贝塔函数的应用

Β函数

其中。

性质

它有许多其它的形式，包括：

其中是伽玛函数。

就像伽玛函数描述了阶乘一样，我们也可以用贝塔函数来定义二项式系数：

伽玛函数与贝塔函数之间的关系

为了推出两种函数之间的关系，我们把两个阶乘的乘积写为：

现在，设

，因此：

利用变量代换a = r cos θ和b = r sin θ，可得：

因此，有：

导数

贝塔函数的导数是：

其中ψ(x ) 是双伽玛函数。

估计

斯特灵公式给出了一个用来近似计算贝塔函数的公式：

不完全贝塔函数

不完全贝塔函数是贝塔函数的一个推广，把贝塔函数中的定积分用不定积分来代替，就像不完全伽玛函数是伽玛函数的推广一样。不完全贝塔函数定义为：

当x = 1，上式即化为贝塔函数。

正则不完全贝塔函数（或简称正则贝塔函数）由贝塔函数和不完全贝塔函数来定义：

当a 和b 是整数时，计算以上的积分（可以用分部积分法），可得：

性质

伽玛函数和贝塔函数在概率统计中的应用

【摘要】：首先通过伽玛函数和贝塔函数的定义及性质; 然后将他们应用到概率统计中。例如一些常见分布的数字特征:数学期望, 方差等以及一些常见分布密度函数的推导。最后给出他们在Bayes 统计应用及概率统计证明问题。【作者单位】：铁岭师范高等专科学校;

【关键词】：伽玛函数及贝塔函数 Bayes 估计伽玛分布正态分布概率统计数学期望随机变量数字特征广义指数分布两参数【分类号】：O211.3 【正文快照】：

0引言在高等数学及概率统计中, 经常会看到伽玛函数和贝塔函数这两个熟悉的名字, 但是关于这两个函数性质及详细的应用却很少提及, 然而这两个函数在积分运算中经常起到意想不到的简便效果。也有一些文献讨论它们在积分运算和概率统计中的应用, 但是篇幅太少, 并没有详细的介绍。

Β函数

其中。

性质