.椭圆形壳体
当椭圆壳的m=a=2,3时，椭圆壳的应力分布见图4-13.由图4-13可见，在椭圆壳的顶b
点外拉应力最大，且径向应力与周向应力相等。当m增大时，两向应力随着ϕ的增大而逐渐减小，其中径向应力始终为拉应力。当
m≤周向应力不出现压应力，当
周向应力在赤道处，并当
m的增大赤道处压应力迅速增大。
12.封头的结构特性与受力特点
（1）平板封头与凸形封头承载能力之比较
平板封头：周边简支、周边固支 σmax∝(R/S)2
凸形封头：球形封头、椭圆形封头、碟形封头、锥形封头 σmax∝(R/S)
结论：当其它条件相同时，平板封头的承载能力远小于凸形封头的承载能力。若使其承载能力相同，平板封头厚度大于凸形封头。
（2）各种封头结构与受力之比较
①半球形封头 组成：半个球壳
按无力矩理论计算，需要的厚度是同样直径圆筒的1/2，若取厚度与圆筒一样大小，两者连接处的最大应力比圆筒周向薄膜应力大3.1%。故从受力看，球形封头是最理想的结构形式，但缺点是深度大，直径小，整体冲压困难，大直径采用分半冲压，其拼焊工作量亦较大。
②碟形封头 组成：球面+折边区+圆柱直边段
虽然由于过渡段的存在，降低了封头深度，方便了成型加工。但在三部分连接处由于经线曲率发生突变，在过渡区边界上，不连续应力比内压薄膜应力大得多，故受力状况不佳。
③椭圆形封头 组成：半个椭球面+圆柱直边段
吸取了半球形封头受力好和碟形封头深度浅，由于椭圆部分曲率连续，故封头中的应力分布均匀。对于a/b=2标准椭圆形封头，封头与直边连接处的不连续应力较小，可不予考虑，所以结构特性介于半球形和碟形封头之间。
④锥形封头 a.无折边封头：一般用于α≤30 场合
b.锥壳+过渡圆弧+圆柱直边段
就强度而论，锥形封头的结构并不理想，但封头的形式还决定容器的使用要求，对于气体的均匀进入和引出。悬浮或粘稠液体和固体颗粒的排放，不同直径圆筒的过渡，则是理想的结构形式，而且在厚度较薄时，制造亦不容易。
⑤平板封头 组成：圆平板
平板封头是各种封头，结构最简单、制造最容易的形式，从圆平板的应力分析可知，因其仅受弯曲应力，所以同样直径和压力的容器采用平板封头厚度大，材料耗费过多，而显得十分厚重。
（3）各种封头结构与受力比较的结论（好→差）
①从受力情况看：半球形→椭圆形→碟形→锥形→平板
②从制造角度看：平板→锥形→碟形→椭圆形→半圆形
③从应用上看：
半球形封头：随着制造水平的提高，一般用于高压容器、低压容器。
椭圆形封头：大多数低压封头。
碟形封头：国内一般不用，但国外（欧洲）应用较多。
锥形封头：压力不高，但用于特定场合。
平板封头：常压或直径不大的高压容器。
13.（综合应用）有一圆筒容器，悬挂于O-O处，如图4-30所示。桶内有密度为ρ的液体，液深h0，圆筒半径为R，厚度为S，如不计材料的自重，试用无力矩理论计算m-m、n-n、h-h截面处的应力。
解：由无力矩理论的基本方程
微元平衡方程Nϕ
r1+Nθ=Pz r2
区域平衡方程2πNϕsinϕ=-2π⎰rr1(pzsinϕ-pzcosϕ)dϕ+2πC 因r=r2sinϕ，液体压力垂直于筒壁Pϕ=0，如有液体Pz=ρgh 故Nϕrrρghsinϕcosϕdϕ+C= 12
r2sin2ϕ
代入微元平衡方程Nθ=r2(Pz-Nϕ
r1)=ρghr2-r2Nϕ r1
又因立式圆直筒：r1=∞,r2=R,ϕ=
故⎰r1r2ρghsinϕcosϕdϕ=0
（1）m-m段 π2,cosϕ=0,sinϕ=1
因处于支座以上，边界无集中载荷，且该段无液体 C=0,Nϕ=0,σϕ=Nϕ
S=0 Nθ=0,σθ=
（2）n-n段 Nθ=0 S
因处于支座以下，存在支座反力πR2h0ρg
R2h0ρg 2πC=πRh0ρg C=22
R2h0ρgρgh0RNϕρgh0R代入Nϕ= =⇒σϕ==R2S2S
N因无液体Nθ=0⇒σθ=θ=0 S
（3）h-h段 同样处于支座以下，同理Nϕ=
因有液体作用Nθ=ρghR 故σϕ=ρgh0R2 ρgh0R
2S σθ=ρghR
S
过程装备力学基础复习题
第一章 弹性力学的内容和基本概念
1.
2.弹性力学除了研究杆件外，在研究这些问题时，并不采用变形或应力分布之类的假设，-力学问题求解。
3.弹性力学基本方程（空间问题） ①平衡微分方程 3个
∂σx∂x+∂τyx∂τzx
∂y+∂z+X=0 ∂τxy∂x
+∂σyτzy∂y
+∂∂z
+Y=0
∂τxz∂τyz∂σ∂x+∂y+z
∂z+Z=0 ②几何方程 6个
ξ∂ux=∂x,γ∂v∂u
xy=∂x+∂y ξ∂v∂w∂vy=∂y,γyz=∂y+∂z ξ∂w∂u∂z=
∂z,γ=∂z+wzx∂x
③物理方程 6个
ξ1
x=
E⎡⎣σx-μ(σy+σz)⎤⎦ ξ=1yE⎡⎣
σy-μ(σx+σz)⎤⎦ ξ1z=E
⎡⎣σz-μ(σx+σy)⎤⎦ γ1
xy=Gτxy
γ1
yz=Gτyz
γ1zx=G
τzx
这15个基本方程式中包含15个未知数：6个应力分量σx、σy、变分量ξx、ξy、ξz、γxy、γyz、γzx；3个位移分量μ、ν、ω。
z、τxy、τyz、τzx；6个应σ
4.
（1）当弹性体的一个方向尺寸很小，例如薄板，在板的边缘有平行于板面并沿板厚均匀分布的力作用。
六个应力分量只剩下平行于xOy面的三个应力分量，即σx、σy、τxy，而且它们只是坐标x，y的函数，与z无关。这类问题称作平面应力问题。
（2）当弹性体的一个方向尺寸很大，例如很长的柱形体。在柱形体的表面上，有平行于横截面而不沿长度变化的外力。
六个应力分量只剩下四个，即σx、σy、σz、τxy，这类问题称作平面应变问题。
5.在平面问题中，如果它的几何形状、约束情况以及所承受的外载都对称于某一轴z，则所有的应力分量、应变分量和位移分量也必然对称于z轴，也就是这些分量仅是径向坐标r的函数，而与θ
6.若受力的弹性体具有小孔，则孔边的应力远大于无孔时的应力，也远大于距孔稍远处的应力，这种现象称作孔边应力集中。
7.孔边应力增大的倍数与孔的形状有关，在各种形状的开孔中，圆孔孔边的应力集中程度最低。 8.壳体开孔时孔边的最大周向应力与壳体无孔时的最大应力相比，应力增大，增大的倍数称做应力集中系数。工程常用应力集中系数来表示孔边应力集中的程度。
9.（1）中心有小孔的矩形薄板，只有左右两边受有均布拉力q,在孔边最大拉应力为所施加外载荷的3倍。
（2）中心有小孔的矩形薄板，两对边受有不同数值的均布拉力，q1沿x轴方向，q2沿y轴方向，在孔边最大拉应力为所施加外载荷的2倍。
当θ=0，σθ=-q1+3q2 当θ=
π
2
，σθ=3q1-q2
当q1>q2，最大周向应力发生在θ=
π
2
处。
当q1
（3）受均匀内压的圆筒上开小孔，孔边的最大周向应力发生在θ=0的截面上，其值为
σθ=3q2-q1=3σ1-σ2=3σ1-0.5σ1=2.5σ1
10.沿径向承受均布压力的环板 环板的应力、应变和位移分量为
22
Ri2pi-RopoRi2Ro(po-pi)
σr=+22222
Ro-Rir(Ro-Ri)
22
Ri2pi-RopoRi2Ro(po-pi)
σθ=-22222
Ro-Rir(Ro-Ri)
第二章 厚壁圆筒的弹塑性应力分析
1.（理解）拉美方程
22
Ri2pi-RopoRi2Ro(pi-po)
σr=-22
Ro-Ri2r2(Ro-Ri2)22Ri2pi-RopoRi2Ro(pi-po)σθ=+22
Ro-Ri2r2(Ro-Ri2)
由此式可以看出，σr和σθ与材料的物理性能无关，与E、μ无关，与R、P、r有关。 2.（简答）厚壁圆筒多数场合只受内压作用，分析表2-1仅受内压时筒壁的应力表达式及图2-4所示应力分布，可以得出下列结论。
（1）在厚壁圆筒中，筒体处于三向应力状态，其中环（周）向应力σθ为拉应力，径向应力σr
为压应力，且沿壁厚非均匀分布；而轴向应力σz介于σθ和σr之间，即σz=匀分布。
（2）在筒体内壁面处，环（周）向应力σθ、径向应力σr的绝对值比外壁面处为大，其中环（周）向应力σθ具有最大值，且恒大于内压力pi，其危险点将首先在内壁面上产生。
（3）环（周）向应力σθ沿壁厚分布随径比K值的增加趋向更不均匀，不均匀度为内、外壁周向应力之比，即
σθ+σr
2
，且沿壁厚均
(σθ)r=Ri(σθ)r=Ro
K2+1
。显然，不均匀度随K2成比例，可见K值愈大，应力分布愈不均=2
匀。当内壁材料开始屈服时，外壁材料远小于屈服限，因此筒体材料的强度不能得到充分的利用。由此可知，用增加筒体壁厚（即增加K值）的方法来降低厚壁圆筒的内壁应力，只在一定范围内有效，而内压力接近或超过材料的许用应力时，增加厚度是完全无效的。
（a）仅受内压pi
为了提高筒壁材料的利用率，有效的办法是改变应力沿壁厚分布的不均匀性，使其趋于均化。
3.温差应力是怎么形成的？
厚壁圆筒的厚壁可能从内表面或外表面被加热，由于筒壁较厚，并有一定的热阻，在筒体的内、外壁之间存在温度差，温度较高部分因受热而引起膨胀变形，同时受到温度较低部分的约束，从而使前者受压缩，而后者受拉伸，出现了温差应力或称热应力。
4. （简答）温差应沿筒壁厚度的分布如图2-6所示
图2-6厚壁圆筒温差应力沿壁厚分布
内压+内热
结论：①内加热情况下内壁压力叠加后得到改善，但外壁有所恶化。
②外加热则相反。 由图2-6可见
（1）厚壁圆筒中，温差应力与温度差∆t成正比，而与温度本身的绝对值无关，因此在圆筒内壁或外壁进行保温以减小内、外壁的温度差，可以降低厚壁圆筒的温差应力。
（2）温差应力的分布规律为三向应力沿壁厚均为非均匀分布，其中，轴向应力是环（周）向
tt
应力与径向应力之和，即σz=σθ+σrt ；在内、外壁面处，径向应力为零，轴向应力和环（周）向
应力分别相等，且最大应力发生在内壁面处。
（3）温差应力是由于各部分变形相互约束而产生的，因此应力达到屈服极限而屈服时，温差应力不但不会继续增加，而且在很大程度上会得到缓和，这就是温差应力的自限性，它属于二次应力。
5.寸，加热使它们彼此套合在一起，冷却后各层圆筒将产生预压力，从而在各层套筒上产生预应力，6.（理解）其压力超过内壁发生屈服的压力（初始屈服压力）于弹性状态，形成外层弹性区。
7.这种利用筒体自身外层材料的弹性收缩力来产生预应力，以提高筒体的弹性承载能力的方法称为自增强。
8.承受均匀内压时厚壁圆筒，由外加热引起的温差应力，会使筒体内壁的应力水平提高。（ √ ） 9.承受均匀内压的厚壁圆筒形高压容器如果是内加热，则温差应会使内壁的应力水平升高。（ × ）
10.承受均匀内压的高压厚壁圆筒，在内加热情况下，内壁可以不考虑温差应力的影响。（ √ ）
第三章 薄板理论
1.研究平板时，当小的平板，其定义范围一般为0.01
2.薄板理论主要研究薄板在横向载荷作用下的应力、应变和位移问题。在横向载荷作用下，平3.如果挠度w远小于板厚S，可以认为弹性曲面内任意线段长度无变化，弹性曲面内薄膜力远小于弯曲力，故忽略不计，这类弯曲问题可用薄板小挠度理论求解。
4.中性面假设：板弯曲时，中面保持中性，即板中面内各点只有垂直位移w，无平行于中面的位移。
直线法假设：弯曲变形前垂直于薄板中面的直线段，变形后仍为直线，且长度不变，仍垂直于弹性曲面。
zz5.周边固支实心圆板（焊接连接） 边界条件为 r=R，ϕ=0 r=R，ω=0 最大挠度发生在板中心r=0处
ωmax=(ω)r=0
qR4
= 64D
最大弯矩为板边缘处的径向弯矩，相应的最大应力为板边缘上、下表面处的径向应力，即
Mmax=(Mr)r=R
r=Rz=
s2
qR2=-
8
σmax=(σr)
6.周边简支实心圆板（法兰连接）
3qR2
=±2
4S
边界条件为 r=R，ω=0 r=R，Mr=0 最大挠度仍发生在板中心r=0处
ωmax=(ω)r=0
5+μqR4
=
1+μ64D
最大弯矩及相应的最大应力发生在板中心处，即
Mmax=(Mr)r=0=(Mθ)r=0
r=0z=
s2
r=0z=
s2
qR2=(3+μ) 16
σmax=(σr)=(σθ)
3qR2= (3+μ) 2
8S
7.（简答）受轴对称均布载荷的圆平板有如下的应力和变形特点：
（1）板内为二向应力状态，且沿板厚呈线性分布，均为弯曲应力；应力沿半径方向的分布与周边支承方式有关；板内最大弯曲应力σmax与(R/S)2成正比。
（2）两种支撑板，最大挠度均在板中心处，若取μ=0.3，周边简支板的最大挠度约为固支板的4倍。
（3）周边固支圆平板的最大应力为板边缘表面处的径向弯曲应力；周边简支圆平板的最大应力为板中心表面处的两向弯曲应力。若取μ=0.3，周边简支板的最大弯曲应力约为固支板的1.65倍。
由此可见，周边固支板无论从强度还是从刚度，均比周边简支板为好。
8.（简答）试比较受横向均布载荷作用的圆板，在周边固支和周边简支情况下最大弯曲应力和最大挠度的大小与位置。
（1）在周边固支情况下
最大弯曲应力为板边缘上、下表面处的径向应力，即σmax=(σr)
qR4= 64D
r=Rz=
s2
3qR2
=±
4S2
最大挠度发生在板中心r=0处，ωmax=(ω)r=0（2）在周边简支情况下
最大弯曲应力发生在板中心处，即σmax=(σr)
r=0z=
s2
=(σθ)
r=0z=
s2
3qR2= (3+μ) 2
8S
最大挠度仍发生在板中心r=0处，ωmax=(ω)r=0
5+μqR4
=
1+μ64D
9.（简答）提高受横向均布载荷作用的圆板承载能力的有效措施有哪些？
（1）通常最大挠度和最大应力与圆板的材料、半径、厚度有关，因此，若构成板材料和载荷已确定，则减小半径和增大厚度，都可以减小挠度和降低最大正应力。
（2）当圆板的几何尺寸和载荷一定时，则选用E、μ较大的材料，可减小最大挠度，然而在
工程实际中由于E、 的变化范围较小，故采用此法，不能获得需要挠度和应力状态。
（3）较多的采用改变其周边支撑结构，更接近于固支结构。
（4）增加圆板厚度或用正交格栅法，圆环肋加圆平板等方法来提高圆平板的刚度和强度。 10.（简答）哪一种情况，平面封盖应力水平更高，为什么？
由受对称均布载荷的圆平板的应力和变形特点来看，周边固支无论从强度还是从刚度，均比周边简支好，所以固支平面封头比较好。
11.（简答）承受均匀内压压力容器封头，比较平底端部焊接与法兰连接，那一种中心处变形更大。
法兰连接中心处的变形更大，因为焊接圆平板的最大应力为板边缘表面处的径向弯曲应力，而法兰连接最大应力为板中心表面处的两向弯曲应力。
12.（简答）当其他条件相同时，平盖封头的承载能力远小于凸形风头的承载能力，为什么？提高平盖封头的承载能力途径是什么？
壳体和平板相比，在同样的横向载荷作用下弯曲时，平板以弯矩为主，而壳体以面力为主，因此平盖封头的承载能力远小于凸形封头的承载能力。平盖封头以采用固支、焊接以提高承载能力。
13.在相同材料和相同径后比情况下，圆薄板的承载能力要小于旋转薄壳的承载能力。（√）
第四章 旋转薄壳理论
1.中面上任一点B处经线的曲率半径为该点的“第一曲率半径” r1，即r1=BK1。通过经线上一点B的发现作垂直于经线的平面与中面相割形成的曲线BE，此曲线在B点处的曲率半径称为该店的第二曲率半径 r2 。第二曲率半径的中心K2落在回转轴上，其长度等于法线段BK2，即
r2=BK2。
圆柱：r1=∞ 球：r1=
R1 r2=R r2=R r2=2.对求解承受轴对称载荷的旋转薄壳一般有两种理论。
（1）无力矩理论，也称薄膜理论：它假设与直径相比很小，薄壳像薄膜一样只能承受拉应力和压应力，完全不能承受弯矩和弯曲应力。即在薄壳的内力素中忽略弯矩，这种按无力矩理论所得到的应力称为薄膜应力。
（2）有力矩理论，也称弯曲理论：认为壳体虽然很薄，但仍有一定的厚度，有一定的刚度，因而壳体中除拉应力和压应力外，还存在弯矩和弯曲应力。
3.（简答）无力矩理论的基本方程 2个 微元平衡方程：
r
cosα
Nϕr1
+
Nθ
=Pz r2
Nϕ：垂直于旋转法截面沿θ方向单位长度上的径向力，拉为正，压为负。 Nθ：垂直于经线平面沿ϕ方向单位长度上的周向力，拉为正，压为负。 r1：第一曲率半径。 r2：第二曲率半径。
Pz：沿法线方向单位面积上的轴对称分布外力。
区域平衡方程：2πNϕsinϕ=-2π⎰rr1(pϕsinϕ-pzcosϕ)dϕ+2πC
等式左边为作用在相当于ϕ角的纬线圆上的全部沿旋转轴方向的内力合力。
等式右边第一项为作用在壳体ϕ角以上的全部外载荷沿旋转轴方向的分量；第二项是集中载荷沿旋转轴方向的分量。
4.无力矩理论的适用范围除满足轴对称薄壁条件外，还需满足：
（1）壳体的厚度无突变，曲率半径是连续变化的。
（2）壳体上不能有集中载荷或突变的分布载荷。
（3）壳体边界不受法向力和力矩的作用。
（4）壳体边界上的法向位移和转角不受限制。
5.（简答）以筒体与平板封头连接为例，若平板盖具有足够的刚度，在受内压作用时沿径向变形很小，而壳壁较薄，变形量较大，两者连接在一起，在连接处附近筒体的变形收到平板盖地约束，因此就会产生附加的弯曲变形。由于这种局部弯曲变形，筒壁内必然存在弯矩。因为薄壁容器抗弯能力弱，因而在某些局部地区将产生较大的弯曲应力，这种应力有时要比较由于内压而产生的薄膜应力大得多。由于这种现象只发生在连接边缘，因此称为边缘效应或边缘问题。旋转薄壳的边缘问题主要是分析连接边缘区的应力和变形。
6.平板封头与圆筒壳连接时的应力集中系数低得多，这说明边缘效应主要决定于连接边缘的性质。不同的连接边缘，最大应力相差很大，因此合理设计连接边缘的结构，将有利于降低连接边缘的最大应力。
7.边缘应力的特点与设计中的处理
（1）边缘应力具有两个特点
①局限性
不同性质的连接边缘产生不同的边缘应力，但它们都有一个明显的衰减波特性，在离连接边缘
不远的地方就衰减完了。对于钢制圆筒，边缘应力的作用范围为x=。
②自限性
从根本上说，发生边缘弯曲的原因是由于薄膜变形不连续，以及由此产生的对弹性变形的互相约束作用引起的。一旦材料发生了局部的塑性变形，这种弹性约束便开始缓解，边缘应力也就自动限制，这就是边缘应力的自限性。
（2）工程设计中的处理
①改变连接边缘的结构 ②边缘区局部加强（加热片）③保证边缘焊缝质量
④降低边缘区的残余应力 ⑤壁面在边缘区开孔
8.碟形壳由两部分构成：以R为半径的球面，以r0为半径的折边区。
9.受气体压力作用的壳体
（1）球形壳体
球壳的r1=r2=R，代入式得：σϕ=σθ=
（2）圆筒形壳体
圆筒壳的第一曲率半径r1=∞，第二曲率半径r2=R代入式得： pR 2S
σϕ=PRPR σθ= 2SS
圆筒壳的周向应力是经向应力的两倍，在直径与内压相同的情况下，球壳内的应力仅是圆筒形壳体环向应力的一半，即球形壳体的壁厚仅需圆筒容器壁厚的一半。当容器容积相同时，球表面积最小，故大型贮罐制成球形较为经济。
（3）圆锥形壳体
r1=∞， r2=r代入式得： cosα
prprσϕ= σθ= 2ScosαScosα
圆锥形壳体的环向应力是经向应力的两倍。
10受液体压力作用
R2Hρg
NϕρgHR σϕ===SRS2
NρghRσθ=θ= SS
无论经向应力或周向应力在支座处都发生突变。薄膜应力发生突变，变形也必然突变，但实际上变形总是连续而互相协调的，因此在支座附近采用忽略内力矩的无力矩理论是不相宜的。
11.椭圆形壳体
当椭圆壳的m=a=2,3时，椭圆壳的应力分布见图4-13.由图4-13可见，在椭圆壳的顶b
点外拉应力最大，且径向应力与周向应力相等。当m增大时，两向应力随着ϕ的增大而逐渐减小，其中径向应力始终为拉应力。当
m≤周向应力不出现压应力，当
周向应力在赤道处，并当
m的增大赤道处压应力迅速增大。
12.封头的结构特性与受力特点
（1）平板封头与凸形封头承载能力之比较
平板封头：周边简支、周边固支 σmax∝(R/S)2
凸形封头：球形封头、椭圆形封头、碟形封头、锥形封头 σmax∝(R/S)
结论：当其它条件相同时，平板封头的承载能力远小于凸形封头的承载能力。若使其承载能力相同，平板封头厚度大于凸形封头。
（2）各种封头结构与受力之比较
①半球形封头 组成：半个球壳
按无力矩理论计算，需要的厚度是同样直径圆筒的1/2，若取厚度与圆筒一样大小，两者连接处的最大应力比圆筒周向薄膜应力大3.1%。故从受力看，球形封头是最理想的结构形式，但缺点是深度大，直径小，整体冲压困难，大直径采用分半冲压，其拼焊工作量亦较大。
②碟形封头 组成：球面+折边区+圆柱直边段
虽然由于过渡段的存在，降低了封头深度，方便了成型加工。但在三部分连接处由于经线曲率发生突变，在过渡区边界上，不连续应力比内压薄膜应力大得多，故受力状况不佳。
③椭圆形封头 组成：半个椭球面+圆柱直边段
吸取了半球形封头受力好和碟形封头深度浅，由于椭圆部分曲率连续，故封头中的应力分布均匀。对于a/b=2标准椭圆形封头，封头与直边连接处的不连续应力较小，可不予考虑，所以结构特性介于半球形和碟形封头之间。
④锥形封头 a.无折边封头：一般用于α≤30 场合
b.锥壳+过渡圆弧+圆柱直边段
就强度而论，锥形封头的结构并不理想，但封头的形式还决定容器的使用要求，对于气体的均匀进入和引出。悬浮或粘稠液体和固体颗粒的排放，不同直径圆筒的过渡，则是理想的结构形式，而且在厚度较薄时，制造亦不容易。
⑤平板封头 组成：圆平板
平板封头是各种封头，结构最简单、制造最容易的形式，从圆平板的应力分析可知，因其仅受弯曲应力，所以同样直径和压力的容器采用平板封头厚度大，材料耗费过多，而显得十分厚重。
（3）各种封头结构与受力比较的结论（好→差）
①从受力情况看：半球形→椭圆形→碟形→锥形→平板
②从制造角度看：平板→锥形→碟形→椭圆形→半圆形
③从应用上看：
半球形封头：随着制造水平的提高，一般用于高压容器、低压容器。
椭圆形封头：大多数低压封头。
碟形封头：国内一般不用，但国外（欧洲）应用较多。
锥形封头：压力不高，但用于特定场合。
平板封头：常压或直径不大的高压容器。
13.（综合应用）有一圆筒容器，悬挂于O-O处，如图4-30所示。桶内有密度为ρ的液体，液深h0，圆筒半径为R，厚度为S，如不计材料的自重，试用无力矩理论计算m-m、n-n、h-h截面处的应力。
解：由无力矩理论的基本方程
微元平衡方程Nϕ
r1+Nθ=Pz r2
区域平衡方程2πNϕsinϕ=-2π⎰rr1(pzsinϕ-pzcosϕ)dϕ+2πC 因r=r2sinϕ，液体压力垂直于筒壁Pϕ=0，如有液体Pz=ρgh 故Nϕrrρghsinϕcosϕdϕ+C= 12
r2sin2ϕ
代入微元平衡方程Nθ=r2(Pz-Nϕ
r1)=ρghr2-r2Nϕ r1
又因立式圆直筒：r1=∞,r2=R,ϕ=
故⎰r1r2ρghsinϕcosϕdϕ=0
（1）m-m段 π2,cosϕ=0,sinϕ=1
因处于支座以上，边界无集中载荷，且该段无液体 C=0,Nϕ=0,σϕ=Nϕ
S=0 Nθ=0,σθ=
（2）n-n段 Nθ=0 S
因处于支座以下，存在支座反力πR2h0ρg
R2h0ρg 2πC=πRh0ρg C=22
R2h0ρgρgh0RNϕρgh0R代入Nϕ= =⇒σϕ==R2S2S
N因无液体Nθ=0⇒σθ=θ=0 S
（3）h-h段 同样处于支座以下，同理Nϕ=
因有液体作用Nθ=ρghR 故σϕ=ρgh0R2 ρgh0R
2S σθ=ρghR
S