§2.3 二次谐波的产生及其解
二次谐波或倍频是一种很重要二阶非线性光学效应，在实践中有广泛的应用，如Nd:YAG激光器的基频光(1.064μm) 倍频成0.532μm 绿光，或继续将0.532μm 激光倍频到0.266μm 紫外区域。
本节从二阶非线性耦合波方程出发，求解出产生的二次谐波光强小信号解，并解释相位匹配对二次谐波产生的影响。 2.3.1 二次谐波的产生
设基频波的频率为ω1，复振幅为E 1；二次谐波的频率为ω2(ω2=2ω1)，复振幅E 2。由基频波在介质中极化产生的二阶极化强度P ，辐射出的二次谐波场E 3(z )所满足的非线性极化耦合波方程
2
d E 2(z )(2)μ0ω2
=i P 2(z )e -ik 2z (2.3.1-1) dz 2k 2
2
P 2(z )=ε0χ()(-ω2; ω1, ω1):E1(z )E 1(z )e 2ik 1z (2.3.1-2)
(2)
注意简并度D =1，ω2=2ω1
2
d E 2(z )μ0ω2
=i ε0χ(2)(-ω2; ω1, ω1):E 1(z )E 1(z )e i ∆kz
dz 2k 2
=i
ω1
n 2c
(2.3.1-3)
χ(2)(-ω2; ω1, ω1):E 1(z )E 1(z )e i ∆kz
波矢失配量， ∆k =2k 1-k 2 (2.3.1-4) 写成单位矢量（光波的偏振方向或电场的振动方向）和标量的乘积形式E 3=a 3E 3，基频光场可能有两种偏振方向，即a 1E 1, a 1E 1，两种偏振方向可以是相互平行也可以是相互垂直，并有a 3⋅a 3=1
' dE 2(z )ω22⎤=i 1⎡a 2⋅χ()(-ω2; ω1, ω):a a z )e i ∆kz (2.3.1-5) 11:E (11⎥⎣⎦dz n 2c ⎢
'
基频波与产生的二次谐波耦合产生的极化场强度P 1，辐射出基频光场满足的非线性极化耦合波方程。
(2)
d E 1(z )μ0ω12(2)
=i P 1(z )e -ik 1z (2.3.1-6)
dz 2k 1
P 1(z )=2ε0χ(
2)
(-ω1; ω2, -ω1):E2(z )E 1(z )e i (k 2-k 1) z (2.3.1-7)
1
*
' dE 1(z )ω2
=i 1⎡a 1⋅χ()(-ω1; ω2, -ω1):a 2a 1⎤:E2(z )E 1*(z )e -i ∆kz (2.3.1-8)
⎢⎥⎦dz n 1c ⎣
如果介质对频率为ω1, ω3的光波都是无耗的，即ω1, ω3远离共振区，则
χ(2)(-ω3; ω1, ω1), χ(2)(-ω1; ω3, -ω1)都是实数。
进一步考虑极化率张量的完全对易对称性和时间反演对称性可以证明：
'
χ
(2) eff
=a 1⋅χ=a 2⋅χ
(2)(2)
(-ω1; ω2, -ω)1
a :2a
'
(-ω2; ω1, ω)1:a 1a
(2.3.1-10)
1
1
二次谐波的耦合波方程组为:
dE 1(z )ω(2)
=i 1χeff E 2(z )E 1*(z )e -i ∆kz (2.3.1-11) dz cn 1
dE 2(z )ω(2)2
=i 1χeff E 1(z )e i ∆kz (2.3.1-12) dz cn 2
如果先考率到电场和极化强度是实数 沿z 方向传播的电场强度表示为：E n (z )=
NL
1
E n (z )e ik n z +c . c . 2
极化强度表示为：P n
(z )=
1NL
P n (z )+c . c . 2
NL
(2)1
2ω=εχ(1)(-2ω1; ω1, ω1):E1(z )E1(z )e i 2k 1z 0
2
二次谐波与基频波差频产生新的基频波，产生新基频波的极化强度表示为：
产生二次谐波的极化强度表示为：P
(2)
P
NL
(ω1)=ε0χ(-ω1; -2ω1, ω1):E2(z )E1(z )e (
*
i k 2-k 1)z
带入耦合波方程，并考虑到有效非线性光学系数和有效非线性极化率的关系
)
χe (2f f =2d e f ，二次谐波耦合波方程组重新写为：f
dE 1(z )ω
=i 1d eff E 2(z )E 1*(z )e -i ∆kz dz cn 1
dE 2(z )ω
=i 1d eff E 12(z )e i ∆kz dz cn 2
由于在推导方程组过程中，事先将电场强度和非线性极化强度实数化，因此在以后求解过
1
程中，不需要光电场振幅再乘以，只需将电场强度的振幅E n (z )带入方程组中。
2
2.3.2 二次谐波的小信号解
2
L
E 1(0)E 3(0)=0
图1 倍频边界条件
1、小信号解
在小信号近似下，基频波复振幅不随光波传输距离改变，
dE 1(z )
dz
=0 并由边界条件E 2(0)=0，对二次谐波的耦合波方程(2.2.1-12)积分得：
E ω1
2
e i ∆kL -1
2(L )=cn d eff E 1
(0)
2∆k
=i
ω1
2cn d eff E 1(0)L
sin (∆kL 2)i ∆2
∆kL /2
e
kL 2
二次谐波的光强为：
I 1
22(L )=2ε0cn 2E 2(L )
2
2
∆kL
=1
ε2⎛ω⎫4
sin 0cn 22(d eff ) 1⎝n ⎪E 1(0)⎛ 2c ⎭
∆kL ⎫⎝2⎪⎭
1ε20ωL 2
=242cn (d eff )E 1(0)2
和函数定义 s i n
c (x )=s i n x
x
， 以及 I 1
21=2
ε0c n E (10) 得到小信号近似下的二次谐波解
2
I 1ε22
0ω1d eff ⎛2I 1⎫22⎛∆kL ⎫2=2cn ⎪L sin c ⎪2⎝ε0cn 1⎭⎝2⎭
222
=
2ω1d eff L
0c 3n 2n 2I 2sin c 2⎛∆kL ⎫
ε1 1
⎝2⎪
⎭
小信号近似下倍频效率： η=P ω2d 22
22eff L 2⎛∆kL ⎫P =32I 1sin c ⎪ 1ε0c n 1n 2
⎝2⎭ (2.3.2-1) (2.3.2-2)
(2.3.2-3) (2.3.2-5) (2.3.2-6)
(2.3.2-7)
(2.3.2-8) 3
倍频效率正比于基频光束功率密度，输出倍频光强是基频波光强的平方。同时由曼利——罗关系，在产生一个二次谐波光子的同时，要湮灭两个基频波光子。转换效率正比于倍频系数的平方，即与正比于有效非线性光学系数的平方d eff 。
2、二次谐波解的讨论
2
图 2
sin c 2(∆kL )函数
定义相位匹配带宽：由二次谐波光强最大值一半处的∆kL 宽度，定义允许的相位失配量
∆k BW =0.886π/L (2.3.2-9)
图 3 不同相位匹配因子倍频效率与晶体长度关系
定义相干长度：如果相位失配量∆k ≠0，使倍频光强单调增长的一段距离为相干长度L c
L c =
π
∆k
(2.3.2-10)
由上面的讨论知，在小信号近似下，为获得高的倍频效率，首先应满足相位匹配条件∆k =0，并且选用有效倍频系数大和较长的晶体，尽可能增强基频光的强度。
§2.3.3 二次谐波的大信号解（基频波存在损耗） 产生二次谐波的耦合波方程为
4
dE 1(z )ω
=i 1d eff E 2(z )E 1*(z )e -i ∆kz
dz cn 1dE 2(z )ω
=i 1d eff E 12(z )e i ∆kz
dz cn 2
(2.3.3-1)
讨论在相位匹配条件下，即∆k =0，此时基频波和二次谐波的折射率相等，n 1=n 2如果基
频波存在损耗，
dE 1
dz
≠0 二次谐波耦合波方程变为：
dE 1(z )dz =i ω
cn d eff E 2(z )E *1(z )1dE 2(z )dz =i ω
cn d eff E 21(z )1
类似于曼利——罗关系，作
d (E 1E *1)+
d (E *
2E 2)
dz
dz
运算，得到
E z )2
+E )2
1(2(z =常数 由边界条件E 2(0)=0; E 1(0)≠0
E 2
2
2
1(z )+E 2(z )=E 1(0)
d E 2(z )dz
=
ω1d eff
n E
2
1
(0)-E 22(z )2c
() 考虑到积分方程：
⎰dx a 2-x 2=1a
tanh -1⎛ x ⎫⎝a ⎪⎭
将(2.3.3-5)整理成上式形式
⎰
d E 2(z )=1
-1
E 1(0E tanh ⎛ E (z )⎫)2
⎪=ω
1d -E eff 2(z )
2
210 ⎝E z 10⎪⎭
n 2c
E 2(z )表示为：
E z )=E )tanh ⎛ ω
2(1(0 ⎝n d eff E 1(0)
z ⎫
⎪ 2c ⎭
-1
定义倍频特征长度 L =⎛ ω1SH
⎝n d E ⎫
eff 1(0)⎪ 2c ⎭
(2.3.3-2)
(2.3.3-3)
(2.3.3-4)
(2.3.3-5)
(2.3.3-6) (2.3.3-7)
(2.3.3-8)
(2.3.3-9) 5
二次谐波光强为：
21
I 2(z )=ε0cn 2E 2(z )
2
21z
(2.3.3-10) =ε0cn 1E 1(0)tanh 2
2L SH
=I 1(0)tanh 2
z
L SH
二次谐波与入射基频波光强比值：
基频光在晶体内光强为：
I 2(z ) z
(2.3.3-11) =tanh 2
I 10L SHG
21
I 1(z )=ε0cn 1E 1(z )
2
221
=ε0cn 1E 1(0)-E 2(z ) (2.3.3-13) 2
⎛L ⎫
=I 1(0)sech 2 ⎪
L ⎝SHG ⎭
()
I ωz
(2.3.3-14) =sech 2
I ω0L SHG
图 4 基频光存在损耗条件下，倍频光和基频光光强与晶体长度关系
相干长度还可写为：
L SH
= (2.3.2-15) -1
如LiNbO3晶体，非线性倍频系数d eff =5.4pm/V，基频光波长1.064μm ，折射率2.2，基频光光强25 MW/cm2，求得倍频特征长度为7.4cm 。
6
§2.3 二次谐波的产生及其解
二次谐波或倍频是一种很重要二阶非线性光学效应，在实践中有广泛的应用，如Nd:YAG激光器的基频光(1.064μm) 倍频成0.532μm 绿光，或继续将0.532μm 激光倍频到0.266μm 紫外区域。
本节从二阶非线性耦合波方程出发，求解出产生的二次谐波光强小信号解，并解释相位匹配对二次谐波产生的影响。 2.3.1 二次谐波的产生
设基频波的频率为ω1，复振幅为E 1；二次谐波的频率为ω2(ω2=2ω1)，复振幅E 2。由基频波在介质中极化产生的二阶极化强度P ，辐射出的二次谐波场E 3(z )所满足的非线性极化耦合波方程
2
d E 2(z )(2)μ0ω2
=i P 2(z )e -ik 2z (2.3.1-1) dz 2k 2
2
P 2(z )=ε0χ()(-ω2; ω1, ω1):E1(z )E 1(z )e 2ik 1z (2.3.1-2)
(2)
注意简并度D =1，ω2=2ω1
2
d E 2(z )μ0ω2
=i ε0χ(2)(-ω2; ω1, ω1):E 1(z )E 1(z )e i ∆kz
dz 2k 2
=i
ω1
n 2c
(2.3.1-3)
χ(2)(-ω2; ω1, ω1):E 1(z )E 1(z )e i ∆kz
波矢失配量， ∆k =2k 1-k 2 (2.3.1-4) 写成单位矢量（光波的偏振方向或电场的振动方向）和标量的乘积形式E 3=a 3E 3，基频光场可能有两种偏振方向，即a 1E 1, a 1E 1，两种偏振方向可以是相互平行也可以是相互垂直，并有a 3⋅a 3=1
' dE 2(z )ω22⎤=i 1⎡a 2⋅χ()(-ω2; ω1, ω):a a z )e i ∆kz (2.3.1-5) 11:E (11⎥⎣⎦dz n 2c ⎢
'
基频波与产生的二次谐波耦合产生的极化场强度P 1，辐射出基频光场满足的非线性极化耦合波方程。
(2)
d E 1(z )μ0ω12(2)
=i P 1(z )e -ik 1z (2.3.1-6)
dz 2k 1
P 1(z )=2ε0χ(
2)
(-ω1; ω2, -ω1):E2(z )E 1(z )e i (k 2-k 1) z (2.3.1-7)
1
*
' dE 1(z )ω2
=i 1⎡a 1⋅χ()(-ω1; ω2, -ω1):a 2a 1⎤:E2(z )E 1*(z )e -i ∆kz (2.3.1-8)
⎢⎥⎦dz n 1c ⎣
如果介质对频率为ω1, ω3的光波都是无耗的，即ω1, ω3远离共振区，则
χ(2)(-ω3; ω1, ω1), χ(2)(-ω1; ω3, -ω1)都是实数。
进一步考虑极化率张量的完全对易对称性和时间反演对称性可以证明：
'
χ
(2) eff
=a 1⋅χ=a 2⋅χ
(2)(2)
(-ω1; ω2, -ω)1
a :2a
'
(-ω2; ω1, ω)1:a 1a
(2.3.1-10)
1
1
二次谐波的耦合波方程组为:
dE 1(z )ω(2)
=i 1χeff E 2(z )E 1*(z )e -i ∆kz (2.3.1-11) dz cn 1
dE 2(z )ω(2)2
=i 1χeff E 1(z )e i ∆kz (2.3.1-12) dz cn 2
如果先考率到电场和极化强度是实数 沿z 方向传播的电场强度表示为：E n (z )=
NL
1
E n (z )e ik n z +c . c . 2
极化强度表示为：P n
(z )=
1NL
P n (z )+c . c . 2
NL
(2)1
2ω=εχ(1)(-2ω1; ω1, ω1):E1(z )E1(z )e i 2k 1z 0
2
二次谐波与基频波差频产生新的基频波，产生新基频波的极化强度表示为：
产生二次谐波的极化强度表示为：P
(2)
P
NL
(ω1)=ε0χ(-ω1; -2ω1, ω1):E2(z )E1(z )e (
*
i k 2-k 1)z
带入耦合波方程，并考虑到有效非线性光学系数和有效非线性极化率的关系
)
χe (2f f =2d e f ，二次谐波耦合波方程组重新写为：f
dE 1(z )ω
=i 1d eff E 2(z )E 1*(z )e -i ∆kz dz cn 1
dE 2(z )ω
=i 1d eff E 12(z )e i ∆kz dz cn 2
由于在推导方程组过程中，事先将电场强度和非线性极化强度实数化，因此在以后求解过
1
程中，不需要光电场振幅再乘以，只需将电场强度的振幅E n (z )带入方程组中。
2
2.3.2 二次谐波的小信号解
2
L
E 1(0)E 3(0)=0
图1 倍频边界条件
1、小信号解
在小信号近似下，基频波复振幅不随光波传输距离改变，
dE 1(z )
dz
=0 并由边界条件E 2(0)=0，对二次谐波的耦合波方程(2.2.1-12)积分得：
E ω1
2
e i ∆kL -1
2(L )=cn d eff E 1
(0)
2∆k
=i
ω1
2cn d eff E 1(0)L
sin (∆kL 2)i ∆2
∆kL /2
e
kL 2
二次谐波的光强为：
I 1
22(L )=2ε0cn 2E 2(L )
2
2
∆kL
=1
ε2⎛ω⎫4
sin 0cn 22(d eff ) 1⎝n ⎪E 1(0)⎛ 2c ⎭
∆kL ⎫⎝2⎪⎭
1ε20ωL 2
=242cn (d eff )E 1(0)2
和函数定义 s i n
c (x )=s i n x
x
， 以及 I 1
21=2
ε0c n E (10) 得到小信号近似下的二次谐波解
2
I 1ε22
0ω1d eff ⎛2I 1⎫22⎛∆kL ⎫2=2cn ⎪L sin c ⎪2⎝ε0cn 1⎭⎝2⎭
222
=
2ω1d eff L
0c 3n 2n 2I 2sin c 2⎛∆kL ⎫
ε1 1
⎝2⎪
⎭
小信号近似下倍频效率： η=P ω2d 22
22eff L 2⎛∆kL ⎫P =32I 1sin c ⎪ 1ε0c n 1n 2
⎝2⎭ (2.3.2-1) (2.3.2-2)
(2.3.2-3) (2.3.2-5) (2.3.2-6)
(2.3.2-7)
(2.3.2-8) 3
倍频效率正比于基频光束功率密度，输出倍频光强是基频波光强的平方。同时由曼利——罗关系，在产生一个二次谐波光子的同时，要湮灭两个基频波光子。转换效率正比于倍频系数的平方，即与正比于有效非线性光学系数的平方d eff 。
2、二次谐波解的讨论
2
图 2
sin c 2(∆kL )函数
定义相位匹配带宽：由二次谐波光强最大值一半处的∆kL 宽度，定义允许的相位失配量
∆k BW =0.886π/L (2.3.2-9)
图 3 不同相位匹配因子倍频效率与晶体长度关系
定义相干长度：如果相位失配量∆k ≠0，使倍频光强单调增长的一段距离为相干长度L c
L c =
π
∆k
(2.3.2-10)
由上面的讨论知，在小信号近似下，为获得高的倍频效率，首先应满足相位匹配条件∆k =0，并且选用有效倍频系数大和较长的晶体，尽可能增强基频光的强度。
§2.3.3 二次谐波的大信号解（基频波存在损耗） 产生二次谐波的耦合波方程为
4
dE 1(z )ω
=i 1d eff E 2(z )E 1*(z )e -i ∆kz
dz cn 1dE 2(z )ω
=i 1d eff E 12(z )e i ∆kz
dz cn 2
(2.3.3-1)
讨论在相位匹配条件下，即∆k =0，此时基频波和二次谐波的折射率相等，n 1=n 2如果基
频波存在损耗，
dE 1
dz
≠0 二次谐波耦合波方程变为：
dE 1(z )dz =i ω
cn d eff E 2(z )E *1(z )1dE 2(z )dz =i ω
cn d eff E 21(z )1
类似于曼利——罗关系，作
d (E 1E *1)+
d (E *
2E 2)
dz
dz
运算，得到
E z )2
+E )2
1(2(z =常数 由边界条件E 2(0)=0; E 1(0)≠0
E 2
2
2
1(z )+E 2(z )=E 1(0)
d E 2(z )dz
=
ω1d eff
n E
2
1
(0)-E 22(z )2c
() 考虑到积分方程：
⎰dx a 2-x 2=1a
tanh -1⎛ x ⎫⎝a ⎪⎭
将(2.3.3-5)整理成上式形式
⎰
d E 2(z )=1
-1
E 1(0E tanh ⎛ E (z )⎫)2
⎪=ω
1d -E eff 2(z )
2
210 ⎝E z 10⎪⎭
n 2c
E 2(z )表示为：
E z )=E )tanh ⎛ ω
2(1(0 ⎝n d eff E 1(0)
z ⎫
⎪ 2c ⎭
-1
定义倍频特征长度 L =⎛ ω1SH
⎝n d E ⎫
eff 1(0)⎪ 2c ⎭
(2.3.3-2)
(2.3.3-3)
(2.3.3-4)
(2.3.3-5)
(2.3.3-6) (2.3.3-7)
(2.3.3-8)
(2.3.3-9) 5
二次谐波光强为：
21
I 2(z )=ε0cn 2E 2(z )
2
21z
(2.3.3-10) =ε0cn 1E 1(0)tanh 2
2L SH
=I 1(0)tanh 2
z
L SH
二次谐波与入射基频波光强比值：
基频光在晶体内光强为：
I 2(z ) z
(2.3.3-11) =tanh 2
I 10L SHG
21
I 1(z )=ε0cn 1E 1(z )
2
221
=ε0cn 1E 1(0)-E 2(z ) (2.3.3-13) 2
⎛L ⎫
=I 1(0)sech 2 ⎪
L ⎝SHG ⎭
()
I ωz
(2.3.3-14) =sech 2
I ω0L SHG
图 4 基频光存在损耗条件下，倍频光和基频光光强与晶体长度关系
相干长度还可写为：
L SH
= (2.3.2-15) -1
如LiNbO3晶体，非线性倍频系数d eff =5.4pm/V，基频光波长1.064μm ，折射率2.2，基频光光强25 MW/cm2，求得倍频特征长度为7.4cm 。
6